Когда транспонированная матрица равна обратной
Перейти к содержимому

Когда транспонированная матрица равна обратной

  • автор:

Транспонировать матрицу (или транспонировать)

На этой странице мы увидим, как вычислить матрицу транспонирования (или транспонирования) . Вы также увидите решенные упражнения, чтобы у вас не осталось сомнений, как транспонировать матрицу.

Как вычислить транспонированную матрицу (или транспозицию)?

Матрица транспонирования , также называемая матрицей транспонирования, — это матрица, полученная путем замены строк на столбцы . Транспонированная матрица обозначается буквой «t» в правом верхнем углу матрицы (A t ).

Например , давайте транспонируем следующую матрицу:

\displaystyle A= \begin</p>
<p> 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end» width=»120″ height=»54″ /></p>
<p>Чтобы транспонировать матрицу А, просто <strong>замените строки столбцами</strong> . Другими словами, первая строка матрицы становится первым столбцом матрицы, а вторая строка матрицы становится вторым столбцом матрицы:</p>
<p><img decoding=

Вот несколько рабочих примеров того, как найти транспонированную матрицу:

Примеры транспонированных матриц

Пример 1

\displaystyle B= \begin</p>
<p> 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end» width=»96″ height=»54″ /></p>
<p><strong>посмотреть решение</strong></p>
<p><img decoding=

посмотреть решение

\displaystyle C^t= \begin</p>
<p> -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end» width=»143″ height=»85″ /></p>
<h4>Пример 3</h4>
<p><img decoding=

2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end» width=»94″ height=»85″ />

Пример 4

\displaystyle E= \begin</p>
<p> 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end» width=»112″ height=»85″ /></p>
<p><strong>посмотреть решение</strong></p>
<p><img decoding=

Свойства транспонированной матрицы

Транспонированная матрица имеет следующие характеристики:

\left(A+B\right)^t = A^t+B^t

\left.\begin</p>
<p> 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end \right.^t = \begin 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end» width=»202″ height=»89″ /></p>
<ul>
<li><strong>Антисимметричное свойство:</strong> если при транспонировании математической матрицы мы получаем ту же матрицу, но со всеми элементами, изменившими знак, это <strong>антисимметричная матрица:</strong></li>
</ul>
<p><img decoding=

Количество просмотров этой статьи: 60 297.

В этой статье:

Если вы научитесь транспонировать матрицы, то лучше поймете их структуру. Возможно, вы уже знаете о квадратных матрицах и об их симметрии, что поможет вам освоить транспонирование. Помимо прочего, транспонирование помогает переводить векторы в матричную форму и находить векторные произведения. [1] X Источник информации При работе с комплексными матрицами эрмитово-сопряженные (сопряженно-транспонированные) матрицы помогают решить самые разные задачи.

Часть 1 из 3:

Транспонирование матрицы

Step 1 Возьмите любую матрицу.

Step 2 Представьте первую строку.

Step 3 Проделайте то же самое с остальными строками.

Step 4 Попробуйте транспонировать неквадратную матрицу.

Step 5 Выразим транспонирование в виде математической записи.

Часть 2 из 3:

Свойства транспонирования

Step 1 (MT)T = M.

(M T )T = M. После двойного транспонирования получается исходная матрица. [4] X Источник информации Это довольно очевидно, так как при повторном транспонировании вы вновь меняете строки и столбцы, в результате чего получается первоначальная матрица.

Step 2 Зеркально отобразите матрицу относительно главной диагонали.

Step 3 Транспонируйте симметричную матрицу.

Транспонируйте симметричную матрицу. Элементы такой матрицы симметричны относительно главной диагонали. Если проделать описанную выше операцию и «перевернуть» симметричную матрицу, она не изменится. Все элементы поменяются на аналогичные. [5] X Источник информации Фактически, это стандартный способ определить, симметрична ли та или иная матрица. Если выполняется равенство A = A T , значит, матрица A симметрична.

Часть 3 из 3:

Эрмитово-сопряженная матрица с комплексными элементами

Step 1 Рассмотрим комплексную матрицу.

Step 2 Заменим элементы комплексно-сопряженными числами.

Step 3 Транспонируем полученную матрицу.

Дополнительные статьи

найти квадратный корень числа вручную

найти квадратный корень числа вручную

найти среднее значение, моду и медиану

найти среднее значение, моду и медиану

вычислить общее сопротивление цепи

вычислить общее сопротивление цепи

вычесть дробь из целого числа

вычесть дробь из целого числа

решать кубические уравнения

решать кубические уравнения

извлечь квадратный корень без калькулятора

извлечь квадратный корень без калькулятора

найти множество значений функции

найти множество значений функции

переводить из двоичной системы в десятичную

переводить из двоичной системы в десятичную

перевести миллилитры в граммы

перевести миллилитры в граммы

умножить в столбик

умножить в столбик

проводить действия с дробями

проводить действия с дробями

вычислить вероятность

вычислить вероятность

найти область определения и область значений функции

найти область определения и область значений функции

разделить целое число на десятичную дробь

разделить целое число на десятичную дробь

  1. ↑http://mathforum.org/library/drmath/view/71949.html
  2. ↑https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_14.html
  3. ↑http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices2-2009-1.pdf
  4. ↑https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/matrix_transpose/v/linear-algebra-transpose-of-a-matrix
  5. ↑http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices2-2009-1.pdf
  6. ↑http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html
  7. ↑http://mathworld.wolfram.com/Transpose.html
  8. ↑http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html

Об этой статье

Преподаватель математики

Соавтор(ы): Grace Imson, MA. Грейс Имсон — преподаватель математики с более чем 40 годами опыта. В настоящее время преподает математику в Городском колледже Сан-Франциско, ранее работала на кафедре математики в Сент-Луисском университете. Преподавала математику на уровне начальной, средней и старшей школы, а также колледжа. Имеет магистерскую степень по педагогике со специализацией на руководстве и контроле, полученную в Сент-Луисском университете. Количество просмотров этой статьи: 60 297.

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы — это операция, при которой строки матрицы становятся столбцами, а столбцы – строками.

Таким образом, транспонированная матрица получается путем замены элементов матрицы их соответствующими элементами на пересечении строки и столбца:

Свойства транспонированной матрицы

Реализация на C++

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include

// Ввод элементов матрицы
double ** Input( int rows, int cols) double ** p;
p = ( double **)malloc(rows * sizeof ( double *));
for ( int i = 0; i < rows; i++) p[i] = ( double *)malloc(cols * sizeof ( double ));
for ( int j = 0; j < cols; j++)
printf( «mas[%d][%d]= » , i, j);
scanf( «%lf» , &p[i][j]);
>
>
return p;
>

// Вывод элементов матрицы
void Output( double ** mas, int rows, int cols) int i, j;
for (i = 0; i < rows; i++) for (j = 0; j < cols; j++)
printf( «%8.4lf » , mas[i][j]);
printf( «\n» );
>
>

// Освобождение памяти матрицы
void Free( double ** mas, int rows, int cols)
for ( int i = 0; i < rows; i++)
free(mas[i]);
free(mas);
>

// Транспонирование матрицы
double ** Transpone( double ** mas, int rows, int cols)
double ** rez;
rez = ( double **)malloc(cols * sizeof ( double *));
for ( int i = 0; i < cols; i++)
rez[i] = ( double *)malloc(rows * sizeof ( double ));
for ( int j = 0; j < rows; j++)
rez[i][j] = mas[j][i];
>
return rez;
>
// Основная функция
int main()
int rows, cols; // количество строк и столбцов
double ** mas;
system( «chcp 1251» );
system( «cls» );
printf( «Введите количество строк: » );
scanf( «%d» , &rows);
printf( «Введите количество столбцов: » );
scanf( «%d» , &cols);
mas = Input(rows, cols);
printf( «Исходная матрица:\n» );
Output(mas, rows, cols); // вывод исходного массива
double ** tr = Transpone(mas, rows, cols);
printf( «\nТранспонированная матрица:\n» );
Output(tr, cols, rows); // вывод транспонированной матрицы
Free(tr, cols, rows);
Free(mas, rows, cols);
getchar(); getchar();
return 0;
>

Транспонированная матрица: простое объяснение и основные свойства

Транспонированная матрица – это матрица, полученная из исходной матрицы путем перестановки строк и столбцов, и она обладает рядом свойств и применений в линейной алгебре.

Транспонированная матрица: простое объяснение и основные свойства обновлено: 17 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

В математике существует множество понятий и операций, связанных с матрицами. Одним из таких понятий является транспонированная матрица. Транспонирование матрицы – это операция, при которой строки матрицы становятся ее столбцами, а столбцы – строками. В данном уроке мы рассмотрим определение транспонированной матрицы, ее свойства и примеры. Также мы узнаем, как транспонировать матрицу-столбец и матрицу-строку, а также как транспонировать произведение матриц.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Определение транспонированной матрицы

Транспонированная матрица – это матрица, полученная из исходной матрицы путем замены строк на столбцы и столбцов на строки.

Пусть у нас есть матрица A размером m x n, где m – количество строк, а n – количество столбцов. Тогда транспонированная матрица A^T будет иметь размерность n x m, где n – количество строк, а m – количество столбцов.

Элементы транспонированной матрицы A^T обозначаются как (A^T)ij, где i – номер строки, а j – номер столбца.

То есть, если у нас есть матрица A:

То транспонированная матрица A^T будет иметь вид:

Транспонированная матрица обозначается символом T сверху: A^T.

Свойства транспонированной матрицы

Транспонированная матрица обладает несколькими свойствами:

Транспонирование суммы матриц

Для любых матриц A и B одинакового размера выполняется следующее равенство:

То есть, транспонирование суммы матриц равно сумме транспонированных матриц.

Транспонирование произведения матриц

Для любых матриц A и B, у которых размеры позволяют выполнить операцию умножения, выполняется следующее равенство:

То есть, транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке.

Транспонирование транспонированной матрицы

Для любой матрицы A выполняется следующее равенство:

То есть, транспонирование транспонированной матрицы равно исходной матрице.

Транспонирование скаляра

Для любого скаляра c выполняется следующее равенство:

То есть, транспонирование скаляра равно скалярному произведению транспонированной матрицы.

Примеры транспонированных матриц

Рассмотрим несколько примеров транспонированных матриц:

Пример 1:

Пусть у нас есть матрица A:

Тогда транспонированная матрица A^T будет иметь вид:

То есть, мы просто меняем строки на столбцы и столбцы на строки.

Пример 2:

Рассмотрим матрицу B:

Тогда транспонированная матрица B^T будет иметь вид:

B^T = [4 6 8; 5 7 9]

Мы снова меняем строки на столбцы и столбцы на строки.

Пример 3:

Рассмотрим матрицу C:

Тогда транспонированная матрица C^T будет иметь вид:

C^T = [1 4; 2 5; 3 6]

Мы снова меняем строки на столбцы и столбцы на строки.

Таким образом, транспонирование матрицы позволяет нам поменять строки на столбцы и столбцы на строки, что может быть полезно в различных математических операциях и алгоритмах.

Транспонирование матрицы-столбца и матрицы-строки

Транспонирование матрицы-столбца и матрицы-строки является одной из основных операций с матрицами. Она позволяет поменять строки на столбцы и столбцы на строки.

Транспонирование матрицы-столбца

Пусть у нас есть матрица-столбец A:

Транспонированная матрица A^T будет иметь вид:

Мы просто меняем столбец на строку.

Транспонирование матрицы-строки

Пусть у нас есть матрица-строка B:

Транспонированная матрица B^T будет иметь вид:

Мы просто меняем строку на столбец.

Транспонирование матрицы-столбца и матрицы-строки позволяет нам менять местами строки и столбцы в матрице, что может быть полезно при выполнении различных математических операций и алгоритмов.

Транспонирование произведения матриц

Пусть у нас есть две матрицы A и B, и мы хотим найти их произведение AB. Тогда транспонированное произведение (AB)^T будет равно транспонированной матрице B^T, умноженной на транспонированную матрицу A^T.

Формально это можно записать следующим образом:

То есть, чтобы найти транспонированное произведение матриц, мы сначала транспонируем каждую матрицу, а затем перемножаем их в обратном порядке.

Это свойство транспонирования произведения матриц может быть полезно при решении различных задач и вычислениях, связанных с линейной алгеброй.

Заключение

Транспонирование матрицы – это операция, которая меняет строки матрицы на столбцы и столбцы на строки. Транспонированная матрица обозначается символом T или с верхним индексом T.

Свойства транспонированной матрицы включают сохранение размерности, коммутативность с операцией сложения, дистрибутивность относительно операции умножения на скаляр, а также свойство, что транспонированная матрица транспонированной матрицы равна исходной матрице.

Примеры транспонированных матриц могут быть представлены в виде матриц различных размеров, где элементы меняются местами относительно исходной матрицы.

Транспонирование матрицы-столбца и матрицы-строки просто меняет их местами, превращая матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.

Транспонирование произведения матриц имеет свойство, что транспонированное произведение равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке.

Транспонированная матрица: простое объяснение и основные свойства обновлено: 17 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *