Откуда берутся 2 корня в декремент
Перейти к содержимому

Откуда берутся 2 корня в декремент

  • автор:

Базовые операторы, математика

Многие операторы знакомы нам ещё со школы: сложение + , умножение * , вычитание — и так далее.

В этой главе мы начнём с простых операторов, а потом сконцентрируемся на специфических для JavaScript аспектах, которые не проходят в школьном курсе арифметики.

Термины: «унарный», «бинарный», «операнд»

Прежде, чем мы двинемся дальше, давайте разберёмся с терминологией.

  • Операнд – то, к чему применяется оператор. Например, в умножении 5 * 2 есть два операнда: левый операнд равен 5 , а правый операнд равен 2 . Иногда их называют «аргументами» вместо «операндов».
  • Унарным называется оператор, который применяется к одному операнду. Например, оператор унарный минус «-» меняет знак числа на противоположный:

let x = 1; x = -x; alert( x ); // -1, применили унарный минус
let x = 1, y = 3; alert( y - x ); // 2, бинарный минус вычитает значения

Математика

Поддерживаются следующие математические операторы:

  • Сложение + ,
  • Вычитание — ,
  • Умножение * ,
  • Деление / ,
  • Взятие остатка от деления % ,
  • Возведение в степень ** .

Первые четыре оператора очевидны, а про % и ** стоит сказать несколько слов.

Взятие остатка %

Оператор взятия остатка % , несмотря на обозначение, никакого отношения к процентам не имеет.

Результат a % b – это остаток от целочисленного деления a на b .

alert( 5 % 2 ); // 1, остаток от деления 5 на 2 alert( 8 % 3 ); // 2, остаток от деления 8 на 3 alert( 8 % 4 ); // 0, остаток от деления 8 на 4

Возведение в степень **

Оператор возведения в степень a ** b возводит a в степень b .

В школьной математике мы записываем это как a b .

alert( 2 ** 2 ); // 2² = 4 alert( 2 ** 3 ); // 2³ = 8 alert( 2 ** 4 ); // 2⁴ = 16

Математически, оператор работает и для нецелых чисел. Например, квадратный корень является возведением в степень ½:

alert( 4 ** (1/2) ); // 2 (степень 1/2 эквивалентна взятию квадратного корня)

Сложение строк при помощи бинарного +

Давайте рассмотрим специальные возможности операторов JavaScript, которые выходят за рамки школьной арифметики.

Обычно при помощи плюса ‘+’ складывают числа.

Но если бинарный оператор ‘+’ применить к строкам, то он их объединяет в одну:

let s = "моя" + "строка"; alert(s); // моястрока

Обратите внимание, если хотя бы один операнд является строкой, то второй будет также преобразован в строку.

alert( '1' + 2 ); // "12" alert( 2 + '1' ); // "21"

Как видите, не важно, первый или второй операнд является строкой.

Вот пример посложнее:

alert(2 + 2 + '1' ); // будет "41", а не "221"

Здесь операторы работают один за другим. Первый + складывает два числа и возвращает 4 , затем следующий + объединяет результат со строкой, производя действие 4 + ‘1’ = ’41’ .

Сложение и преобразование строк — это особенность бинарного плюса + . Другие арифметические операторы работают только с числами и всегда преобразуют операнды в числа.

Например, вычитание и деление:

alert( 6 - '2' ); // 4, '2' приводится к числу alert( '6' / '2' ); // 3, оба операнда приводятся к числам

Приведение к числу, унарный +

Плюс + существует в двух формах: бинарной, которую мы использовали выше, и унарной.

Унарный, то есть применённый к одному значению, плюс + ничего не делает с числами. Но если операнд не число, унарный плюс преобразует его в число.

// Не влияет на числа let x = 1; alert( +x ); // 1 let y = -2; alert( +y ); // -2 // Преобразует не числа в числа alert( +true ); // 1 alert( +"" ); // 0

На самом деле это то же самое, что и Number(. ) , только короче.

Необходимость преобразовывать строки в числа возникает очень часто. Например, обычно значения полей HTML-формы — это строки. А что, если их нужно, к примеру, сложить?

Бинарный плюс сложит их как строки:

let apples = "2"; let oranges = "3"; alert( apples + oranges ); // "23", так как бинарный плюс объединяет строки

Поэтому используем унарный плюс, чтобы преобразовать к числу:

let apples = "2"; let oranges = "3"; // оба операнда предварительно преобразованы в числа alert( +apples + +oranges ); // 5 // более длинный вариант // alert( Number(apples) + Number(oranges) ); // 5

С точки зрения математики, такое изобилие плюсов выглядит странным. Но с точки зрения программиста тут нет ничего особенного: сначала выполнятся унарные плюсы, которые приведут строки к числам, а затем бинарный ‘+’ их сложит.

Почему унарные плюсы выполнились до бинарного сложения? Как мы сейчас увидим, дело в их приоритете.

Приоритет операторов

В том случае, если в выражении есть несколько операторов – порядок их выполнения определяется приоритетом, или, другими словами, существует определённый порядок выполнения операторов.

Из школы мы знаем, что умножение в выражении 1 + 2 * 2 выполнится раньше сложения. Это как раз и есть «приоритет». Говорят, что умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение.

Скобки важнее, чем приоритет, так что, если мы не удовлетворены порядком по умолчанию, мы можем использовать их, чтобы изменить приоритет. Например, написать (1 + 2) * 2 .

В JavaScript много операторов. Каждый оператор имеет соответствующий номер приоритета. Тот, у кого это число больше, – выполнится раньше. Если приоритет одинаковый, то порядок выполнения – слева направо.

Отрывок из таблицы приоритетов (нет необходимости всё запоминать, обратите внимание, что приоритет унарных операторов выше, чем соответствующих бинарных):

Приоритет Название Обозначение
15 унарный плюс +
15 унарный минус
14 возведение в степень **
13 умножение *
13 деление /
12 сложение +
12 вычитание
2 присваивание =

Так как «унарный плюс» имеет приоритет 15 , который выше, чем 12 у «сложения» (бинарный плюс), то в выражении «+apples + +oranges» сначала выполнятся унарные плюсы, а затем сложение.

Присваивание

Давайте отметим, что в таблице приоритетов также есть оператор присваивания = . У него один из самых низких приоритетов: 2 .

Именно поэтому, когда переменной что-либо присваивают, например, x = 2 * 2 + 1 , то сначала выполнится арифметика, а уже затем произойдёт присваивание = с сохранением результата в x .

let x = 2 * 2 + 1; alert( x ); // 5

Присваивание = возвращает значение

Тот факт, что = является оператором, а не «магической» конструкцией языка, имеет интересные последствия.

Большинство операторов в JavaScript возвращают значение. Для некоторых это очевидно, например сложение + или умножение * . Но и оператор присваивания не является исключением.

Вызов x = value записывает value в x и возвращает его.

Благодаря этому присваивание можно использовать как часть более сложного выражения:

let a = 1; let b = 2; let c = 3 - (a = b + 1); alert( a ); // 3 alert( c ); // 0

В примере выше результатом (a = b + 1) будет значение, которое присваивается переменной a (то есть 3 ). Потом оно используется для дальнейших вычислений.

Забавное применение присваивания, не так ли? Нам нужно понимать, как это работает, потому что иногда это можно увидеть в JavaScript-библиотеках.

Однако писать самим в таком стиле не рекомендуется. Такие трюки не сделают ваш код более понятным или читабельным.

Присваивание по цепочке

Рассмотрим ещё одну интересную возможность: цепочку присваиваний.

let a, b, c; a = b = c = 2 + 2; alert( a ); // 4 alert( b ); // 4 alert( c ); // 4

Такое присваивание работает справа налево. Сначала вычисляется самое правое выражение 2 + 2 , и затем результат присваивается переменным слева: c , b и a . В конце у всех переменных будет одно значение.

Опять-таки, чтобы код читался легче, лучше разделять подобные конструкции на несколько строчек:

c = 2 + 2; b = c; a = c;

Польза от такого стиля особенно ощущается при быстром просмотре кода.

Сокращённая арифметика с присваиванием

Часто нужно применить оператор к переменной и сохранить результат в ней же.

let n = 2; n = n + 5; n = n * 2;

Эту запись можно укоротить при помощи совмещённых операторов += и *= :

let n = 2; n += 5; // теперь n = 7 (работает как n = n + 5) n *= 2; // теперь n = 14 (работает как n = n * 2) alert( n ); // 14

Подобные краткие формы записи существуют для всех арифметических и побитовых операторов: /= , -= , **= и так далее.

Вызов с присваиванием имеет в точности такой же приоритет, как обычное присваивание, то есть выполнится после большинства других операций:

let n = 2; n *= 3 + 5; alert( n ); // 16 (сначала выполнится правая часть, выражение идентично n *= 8)

Инкремент/декремент

Одной из наиболее частых числовых операций является увеличение или уменьшение на единицу.

Для этого существуют даже специальные операторы:

    Инкремент ++ увеличивает переменную на 1:

let counter = 2; counter++; // работает как counter = counter + 1, просто запись короче alert( counter ); // 3
let counter = 2; counter--; // работает как counter = counter - 1, просто запись короче alert( counter ); // 1

Инкремент/декремент можно применить только к переменной. Попытка использовать его на значении, типа 5++, приведёт к ошибке.

Операторы ++ и — могут быть расположены не только после, но и до переменной.

  • Когда оператор идёт после переменной — это «постфиксная форма»: counter++ .
  • «Префиксная форма» — это когда оператор идёт перед переменной: ++counter .

Обе эти инструкции делают одно и то же: увеличивают counter на 1 .

Есть ли разница между ними? Да, но увидеть её мы сможем, только если будем использовать значение, которое возвращают ++/— .

Давайте проясним этот момент. Как мы знаем, все операторы возвращают значение. Операторы инкремента/декремента не исключение. Префиксная форма возвращает новое значение, в то время как постфиксная форма возвращает старое (до увеличения/уменьшения числа).

Чтобы увидеть разницу, вот небольшой пример:

let counter = 1; let a = ++counter; // (*) alert(a); // 2

В строке (*) префиксная форма ++counter увеличивает counter и возвращает новое значение 2 . Так что alert покажет 2 .

Теперь посмотрим на постфиксную форму:

let counter = 1; let a = counter++; // (*) меняем ++counter на counter++ alert(a); // 1

В строке (*) постфиксная форма counter++ также увеличивает counter , но возвращает старое значение (которое было до увеличения). Так что alert покажет 1 .

    Если результат оператора не используется, а нужно только увеличить/уменьшить переменную, тогда без разницы, какую форму использовать:

let counter = 0; counter++; ++counter; alert( counter ); // 2, обе строки сделали одно и то же

Откуда берутся 2 корня в декремент

Колебательный контур является типичным представителем резонансных колебательных систем, играющих важную роль в большинстве разделов физики — в механике это различного типа маятники и звуковые резонаторы (струны, мембраны, трубы, свистки, органы), в электродинамике — колебательные контуры, закрытые и открытые резонаторы с распределенными параметрами, в оптике — лазерные резонаторы, эталоны Фабри — Перо и т.д. Принципы описания всех колебательных систем настолько общи, что теория колебаний стала самостоятельным разделом физики. Поэтому изучение параметров, свойств и характеристик колебательного контура полезно рассматривать как общее введение в мир резонансных колебательных систем.

В теории колебаний выделяются два класса явлений — явления в линейных и нелинейных колебательных системах. Линейными называются такие системы, параметры которых не зависят от амплитуды колебаний. Например, для маятников это означает такие малые колебания, при которых упругость пружин и стержней не зависит от амплитуды колебания, а натяжение нити подвеса определяется только гравитационными силами. Для электрических колебательных контуров независимыми от амплитуды токов и напряжений должны оставаться такие величины, как индуктивность $L$, емкость $C$ и сопротивление $R$.

Резонансные системы имеют два важных свойства.

Свойство избирательно реагировать на внешние источники сигналов, выделяя только те из них, частоты которых совпадают с собственной частотой колебательной системы.

Свойство запасать энергию колебаний, возбужденных внешним источником, поддерживая колебания в течение определенного времени после выключения внешнего источника.

Колебательный контур характеризуется двумя основными параметрами: частотой собственных (резонансных) колебаний $\omega _ $ и добротностью $Q$, характеризующей отношение мощности энергии собственного колебания к мощности потерь за период.

На рис. 18 приведены примеры «параллелей» электрических и механических колебательных систем. В электрических резонаторах происходит периодический переход электрической энергии, запасенной в конденсаторе $(W_Э =\frac 12 CU^2),$ в магнитную энергию катушки индуктивности $(W_M =\frac 12 LI^2)$ и обратно. В маятниках происходит аналогичный циклический переход энергии из потенциальной (поднятого груза или сжатой пружины) в кинетическую и обратно.

Свободные колебания происходят в замкнутой цепи без вынуждающей силы (рис. 19,а). Согласно второму закону Кирхгофа для такой цепи можно написать: $$ R\cdot I+U_ =-L\cdot \frac. $$ Выражая $U_ $ через заряд $q$, получим уравнение

$$ R\cdot I+L\cdot \frac +\frac =0 \ \ \ \mbox < (СИ). >$$ Дифференцируя по времени и учитывая равенство $I=\frac $, получаем $$ L\frac I> > +R\frac +\frac =0 \ \ \ \mbox < (СИ). >$$ Разделив на $L$ и вводя обозначения $\delta =\frac $ и $\omega _^ =\frac $, получим общее уравнение для свободных колебаний линейной резонансной системы: $$ I»+2\delta \, I’+\omega _^ I=0, $$ где параметр $\delta $ называется затухание, а параметр $\omega _ $ — собственная частота, или частота свободных колебаний. Оно решается подстановкой $I=A\cdot e^ $, которая приводит к характеристическому уравнению $$ -\omega ^ +2i\omega \, \delta +\omega _^ =0, $$ с решением $$ \lambda \, _ =i\, \delta \pm \sqrt<\omega _^ -\delta ^ > . $$ Общее решение имеет две составляющие $$ I=A\cdot e^ +B\cdot e^ . $$ Константы $A$ и $B$ определяются начальными данными задачи, например, зарядом $q_ $ или напряжением на конденсаторе $U_ $. Характер начальных данных определяется конкретной физической системой.

Частный пример схемы для возбуждения свободных колебаний в колебательном контуре приведен на рис. 19,б. Конденсатор $C$ заряжается от батареи до напряжения $U_ $ (положение «а» переключателя), а затем переключается в точку «б». Свободные колебания будут представлять собой циклический переход энергии электрического поля (в конденсаторе) в энергию магнитного поля (в индуктивности) и обратно.

Подставив найденные значения $A$ и $B$, получим общее решение для свободных колебаний в контуре $$ I=i\frac >^ -\delta ^ > > e^ \frac^ -\delta ^ > \, t> -e^<-i\sqrt<\omega _<0>^ -\delta ^ > \, t> > . $$

Если бы колебательный контур состоял только из идеальных (без потерь) реактивных элементов (индуктивности $L$ и емкости $C$), то переход энергии из электрической в магнитную и обратно совершался бы без потерь, а в контуре существовали бы незатухающие свободные колебания с собственной частотой $\omega _ =2\pi \, f=\sqrt>.$

Наличие в схеме активного элемента $R$ приводит к тому, что часть энергии за каждый период переходит в тепло и колебания затухают с некоторой постоянной времени $\tau $. Роль частоты в уравнении теперь играет величина $\omega _

=\sqrt<\omega _<0>^ -\delta ^ > $, зависящая от отношения реактивной мощности к потерям на активном сопротивлении $R$. При этом вовсе не обязательно в схему должен быть включен отдельный резистор. В его качестве может выступать, например, омическое сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности, а также сопротивление утечки изоляторов конденсатора. Кроме того, часть энергии колебаний может излучаться контуром в окружающее пространство в виде электромагнитной волны. На этом основано действие так называемых связанных контуров: если вблизи данного колебательного контура расположен другой, то в нем «наводятся» (возникают) колебания за счет того, что часть энергии трансформируется из первого контура во второй. Передача энергии совершается переменным электромагнитным полем, возникающим вокруг первого контура.

Если затухание мало, т. е. $\delta <\omega _$, то мы получаем уравнение слабо затухающих колебаний в виде $$ I=-\frac > > e^ \sin \omega _

t=-I_ e^ \sin \omega _

t. $$ При этом резонансная частота приближается к частоте собственных колебаний: $$ \omega _

=\sqrt<\omega _^ -\delta ^ > \approx \omega _ \left(1-\frac \frac <\delta ^><\omega _^ > \right). $$ Таким образом, при малом затухании резонансная частота практически совпадает с собственной, однако колебания при этом не являются гармоническими. Для гармонических колебаний должно соблюдаться условие $I\left(t\right)=I\left(t+T\right)$, где $T$ — период колебания. В нашем случае $I\left(t\right)\ne I\left(t+T\right)$, и о периоде можно говорить лишь как о времени, через которое повторяются нули функции (рис. 20). Именно в этом смысле мы будем ниже использовать термин «период колебаний».

Введем понятия добротности $Q$ и логарифмического декремента затухания $\gamma $ контура. Из отношение амплитуд $n$–того и $(n + k)$–го колебаний равно $I_ I_^ = e^$, где $T=2\, \pi \omega ^ $ — период колебания («повторения нулей»). Логарифмическим декрементом затухания $\gamma $ называется величина $$ \gamma =\delta \, T=\frac \ln \frac =\ln \frac > . $$ Из уравнения для тока видно, что величина $\delta $ обратно пропорциональна времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в $e$ раз. Из последнего уравнения следует, что декремент затухания $\gamma $ показывает уменьшение амплитуды за период колебания: $$ \gamma =\delta \, T=\frac <\omega >. $$ С логарифмическим коэффициентом затухания однозначно связан другой, более распространенный параметр, характеризующий колебательную систему, добротность $Q$.

Добротность контура $Q$ определяется соотношением $$ Q=\frac <\omega _<0>L> =\frac <\omega _<0>CR> =\frac, $$ где $\rho =\sqrt $ (СИ). Физический смысл добротности заключается в отношении запасенной в контуре энергии к энергии потерь за период колебания $$ Q=\omega \cdot \frac, $$ откуда можно найти связь добротности с другими параметрами контура $$ Q=\frac<\pi > <\gamma >=\frac<\pi > =\frac<\omega > =\omega \frac \ \ \ \mbox < (СИ).>$$

Экспериментально добротность определяется по резонансной кривой как отношение резонансной частоты $\omega _

$ к полосе частот $2\cdot \Delta \omega $, определяемой на уровне $U_ =\pm \frac>$: $$ Q=\frac<\omega _<з>> =\frac> , $$ где $U_

$ — амплитуда колебания на резонансной частоте контура. Величина $\rho =\sqrt$ называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура.

При большом затухании, т.е. при $\delta >\omega _ $, величина $\omega _^ -\delta ^ $ отрицательна, корень из нее мнимый. Такой случай называется апериодическим процессом. Общее решение, аналогичное, полученному ранее, будет иметь вид $$ I=-\frac > e^ \mbox\sqrt <(\delta ^-\omega _^ )> \, t. $$ График этой функции приведен на рис. 21. Критическим условием, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс, является условие $\delta =\omega _ $. В этом случае решение общего уравнения имеет вид $$ I=-\frac <\omega L>(\omega t)e^ \, =-\frac t\, e^ . $$ Остается добавить, что аналогичные параметры могут быть введены для любой резонансной колебательной системы независимо от ее физической природы (механические, термодинамические, электромагнитные, оптические, аэро– и гидродинамические системы).

Вынужденные колебания

Колебательный контур, рассмотренный в предыдущем разделе, представлял собой замкнутую электрическую цепь, в которой совершаются свободные колебания.

В случае вынужденных колебаний мы должны подводить к контуру электрическую энергию от внешнего источника (генератора). Есть много способов для подключения источника внешней энергии к контуру, которые сводятся к той или иной комбинации двух основных: в разрыв цепи контура (рис. 22, а) или параллельно емкостной и индуктивной ветвям контура (рис. 22,б). В зависимости от способа включения различают соответственно последовательный (рис. 22,а) и параллельный (рис. 22,б) колебательные контуры. Они предъявляют разные требования к согласованию с генератором и нагрузкой. Поэтому нужно отличать собственные параметры контура от параметров нагруженного контура, получаемые с учетом влияния генератора и «нагрузки» (входного сопротивления той цепи, в которую включен контур). В параллельном контуре (рис. 22,б) возникает резонанс токов. Для его поддержания в качестве вынуждающей силы необходимо применение генератора стабильного тока. В последовательном контуре (рис. 22,а) имеет место резонанс напряжений, и для его поддержания должен применяться внешний генератор стабильного напряжения.

Вынужденные колебания в последовательном контуре, резонанс напряжений

Закон Кирхгофа, позволяющий исследовать процессы в контуре (рис. 22,а) в зависимости от частоты, записывается в виде $$ U=U_ +U_ +U_ =IR+iI(\omega L-\frac <\omega C>)=I\cdot Z. $$ Контур представляет для генератора некоторое комплексное сопротивление $$ Z=R_L +i\cdot (\omega L-\frac <\omega C>), $$ $$ \left|Z\right| = \sqrt)^2>, \ \ \ \ \mbox\varphi =\frac<\omega L-\frac <\omega C>> $$ где $\left|Z\right|$ — модуль комплексного сопротивления; $R_$ — омическое сопротивление катушки индуктивности; $\varphi $ — сдвиг фазы между активным и реактивным сопротивлениями, равный сдвигу фазы между током $I$ в цепи и входным напряжением $U$.

Из последнего выражения видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_ $ на некоторой частоте $\omega _ $, определяемой условием $$ \omega _0 L=\frac <\omega _0 C>, \ \ \ \mbox < где >\ \ \ \omega _ =\frac> \ \ \ \mbox < (СИ).>$$ Таким образом, на резонансной частоте сопротивление контура минимально, чисто активно, а ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (напряжением генератора). Фактически это и есть определение резонанса в последовательном колебательном контуре.

Для практических целей представляет интерес исследовать поведение напряжений на реактивных элементах контура в зависимости от частоты генератора и определить его добротность $Q$.

Поскольку фазы $U_ $ и $U_ $ независимо от частоты всегда сдвинуты относительно тока $I$ на $+$ и $-90^$ соответственно, то достаточно исследовать зависимость от частоты их модулей. Это можно сделать исходя из уравнений $$ U_ =IR, \ \ U_ =I\omega L, \ \ U_ =\frac<\omega C>, \ \ I=\frac . $$

Для примера раскроем уравнения для $I$ и $U_ $. Используя введенное для свободных колебаний понятие добротности $Q=\left(\omega _ RC\right)^$, получим следующее выражение для тока в последовательном контуре: $$ I=\frac +(\omega L-\frac <\omega C>)^ > > =\frac \frac <\sqrt<1+Q^(\frac<\omega > <\omega _> -\frac <\omega _> <\omega >)^ > > . $$ Тогда напряжение на индуктивности будет равно $$ U_ =\omega LI=U\frac <\omega _> > <\sqrt<1+Q^(\frac<\omega > <\omega _> -\frac <\omega _> <\omega >)^ > > . $$

Аналогичное уравнение можно получить для напряжения на $C$. При $\omega =\omega _ $ напряжения на $L$ и $C$ будут равны $U_ =U_ =Q\cdot U$, т.е. в $Q$ раз больше напряжения вынуждающей эдс.

На самом деле максимумы напряжения на элементах $L$ и $C$ несколько выше и смещены от резонансной частоты и выражаются следующими соотношениями: $$ \omega _ =\omega _ \sqrt C> > > =\omega _ \sqrt<2-\left(\frac<1> \right)^ > > , \ \ \ \omega _ =\frac<\omega _^ > <\omega _> . $$

При добротности контура $Q \ge 10$ сдвиг частот максимумов $U_ $ и $U_ $ относительно резонансной частоты $\omega _ $ не превышает 1% и экспериментально резонансную частоту и добротность можно определять по резонансной кривой любого из напряжений $U_ $ и $U_ $. Напряжение на реактивных элементах $U_ $ и $U_ $ при $\omega =\omega _ $ в $Q$ раз больше, чем входное напряжение $U$, поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

Важно отметить, что для нашего анализа существенно, что само входное напряжение $U$ от частоты не зависит. В противном случае все параметры зависели бы не только от самого контура, но и от параметров источника сигнала. Как было показано в предыдущем параграфе, для этого выходное сопротивление генератора должно быть много меньше $R$.

Вынужденные колебания в параллельном контуре, резонанс токов

Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21,б. Из–за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$ может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.

Комплексное сопротивление параллельного контура равно $$ Z=\frac Z_ > +Z_ > = \frac <(R_+i\omega L)(i\omega C)^> +i(\omega L-(\omega C)^ )> \approx \frac +i(\omega L-(\omega C)^)> . $$

Мы пренебрегли величиной $R_ $ в числителе, поскольку она в $Q$ раз меньше индуктивного сопротивления, но этого нельзя делать в знаменателе, поскольку при резонансе величина в скобках стремится к нулю.

Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного — равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$: $$ \omega _ L=\frac <\omega _C>, \ \ \mbox < где >\ \ \omega _ =\frac > \ \ \mbox < (СИ). >$$ Таким образом, при резонансе сопротивление контура становится чисто активным и равным $$ R_ =\frac < C R_> =\frac > , $$ где — $\rho =\sqrt $ волновое сопротивление контура.

Сопротивление $R_ $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $\rho $ и сопротивления потерь $R_ $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда–либо или к чему–нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_ $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $\rho $ и $R_ $, даваемой последней формулой.

Добротность параллельного контура $$ Q=\frac <\omega _L> > =\frac \omega _ C> =\frac > =R_ \sqrt > . $$

Собственные параметры параллельного контура, т.е. резонансная частота $\omega _ $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и $R_.$

Откуда берутся 2 корня в декремент

uchet-jkh.ru

Декремент — это важная характеристика, используемая в анализе и проектировании систем управления. Он представляет собой показатель, характеризующий скорость затухания колебаний системы после возмущения. Декремент имеет важное значение при определении степени устойчивости системы и ее способности восстанавливаться после возмущений.

Одним из ключевых понятий при изучении декремента является концепция его корней. В зависимости от уравнения колебательной системы, можно выделить два корня декремента: вещественные и комплексно-сопряженные корни декремента.

Вещественные корни декремента характеризуют колебания системы с затуханием. Они представляют собой действительные числа, которые определяют скорость, с которой колебания угасают. Эти корни имеют важное значение при анализе систем управления для определения их устойчивости.

Комплексно-сопряженные корни декремента являются мнимыми числами и указывают на осцилляционное поведение системы. Эти корни декремента используются в случаях, когда система имеет способность к «последовательным резонансам», что означает возможность сохранения энергии в системе в виде осцилляций без затухания.

Примером системы с двумя корнями декремента может служить колебательный контур, состоящий из индуктивности, ёмкости и сопротивления. В этой системе вещественные корни декремента указывают на устойчивость контура, а комплексно-сопряженные корни — на возможность появления осцилляций.

Происхождение декремента и корней

Декремент — это показатель затухания амплитуды колебаний в системе. Он является важным параметром при рассмотрении динамических процессов, таких как колебания, в особенности при анализе гармонических колебаний.

Существует несколько способов определения декремента, одним из которых является «декремент затухания» — отношение амплитуд амплитуды каждого последующего колебания к амплитуде предыдущего колебания. В зависимости от значения этих отношений можно выделить два типа декремента: декремент затухания больше единицы и декремент затухания меньше единицы.

Происхождение декремента и корней связано с решением уравнения затухающих колебаний. Уравнение затухающих колебаний имеет вид:

x(t) = A * e^(-δt) * cos(ωt + φ)

где A — амплитуда колебаний, δ — декремент затухания, ω — круговая частота колебаний, φ — начальная фаза колебаний.

Подставляя это уравнение в уравнение колебаний, получаем следующую характеристическую квадратичную функцию:

δ^2 — 2δωn + ωn^2 = 0

где ωn — собственная круговая частота системы.

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения δ1 и δ2, которые определяют декремент и корни уравнения. Если декремент больше единицы, то система имеет два корня действительных чисел, иначе система имеет два комплексных корня с отрицательной вещественной частью.

Примеры колебательных систем с различными значениями декремента и корней включают маятники, электрические контуры с помехами и многие другие системы, где затухание амплитуды играет важную роль в их динамике.

Декремент: понятие и объяснение

Декремент – это показатель затухания амплитуды колебаний в системе, то есть убывание амплитуды колебаний во времени.

Декремент является важным понятием в теории колебаний и используется для определения степени затухания колебательной системы. Он характеризуется двумя значениями: амплитудой на начальном моменте времени и амплитудой через определенное время, после того как система начала колебаться.

Декремент обычно обозначается символом δ и представляет собой отношение логарифма отношения амплитуды колебаний в начальный момент времени к логарифму отношения амплитуды через определенное время:

где A0 — начальная амплитуда колебаний, At — амплитуда колебаний через определенное время t, n — количество периодов колебаний, прошедших за это время.

Величина декремента позволяет оценить, насколько быстро затухают колебания в системе. Чем больше значение декремента, тем быстрее затухает амплитуда колебаний.

Декремент используется в различных областях, где изучаются колебания: в физике, инженерии, электронике и многих других.

История открытия декремента

Понятие «декремент» впервые появилось в связи с исследованием процессов затухания колебаний в различных системах. Концепция декремента возникла в середине 19 века, когда ученые стали интересоваться механизмами амортизации колебаний в механических системах.

Первым, кто провел систематическое исследование декремента, был французский физик Лоран Фурие. В 1828 году он разработал метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, включая уравнение гармонических колебаний с затуханием.

Фурие показал, что при затухании гармонических колебаний амплитуда колебаний убывает со временем. Он предложил ввести понятие «декремент» для измерения скорости затухания колебаний. Декремент определялся как отношение амплитуды двух последовательных колебаний.

В дальнейшем, исследования декремента были продолжены другими учеными. Великая русская математическая школа внесла значительный вклад в развитие этого понятия. Математики и физики исследовали декремент в различных системах, начиная от механических и электрических колебаний до оптических явлений и радиоволн.

Сегодня декремент используется широко в различных областях науки и техники. Он является важным инструментом для изучения затухания и амортизации колебаний, а также для анализа демпфирования в системах с движением. Знание декремента позволяет ученым оптимизировать параметры системы, чтобы достичь стабильности и эффективности ее работы.

Происхождение первого корня декремента

Декремент является одним из параметров, характеризующих затухание колебаний в колебательной системе. Он определяется как натуральный логарифм отношения амплитуды текущего колебания к амплитуде предыдущего колебания:

где D — декремент, An — амплитуда n-го колебания, An+1 — амплитуда следующего (n+1) колебания.

Если декремент равен нулю или меньше нуля, то ожидается, что амплитуда колебаний будет сохраняться и не затухать. Но бывают случаи, когда в системе происходит затухание, и декремент может быть равен нулю или меньше нуля. В таких случаях говорят о наличии 2 корней декремента.

Происхождение первого корня декремента заключается в том, что колебания системы имеют две частоты, одна из которых является действительной, а другая — мнимой. В результате, декремент может быть равен нулю или меньше нуля, что указывает на затухание колебаний, но система продолжает колебаться с положительной амплитудой.

Примерами систем, в которых возникает первый корень декремента, могут быть электрические цепи с резонансом, механические системы с нелинейной связью или неоднородными элементами.

Объяснение значения первого корня декремента

Первый корень декремента – это параметр, описывающий затухание колебаний в системе. Он определяется как отношение логарифма натурального числа к двойной амплитуде колебаний и периоду колебаний:

Первый корень декремента (ПКД) = ln(амплитуда1 / амплитуда2) / (2π * n)

  • амплитуда1 – амплитуда первого колебания
  • амплитуда2 – амплитуда второго колебания
  • n – количество периодов колебаний между измерениями амплитуды

Значение первого корня декремента позволяет оценить, насколько быстро затухают колебания в системе. Если значение ПКД больше нуля, то колебания затухают, а если оно равно нулю, то колебания не затухают и система находится в резонансе.

Зная значение ПКД, можно также определить значение декремента затухания, которое характеризует скорость затухания колебаний в системе.

Период колебаний (T) Амплитуда первого колебания (A1) Амплитуда второго колебания (A2) Количество периодов между измерениями (n) Первый корень декремента (ПКД) Декремент затухания (Δ)
1 секунда 5 м 2 м 10 ln(5/2) / (2π * 10) ≈ 0.032 -ln(5/2) / (2π * 10) ≈ -0.032

В данном примере, значение первого корня декремента равно примерно 0.032. Это означает, что колебания в системе будут затухать со временем.

Таким образом, первый корень декремента является важным параметром для анализа затухания колебаний в системе и позволяет оценить скорость этого затухания.

Примеры использования первого корня декремента:

Первый корень декремента часто используется в сфере физики и инженерии для анализа затухающих колебаний. Декремент — это мера затухания колебаний или амплитудного уменьшения в процессе колебаний. Использование первого корня декремента позволяет определить скорость затухания колебаний и оценить потери энергии в системе.

Вот несколько примеров использования первого корня декремента:

  1. Аккумуляторная батарея: При зарядке аккумуляторной батареи, первый корень декремента может использоваться для оценки времени затухания напряжения в батарее после прекращения зарядки. Это позволяет определить, когда батарея полностью заряжена.
  2. Колебательный контур: В колебательных контурах, первый корень декремента используется для определения коэффициента потерь энергии и качества колебаний. Он позволяет оценить, насколько эффективно контур сохраняет энергию в процессе колебаний и как быстро происходит затухание амплитуды.
  3. Механические колебания: В механических системах, первый корень декремента используется для измерения затухания амплитуды колебаний. Это особенно полезно при изучении демпфированных колебаний в резонансных системах или при анализе демпфированных возмущений в маятниках и пружинных системах.

Таким образом, использование первого корня декремента является важным инструментом для оценки потерь энергии и затухания колебаний в различных физических и инженерных системах.

Происхождение второго корня декремента

Декремент – это параметр, используемый в теории автоматического регулирования для описания устойчивости линейных динамических систем. Он представляет собой отражение скорости затухания колебаний в системе и определяет время, за которое амплитуда колебаний уменьшится на фактор e (экспонента).

Обычно декремент имеет только один корень, который определяет скорость затухания колебаний. Однако, в некоторых случаях могут возникать системы с двумя корнями декремента, что приводит к более сложной динамике системы.

Происхождение второго корня декремента может быть связано со следующими причинами:

  1. Мультипликативное возмущение: Данное возмущение может произойти, когда входной сигнал умножается на функцию, которая не убывает с течением времени. Это может привести к появлению дополнительного корня декремента.
  2. Раздельные каналы: В случае, когда система имеет несколько отдельных каналов, каждый из которых вносит свой вклад в декремент, может возникнуть ситуация, когда каждый канал имеет свой корень декремента.
  3. Коэффициенты при полях состояния: В системе с нелинейными коэффициентами при полях состояния может возникнуть ситуация, когда корни декремента могут иметь разные значения.

Примером системы с двумя корнями декремента может быть параллельное соединение двух одинаковых неамортизированных электрических контуров. В этом случае каждый контур отвечает за свой собственный корень декремента, что приводит к появлению двух корней.

Пример системы с двумя корнями декремента

В данном примере, каждый контур имеет свою собственную емкость C и сопротивление R, вносящие свой вклад в декремент системы.

Таким образом, происхождение второго корня декремента может быть связано с различными факторами, включая мультипликативные возмущения, раздельные каналы и нелинейные коэффициенты при полях состояния.

Объяснение значения второго корня декремента

Декремент — это показатель затухания амплитуды автоколебаний в колебательной системе. Выражается он через отношение натурального логарифма амплитуды| y(t)| автоколебаний на n-ом и (n+1)-ом колебаниях:

Декремент может иметь два различных корня: δ1 и δ2. Второй корень декремента, δ2, имеет меньшее значение и является более значимым в контексте анализа динамики системы. Он используется для определения количества колебаний, необходимых для затухания амплитуды в e раз.

Значение второго корня декремента зависит от различных факторов, таких как затухание, жесткость и масса системы, а также величина потерь в системе. Он позволяет определить, насколько быстро происходит затухание амплитуды в системе и насколько быстро колебания переходят из режима автоколебаний в режим затухания.

Выбор метода расчета второго корня декремента может быть обусловлен конкретными требованиями и целями анализа. Одним из распространенных методов является использование графиков, построенных на основе экспериментальных данных или математических моделей системы.

Важно отметить, что значение второго корня декремента должно быть интерпретировано в контексте конкретной системы и учета ее особенностей. Оно может быть использовано для определения устойчивости системы, ее частотных свойств и возможных проблем, связанных с затуханием амплитуды и долговечностью автоколебаний.

Примеры использования второго корня декремента

Второй корень декремента является важным инструментом в анализе колебательных систем, а также в измерении времени релаксации и достоверности отклика. Приведены некоторые примеры использования второго корня декремента:

  1. Определение амплитудно-частотной характеристики: Второй корень декремента позволяет определить зависимость амплитуды колебаний системы от частоты возбуждающей силы. Путем измерения величины декремента при различных значениях частоты можно построить амплитудно-частотную характеристику.
  2. Измерение времени релаксации: Второй корень декремента может быть использован для измерения времени релаксации в колебательной системе. Величина времени релаксации определяет скорость затухания колебаний и важна, например, в оптике для описания релаксации оптических сигналов.
  3. Анализ стабильности системы: С помощью второго корня декремента можно определить степень устойчивости колебательной системы. Если второй корень декремента меньше нуля, то система стабильна и сходима к равновесному состоянию. Если второй корень декремента равен нулю, то система находится на грани устойчивости. Если второй корень декремента больше нуля, то система неустойчива.

Таким образом, использование второго корня декремента позволяет проводить анализ колебательных систем, измерять временные характеристики и определять стабильность системы. Это важный инструмент в физике, инженерии, оптике и других науках.

Вопрос-ответ

Что такое корень декремента?

Корень декремента — это параметр, который определяет, как быстро затухает колебательный процесс после того, как он был возбужден. В процессе затухания амплитуда колебаний уменьшается со временем. Корень декремента позволяет оценить скорость затухания колебаний.

Что означает происхождение 2 корней декремента?

Происхождение 2 корней декремента означает, что при затухании колебаний амплитуда изменяется по синусоидальному закону. Это происходит, когда корень декремента расположен между нулем и единицей. Такой тип затухания наблюдается, например, в электрических колебательных контурах.

Как происходит установление двух корней декремента?

Установление двух корней декремента возможно, если в системе есть как поглощающую, так и возбуждающую составляющую. Например, в электрическом контуре это может быть наличие активного элемента, создающего энергию. При таких условиях колебания будут постепенно затухать, совершая осцилляции с постепенно уменьшающейся амплитудой. Этот процесс называется затухающим затворением.

КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ДЕКРЕМЕНТ Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЛЮЦИГЕНИНА Текст научной статьи по специальности «Химические науки»

Аннотация научной статьи по химическим наукам, автор научной работы — Ревина Александра Анатольевна, Кузьмин Виктор Иванович, Тытик Дмитрий Леонидович, Бусев Сергей Алексеевич, Гадзаов Алексей Федорович

В статье обсуждены результаты исследования оптических свойств (люминесценции) водных растворов малых концентраций люцигенина. Представлена новая методология математической обработки спектров люминесценции. Рассмотрен метод приготовления растворов, который можно использовать для выявления критических точек (декремент Д.И. Менделеева) в физико-химических свойствах водных растворов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по химическим наукам , автор научной работы — Ревина Александра Анатольевна, Кузьмин Виктор Иванович, Тытик Дмитрий Леонидович, Бусев Сергей Алексеевич, Гадзаов Алексей Федорович

Моделирование гидратных оболочек растворенных в воде нанопузырьков газов

Возможности методов оптической спектроскопии для исследования воды и водных растворов с нанопузырьковой газовой фазой

Методические особенности изучения закономерностей гидратации во флотационных системах metoдом atr-ftir

Спектр поглощения nadh как суперпозиция спектров аденина и никотинамида
Вода как сенсор слабых воздействий физической и химической природы
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

D.I. MENDELEEV’S CONCENTRATION DECREMENT IN LUCIGENIN AQUEOUS SOLUTIONS

The article discusses the results of study for the optical properties (luminescence) of aqueous solutions with low concentrations of lucigenin. One new methodology for the mathematical processing of luminescence spectra is presented. The method to prepare the solutions, which can be used to identify critical points (D.I. Mendeleev’s decrement) in the physicochemical properties of aqueous solutions, is considered.

Текст научной работы на тему «КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ДЕКРЕМЕНТ Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЛЮЦИГЕНИНА»

Концентрационный декремент Д.И.Менделеева в водных растворах люцигенина

‘Ревина А.А., 2Кузьмин В.И., 1Тытик Д.Л., 1Бусев С.А., 2Гадзаов А.Ф., 1Высоцкий В.В., 1Суворова О.В.

Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН, http://www.phyche.ac.ru/ Москва 119991, Российская Федерация

2МИРЭА-Российский технологический университет, http://www.mirea.ru/ Москва 119454, Российская Федерация

E-mail: Alex_revina@mail.ru, vik271935@yandex.ru, dtytik@yandex.ru, sergeybusev@mail.ru, ndoll@mail.ru, dr.vysotzkij@yandex.ru, office@lanacom.ru

Поступила 06.02.2020,рецензирована 14.02.2020, принята 20.02.2020

ч. В статье обсуждены результаты исследования оптических свойств (люминесценции) водных растворов малых концентраций люцигенина. Представлена новая методология математической обработки спектров люминесценции. Рассмотрен метод приготовления растворов, который можно использовать для выявления критических точек (декремент Д.И. Менделеева) в физико-химических свойствах водных растворов.

Ключевые слова: водные растворы люцигенина, релаксация, декремент Д.И. Менделеева УДК 54-188; 543.426

Благодарности. Авторы выражают благодарность М.О.Сергееву за обсуждение важных деталей регистрации спектров люминесценции.

Для цитирования: Ревина А.А., Кузьмин В.И., Тытик Д.Л., Бусев С.А., Гадзаов А.Ф., Высоцкий В.В., Суворова О.В. Концентрационный декремент Д.И. Менделеева в водных растворах люцигенина. РЭНСИТ, 2020, 12(1):135-144; DOI: 10.17725/rensit.2020.12.135._

D.I. Mendeleev’s concentration decrement in lucigenin aqueous solutions

Aleksandra A. Revina, Dmitrii L. Tytik, Sergey A. Busev, Vladimir V. Vysotskii, Olga V. Souvorova

Frumkin Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry of RAS, http://www.phyche.ac.ru/ Moscow 119991, Russian Federation

E-mail: Alex_revina@mail.ru, dtytik@yandex.ru, sergeybusev@mail.ru, dr.vysot%kj@yandex.ru, office@lanacom.ru Viktor I. Kuz’min, Aleksei F. Gadzaov

MIREA-Russian Technological University, http://www.mirea.ru/ Moscow 119454, Russian Federation

E-mail: vik271935@yandex.ru, redoll@mail.ru

Received February 06, 2020;peer reviewed February 14, 2020; accepted February 20, 2020

Abstract. The article discusses the results of study for the optical properties (luminescence) of aqueous solutions with low concentrations of lucigenin. One new methodology for the mathematical processing of luminescence spectra is presented. The method to prepare the solutions, which can be used to identify critical points (D.I. Mendeleev’s decrement) in the physicochemical properties of aqueous solutions, is considered.

Kywords: lucigenin aqueous solutions, relaxation, D.I. Mendeleev’s decrement UDK 54-188; 543.426

Acknowledgments. The authors are grateful to M.O.Sergeev for discussing the important details of recording the luminescence spectra.

For citation: Aleksandra A. Revina, Viktor I. Kuz’min, Dmitrii L. Tytik, Sergey A. Busev, Aleksei F. Gadzaov, Vladimir V. Vysotskii, Olga V. Souvorova. D.I. Mendeleev’s concentration decrement in lucigenin aqueous solutions. RENSIT, 2020, 12(1):135-144; DOI: 10.17725/rensit.2020.12.135._

«Выставляя гипотезу растворов и тесно связанную с нею гипотезу, объясняющую разрывы сплошности производных ds/dp, я не считаю ее ни законченною, ни за истину, а выставляю дело лишь в том виде, как оно сложилось в моем представлении при долговременном и возможно внимательном изучении растворов. В моем уме растворы не выделяются в область, чуждую атомистических представлений, они входят вместе с обычными определенными соединениями в круг тех понятий, которые господствуют ныне в учении о влиянии масс, о диссоциации и о газах, и в то же время растворы представляют для меня самый общий случай химического воздействия, определяемого сравнительно слабыми средствами, а потому представляют плодовитейшее поле для дальнейшего успеха химических учений и достойны внимательнейшей разработки частностей».

Д.И. Менделеев. Растворы.

2. материалы и методы (137)

3. результаты и обсуждение (140)

4. заключение (142) приложение 1 (143) приложение 2 (143) Литература (144)

Впервые взгляд на растворы не как механическую смесь компонентов, а как особые химические соединения, был высказан Д.И. Менделеевым, когда он обнаружил явление сжатия водных растворов спирта при увеличении концентрации последнего, сопровождаемое появлением изломов и скачков в производных плотности раствора по концентрации [1]. Д.И.Менделеев связал это свойство с формированием в растворе гидратных соединений в окрестности соответствующих концентраций спирта. Рассказ обо всех ученых, внесших в дальнейшем значительный вклад в исследование физико-химических свойств растворов и создание теоретических представлений об их динамике и строении — тема для отдельного обзора. Следует упомянуть лишь некоторые имена отечественных ученых: Н.С.Курнаков, Я.И.Френкель И.З.Фишер, М.И.Шахпаронов, А.В.Воронель, О.Я.Самойлов, М.Н.Родникова, Н.А.Бульенков, Г.А.Мартынов, Г.Г.Маленков, Ю.И.Наберухин, А.К.Лященко и многие другие. Среди зарубежных ученых следует отметить заслуги Дж.Бернала и Р.Фаулера — пионеров в науке о структуре воды и ионных растворов, а также работы А.Гайгера и Дж.Поллака, в которых упоминаются структурные представления о строении растворов.

Мотивом для написания данной статьи послужили результаты наших исследований оптического поглощения, динамического

рассеяния света (ДРС) и люминесценции водных растворов люцигенина (Ь,с, хемилюминесцентный маркер на ионы Ag+) разных концентраций. При этом необходимо было установить возможность использования ^с для контроля степени завершения химического синтеза наночастиц серебра в обратных мицеллах. Поскольку обратные мицеллы содержат чрезвычайно малое количество воды, и она находится в особой форме (в виде связанной воды), то метод прямого измерения концентрации Ьс в воде обратных мицелл не очевиден. Вследствие этого было решено поставить в определенном смысле «обратную задачу» и оценить концентрационную границу содержания Ьс в дистиллированной воде, при которой при значительных разведениях еще регистрируются полосы люминесценции, характерные для этого вещества.

В статье рассмотрены новые подходы при исследовании водных растворов значительных разведений и предложены математические методы для обработки данных о динамике их оптических свойств (например, люминесценции), которые часто остаются за рамками рассмотрения. Особенности поведения водных растворов веществ высоких разведений обычно относят к лабильности раствора, когда о наступлении равновесия (квазиравновесия) можно говорить лишь условно. В этом случае методы термодинамики не достаточны и необходима разработка новых методов и моделей для понимания эволюции физико-химических свойств водных растворов в открытых системах. В статье представлены результаты исследования люминесценции водных растворов высоких разведений и дискретные модели для анализа релаксационных характеристик растворов на основе декремента Д.И.Менделеева.

КОНЦЕНТР АЦ1ЮННЫЙ ДЕКРЕМЕНТ Д.11. 13 7 МЕНДЕЛЕЕВА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЛЮЦИГЕНИНА

2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Люцигенин (10,10′-диметил-9,9′-биакридиния динитрат), Ьс, молекулярная масса 512.51 представляет золотисто-желтые кристаллы (Т = 330°С), хорошо растворимые в воде и плохо — в этаноле. В кислой и нейтральной средах при облучении УФ светом наблюдается зеленая флуоресценция. В щелочной среде в присутствии Н,0,, или различных восстановителей (гидразин, гидрохинон, гидроксиламин и др.) под действием О,, возникает яркая хемплюмпнесценцпя зеленовато-голубого цвета (к . — 360 нм, «к =510 нм).

В эксперименте для приготовления растворов Ьс была использована дистиллированная вода однократной перегонки со следующими параметрами:

1) массовая концентрация остатка после

выпаривания 4 мг/л;

2) массовая концентрация сульфатов (80^

3) массовая концентрация хлоридов (С1) 0.015 мг/л;

5) удельная электропроводность при 20°С о = 4.8-Ю-4 См/м.

Был приготовлен исходный водный раствор Ьсс концентрацией СЬс = 44 мг/л, который (после завершения растворения) проверен методом ДРС на присутствие в нем агрегатов из молекул Ьс. Однако, оказалось, что если агрегаты Ьс и есть, их корректная идентификация методом ДРС затруднена из-за постоянного присутствия нанопузырьковой фазы атмосферного газа [25] (рис. 1). Нанопузырьки атмосферного газа в зависимости от внутренних и внешних факторов могут достигать в размере сотен нанометров. Поэтому в дальнейшем исследовании был 800 -700 -600 -500 —

Рис. 1. Данные ДРС о размерах частиц в водном растворе Ьс (Си = 44 мг/л).

принят метод флуорпметрпп, в котором в спектрах люминесценции водных растворов регистрируются полосы люминесценции Ь с (флуорпметр высокого разрешения Hitachi F 7000) в широком диапазоне концентраций, вплоть до высоких разведений.

Прежде чем выбрать длину волны возбуждения для проведения экспериментов люминесценции в водных растворах Ьс, был зарегистрирован спектр оптического поглощения (СОП, Hitachi-ЗЗЮ) для раствора с другой концентрацией Ьс (С = 0.7 мг/л). Использована кварцевая кювета с длиной оптического пути (ДОП) 10 мм и регистрация СОП проводилась относительно дистиллированной воды. На СОП хорошо проявлены два максимума поглощения света при длинах волн: X = 260 и 367 нм (рис. 2).

Для измерения спектров люминесценции использовался флуорпметр «Hitachi F 7000» (кварцевая кювета ДОП 10 мм). Спектр люминесценции образца (С = 0.7 мг/л) был зарегистрирован при длине волны возбуждения \юзб = ^^ нм с максимумами люминесценции X = 480 и 510 нм (рис. 3). При этом использование встроенных программных фильтров позволило учесть поправки, которые вносит в спектр люминесценции ксеноновая лампа и внутренние отражения света в приборе. Установлено, что эти поправки влияют только на форму спектра, но не на положение максимумов люминесценции водного раствора Ьс. Поэтому в дальнейшем исследовании основными параметрами при оценке изменения оптических свойств

0.00 —1—1—1—^——1—1—1—1— —1—1—’— 190 290 390 490 590

Рис. 2. Спектр оптического поглощения водного раствора Ьс (Си = 0.7мг/л). Максимумы поглощения света при длинах волн X— 260 и 367 нм.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 measurement number

320 360 400 440 480 520 560 600 к, ran

Рис. 3. Спектр люминесценции водного раствора Lc (С = 0.7 мг/л). Возбуждение при длине волны X — 360 ял/, стрелками указаны максимумы полос люминесценции Lc (X

= 480 и 510 нм). водных растворов разных разведений являлись положение этих максимумов и их интенсивность.

Исходный раствор получался разведением в дистиллированной воде Lc по следующей схеме: в стеклянный стакан (объем 0.25 л) наливалась дистиллированная вода (объем 90 мл), в которой растворялась навеска 8 мг Lc. После растворения этой навески объем водного раствора доводился до 180 мл п размешивался стеклянной палочкой (вручную 20 раз, перемешивание по часовой стрелке). Таким образом, концентрация водного раствора Lc первого разведения составила Сы = 44 мг/л.

Последующие разведения получены по схеме [6]. Второй стакан заполнили 90 мл дистиллированной воды и с помощью стеклянного пипетдозатора добавили в него 7.5 мл раствора из 1-го стакана. Затем, довели объем водного раствора до 180 мл и размешали его стеклянной палочкой (вручную 20 раз, перемешивание по часовой стрелке) — получили водный раствор 2-го разведения. После каждого разведения емкость с раствором накрывалась стеклянной пластиной, а стеклянная палочка п стеклянный пппетдозатор промывались дистиллированной водой. Аналогичная процедура разведения повторялась вплоть до 23 разведения, при этом для получения очередного разведения объем 7.5 мл водного раствора отбирался из водного раствора образца предыдущего разведения.

Следует отметить, что, основываясь на формулах аналитической химии для расчета концентрации растворенного вещества [7], уже при 10-м разведении в водном растворе может оставаться лишь несколько молекул Lc (CLcl0

= 1.7 ТО-11 мг/л). На 11-м разведении в водном растворе молекул вовсе нет. Тем не менее, если растворение твердого происходит вплоть до отдельных молекул, например, по кластерному механизму, и зависит от объема растворителя, то молекулы можно, по-видимому, обнаружить и при более высоких разведениях. Другими словами, определение минимального объема растворителя, необходимого для растворения (при данных значениях давления и температуры), например, 1 мг некоторого вещества, является отдельной задачей физической химии. Всегда не просто доказать, что исследуемое вещество находится в растворе в виде отдельных молекул, а не их агрегатов в виде димеров, тримеров или //—меров (кластеров). При дальнейшем изложении материала станет очевидно, что приготовление водных растворов высокого разведения имеет определенный физико-химический смысл, поскольку по данным люминесценции оказалось, что трансформация водного раствора при растворении веществ имеет, по-видимому, более глубокий характер, чем это принято считать. Следует отметить, что в основе многих физико-химических процессов и эффектов в водных растворах могут лежать релаксационные механизмы, которые п определяют различные квазиравновесные состояния системы, регистрируемые, например, при помощи спектральных приборов.

Водные растворы являются чрезвычайно лабильными системами, которые подвержены воздействию многочисленных внешних и внутренних факторов. Так как время регистрации люминесценции 23-х образцов водных растворов составляло примерно 2 ч, то за это время происходил непрерывный дрейф давления и температуры, растворение/выход атмосферных газов пз растворов, обусловливающих, например, изменение показателя рН водной среды. В таких экспериментах не следует ожидать «полной воспроизводимости» результатов измерений в общепринятом смысле, поскольку «одно» измерение включает всю серию образцов (23 разведения). Для другой серии образцов водных растворов условия эксперимента будут уже другие. Поэтому проведение сравнительного анализа результатов экспериментов, выполненных в разное время, является отдельной проблемой,

КОНЦЕНТР АЦ1ЮННЫЙ ДЕКРЕМЕНТ Д11. 139 МЕНДЕЛЕЕВА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЛЮЦ11ГЕН1IHA

для решения которой необходимы специальные математические методы.

В конце 19 века Д.И. Менделеев возглавлял Главную Палату Мер и Весов в Санкт-Петербурге п внес значительный вклад в химическую метрологию. Одна из его известных работ в области метрологии — «Опытное исследование колебания весов» [8] — является предтечей для построения моделей квазиравновесных процессов по декременту измеренных величин1. При этом общность предложенного Д.И. Менделеевым подхода такова, что декремент в обработке результатов эксперимента широко используется во многих областях науки. Исследование декремента важно при выявлении характеристик периодических физико-химических процессов, например, как в эффекте «кольца Лизеганга» [9-11]. Идея декремента Д.П.Менделеева использована в настоящей статье для обработки результатов измерений люминесценции лабильных водных растворов (Приложение 1).

При регистрации люминесценции водных растворов в кварцевую кювету с ДОП 10 мм стеклянным пипетдозатором наливался водный раствор объемом 2 мл. При этом спектры люминесценции образцов водных растворов при длине волны возбуждения (^воз6 = 360 нм) зарегистрированы в последовательности, обратной порядку разведения, то есть от 23 к 1-му образцу. На каждом шаге, после завершения очередного измерения, стеклянный пппетдозатор и кварцевая кювета промывались дистиллированной водой. Атмосферное давление в процессе эксперимента менялось от 735 до 738 мм рт.ст., температура 21°Составалась приблизительно постоянной.

На рис. 4 приведены спектры люминесценции для всех образцов, от 1-го до 23-го разведения (цифрами указан номер разведения), включая исходную дистиллированную воду (нижний график), использованную при их приготовлении. Построив зависимость интенсивности люминесценции при длине волны Я = 480 нм от номера разведения (рис. 5), отметим, что данные естественным образом разбиваются на две группы. На рис. 5 видно, что при достижении 5-го разведения интенсивность люминесценции

‘По определению декремент Д.И. Менделеева ‘■> =» «» » » (где /1 — номер измерения. Л’ — измеряемая величина).

340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 ,,

Рис. 4. Спектры люминесценции водных растворов от 1-го до 23-го разведения. наглядности по оси ординат использован логарифм интенсивности люминесценции.

при длине волны Я = 480 нм переходит от монотонного убывания к колебаниям с аномально растущей амплитудой. Тогда растворы от 1 до 4-го разведения можно отнести к «обычным» водным растворам, а растворы от 5-го до 23-го разведения можно условно отнести к водным растворам с «высоким» разведением. Отметим, что по оценке концентрация водного раствора Lc при 5-м разведении составляет (С = 1.4Т0~4 мг/л), что соответствует примерно 4.ОТО7 молекул/л. Вертикальными линиями указаны основные локальные максимумы люминесценции водных растворов, стрелками показана регулярность их расположения от номера разведения, вертикальная пунктирная

\ —S г — 7 ~ — Л ~~~ 1 \ 1 У \ л 1 У V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 solution number

Рис. 5. Изменение интенсивности люминесценции при длине волны X = 480 нм водных растворов Lc в зависимости от номера разведения. По оси ординат отложен логарифм интенсивности (при этом была вычтена интенсивность люминесценции для дистиллированной воды).

линия маркирует «локальный провал» в окрестности 17-го разведения.

Для водных растворов «высокого разведения» данные об интенсивности люминесценции при длинах волн Я = 480 и 510 нм в зависимости от номера разведения представлены на рис. 6. На рпс. 6 хорошо проявлена система локальных максимумов интенсивности люминесценции водного раствора на 5, 9, 13, и 21-м разведении, а в окрестности 17-го разведения наблюдается «локальный провал». При этом максимум люминесценции водного раствора приходится на 21-е разведение как при длине волны Я = 480 нм, так и 510 нм, когда в нем по оценке не должно быть молекул Ьс.

При анализе данных такого типа используются специальные математические методы (Приложение 1), основанные на понятии декремента 1 — 1

= —-—— , введенного Д.Н.Менделеевым при

исследовании динамических свойств физико-

химических систем [8]. Здесь п определяет

действие экстенсивных факторов процесса

разведения, а Хп — интенсивных. Особая ситуация

возникает, когда декремент какой-либо величины,

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

характеризующей исследуемый процесс, равен

целому числу. Тогда оказываются согласованными

характеристики двух процессов экстенсивного,

определяемого арифметической прогрессией

(разность прогрессии соответствует росту или

убыванию элементов системы) и интенсивного,

описываемого геометрической прогрессией.

Характер колебаний интенсивности люминесценции водного раствора после 5-го разведения указывает на неустойчивое поведение водного раствора при последовательном

) 10 11 12 13 14 15 16 17 1S 19 20 21 22 23 solution number

О 11 12 13 14 15 16 17 IS 19 20 21 22 23 solution number

разведении. На отрезке значений от 5-го до 23-го разведения локальные максимумы интенсивности люминесценции расположены регулярно (отстоят друг от друга на 4 единицы), исключая окрестность 17-го разведения («локальный провал») (рпс. 6). При этом, при 9-м разведении (первый локальный максимум интенсивности) в растворе по оценке практически не остается молекул (примерно 100 молекул/л). Особенность изменения интенсивности люминесценции водных растворов, например, появление «локального провала» закономерно в системах с «памятью» как проявление релаксационных механизмов, влияющих на последующие состояния раствора (Приложение 2).

Следует отметить, что при моделировании в системе релаксации разных физико-химических процессов необходимо применить обобщенный

в котором разность

Хп — Хп 0 учит&вае’г1 «память» системы. Это соотношение легко преобразуется в разностное уравнение, причем его решение определяет знаменатель геометрической прогрессии, членами которой являются Хп (Приложение 2). При этом на отрезке Хп+1 — Хп укладывается два отрезка Хп — Хп В результате процессы экстенсивного и интенсивного типов согласованы в точках Хп „ Хп п Хп+1 (рис. 7), а первый максимум (рпс. 6) приходится на 9-е разведение (причем 17-е разведение не соответствует такому согласованию) (Приложение 2).

Использование декремента (или

обобщенного декремента) и соответствующего ему разностного уравнения является основой при моделировании физико-химических технологий [12]. Они обычно представлены как модели параллельных и последовательных стадий реакции, в том числе учитывающих их релаксационные свойства [13].

Учитывая вышесказанное, взаимосвязь физико-химических экстенсивных и интенсивных

Рис. 6. Величины максимумов люминесценции водных (были вычтены значения интенсивности

Ole е2 ег,29з e:i

люминесценции для дистиллированной воды) при длинах волн Рис 7 .Ячейкаразвития [24,25] для согласования параметров X — 480 нм (а) и X =510 нм (Ь) в зависимости от номера арифметической и геометрической прогрессий. Штриховкой разведения. обозначена «переходная зона».

КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ДЕКРЕМЕНТ Д.И. 141 МЕНДЕЛЕЕВА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЛЮЦИГЕНИНА

факторов на стадиях разведения при практически отсутствующем исходном веществе (^¿), по-видимому, определяется их согласованием по релаксационному механизму. Это приводит к появлению как регулярных локальных максимумов интенсивности люминесценции водных растворов при высоких разведениях, так и к закономерному «локальному провалу» (рис. 6).

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

В первом приближении способность химических соединений растворяться в воде характеризуется разным типом молекулярного взаимодействия молекул растворяемого вещества с молекулами воды, обусловливающим деление на гидрофобные и гидрофильные вещества. Согласно современным теоретическим представлениям ряд физико-химических свойств жидкой воды и ее строение достаточно полно описывается моделью случайной сетки водородных связей (СВС) или ее расширением — упругой сеткой водородных связей (УСВС) [14]. Известно много способов представления межчастичного взаимодействия в водных растворах, наиболее популярным из которых является парное взаимодействие (парный потенциал взаимодействия или его модификации). Кроме того, применяют трехчастичный потенциал и более сложные потенциалы, например, потенциал погруженного атома [15]. Такое разнообразие потенциалов указывает на поиск адекватных моделей для описания физико-химических свойств водных систем.

Модель сетки водородных связей чрезвычайно продуктивна, поскольку позволяет обсуждать реальный «химизм водных растворов на слабых водородных связях» и расширить представления о причинах проявления в них аномальных физико-химических свойств. Тем самым, используя при обсуждении причин различных аномалий характер связности молекул в водном растворе, приходим к более общему взгляду, когда аддитивное увеличение/уменьшение массы компонентов раствора приводит к мультипликативному увеличению/уменьшению числа связей (например, водородных), определяющих в итоге изменение его свойств.

Такой подход, когда при термодинамических расчетах различают экстенсивные и интенсивные свойства водных растворов, принят в физической

химии. На молекулярном уровне рассмотрения экстенсивные свойства системы зависят от числа элементов в системе и их изменение (например, увеличение) сопровождается добавлением элементов в систему (арифметическая прогрессия). Это, в свою очередь, приводит к увеличению «связности» между элементами в системе и появлению интенсивных свойств, определяемых числом связей (например, энергия системы). Существенно иметь в виду, что линейное увеличение числа элементов в системе приводит к экспоненциально растущему числу «связей» между ними, описываемому геометрической прогрессией. Конечно, основание и показатель степени свои для каждой системы и при этом взаимосвязаны.

Молекулярное взаимодействие при растворении вещества в воде приводит к преобразованию (иногда существенному) СВС и увеличению (в среднем) доли «сильных»2 водородных связей в системе. Как правило, сильные водородные связи обладают и большими временами жизни [16], что приводит к появлению частично упорядоченных ассоциаций молекул воды или групп молекул на «границе» с растворенными молекулами и к проблеме, по нашему мнению, не совсем удачно обозначенной термином «память» воды. «Память» воды соответствует либо формированию устойчивых гидратов растворенного гидрофильного вещества с «сильными» водородными связями, либо формированию межфазной области [17] (из молекул воды по оценке [18] «толщиной» 3-4 молекулы) между гидрофобным веществом и объемной водой с СВС. Релаксация сетки водородных связей в воде при взаимодействии с гидрофильными/гидрофобными молекулами растворенного вещества, по-видимому, определяет физико-химические процессы, которые и подразумеваются под «памятью» воды.

Следует отметить, что явление гидрофобного взаимодействия при контакте воды с атмосферой обусловливает формирование «нанопузырьковой газовой фазы» с преимущественными размерами нанопузырьков в диапазоне 100-200 нм [4]. В [19] показано, что средние размеры нанопузырьков,

2Сильная водородная связь предполагает, что атом водорода находится (в среднем) практически на линии, соединяющей два атома кислорода двух молекул воды.

сформированных в воде в одинаковых условиях в атмосфере из чистых компонентов (азот, кислород, углекислый газ), стабильны. При этом в случае азота и кислорода средние размеры пузырьков близки между собой и имеют вышеприведенные значения, а для углекислого газа средний размер пузырька отличается на три порядка. Это отличие, по-видимому, определяется растворимостью углекислого газа в воде с образованием углекислоты. Согласно данным Л.Полинга при нормальных условиях в 1 литре воды растворяется примерно 19 мл атмосферного газа [20]. Если принять, что газ растворяется в форме нанопузырьков со средним диаметром нанопузырька 150 нм, то этот объем (19 мл) соответствует концентрации нанопузырьков примерно 1012 1/мл. По данным [4, 21] «реальная» концентрация нанопузырьков в этом диапазоне размеров оценивается на уровне примерно 109 1/мл. Этот результат показывает, что, по-видимому, часть молекул атмосферного газа находится либо в пузырьках значительно меньшего размера (< 100 нм), либо находится в клатратах [22, 23].

Следовательно, при рассмотрении физико-химических свойств водных растворов в контакте с атмосферой необходимо учитывать постоянное присутствие квазиравновесной «нанопузырьковой фазы» атмосферного газа. Многие физико-химические свойства водных растворов, по-видимому, определяются постоянным присутствием этой фазы, состояние которой сильно зависит от рТ—условий (и не только) при проведении экспериментов. Другими словами, у водных растворов появляется важное физико-химическое свойство — внутренняя поверхность нанопузырьков (адсорбционная поверхность), оценка величины которой при среднем размере нанопузырька 150 нм и их концентрации 4’109 1/мл [21] составляет примерно 3000 см2/л @ = Ш2х4-109 1/мл = 2826 см2/л). Кроме того, межфазная область нанопузырьков, по-видимому, представляет собой связанную (поляризованную) воду, свойства которой и ее влияние на течение физико-химических процессов в водных растворах еще только предстоит исследовать.

Выше был рассмотрен только один из постоянно действующих факторов в

водных растворах (нанопузырьковая газовая фаза), не касаясь конкретных механизмов межмолекулярного взаимодействия молекул растворяемого вещества и растворителя (вода). В свою очередь это взаимодействие является не менее важным фактором при растворении твердых веществ в воде и может обусловливать нахождение части вещества в кластерном состоянии (димеры, тримеры, . »-меры), состав которого зависит от объема растворителя. Надо отметить, что в процессе растворения вещества в воде конкурируют, по крайней мере, два физико-химических процесса, обусловливающие величины упругости растворения и осмотического давления в растворе, что, в конечном счете, определяет в нем квазиравновесную концентрацию молекул растворенного вещества. По-видимому, многие физико-химические свойства водных растворов могут определяться типом связности (например, системой сильных водородных связей вблизи поверхности, растворенных молекул) и вообще числом «сильных» водородных связей.

Резюмируя вышесказанное, следует отметить, что в основе построения модели физико-химических процессов в водном растворе должен лежать принцип взаимосвязи между типом накопления элементов в системе (арифметическая прогрессия) и нарастанием «связности» в системе (растворе) по степенному закону (геометрическая прогрессия), определяющей изменение, например, оптических свойств раствора. Это позволило расширить представления о моделировании свойств водных растворов с высокими разведениями. При этом вместо предположения, принятого в основном в аналитической химии, когда свойства раствора определяются наличием молекул растворенного вещества после каждого разведения, предложено рассматривать изменение в системе числа молей «сильных связей» (например, водородных) после каждого разведения. Итак, «память» воды при большом числе разведений зависит, по-видимому, не от числа молекул исходного растворенного вещества (арифметическая прогрессия), а от степени («глубины») трансформации СВС под воздействием растворенного вещества в исходной концентрации (геометрическая прогрессия) и далее от разведения к разведению.

КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ДЕКРЕМЕНТ Д.И. 143 МЕНДЕЛЕЕВА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЛЮЦИГЕНИНА

Подводя итог результатам исследования люминесценции водных растворов Ьс высоких разведений, следует отметить, что, по-видимому, имеется граница по концентрации Ьс (по оценке порядка 10-4 мг/л), когда существенно меняется характер люминесценции. Кроме того, в случае, когда по оценке в водном растворе совсем не остается молекул Ьс амплитуда интенсивности люминесценции при длинах волн X = 480 и X = 510 нм имеет растущую тенденцию, что является, по-видимому, следствием физико-химических процессов неустойчивого типа, происходящих в водном растворе. Использование декремента Д.И. Менделеева и его обобщенного варианта (учет релаксации) позволили оценить регулярный характер расположения локальных максимумов интенсивности люминесценции как соответствующий согласованию экстенсивных и интенсивных механизмов изменения характеристик растворов при разведениях.

Наконец, предложена общая методология исследования лабильных водных растворов, которая при соответствующей стандартизации процедуры их приготовления может быть использована для проверки аномальных свойств водных растворов с высоким разведением.

Из декремента Д.И.Менделеева для ряда экспериментальных точек

релаксационные характеристики процесса разведения, определяемые параметрами «памяти» о состоянии X 2, что приводит к обобщенному декременту вида

следует соответствующее ему разностное уравнение, имеющее вид

х+1 — (В + 1)Х +вХ1 = (2)

Решение уравнения (2) ищется в виде X = X», что приводит к характеристическому уравнению X2 — (В +1)Х + В = 0, корни которого равны X = 1, Х2 = В. В результате решение уравнения (2) имеет вид

что соответствует показательной функции от фиксированного уровня С, где В — знаменатель геометрической прогрессии (декремент).

Рассмотрим обобщенный вариант декремента Д.И. Менделеева (1), учитывающий возможные

и воспроизводит решение (3) предыдущего уравнения, но при этом позволяет синхронизировать члены арифметической и геометрической прогрессий. Для него разностное уравнение имеет вид

Хп+1 — (В + 1)Ха + = 0 (5)

а его характеристическое уравнение X3 — (В1 + + В1 = 0. (6)

Когда перепишем (6) в виде (X — 1)^2 — В X — В^ = 0, получим очевидный первый корень X1 = 1, в результате из X2 — В X — В = 0 имеем еще два корня X23.

Решение уравнения (5) при этом имеет вид

Xn = С1 + С2Я + СзЛп .

Тогда при С3 = 0 воспроизводится решение (3) разностного уравнения, соответствующего декременту Д.И. Менделеева [8].

В этом случае возможно определение условий согласования экстенсивных и интенсивных характеристик раствора по модели синхронизации арифметической и геометрической прогрессий.

Интервал Х — Хп2 = Т, будем считать за единицу. Таких единиц на интервале X — X’ разместится В1Т,, что соответствует формуле

Тогда Xn+![1 -Я] = БТ и Xn Т„.

Это соотношение определяет связь между членами арифметической прогрессии с разностью Т, и геометрической прогрессии со знаменателем X.

При Б1 = 2, Я = 1 ±73.

Здесь положительный корень Я = 1 + л/3 =

2.7320., близок к числу Непера е = 2.71828., а разностное уравнение имеет вид

В целом синхронизация рубежей, представленных арифметической и геометрической прогрессиями, представлена на рис. 7. При этом е2 = 7.39., а е3 = 20.085. и значит кратность разведения, представленная этой структурой составляет в первом случае 7.4, а во втором — 20.

1. Менделеев ДИ. Растворы. М., АН СССР, 1959, 1164 с.

2. Бункин НФ, Виноградова ОИ, Куклин АИ, Лобеев АВ, Мовчан ТГ. К вопросу о наличии воздушных субмикропузырей в воде; эксперимент по малоугловому рассеянию нейтронов. Письма в ЖЭТФ, 1995, 62(8):659-662.

3. Бункин НФ, Шкирин АВ. Исследование бабстонно-кластерной структуры воды и водных растворов электролитов методами лазерной диагностики. Труды Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН, 2013, 69:3-57.

4. Kobayashi H, Maeda S, Kashiwa M, Fujita T. Measurement and identification of ultrafine bubbles by resonant mass measurement method. Intern. Conf. on Optical Particle Characterization (OPC 2014). Proc. of SPIE, 2014, 9232:92320U-1-5.

5. Тытик ДЛ, Бусев СА, Высоцкий ВВ, Ревина АА, Суворова ОВ, Кузьмин ВИ, Гадзаов АФ. Эффект рассеяния ультрафиолетового излучения деионизованной водой. Журнал физической химии, 2019, 93(12):1865-1869.

6. Смирнов СВ. Электро-гомеопатия графа Матеи. С.Петербург, 1908, 565 с.

7. Кельнер Р, Мерме Ж, Отто М, Видмер ГМ. (ред.) Аналитическая химия. Проблемы и подходы. Том 1. М., Мир, 2004, 608 с.

8. Менделеев ДИ Сочинения. Т. XXII. Л.-М., АН СССР, 1950, 848 с.

9. Шемякин ФМ, Михалев ПФ. Физико-химические периодические процессы. М.-Л, АН СССР, 1938, 185 с.

10. Кузьмин ВИ, Гадзаов АФ, Тытик ДЛ, Бусев СА, Ревина АА, Высоцкий ВВ. Кинетика образования колец Лизеганга. Журнал структурной химии, 2013, 54(Приложение №2):368-382.

11. Кузьмин ВИ, Гадзаов АФ, Тытик ДЛ, Высоцкий ВВ, Бусев СА, Ревина АА. Кинетика образования наночастиц как основа моделирования механизма формирования колец Лизеганга в гелях. Коллоидный журнал, 2014, 76(4):477-485.

12. Касаткин АГ. Основные процессы и аппараты химической технологии. М., ГНТИХЛ, 1961, 830 с.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

13. Фан Лянь-Цэнь, Вань Чу-Сен. Дискретный принцип максимума. Оптимизация многоступенчатых процессов. М., Мир, 1967, 182 с.

14. Родникова МН. Структурная самоорганизация в растворах и на границе раздела фаз. В кн.: Цивадзе А.Ю. (ред.) Структурная самоорганизация в растворах и на границе раздела фаз. М., ЛКИ, 2008, 151 с.

15. Антонченко ВЯ, Давыдов АС, Ильин ВВ. Основы физики воды. Киев, Наукова думка, 1991. 672 с.

16. Malenkov GG, Tytik DL, Zheligovskaya EA. Structural and dynamic heterogeneity of computer simulated water: ordinary, supercooled, stretched and compressed. Journal of Molecular Liquids, 2003, 106(2-3):179-198.

17. Товбин ЮК. Малые системы и основы термодинамики. М., ФИЗМАТЛИТ, 2018, 403 с.

18. Бульенков НА, Желиговская ЕА. Функциональная модульная динамическая модель поверхностного слоя воды. Журнал физической химии, 2006,

19. Pourkarimi Z, Rezai B, Noaparast M. Effective parameters on generation of nanobubbles by cavitation method for froth flotation applications.

Physicochem. Probl. Miner. Process., 2017, 53(2):920-942.

20. Полинг Л, Полинг П. Химия. М., Мир, 1978, 686 с.

21. Fujita T. 7th International Symposium of Fine Bubble Technology. Sydney, Australia, 2016.

22. Дядин ЮА, Удачин КА, Бондарюк ИВ. Соединения включения. Новосибирск, НГУ, 1988, 101 с.

23. Белослудов ВР, Дядин ЮА, Лаврентьев МЮ. Теоретические модели клатратообразования. Новосибирск, Наука, 1991, 128 с.

24. Zhirmunsky AV, Kuzmin VI. Critical Levels in the Development of Natural Systems. Berlin etc, SpringerVerlag, 1988, 170 p.

25. Жирмунский АВ, Кузьмин ВИ. Критические уровни развития природных систем. Л., Наука, 1990, 223 с.

Тытик Дмитрий Леонидович

Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН

31/4, Ленинский пр., Москва 119991, Россия

Бусев Сергей Алексеевич

Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН

31/4, Ленинский пр., Москва 119991, Россия

Высоцкий Владимир Владимирович

Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН

31/4, Ленинский пр., Москва 119991, Россия

Ревина Александра Анатольевна

Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН

31/4, Ленинский пр., Москва 119991, Россия

Суворова Ольга Валентиновна

Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН

31/4, Ленинский пр., Москва 119991, Россия

Кузьмин Виктор Иванович

МИРЭА-Российский технологический университет

78, просп. Вернадского, Москва 119454, Россия

Гадзаов Алексей Федорович

МИРЭА-Российский технологический университет

78, просп. Вернадского, Москва 119454, Россия redoll@mail.ru.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *