Укажите количество точек которые принадлежат плоскости w
Перейти к содержимому

Укажите количество точек которые принадлежат плоскости w

  • автор:

Следствия из аксиом стереометрии.

Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.

Мы ответим на вопрос: Как определяется единственность плоскости?
Система оценки: 5 балльная

Список вопросов теста

Вопрос 1

Выберите четыре утверждения, определяющие единственность плоскости

Варианты ответов
  • любые две точки пространства;
  • любая прямая пространства и точка лежащая на ней;
  • любая прямая пространства и точка вне ее;
  • любые три прямые пространства;
  • любые три точки пространства;
  • любые параллельные прямые пространства;
  • любые прямые пространства;
  • любые две прямые, которые пересекаются.
Вопрос 2

Укажите плоскости, которым принадлежит точка Р

Варианты ответов
  • (SAB);
  • (SBC);
  • (SAC);
  • (ABC).
Вопрос 3

Укажите количество плоскостей, которые можно провести через три точки, лежащие на одной прямой.

Варианты ответов
  • одну;
  • две;
  • бесконечное количество;
  • конечное количество;
  • три.
Вопрос 4

Укажите прямую пересечения плоскостей (CMD) и (MAD).

Варианты ответов
Вопрос 5

На двух ребрах пирамиды обозначены точки M и N. Укажите плоскость, в которой лежит прямая MN.

Варианты ответов
  • (TRS);
  • (PTS);
  • (PRS);
  • (PTR).
Вопрос 6

Определите количество разных плоскостей, которые можно провести через пять точек, если четыре из них лежат на одной плоскости.

Варианты ответов
  • одну;
  • четыре;
  • пять;
  • шесть;
  • семь.
Вопрос 7

По рисунку выбраны плоскости, которые пересекаются по прямым, содержащим ребра пирамиды. Определите среди нижеуказанных утверждений правильные.

Варианты ответов
  • (MAB) и (MBC);
  • (MAB) и (MCD);
  • (MBD) и (MAC);
  • (MAB) и (BCD);
  • (MBC) и (MAD);
  • (MBD) и (ABD).
Вопрос 8

Определите прямые, с которыми может пересекаться прямая MN.

Варианты ответов
Вопрос 9

Выберите две плоскости, которым принадлежит точка Q.

Варианты ответов
  • (ABC);
  • (MAB);
  • (MBC);
  • (MCD);
  • (MAD).
Вопрос 10

В четырехугольнике ABCD некоторые вершины лежат в плоскости \(\alpha\) . Укажите утверждения, из которых вытекает принадлежность всех вершин четырехугольника ABCD данной плоскости.

Варианты ответов
  • \(A\in\alpha,\ C\in\alpha,\ M\in AC,\ M\in\alpha;\)
  • \(A\in\alpha,\ B\in\alpha,\ K\in BC,\ K\in\alpha;\)
  • \(B\in\alpha,\ D\in\alpha,\ Q\in BD,\ Q\in\alpha;\)
  • \(B\in\alpha,\ C\in\alpha,\ D\in\alpha;\)
  • \(A\in\alpha,\ C\in\alpha,\ D\in\alpha.\)

Тест «Основы стереометрии»

2. Евклидову плоскость можно представить, как

А) ограниченную поверхность, состоящую из прямоугольников
Б) гладкую ровную поверхность крышки стола, продолженную неограниченно во все стороны
В) бесконечную волнообразную поверхность

3. Выберете вариант, в котором перечислены все пространственные фигуры

А) Овал, параллелограмм, парабола
Б) Квадрат, круг, равносторонний треугольник
В) Цилиндр, сфера, пирамида

4. Укажите основные (неопределяемые) понятия стереометрии

А) угол, прямая, луч
Б) точка, прямая, плоскость
В) точка, прямая, окружность

5. Продолжите первую аксиому стереометрии «Через три точки, не лежащие на одной прямой…

А) нельзя провести плоскость
Б) можно провести бесконечное число плоскостей
В) можно провести три различные плоскости
Г) можно провести плоскость и притом только одну

6. Продолжите вторую аксиому стереометрии «Если две точки прямой лежат в данной плоскости,

А) то эта прямая пересекает эту плоскость
Б) то эта прямая параллельна этой плоскости
В) то эта прямая перпендикулярна этой плоскости
Г) то и вся эта прямая лежит в этой плоскости

7. Продолжите 3ю аксиому стереометрии «Если две различные плоскости имеют одну общую точку

А) то эти плоскости имеют бесконечное число общих точек, лежащих на одной прямой
Б) то эти плоскости больше не имеют общих точек
В) то эти плоскости имеют ещё одну общую точку
Г) такого быть не может

8. Установите соответствия между условиями и заключениями аксиом стереометрии

А) Через три точки, не лежащие на одной прямой…
Б) Если две точки прямой лежат в данной плоскости, …
В) Если две различные плоскости имеют одну общую точку, …

1. … то эти плоскости имеют бесконечное число общих точек, лежащих на одной прямой.
2. …можно провести плоскость и притом только одну
3. …то и вся эта прямая лежит в этой плоскости

9. Установите соответствия между взаимным расположением прямых в пространстве

А) Две прямые в пространстве называются параллельными, если…
Б) Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если…
В) Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если…

1. они не лежат в одной плоскости
2. они лежат в одной плоскости и пересекаются
3. они лежат в одной плоскости и не пересекаются

10. Две прямые в пространстве называются параллельными, если…

А) они не лежат в одной плоскости
Б) они лежат в одной плоскости и не пересекаются
В) они лежат в одной плоскости и пересекаются

11. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если…

А) они не лежат в одной плоскости
Б) они лежат в одной плоскости и не пересекаются
В) они лежат в одной плоскости и пересекаются

12. Установите соответствия между взаимным расположением прямой и плоскости в пространстве

А) Прямая лежит в данной плоскости
Б) Прямая пересекает плоскость
В) Прямая параллельна плоскости
Г) Прямая перпендикулярна плоскости

Тест «Основы стереометрии»

13. Установите соответствия

А) Пересекающиеся прямые
Б) Параллельные прямые
В) Скрещивающиеся прямые

14. Через какие две прямые нельзя провести одну плоскость?

А) Скрещивающиеся
Б) Параллельные
В) Пересекающиеся
Г) Перпендикулярные

15. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если…

А) угол между прямой и плоскостью равен 0о
Б) она пересекает эту плоскость
В) она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости

16. Сколько плоскостей можно провести через прямую и точку, не лежащую на ней?

А) Ни одной
Б) Одну
В) Две
Г) Бесконечное множество

17. Сколько плоскостей можно провести через прямую и точку, лежащую на ней?

А) Ни одной
Б) Одну
В) Две
Г) Бесконечное множество

18. Сколько плоскостей можно провести через три точки, лежащие на одной прямой?

А) Ни одной
Б) Одну
В) Две
Г) Бесконечное множество

19. Сколько плоскостей можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой?

А) Ни одной
Б) Одну
В) Три
Г) Бесконечное множество

20. Как называются прямые в пространстве, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются?

А) Перпендикулярные
Б) Параллельные
В) Скрещивающиеся
Г) Таких прямых не существует

умоляю! помогите с геометрией, пожалуйста

№1
Плоскости пересекаются. Определите количество общих прямых, которые они могут иметь.
Ответ:
Две
Одну
Бесконечно много
Три
№2
На рисунке изображен тетраэдр ABCD. Точка M принадлежит ребру DB, а точка P – ребру DC. Точки K1,K2,K3,K4 и K5 принадлежат плоскости ABC. В какой из этих точек прямая PM пересекает плоскость ABC?14.jpg
Ответ:
K5
K4
K3
K1
K2
№3
Выберите плоскости, которые будет пересекать прямая RS16.png
Ответ:
(DD1C1)
(ABA1)
(BDD1)
(A1B1C1)
(DD1A)
№4
В трапеции ABCD(BC||AD) проведена средняя линия MN(M∈AB,N∈CD) . Укажите, при каких условиях можно сделать вывод, что трапеция ABCD лежит в данной плоскости α .
CD⊂α и N∈α
AB⊂α и M∈α
AC∩BD=O,AD⊂α,O∈α
MN⊂α
№5
Известно, что точки в пространстве расположены так, что через них можно провести не меньше 100 разных плоскостей. Определите правильное дополнение этого утверждения.
Ответ:
Эти точки лежат в одной плоскости, но не на одной прямой
Эти точки лежат на одной прямой
Эти точки не лежат на одной прямой
Эти точки лежат в одной плоскости
№6
Установите соответствие между количеством точек, которые не лежат в одной плоскости (1-4) и наибольшим из них количеством точек (А-Д), которые могут лежать на одной прямой. Ответ запишите без пробелов, разделяя пункты знаком ;. Например: 1А; 2Б; 3В; 4Г

Голосование за лучший ответ

1) одна прямая
2) К1 (лежит на прямой СВ)
3)(BDD1)
(A1B1C1)
(DD1A)
5) сколько точек?
6)вопрос какой то левый

ЮЛия ПионоваУченик (19) 5 лет назад

если кому-то нужно
№1
Одну
№2
К1
№3
(BDD1)
(A1B1C1)
(DD1A)
№4
AC∩BD=O,AD⊂α,O∈α
№5
Эти точки лежат на одной прямой
№6
1Б; 2А; 3Г; 4Д

Александр Федоров Искусственный Интеллект (188929) Расшифруй надпись номера 4

Прямые l1 и l2 пересекаются в точке O. На прямой l1 выбраны точки A, O, B, C, а на l2 − точки D, O, E, F, G (точки идут в указанном порядке). Известны длины отрезков:

AO=10, OB=2, BC=6, DO=5, OE=4, EF=6, FG=6.

Выберите все четвёрки точек, которые лежат на одной окружности.

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Положение плоскости в пространстве определяется:

  • тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  • прямой и точкой, взятой вне прямой;
  • двумя пересекающимися прямыми;
  • двумя параллельными прямыми;
  • плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

  • проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
  • проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
  • проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
  • проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
  • плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
  • следами плоскости;
  • линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απ2 и профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С.

достроить горизонтальную проекцию плоского четырехугольника

Рисунок 3.7 – Решение задачи

  1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
  2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
  3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A2C2B2D2=K2.
  4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B1D1 строим К1.
  5. Через А1К1 проводим проекцию диагонали А1С1.
  6. Точку С1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А1К1.

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

  1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
  2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
  3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

    1. Точка К должна принадлежать прямой АВК1А1В и заданной плоскости σ ⇒ К1∈σ, следовательно, К1 находится в точке пересечения проекций А1В1 и σ1;
    2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ1 (горизонтальный след плоскости);
    3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К2А2В2.

    Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

    Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

    Упражнение

    Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

    Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

    построить точку пересечения прямой с плоскостью

    Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

    1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
    2. Если α⊥π1, то на плоскость проекций π1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ1 или α1), совпадающую с E1F1;
    3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
    4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

    Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

    1. \left.\begin\alpha \perp \pi_1\\\alpha\in EF\\\end\right\> \Longrightarrow \alpha_1\in E_1F_1
    2. \alpha\cap\sigma=(1-2)\left.\begin|\alpha_1\cap A_1C_1=1_1\longrightarrow 1_2\\|\alpha_1\cap A_1B_1=2_1\longrightarrow 2_2\\\end\right.
    3. (1_2-2_2)\cap E_2F_2=K_2\\\left.\beginK\in EF\\K\in (1-2)\Rightarrow K\in\sigma\\\end\right\>\Longrightarrow K=EF\cap (\sigma =\triangle ABC)

    3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

    При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.
    Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
    Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
    Видимость на π2 (рис. 3.15)
    Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
    Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.
    Направление взгляда на π2 показано стрелкой.
    По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.
    41E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
    Видимость на π1.
    Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.
    Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.
    Направление взгляда на π1 показано стрелкой.
    По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.
    22А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
    Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

    3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

    Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

    Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

    Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

    Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

    Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

    Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

    Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

    3.8. Взаимное положение двух плоскостей

    3.8.1. Параллельность плоскостей

    Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

    Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

    Упражнение

    Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

    Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

    Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

    Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

    Решение : В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

    1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
    2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m, проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
    3. β = m∩n и β//α по определению.
    3.8.2. Пересечение плоскостей

    Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

    Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

    Упражнение

    Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

    Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей.

    Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

    Порядок построения линии пересечения плоскостей:

    1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М1 и М2, при этом М1, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π1).
    2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N1 и N2, при этом N2=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π2).
    3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М1N1 и М2N2.

    МN – линия пересечения плоскостей.

    Упражнение

    Задана плоскость σ = ΔАВС, плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π1) ⇒α1 – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19). Построить линию пересечения этих плоскостей.

    Решение:
    Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
    Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K1 и L1 , на пересечении горизонтального следа (α1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС: А1В1 и A1C1. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K2 и L2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K1 и L1; K2 и L2. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

    Алгоритм решения задачи :

    \left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

    KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

    Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

    Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

    Упражнение

    Заданы плоскости α = m//n и плоскость σ = ΔАВС (Рисунок 3.20). Построить линию пересечения заданных плоскостей. Решение :

    1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
    2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π2; τ⊥π2.
    3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:

    — результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7); — результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).

    1. Прямые (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях σ и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
    2. Аналогично находим точку N, общую для плоскостей σ и β.
    3. Соединив точки M и N, построим прямую пересечения плоскостей σ и β.

    Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения

    Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

    Алгоритм решения задачи :

    \left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

    Упражнение

    Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

    Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

    Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

    Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

    3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

    Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

    Упражнение

    Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

    Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

    Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

    Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

    По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

    Упражнение

    Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α. Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K. Алгоритм решения (Рисунок 3.23):

    1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС;
    2. Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости:b2f2; b1h1;
    3. Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩b, таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.

    Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной

    Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

    3.9. Задачи для самостоятельного решения

    1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

    Постройте фронтальную проекцию точки К.

    RIS2_13

    2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

    ris3_14

    3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

    ris2_16

    4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

    ris3_10

    5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

    ris4_7

    6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

    7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *