Критические и стационарные точки функции в чем отличие
Перейти к содержимому

Критические и стационарные точки функции в чем отличие

  • автор:

Стационарные и критические точки функции нескольких переменных

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Стационарные точки и Критические
Столкнулся с непониманием, когда разбирал тему "нахождение максимумов и минимумов функции", то есть.

Найти стационарные точки функции
Найти стационарные точки функции z +2×3 + xy2+5×2+ y2

Найти стационарные точки заданной функции
Найти стационарные точки заданной функции. С помощью дискриминанта проверить наличие экстремума в.

Критические точки и точки экстремума функции
Критические точки функции: 1) f(x)= x4-2×2-3 2) f(x)= x2+3x /x+4 Точки экстремума.

Эксперт по математике/физике

6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4
А для функции одной переменной в чём разница?
Регистрация: 13.05.2015
Сообщений: 1,835

Стационарные точки — критические точки.
Точки, в которых первые частные производные равны нулю или некоторые из них не существуют называются критическими.
Это для нескольких переменных.
Для одной стационарные — производная первая равна нулю, критические — стационарные или отсутствует произвондая.
Правильно?

Эксперт по математике/физике

6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4

Лучший ответ

Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение

Решение

ЦитатаСообщение от oobarbazanoo Посмотреть сообщение

Стационарные точки — критические точки.
Это не одно и то же.

ЦитатаСообщение от oobarbazanoo Посмотреть сообщение

Для одной стационарные — производная первая равна нулю, критические — стационарные или отсутствует произвондая.

Это уже лучше. Что для одной переменной, что для нескольких — понятие «критическая точка» шире понятия «стационарная точка». Стационарная точка — в ней все частные производные первого порядка равны 0. Критическая точка — каждая частная производная первого порядка или равна 0, или не существует. Если функция непрерывно дифференцируема в точке по всем переменным, то понятия «не существует производной» нет, и тогда критические точки = стационарные.

Критические и стационарные точки функции в чем отличие

Точки экстремума — точки локального минимума или локального максимума функции.

Производная функции в этих точках равна 0 или не существует.

При переходе функции через точку минимума производная меняет знак с минуса на плюс ,

а при переходе через точку максимума производная меняет знак с плюса на минус.

Точки, в которых производная равна 0 называются стационарными.

Но это не обязательно точки экстремума.

Если производная не меняет знак при переходе через стационарную точку,

то в этой точке нет ни минимума, ни максимума.

Например, у=х 3 , у′ =3х 2 =0, х=0 -стационарная точка

у′>0 при х0 при x>0.

Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

х=0 для функции у =х 3 называется точкой перегиба.

Отличие стационарных точек от экстремальных в том, что стационарные

могут быть точками экстремума, а могут и не быть.

Критические и стационарные точки функции в чем отличие

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точка xо является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(xо):

Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с плюса на минус, то xо является точкой максимума.

Точка хо является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(xо):

Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с минуса на плюс, то xо является точкой минимума.

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума:

Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие экстремума:

Пусть xо – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс на минус, то xо – точка максимума:

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус на плюс, то xо – точка минимума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.

Что такое стационарные и критические точки функции? Как их найти?

где х – аргумент функции, а у – сама функция. То есть мы задаем какое-либо значение аргумента х и вычисляем по уравнению (1) значение функции в этой точке. Принято рисовать график функции y = f(x). Рисуем оси координат х и у. Значение х откладываем по горизонтальной оси х. Эта ось называется осью абсцисс. По вертикали откладываем значение вычисленной функции у (эта ось называется осью ординат). На рисунке приведен график некоторой функции

текст при наведении

Как мы видим при х = 3 и х = 8 функция у имеет максимумы. А при х = 5 функция имеет минимум. То есть функция y = f(x) может иметь как минимумы, так и максимумы. Итак

Точка максимума – значение х, при котором функция имеет максимум.

Точка минимума – значение х, при котором функция имеет минимум.

Обе эти точки называются общим словом – экстремум. То есть в точках экстремума функция имеет максимальное или минимальное значение.

Нам еще потребуется знание, что такое производная функции. Если мы знаем саму функцию (1), то производная берется следующим образом

Смысл производной – тангенс угла наклона функции в данной точке х. Можно провести в любой точке функции касательную линию и угол между этой касательной и осью х и будет определять угол наклона. Но удобнее вычислять не сам угол наклона α, а тангенс этого угла tgα. Иными словами,

tgα = dy/dx = df(x)/dx (3)

Как видно из вышеприведенного рисунка в точках экстремума функции tgα = 0. То есть производная в этих точках равна нулю. Если нам известно уравнение функции (1), то приравнивая производную к нулю, получаем алгебраическое уравнение для вычисления точек максимума и минимума

А что такое критические и стационарные точки функции? Точки экстремума функции (то есть там, где функция имеет максимум или минимум) иногда называю еще и стационарными точками. Это на приведенном выше рисунке точки х = 3, 5 и 8. Иногда бывает, что функция у(х) имеет концы, то есть кривая функции не уходит на бесконечность ни влево ни вправо. Например, на вышеприведенном рисунке будем считать, что эта функция расположена между точками х = -1 и х = 10. Если бы в этих крайних точках функция имела бы минимум (или максимум), то есть экстремум (производная равна нулю), то эти точки не называются стационарными.

А вот внутренние точки функции, в которых функция непрерывна, но в этих точках производная не существует, называются критическими точками. Смотри рисунок ниже

В точке х = 0 эта функция имеет максимум, но в этой точке имеется и перелом функции. Острый максимум. Производная (наклон функции) слева от точки х = 0 положительная, а справа от этой точки производная отрицательная. Это критическая точка. А вот в точке х = 1 имеется минимум (производная равна нулю), но функция меняет знак без перелома (то есть постепенно). Это точка минимума и точка стационарная.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *