Система неравенств с тремя переменными как решать
Перейти к содержимому

Система неравенств с тремя переменными как решать

  • автор:

Линейные неравенства. Системы линейных неравенств

На уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой . Уравнение – хорошо, в жизни пригодится, но не менее важно знать геометрический смысл линейных неравенств двух переменных. Принципиальное отличие от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если в примерах статьи Область определения функции существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды.

Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью.

Линейные неравенства

Различают два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: .

2) Нестрогие неравенства: .

Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.

Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые. Если возникнут трудности в этой части, прочитайте справку Графики и свойства функций – параграф про линейную функцию.

Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки:

Неравенства, определяющие координатные полуплоскости

Как известно, ось абсцисс задаётся уравнением – «игрек» всегда (при любом значении «икс») равняется нулю

Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом значении «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».

В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .

Аналогично: неравенству удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству соответствует нижняя полуплоскость + ось .

С осью ординат та же самая прозаичная история:

– неравенство задаёт правую полуплоскость;
– неравенство задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство задаёт левую полуплоскость;
– неравенство задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.

На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных.

Или отсутствует «икс»:

С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода. Попутно вспомним-закрепим школьные действия с неравенствами, уже разобранные на уроке Область определения функции.

Решить линейные неравенства:

Что значит решить линейное неравенство?

Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое.

Неравенства задают левую и нижнюю полуплоскости

Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:

а) Решим неравенство

Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».

Правило: В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»).

Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:

Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства не меняется.

Умножаем обе части неравенства на :

Теперь чертим прямую (синяя пунктирная линия). Прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие данной прямой, заведомо не будут входить в решение.

Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому утверждению удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Данную полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.

Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!

Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение целесообразно представить в виде .

Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство :

Получено неверное неравенство (простыми словами, неправда), значит, точка не удовлетворяет неравенству .

Ключевое правило нашей задачи:
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Можете протестировать: любая точка справа от прямой не будет удовлетворять неравенству .

Какой вывод из проведённого опыта с точкой ? Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки другой – левой полуплоскости (тоже можете проверить).

б) Решим неравенство

Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»).

Умножаем обе части неравенства на :

Начертим прямую (красный цвет), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое, и прямая заведомо принадлежит решению.

Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).

Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками.

Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости (не принадлежащую прямой), например, и подставим её координаты в наше неравенство :

Получено верное неравенство, значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.

Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками.

Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален.

Решить линейные неравенства:

Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). В ответе в конце урока будет только итоговый чертёж.

Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам придётся на них жениться не составит труда решить простейшее неравенство вроде и т.п.

Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные:

Как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым.

Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки.

а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство:

Как определить полуплоскость?

Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству . Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями:

б) Решим неравенство . Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим сплошняком, так как неравенство нестрогое.

Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится. Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

Получено верное неравенство, значит, точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая .

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение, примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Разберём обратную задачу:

а) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение.

б) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение.

Решение: здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного:

а) Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство будет нестрогим:

б) Составим многочлен и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, следовательно, неравенство будет строгим: .

Ответ:

Творческий пример для самостоятельного изучения:

Даны точки и прямая . Среди перечисленных точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от заданной прямой.

Небольшая подсказка: сначала нужно составить неравенство, определяющее полуплоскость, в которой находится начало координат. Аналитическое решение и ответ в конце урока.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств – это система, составленная из линейных неравенств. …Обожаю такие определения, прямо в стиле известного политика и боксёра :).Вот уж действительно просто и доступно! А если серьёзно, то не хочется приводить громоздкое определение и систему в общем виде, лучше сразу перейдём к насущным вопросам:

Что значит решить систему линейных неравенств?

Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока):

Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система неравенств задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система неравенств задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– система неравенств задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что «икс» не может одновременно быть больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может являться прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы.

Решить систему линейных неравенств

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они.

Решение: то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)

2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость. Ну что же, область поиска стала ещё меньше – такой не ограниченный сверху прямоугольник.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: . Алгоритм решения мы подробно рассмотрели в предыдущем параграфе. Вкратце: сначала строим прямую, потом с помощью подопытной точки находим нужную нам полуплоскость.

Многоугольник решений системы неравенств

Встаньте, дети, встаньте в круг:

Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. Перестарался немного =) В тетради область решений достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить).

Ответ: решением системы является многоугольник .

При оформлении на чистовик неплохо бы подробно расписать, по каким точкам вы строили прямые (см. урок Графики и свойства функций), и как определяли полуплоскости (см. первый параграф данного урока). Однако на практике в большинстве случаев вам зачтут и просто правильный чертёж. Сами же расчёты можно проводить на черновике или даже устно.

Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область. Попытайтесь разобрать следующий пример самостоятельно. Хотя, точности ради, пыток тут никаких – алгоритм построения такой же, просто область получится не ограниченной.

Решение и ответ в конце урока. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения вершин полученной области. Это не принципиально, главное, правильно найти вершины и правильно построить область.

Не редкость, когда в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области. В двух предыдущих примерах координаты данных точек были очевидны, но на практике всё бывает далеко не айс:

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

Область решений системы и координаты вершин области

Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство задаёт левую полуплоскость с осью ординат, и халявы тут больше нет. После расчётов на чистовике/черновике или глубоких мыслительных процессов, получаем следующую область решений:

Область решений представляет собой многоугольник . Теперь нужно найти координаты вершин полученной области. Здесь ясно прорисовались координаты только двух точек: . Остаётся решить вопрос с точками .

Нетрудно заметить, что вершины являются точками пересечением прямых. Как найти точку пересечения двух прямых, мы рассмотрели на уроке Задачи с прямой на плоскости.

Найдём координаты вершины :

Примечание: из второго уравнения системы почленно вычтено первое уравнение. Более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему уравнений?

Найдём координаты точки :

Примечание: второе уравнение системы умножено на 3, затем уравнения сложены почленно.

Для красоты координаты точек тоже можно найти аналитическим методом:

Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках .

Кто из вас попадёт в «десятку»? Заключительный пример урока для самостоятельного решения:

Найти область решений системы и координаты вершин полученной области

И опять же, буквенные обозначения вершин многоугольника у нас могут отличаться. У меня будет точка «цэ», а у вас эта же вершина может быть обозначена через «дэ».

Мы рассмотрели примеры средней степени сложности, чего вполне достаточно. В ряде задач, например, в задаче линейного программирования коэффициенты неравенств обычно велики, и приходится возиться (иногда долго) с подбором масштаба и построением самих прямых.

Решения и ответы:

Неравенства задают верхнюю и правую полуплоскости

Пример 2: Ответ:

Неравенства определяют полуплоскости

Пример 4: Решение:
а) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например, и подставим её координаты в неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, неравенство задаёт полуплоскость, которой не принадлежит точка , при этом прямая не входит в решение.
б) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например, и подставим её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство, значит, неравенство задаёт полуплоскость, в которой находится точка , при этом прямая входит в решение.
Ответ:

Пример 6: Решение: Составим многочлен и вычислим его значение в точке :
, следовательно, искомые точки должны удовлетворять неравенству (а значит, и условию ).
Вычислим значения многочлена в каждой из пяти точек:

Условию удовлетворяют точки .
Ответ: в одной полуплоскости с началом координат лежат точки .

Область решений системы не ограничена

Пример 8: Решение: изобразим на чертеже область решений, соответствующую заданной системе линейных неравенств:

Ответ: область решений системы ограничена ломаной и лучами .

Нахождение многоугольника решений и координат его вершин

Пример 10: Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы неравенств:

Область решений представляет собой многоугольник . Найдём координаты вершин полученной области:

Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках .

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Неравенства с переменными, их частные и общее решение

Неравенства, содержащие переменную, занимают основную долю в общем объеме изучения темы «Неравенства» школьной программы математики и алгебры. Данная статья содержит базовый материал: определение понятия неравенства с переменными и их решений, способ записи решений неравенств. Также для наглядности приведем решение практических задач.

Определение неравенств с переменными

Числовые неравенства мы разобрали в соответствующей статье, выяснив что числовыми неравенствами являются два числовых выражения, между которыми располагается какой-либо из знаков неравенства. Заменив хотя бы одно из числовых выражений выражением с переменной, мы получим неравенство с переменными. Такое определение дано по виду записи подобных неравенств. Выделяют неравенства с одной, двумя, тремя и большим количеством переменных по числу переменных, использующихся в записи неравенства.

Неравенства с одной переменной

Определение 1

Неравенство с одной переменной – это неравенство, в записи которого используется одна переменная.

( ( 2 · x — 5 · t 2 ) · ( t — 1 ) t — 1 + 4 ≥ 1 t — t 3 t + 3

Неравенства с двумя переменными

Определение 2

Неравенство с двумя переменными – это неравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

Например, m 3 + 1 5 · n 2 > 13 – неравенство с двумя переменными m и n ;

По записи неравенства с двумя переменными схожи с неравенствами с параметром и одной переменной. Но тогда, как правило, в условиях всегда указывается, какие буквы служат обозначением параметров, поэтому вопрос о том, сколько переменных в заданном неравенстве, обычно не возникает.

Неравенства с тремя или больше переменными

Определение 3

Неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными – это неравенства, в записи которых используются три, четыре и т.д. переменных.

В школьной программе подобные неравенства встречаются редко, но тем не менее существуют. Например, шар, радиус которого равен 2 и центр которого совпадает с началом координат, возможно определить неравенством с тремя переменными: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .

Решения неравенства: частное, общее и простое решение

Определение 4

Решение неравенства с одной переменной – такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

В качестве примера возьмем простое неравенство вида y > 9 . Пусть y = 13 . Подставим это значение в исходное неравенство и получим числовое неравенство 13 > 9 . Оно является верным, а значит 13 является решением исходного неравенства y > 9 . А вот число y = 5 не станет решением данного неравенства, поскольку, подставив такое значение переменной, мы получим неверное числовое неравенство: 5 > 9 .

Логичным следствием является вопрос о возможном количестве решений конкретного неравенства. Отметим, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное количество решений или иметь бесконечно много решений. Мы рассмотрим это утверждение, имеющее большую значимость в практике, более детально в изучении самого процесса нахождения решений неравенств.

  • неравенство может не иметь решений. К примеру: z 2 < - 2 . В самом деле, при любом действительном значении переменной z , мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше - 2 .
  • неравенство может иметь лишь одно решение. Например, неравенство f = 1 ≤ 0 имеет решение f = 1 , и оно единственно;
  • неравенство может иметь конечное количество решений: три, шесть и т.п. Как пример, рассмотрим неравенство | x 2 — 1 | ≤ 0 , решений которого существует ровно два: 1 и — 1 ;
  • неравенство может иметь бесконечно много решений. Например: t > 5 . Решением данного неравенства станет любое действительное число, большее 5 : 13 , 87 , 601 , 8 2 5 и т.п.

Все вышесказанное верно и для неравенств с двумя, тремя и более переменными.

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений заданных переменных, при которых исходное неравенство с переменными преобразуется в верное числовое неравенство.

В качестве примера рассмотрим неравенство с двумя переменными y и z : y + 1 > 2 · z . Пара значений переменных y и z : 1 и 0 соответственно, являются решением заданного неравенства, поскольку подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 + 1 > 2 · 0 . В то же время пара значений y = 2 , z = 4 не будет служить решением исходного неравенства: их подстановка создаст неверное числовое неравенство 2 + 1 > 2 · 4 .

Пара значений переменных зачастую записывается в скобках наподобие координат точек в прямоугольной системе координат. Например, для вышеуказанного примера решение запишется так: ( 1 , 0 ) .

Все вышесказанное верно и для неравенств с большим количеством переменных.

Решение неравенства с тремя, четырьмя и более переменными – это тройка, четверка и т.п. значений заданных переменных, при которых исходное неравенство преобразуется в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим неравенство с четырьмя переменными a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 36 . Четверка значений этих переменных, такие как: a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 , являются решением исходного неравенства, поскольку, подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ≤ 36 .

Также рассмотрим такие понятия как «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Частное решение неравенства – это некоторое отдельно взятое решение исходного неравенства.

Общее решение неравенства – множество всех частных решений исходного неравенства.

Несмотря на частоту использования указанной терминологии, все же намного чаще применяют понятие решения неравенства без неких уточнений, наделяя при этом смыслом общего решения. В случае, когда необходимо определить отдельное решение, в исходном задании так и указывают.

Способ записи общего решения неравенства

Навык записи общего решения неравенства нужен для формирования ответа при решении задач. Сначала разберем принятые правила записи на примере решений неравенств с одной переменной.

Напомним, что решение неравенства с одной переменной – это либо число, либо множество чисел, т.е. числовое множество.

Когда равенство не имеет решений, пишут буквально – «нет решений», либо применяют знак пустого множества ∅ .

Когда общее решение – одно число, так его и записывают: 2 , — 1 , 15 ли 8 17 . А также можно заключить его в фигурные скобки.

Когда общее решение – несколько чисел (при этом их немного), нужно либо записать их по очереди, отделив запятой или точкой с запятой, либо – через запятую, заключив в фигурные скобки. Например: 6 , 12 , 4 5 или < 6 , 12 , 4 5 >.

Наконец, когда общее решение включает в себя бесконечно много решений, то применяют общепринятые обозначения множеств натуральных чисел ( N ) , целых чисел ( N ) , рациональных чисел ( Q ) , действительных чисел ( R ) , а также числовых промежутков, множеств отдельных чисел и т.п. В практике чаще встречаются простейшие неравенства и числовые промежутки. Пусть, решением некоторого неравенства станут: число 3 , полуинтервал ( 5 ; 9 ] и луч [ 13 ; + ∞ ) , тогда ответ запишется так: 3 , ( 5 , 9 ] , [ 13 , + ∞ ) , или: 3 ꓴ ( 5 , 9 ] ꓴ [ 13 , + ∞ ) , или: x = 3 , 5 < x ≤ 9 , x ≥ 13 .

Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, d – любое целое число, s равно 0 или 1 , t = — 3 , m = 17 .

Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: 2 · х — у ≥ 5 ; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: у = 2 · х — 5 .

Способ записи общего решения неравенства

Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.

2.7. Системы линейных неравенств

Что значит решить систему линейных неравенств? Ответ на этот вопрос зависит от количества переменных. У нас их две.

Решить систему линейных неравенств с двумя переменными – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат. Вспоминаем «рисунок двоечников», уменьшу его в размерах:
Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– и система задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно понятно, что «икс» не может быть одновременно больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может быть прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, это когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы, и это самый популярный вариант:

Задача 92

Решить систему линейных неравенств

Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно.

Решение: и то, что неравенств многовато, пугать не должно, главное придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)
2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полным боекомплектом»: . Так как прямые не самые простые, то сначала подбираем и указываем опорные точки для их построения:

Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. В тетради его достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом. Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (можете для интереса проверить).
Хорошим тоном считается найти координаты вершин, здесь они очевидны. Однако не лишним будет составить систему и убедиться, что точка — не фейк

Ответ: многоугольник с вершинами .

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 93

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

А вот здесь для нахождения некоторых вершин уже придётся решать системы, поскольку координаты точек не очевидны. И это, кстати, хороший способ проверить правильность чертежа. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения, но это не принципиально, главное, правильно определить и построить область.

Не удивляйтесь, что все неравенства нестрогие – именно они часто используются в прикладных задачах, например, в задачах линейного программирования.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Системы неравенств

Система неравенств представляет собой два или более неравенств, объединенных сбоку фигурной скобкой: $$ \begin x^2-3x \le 0, \\ x+6 \gt 9. \end $$ Решить систему неравенств значит найти все такие значения переменной \(x,\) которые удовлетворяют ОДНОВРЕМЕННО всем неравенствам, входящим в систему. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем выбрать \(x,\) которые являются решениями сразу всех неравенств. Другими словами, найти пересечение решений.

Учиться решать системы проще всего на примерах:
Пример 1 $$ \begin x-7 \lt 0, \\ x-8 \gt -9. \end $$ Система состоит из двух линейных неравенств. Решим каждое по отдельности: $$x-7 \lt 0;$$ $$x \lt 7;$$ Первое неравенство дает нам любые \(x,\) которые меньше \(7.\) Изобразим это на числовой прямой:

Решение простейшей системы неравенств

Решим второе неравенство: $$x-8 \gt -9;$$ $$x \gt -1;$$ Тут у нас получились любые \(x\) больше \((-1).\) Тоже рисуем числовую прямую:

Решение простейшей системы неравенств

А вот теперь самое интересное: перед нами задача не решить все неравенства в системе по отдельности, а решить систему из этих неравенств. Значит нужно найти пересечение решений, то есть такие значения \(x\), которые будут решениями и для первого неравенства, и для второго.

Проще всего найти пересечение при помощи той же числовой прямой. Изобразим на ней решения сразу обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства покажем сверху, а решение второго — снизу:

Пересечение решений неравенств

Из рисунка отлично видно область, где пересекаются решения. Я ее показал штриховкой. Нам остается только записать в ответ заштрихованную область. Так как оба неравенства в системе строгие, то на числовой прямой точки \(x=-1\) и \(x=7\) выколотые, а в ответе они будут в круглых скобках:
Ответ: \(x \in (-1;7).\)

Кто забыл, как правильно расставлять точки и скобки в неравенствах, рекомендую почитать про виды числовых промежутков в числовых неравенствах.

Пример 2 $$ \begin 2x-1 \ge 3, \\ 3x-1 \lt 11. \end $$ Решаем первое неравенство: $$2x-1 \ge 3;$$ $$2x \ge 3+1;$$ $$2x \ge 4;$$ $$x \ge 2;$$ Решаем второе неравенство: $$3x-1 \lt 11;$$ $$3x \lt 12;$$ $$x \lt 4;$$ Ищем пересечение решений на числовой прямой. Решение первого неравенства отмечаем сверху, а решение второго — снизу. Их пересечение обозначим штриховкой:

Пересечение решений неравенств

Обратите внимание на точки. Точка \(x=2\) закрашенная, так как первое неравенство нестрогое, а точка \(x=4\) выколотая, так как второе неравенство строгое.
Ответ: \(x \in [2;4).\)

Разберем теперь систему, где присутствуют не только линейные неравенства. Несмотря на то, что тип неравенств меняется, алгоритм решений будут аналогичен предыдущим примерам:

Пример 3 $$ \begin 4x^2+9x-9 \le 0, \\ \frac \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$4x^2+9x-9 \le 0;$$ Это квадратное неравенство, его можно решить при помощи параболы или методом интервалов. Мы решим методом интервалов. Находим корни через дискриминант, раскладываем квадратный многочлен на множители и решаем получившееся неравенство методом интервалов:
Итак, выпишем коэффициенты и находим корни через дискриминант: $$a=4; \; b=9; \; c=-9;$$ $$D=b^2-4ac=9^2-4*4*(-9)=81+144=225;$$ $$x_1=\frac>=\frac>=\frac=\frac;$$ $$x_2=\frac>=\frac>=\frac=-3;$$ Раскладываем квадратный многочлен на множители по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$ где \(x_1\) и \(x_2\) — это корни квадратного многочлена; $$4(x-\frac)(x+3) \le 0;$$ На числовой прямой отмечаем корни и расставляем знаки:

Метод интервалов при решении систем неравенств

Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Решением этого неравенства будет интервал с минусом: $$x \in [-3;\frac].$$ Теперь решим второе неравенство в системе: $$\frac \lt 0;$$ Дробь будет меньше нуля только в том случае, когда и числитель, и знаменатель разных знаков. В знаменателе положительная двойка, значит числитель должен быть отрицательным: $$x+1 \lt 0;$$ $$x \lt -1;$$ Рисуем числовую ось, на ней отмечаем решение обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства отмечаем сверху, второго — снизу:

Системы неравенств

Заштрихуем область, на которой оба решения пересекаются, и выписываем ответ:
Ответ: \(x \in [-3;-1).\)

Пример 4 $$ \begin x^2-4x+3 \ge 0, \\ x^2—x-6 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+3 \ge 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_1=\frac>=\frac=3;$$ $$x_1=\frac>=\frac=1;$$ Раскладываем левую часть неравенства на множители: $$(x-3)(x-1) \ge 0;$$ Решаем методом интервалов:

Системы неравенств

Системы неравенств

$$x \in (-2;3);$$ Отдельно решили каждое неравенство в системе, теперь найдем пересечение их решений:

Системы неравенств

$$x \in (-2;1];$$ Внимательно следите за выколотыми и закрашенными точками. Например, точка \(x=3\) есть и в решении первого неравенства, и в решении второго, но так как в одном из решений она выколотая (в круглой скобке), значит ее не должно быть в ответе системы.
Ответ: \(x \in (-2;1].\)

Пример 5 $$ \begin x^2-4x+4 \le 0, \\ x^2—4x-5 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+4 \le 0;$$ $$D=(-4)^2-4*4=16-16=0;$$ Если дискриминант получается равен нулю, это означает, что перед вами формула полного квадрата: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\) Внимательный читатель мог ее заметить сразу, без нахождения дискриминанта.
Воспользуемся формулой: $$(x-2)^2 \le 0;$$ Квадрат всегда больше или равен нуля. Какое бы значение \(x\) мы не подставили, при возведении в квадрат всегда будет получаться неотрицательное число. Значит это неравенство не имеет решений? Обратите внимание, что неравенство нестрогое: да, левая часть не может быть меньше нуля из-за квадрата, но равняться нулю она может. Значит решением этого неравенства будет единственная точка: $$x=2;$$ при которой левая часть обращается в нуль. При всех остальных значениях \(x\) левая часть неравенства будет положительной, что не подходит.

Решаем второе неравенство: $$x^2—4x-5 \lt 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36;$$ $$x_1=\frac>=\frac=5;$$ $$x_2=\frac>=\frac=-1;$$ Раскладываем квадратный многочлен множители: $$(x-5)(x+1) \lt 0;$$

Системы неравенств

$$x\in (-1;5);$$ Оба неравенства из системы решены. Отмечаем их решения на одной числовой прямой:

Системы неравенств

Так как решение первого неравенства всего лишь одна точка и она лежит внутри решения второго неравенства, то решением всей системы будет только эта одна точка:
Ответ: \(x=2.\)

Часто при нахождении ОДЗ приходится сталкиваться с системами, в которых одно из неравенств либо не имеет решений, либо, наоборот, справедливо при любых \(x.\) Разберем сейчас, как сказываются такие неравенства на корнях всей системы:

Пример 6 $$ \begin 2x^2+3x+9 \ge 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$2x^2+3x+9 \le 0$$ $$a=2; \; b=3; \; c=9; $$ $$D=3^2-4*2*9=9-72=-63 \lt 0;$$ Итак, мы получили отрицательный дискриминант, это значит, что левая часть неравенства либо всегда положительна при любых \(x\), либо всегда отрицательна. Определить это можно по коэффициенту \(a\) перед \(x^2.\) Если \(a \gt 0,\) левая часть неравенства всегда положительна, если \(a \lt 0,\) то левая часть всегда отрицательна. Подробно про это можно почитать в статье про решение квадратных неравенств: $$a=2 \gt 0;$$ В нашем случае левая часть неравенства будет положительна при любых значениях \(x.\) А значит решением первого неравенства будут любые \(x.\)

Решаем второе неравенство: $$6x^2+2x-8 \lt 0$$ $$a=6; \; b=2; \; c=-8; $$ $$D=2^2-4*6*(-8)=4+192=196;$$ $$x_1=\frac>=\frac=1;$$ $$x_2=\frac>=\frac=-\frac;$$ Раскладываем на множители: $$6(x-1)(x+\frac) \lt 0;$$ И решаем методом интервалов:

Системы неравенств

$$x \in (-\frac;1);$$ Так как решением первого неравенства в системе были любые \(x,\) то они никак не влияют на решение всей системы. Другими словами, пересечением решений обоих неравенств в системе будет просто решение второго неравенства:
Ответ: \(x \in (-\frac;1) .\)

Пример 7 $$ \begin 2x^2+3x+9 \le 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end $$ Решим аналогичную примеру №6 систему неравенств, только изменим знак первого неравенства с больше или равно на меньше или равно.

В таком случае решение первого неравенства кардинально меняется. Как мы только что выяснили в примере №6, левая часть первого неравенства всегда положительна, она не может быть меньше нуля ни при каких \(x.\)

Таким образом, первое неравенство не имеет корней. А если хотя бы одно неравенство в системе не имеет корней, то и вся система не будет иметь решений, ведь невозможно найти такие значения \(x,\) при которых будут верны все неравенства в системе.
Ответ: Нет корней.

Системы иррациональных неравенств

Рассмотрим непростой пример системы иррациональных неравенств:
Пример 8 $$ \begin x+\sqrt \lt \sqrt, \\ x+\sqrt \lt \sqrt. \end $$ Из первого неравенства получаем: $$x \lt \sqrt-\sqrt;$$ Из второго: $$x \lt \sqrt-\sqrt$$ Правые части обоих неравенств мы посчитать не можем, так как они иррациональные.
Разве что с помощью калькулятора, но пользоваться на математике им нельзя. Поэтому оставляем как есть.

Отметим теперь оба решения на числовой прямой. Но тут мы сталкиваемся с проблемой: какое значение больше — \((\sqrt-\sqrt)\) или \((\sqrt-\sqrt)?\) От этого зависит, какая точка будет правее на числовой прямой.

Обращаем внимание, что оба этих выражения отрицательны, так как: $$\sqrt \gt \sqrt \quad и \quad \sqrt \gt \sqrt;$$ Удобнее работать с положительными числами, поэтому умножим их оба на \((-1):\) $$\sqrt-\sqrt \; ?? \;\sqrt-\sqrt;$$ Не забываем, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства меняется на противоположный. Учтем этот факт в конце. Чтобы сравнить два иррациональных выражения, возведем их оба в квадрат: $$(\sqrt-\sqrt)^2 \; ?? \; (\sqrt-\sqrt)^2;$$ $$7-2\sqrt*\sqrt +3 \; ?? \; 6-2\sqrt*\sqrt+2;$$ $$10-2\sqrt*\sqrt \; ?? \; 8-2\sqrt*\sqrt;$$ Разделим левую и правую часть на \(2\) и перемножим квадратные корни: $$5-\sqrt \; ?? \; 4-\sqrt;$$ Вычтем из обеих частей \(4:\) $$1-\sqrt \; ?? \; -\sqrt;$$ Опять левая и правая части отрицательны — домножаем на \((-1):\) $$-1+\sqrt \; ?? \; \sqrt;$$ Еще раз возводим в квадрат: $$(-1+\sqrt)^2 \; ?? \; (\sqrt)^2;$$ $$1-2\sqrt+21 \; ?? \; 12;$$ $$22-2\sqrt \; ?? \; 12;$$ Вычитаем из обеих частей \(12\) и прибавляем \(2\sqrt:\) $$10\; ?? \; 2\sqrt;$$ И последний раз возводим в квадрат: $$100\; ?? \; 4*21;$$ $$100 \; > \; 84;$$ Получили, что левая часть больше, чем правая. Я писал до этого, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства должен меняться на противоположный, но так как мы умножали по ходу решения целых 2 раза, то знак неравенства остается прежним: $$\sqrt-\sqrt > \sqrt-\sqrt;$$ Возвращаемся к решению системы. Отмечаем на числовой прямой иррациональные выражения. Знаки неравенства строгие, поэтому все точки будут выколотые:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *