Когда предел не существует
Перейти к содержимому

Когда предел не существует

  • автор:

Предел функции: основные понятия и определения

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое — ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или — ∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f ( x ) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или — ∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f ( x ) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f ( x ) = ∞ , lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ или lim x → x 0 f ( x ) = — ∞ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Когда предела не существует? 4 случая и примеры

Вы только начинаете осваивать ограничения, и теперь ваш учитель просит вас выяснить, когда их не существует. С чего вы вообще начинаете? Мы понимаем: исчисление может сбивать с толку и строить из понятий, которые вы все еще пытаетесь понять. К счастью, есть явные случаи, когда предела не существует. В этой статье мы рассмотрим эти ситуации и расскажем, как найти несуществующий лимит для разных функций. Если вы готовы погрузиться в ограничения, читайте дальше!

Что следует знать

    Предел не существует, когда правая и левая части функции приближаются к разным значениям. Нет предела, если функция приближается к отрицательной или положительной бесконечности по мере приближения к значению. Если функция скачет или колеблется между несколькими значениями по мере приближения к значению, предела не существует.

Шаги

Случаи, когда ограничение не существует

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

    1. Пределы разные для каждой стороны функции. Когда вы оцениваете предел функции, вы должны смотреть на то, как x

слева и справа от функции. Если левая часть функции приближается к другому пределу, чем правая сторона, то предел не существует. Это означает, что функция не является непрерывной на всем протяжении, что часто бывает, когда на графике функции есть скачок или разрыв.

Когда лимит не существует? 4 Случаи и примеры

Когда не существует предела? 4 случая и примеры

Как x

приближается к 0 справа, приближается к y=1

Левый и правый пределы не могут быть limx→0|x|x>>

Когда лимит не существует? 4 случая & Examples

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

приближается к значению c

. С левой стороны вы смотрите на значения x

. Правый предел записывается как limx→c+f(x)=Lf(x)=L>

. На правом пределе вы смотрите на значения x

Функция безгранична или не приближается к конечному значению. Некоторые функции имеют кривые, которые приближаются к вертикальной линии, называемой вертикальной асимптотой. Функция никогда не касается линии, но расстояние между кривой и линией становится все ближе и ближе к 0 по мере того, как функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Если вы оцениваете limx→c>

Когда не существует предела? 4 случая и примеры

, то предела не существует. По крайней мере, 1 сторона функции стремится к бесконечности в точке x = c

Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры

, которое не является конечным действительным числом.

Когда не существует предела? ; Примеры

    Эта функция имеет вертикальную асимптоту при x=0

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

Когда не существует лимита? 4 случая & Примеры

3. Функция колеблется между более чем 1 значением. Чтобы ограничение существовало, функция должна остановиться на 1 значении по мере приближения к некоторому значению. c

. В некоторых случаях функция подпрыгивает или колеблется между двумя или более значениями по мере приближения к c

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

. По мере того, как он становится все ближе и ближе к c

, колебания становятся быстрее. Таким образом, в этих случаях функция не останавливается на 1 значении, поэтому предела не существует.

Когда лимит не существует? 4 случая и примеры

    По обе стороны от функции, как x

Когда не существует предела? 4 случая и примерыи у = 1 < Displaystyle у = 1>Когда Предела не существует? 4 случая и примеры

4. Функция определена только для некоторых значений x.Этот случай аналогичен тому, что предела не существует, когда левый и правый пределы различны. Некоторые функции имеют значения x, которые не определены или не существуют. Если функция не может приблизиться к некоторому значению c

с 1 стороны, поскольку значения x не существуют, тогда предел для эта функция не может существовать. Например, посмотрите на график limx→0x>>

не определено для любых значений x, меньших 0, потому что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа (это дает вам мнимое число). Итак, хотя x

приближается к 0 справа, x

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

Нахождение предела, когда он не существует

    1. Нарисуйте график функции и посмотрите, как левая и правая стороны приближаются к c

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

. Либо нарисуйте график функции вручную, либо используйте научный калькулятор для его построения. Затем посмотрите на сближение левой и правой сторон. Приближаются ли они к разным значениям? Уходит ли 1 сторона в бесконечность? Функция колеблется между несколькими значениями? Если да, то предела нет.

. Нарисуйте график на бумаге или подключите функцию к калькулятору. Посмотрите, как приближаются левая и правая стороны функции. a-limit-not-exist-4-cases-examples-f3dcb25.jpg» alt=»Когда предел не существует? 4 случая и примеры» />

2. Подставьте значения больше и меньше c

Когда не существует предела? 4 случая и примеры

Когда предел не существует? 4 случая и примеры

. Посмотрите на правую часть функции или limx→0+x|x|<|x|>>>

Когда лимит не существует? 4 случая и примеры

. Подставьте значение справа от 0 или больше 0, например 1: 1|1|=11=1<|1|>>= >=1>

Когда не существует предела? 4 случая и примеры

Если у вас есть калькулятор, введите несколько разных значений больше и меньше x

, которые ближе к c

Рассчитайте предел с помощью алгебры. Вместо того чтобы использовать график, чтобы понять, как функция ведет себя вблизи предела, используйте свое понимание алгебры. Знание того, что квадратный корень никогда не может быть отрицательным или что вы не можете разделить на 0, поможет вам определить, определена ли функция как x

приближается к некоторому значению c

. Если это не так, вы знаете, что предела не существует.

Когда предела не существует? 4 случая и примеры

. Вы не можете разделить на 0, и функция не может быть дополнительно упрощена или вынесена за скобки для ее решения. Но вы знаете, что когда x>−2-2>

в уравнении результат становится все больше и больше отрицательным, поэтому приближается к отрицательной бесконечности. Когда x

Когда действует ограничение Not Exist? 4 Cases & Examples

Что такое предел?

    Предел — это значение, описывающее, как функция ведет себя в какой-то момент.Другими словами, предел дает вам значение, к которому функция приближается по мере приближения к другому числу. Математически предел определяется как limx→cf(x)=Lf(x)=L>

приближается к значению c

Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры

Когда не существует предела? 4 случая и примеры

чтобы дать вы предел L

Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры

    Функция существует по адресу x=c

существует в функции и является действительным числом . limx→cf(x)f(x)>

12 Бесконечные пределы и асимптоты

Помимо конечных пределов, у последовательностей бывают бесконечные (см. раздел Пределы и ограниченность в главе 5 ). У функций тоже!

12.1 Бесконечные пределы в конечных точках

12.1.1 Существование предела и ограниченность

Из лекции 5 мы знаем, что сходящаяся последовательность ограничена . Для функций можно сформулировать аналогичное утверждение.

Теорема 1. Пусть функция f ( x ) имеет предел при x → x 0 . Тогда она ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Иными словами, найдутся такие C и δ ∗ > 0 , что для всех x ∈ ˚ U δ ∗ ( x 0 ) выполняется неравенство | f ( x ) | < C .

Доказательство. По определению предела, для всякого ε > 0 найдётся такое δ = δ ( ε ) > 0 , что для всех x из проколотой δ -окрестности x 0 выполняется неравенство | f ( x ) − b | < ε .

Положим δ ∗ : = δ ( 1 ) (то есть возьмём ε = 1 ). Тогда для всех x из проколотой δ ∗ -окрестности точки x 0 выполняется неравенство | f ( x ) − b | < 1 . По неравенству треугольника,

| f ( x ) | ≤ | f ( x ) − b | + | b − 0 | < 1 + | b | . Положим C = 1 + | b | . Тогда ˚ U δ ∗ ( x 0 ) — искомая окрестность точки x 0 . Теорема доказана. ∎

Доказательство очень похоже на доказательство аналогичной теоремы для последовательностей, и даже проще: в случае с последовательностями нужно было отдельно рассматривать начальный отрезок. За это мы платим тем фактом, что утверждение об ограниченности распространяется не на всю область определения функции, а лишь на некоторую проколотую окрестность точки x 0 .

Пример 1. Рассмотрим функцию f ( x ) = 1 / x . Она имеет предел при x → 1 , однако не является ограниченной на всей области определения.

12.1.2 Бесконечные пределы

В том случае, когда функция не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x 0 , она не может иметь предела в этой точке. Однако, опять аналогично ситуациям с последовательностями, мы можем определить, что означает, что функция стремится к бесконечности в точке x 0 .

Определение 1. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Говорят, что её предел в этой точке равен бесконечности, если для всякого C найдётся такая δ > 0 , что для всех x из проколотой δ -окрестности точки x 0 выполняется неравенство: | f ( x ) | > C . Формально:

∀ C ∈ R ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) | >C .
∀ C ∈ R ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) | >C .
Записывают:
lim x → x 0 f ( x ) = ∞ .

Замечание 1. И снова: если предел функции равен бесконечности, это означает, что предел «не существует» (в смысле обычного определения предела). Тот факт, что функция стремится к бесконечности, означает, что она не имеет предела в точке, но при этом не имеет его специфическим образом.

Пример 2. Функция f ( x ) = 1 x стремится к бесконечности при x → 0 . Дейстительно, возьмём любоое C . Если C ≤ 0 , условие | 1 / x | > C выполнено автоматически. Если C > 0 , положим δ = 1 / C . Тогда если | x | < δ , то | 1 / x | = 1 / | x | >1 / δ = C .

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py def f(x): return 1 / x C = 1.7 x = np.linspace(-2.7, 2.7, 211) plt.figure(figsize=(4, 4)) plt.plot(x, np.full_like(x, C), '--', color='C1', linewidth=1) plt.plot(x, np.full_like(x, -C), '--', color='C1', linewidth=1) plt.plot(np.full_like(x, 1/C), x, '--', color='C2', linewidth=1) plt.plot(np.full_like(x, -1/C), x, '--', color='C2', linewidth=1) plt.annotate("$C$", (0.05, C + 0.05)) plt.annotate("$-C$", (0.05, -C + 0.05)) plt.annotate(r"$\delta$", (1/C + 0.05, 0 + 0.05)) plt.annotate(r"$-\delta$", (-1/C + 0.05, 0 + 0.05)) plt.plot([-1/C, 1/C], [0, 0], '-', linewidth=3, color='C2', alpha=0.7, solid_capstyle='butt') plt.plot([0, 0], [C, 2.7], '-', linewidth=3, color='C1', solid_capstyle='butt') plt.plot([0], [0], 'o', color='C2', markerfacecolor='white', markeredgewidth=2) plt.plot([0, 0], [-C, -2.7], '-', linewidth=3, color='C1', solid_capstyle='butt') plt.plot(x, f(x), label='$y=1/x$') plt.legend() ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False) ob.settle_axes(xmin=-2.7, xmax=2.7, ymin=-2.7, ymax=2.7, xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.3) # plt.xticks([1/C, -1/C], [r"$\delta$", r"$-\delta$"]) plt.xticks([]) plt.yticks([])

Пример 3. Функция
f ( x ) = < 1 / x , x ∈ Q , 0 , x ∉ Q ,

не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x = 0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют рациональные числа), но при этом не стремится к бесконечности при x → 0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют иррациональные числа, в которых функция принимает значение 0).

Опять же, аналогично последовательностям, помимо просто бесконечности, бывает плюс бесконечность и минус бесконечность:

Определение 2. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Говорят, что её предел в этой точке равен плюс бесконечности (минус бесконечности), если для всякого C найдётся такая δ > 0 , что для всех x из проколотой δ -окрестности точки x 0 выполняется неравенство: f ( x ) > C (соответственно, f ( x ) < C ).

Упражнение 1. Запишите эти три определения в кванторах.

Пример 4. Неверно, что 1 / x → + ∞ при x → 0 : когда x приближается к нулю слева (то есть становится очень маленьким по модулю, но отрицательным), 1 / x становится большим по модулю, но тоже отрицательным. В то же время, 1 / ( x 2 ) → + ∞ при x → 0 : знаменатель всегда положительный при x ≠ 0 , и когда он маленький по модулю, дробь становится очень большой.

Наконец, можно рассматривать односторонние бесконечные пределы.

Упражнение 2. Придумайте определения для утверждений lim x → x + 0 f ( x ) = + ∞ , lim x → x + 0 f ( x ) = − ∞ , lim x → x − 0 f ( x ) = + ∞ , lim x → x − 0 f ( x ) = − ∞ самостоятельно, объединяя определение 2 и определения 11 и 12 из лекции 10 .

Упражнение 3. Снова рассмотрим функцию f ( x ) = 1 / x . Докажите, что
lim x → 0 + 1 x = + ∞
lim x → 0 − 1 x = − ∞ .

Определение 3. Заметим, что если функция стремится к какой-нибудь из бесконечностей (неважно, плюс, минус или просто бесконечности) когда x стремится к x 0 с какой-нибудь стороны, график y = f ( x ) приближается к вертикальной прямой x = x 0 когда x приближается к x 0 (слева или справа). В этом случае прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой функции y = f ( x ) (или её графика).

Пример 5. Рассмотрим функцию
f ( x ) = x − 1 x 2 − 1 .

Знаменатель обнуляется в двух точках: x = 1 и x = − 1 . При приближении к точке x = − 1 знаменатель стремится к нулю, а числитель к − 2 . Значит, дробь стремится к бесконечности (без знака, т.к. знаменатель может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, с какой стороны приближаемся). У функции есть вертикальная асимптота x = − 1 . В точке x = 1 обнуляется и числитель, и знаменатель. Чтобы найти предел в этой точке, сократим дробь на ( x − 1 ) . Получится выражение 1 / ( x + 1 ) . Оно имеет предел, равный 1 / 2 при x → 1 . Значит, вертикальной асимптоты x = 1 у функции нет.

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py def f(x): return (x - 1) / (x ** 2 - 1) x = np.linspace(-4, 4, 161) plt.figure(figsize=(5, 5)) plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\frac$') plt.plot([1], [0.5], 'o', color='C0', markerfacecolor='white', markeredgewidth=1.5) plt.plot([-1, -1], [-4, 4], linewidth=1, color='C2') plt.legend() ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False) ob.settle_axes(xmin=-3.7, xmax=3.7, ymin=-3.7, ymax=3.7, xlabel="x", ylabel="y") 

Рис. 12.2: У функции f ( x ) = x − 1 x 2 − 1 есть единственная вертикальная асимптота: x = − 1 .

12.2 Пределы на бесконечности

Другой тип пределов функций, связанный с бесконечностями — это предел при x стремящемся к бесконечности.

12.2.1 Конечные пределы на бесконечности и горизонтальные асимптоты

Определение 4. Пусть функция f ( x ) определена для всех достаточно больших по модулю значений x , то есть найдётся такое C ∗ , что f ( x ) определена для всех x , для которых | x | > C ∗ . Говорят, что предел функции f ( x ) при x стремящемся к бесконечности равен b , если для всякого ε > 0 найдётся такое C , что для всех x , если | x | > C , то | f ( x ) − b | < ε .

Определение 5. Пусть функция f ( x ) определена для всех достаточно больших значений x , то есть найдётся такое C ∗ , что f ( x ) определена для всех x > C ∗ . Говорят, что предел функции f ( x ) при x стремящемся к плюс бесконечности равен b , если для всякого ε > 0 найдётся такое C , что для всех x > C верно неравенство | f ( x ) − b | < ε .

Определение 6. Пусть функция f ( x ) определена для всех достаточно больших по модулю отрицательных значений x , то есть найдётся такое C ∗ , что f ( x ) определена для всех x < C ∗ . Говорят, что предел функции f ( x ) при x стремящемся к минус бесконечности равен b , если для всякого ε >0 найдётся такое C , что для всех x < C верно неравенство | f ( x ) − b | < ε .

lim x → ∞ f ( x ) = b , lim x → + ∞ f ( x ) = b , lim x → − ∞ f ( x ) = b .

Упражнение 4. Докажите, что если lim x → ∞ f ( x ) = b , то lim x → + ∞ f ( x ) = b и lim x → − ∞ f ( x ) = b . Верно и обратное: если lim x → + ∞ f ( x ) = b и lim x → − ∞ f ( x ) = b , то lim x → ∞ f ( x ) = b . Докажите и это.

Пример 6. Функция f ( x ) = 1 / x стремится к нулю при x → ∞ . (Докажите!)
Пример 7. Функция f ( x ) = e x стремится к нулю при x → − ∞ , а предел при x → + ∞ не существует.

Определение 7. Если функция стремится к какому-то числу при x → + ∞ или x → − ∞ , её график приближается к горизонтальной прямой y = b . Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Замечание 2. Иногда при формулировании определение асимптоты хочется сказать, что это прямая, к которой график приближается, но никогда её не достигает. Для вертикальной асимптоты это верно, а для горизонтальной нет. Например, у функции f ( x ) = 2 есть горизонтальная асимптота y = 2 — в этом случае график совпадает со своей горизонтальной асимптотой. Менее тривиальный пример: рассмотрим функцию f ( x ) = sin x x . Её предел при x → ∞ равен нулю и у неё есть горизонтальная асимптота y = 0 , с которой график пересекается бесконечно много раз.

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py def f(x): return np.sin(x) / x x = np.linspace(-40, 40, 411) plt.figure(figsize=(6, 3)) plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\frac$') plt.plot([0], [1], 'o', color='C0', markersize=4, markerfacecolor='white', markeredgewidth=1.5) plt.plot([-40, 40], [0, 0], '-', linewidth=2, color='C2') plt.legend() ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False) ob.settle_axes(xmin=-40, xmax=40, ymin=-0.5, ymax=1.2, xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.2) plt.xticks([]) plt.yticks([])

Рис. 12.3: Прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой функции f ( x ) = ( sin x ) / x .

Замечание 3. У функции может быть не более двух горизонтальных асимптот: одна соответствует пределу при x → + ∞ , а другая при x = − ∞ .

Вопрос 1. Сколько вертикальных асимптот может быть у функции?

Верный ответ. Это правда. Например, у тангенса их бесконечно много.

Неверный ответ. У функции f ( x ) = 1 / ( x ( x − 1 ) ( x + 1 ) ) их три!

Неверный ответ. Что насчёт тангенса?

Замечание 4. Предел функции f ( x ) при x → + ∞ очень похож на предел последовательности < f ( n ) >при n → ∞ . Однако, это не одно и то же: когда обсуждается предел последовательности, n принимает только натуральные значения, а в случае предела функции x может принимать любые вещественные значения.

Вопрос 2. Рассмотрим два предела: предел функции lim x → + ∞ sin ( π x ) и предел последовательности lim n → ∞ sin ( π n ) . Что вы можете про них сказать?

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

Неверный ответ. Это вряд ли. Функция sin π x может принимать значения 1 или − 1 для сколь угодно больших x .

Неверный ответ. А что вы можете сказать про последовательность < sin ( π n ) >? Найдите несколько её членов.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

Верный ответ. И правда! Последовательность на самом деле состоит из нулей и её предел равен нулю. А функция sin π x может принимать значения 1 или − 1 для сколь угодно больших x , и значит не имеет предела.

12.2.2 Бесконечные пределы на бесконечности

Мы рассмотрели бесконечные пределы в конечных точках и конечные пределы на бесконечности. Можно скрестить ужа с ежом и получить бесконечные пределы при x стремящемся к бесконечности.

Определение 8. Пусть функция f ( x ) определена для всех достаточно больших значений x , то есть найдётся такое C ∗ , что f ( x ) определена для всех x > C ∗ . Говорят, что предел функции f ( x ) при x стремящемся к плюс бесконечности равен плюс бесконечности, если для всякого D найдётся такое C , что для всех x > C верно неравенство f ( x ) > D . Записывают:

lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ .
Упражнение 5. Придумайте определения для остальных комбинаций бесконечностей.

Пример 8. Функция f ( x ) = x 2 стремится к плюс бесконечности при x → ∞ , а функция f ( x ) = x 3 стремится просто к бесконечности при x → ∞ .

Пример 9. Рассмотрим функцию
f ( x ) = 1 1 + e − x .

При x → + ∞ функция e − x стремится к нулю (она равна 1 / e x , и раз e x становится очень-очень большим, e − x становится очень близким к нулю). По арифметике пределов,

lim x → + ∞ 1 1 + e − x = 1 1 + 0 = 1.

При x → − ∞ функция e − x стремится к плюс бесконечности. В этом случае знаменатель дроби также стремится к плюс бесконечности. Поскольку числитель равен 1, значение дроби стремится к нулю (см. утверждение 2 из лекции 7 , где шла речь про «арифметику бесконечностей»). Значит

lim x → − ∞ 1 1 + e − x = 0.

У нашей функции две горизонтальные асимптоты: y = 0 и y = 1 . (И вообще это важная функция — так называемая «сигмоида», встречается в эконометрике и нейросетях.)

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py def f(x): return 1 / (1 + np.exp(-x)) x = np.linspace(-4, 4, 411) plt.figure(figsize=(5, 2)) plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\frac>$') plt.plot([-4, 4], [0, 0], '-', linewidth=2, color='C2') plt.plot([-4, 4], [1, 1], '-', linewidth=2, color='C2') plt.legend() ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False) ob.settle_axes(xmin=-4, xmax=4, ymin=-0.1, ymax=1.2, xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.2) plt.xticks([]) plt.yticks([1], ['$1$'], va="bottom")

Рис. 12.4: У функции f ( x ) = 1 / ( 1 + e − x ) две горизонтальные асимптоты: y = 0 и y = 1 .

Замечание 5. В этой лекции восемь разных определений — и это ещё несколько я попросил вас придумать самостоятельно! Глаза разбегаются. При этом можно заметить, что все определения очень похожи друг на друга. Нет ли возможности как-то их объединить в одно супер-определение? Оказывается, есть — можно ввести общее понятие предела по базе, для которого все наши пределы (предел последовательности и всевозможные пределы функций) будут частными случаями. Затем можно в общем случае доказать все утверждения, которые нам нужны (единственность предела, арифметику и т.д.) Этот подход позволяет сэкономить время, но грешит слишком большой абстрактностью — для первого знакомства с матанализом он не подходит.

Замечание 6. А что с пределами по Гейне? Их сформулировать как раз очень просто. Например, утверждение lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ с точки зрения определения по Гейне означает, что для любой последовательности < x n >, стремящейся к плюс бесконечности, последовательность < f ( x n ) >стремится к минус бесконечности. Аналогично определяются и все остальные понятия, которые мы тут обсуждали. Доказать эквивалентность таких определений по Гейне и тех, которые сформулированы здесь — хорошее упражнение.

12.2.3 Наклонные асимптоты

Пусть lim x → ∞ f ( x ) = ∞ . Тогда функция не может иметь горизонтальных асимптот. Однако её график по-прежнему может приближаться к какой-нибудь прямой — только не горизонтальной.

Пример 10. Рассмотрим функцию
f ( x ) = x + 1 x .

Её предел при x → ∞ равен бесконечности, и когда x стремится к бесконечности, график функции неограниченно приближается к прямой y = x .

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py def f(x): return x + 1 / x x = np.linspace(-4, 4, 411) plt.figure(figsize=(4, 4)) plt.plot(x, f(x), label=r'$y=x+\frac$') plt.plot([-4, 4], [-4, 4], '-', linewidth=1, color='C2') plt.legend() ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False) ob.settle_axes(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4, xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.2) plt.xticks([]) plt.yticks([], [])

Рис. 12.5: У функции f ( x ) = x + 1 x есть наклонная асимптота y = x .

Действительно, давайте возьмём большое значение x = x 0 и посчитаем «расстояние по вертикали» между графиком функции и прямой y = x для этого значения x . (Иными словами, мы проведём вертикальную прямую x = x 0 и посмотрим на расстояние между точками пересечения этой прямой и графиков y = f ( x ) и y = x .) Это расстояние вычисляется как | f ( x ) − x | = | 1 / x | . Оно стремится к нулю при x → ∞ .

Определение 9. Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой функции f ( x ) (или её графика), если хотя бы один из пределов

lim x → + ∞ ( f ( x ) − ( k x + b ) ) ,
lim x → − ∞ ( f ( x ) − ( k x + b ) )
равен нулю.

Замечание 7. Как видно из определения, горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной ( k = 0 ). Всего может быть не более двух наклонных асимптот (одна соответствует x → + ∞ , а другая x → − ∞ ), включая горизонтальные.

Как искать наклонные асимптоты? На эту тему есть рецепт.

Утверждение 1. Наклонная асимптота y = k x + b при x → + ∞ у функции f ( x ) существует тогда и только тогда, когда существуют пределы lim x → + ∞ f ( x ) x = k ; lim x → + ∞ ( f ( x ) − k x ) = b . (12.1) (12.2) При этом они обязаны равняться указанным значениям ( k и b ).

Доказательство. Докажем в одну сторону. Пусть y = k x + b является наклонной асимптотой функции f ( x ) при x → + ∞ . Тогда

lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ f ( x ) − ( k x + b ) + ( k x + b ) x = = lim x → + ∞ ( f ( x ) − ( k x + b ) x + k + b x ) = k

lim x → + ∞ f ( x ) x = = lim x → + ∞ f ( x ) − ( k x + b ) + ( k x + b ) x = = lim x → + ∞ ( f ( x ) − ( k x + b ) x + k + b x ) = k

Предел первого слагаемого равен нулю, поскольку числитель стремится к нулю (по предположению), а знаменатель к бесконечности.

Со вторым пределом ещё проще:

lim x → + ∞ ( f ( x ) − k x ) = lim x → + ∞ ( ( f ( x ) − ( k x + b ) + b ) = b .
lim x → + ∞ ( f ( x ) − k x ) = = lim x → + ∞ ( ( f ( x ) − ( k x + b ) + b ) = b .
В обратную сторону. Пусть существует предел (12.2) и он равен b . Тогда
lim x → + ∞ ( f ( x ) − ( k x + b ) ) = lim x → + ∞ ( f ( x ) − k x ) − b = b − b = 0.
lim x → + ∞ ( f ( x ) − ( k x + b ) ) = = lim x → + ∞ ( f ( x ) − k x ) − b = b − b = 0.
Утверждение доказано. ∎

Конечно, можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для x → − ∞ .

Таким образом, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно сперва найти предел (12.1) . Если он не существует, наклонной асимптоты (для этой бесконечности) точно нет. Если существует, нужно найти предел (12.2) . Если этот предел существует, прямая y = k x + b является наклонной асимптотой.

Пример 11. Может так случиться, что предел (12.1) существует, а предел (12.2) нет. Например, это верно для функции f ( x ) = sin x .

12.3 Заключение

Главная цель математического анализа — научиться «заглядывать в бесконечность». В этой лекции мы серьезно продвинулись в этом навыке.

5 Свойства пределов

Доказательство. Обозначим этот предел за A . Сформулируем все утверждения в кванторах. У нас есть. lim n → ∞ a n = A , в кванторах записывается так:

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < ε . (5.1) ∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < ε . (5.1) Мы хотим получить. Последовательность < a n >ограничена, то есть
∃ C ∀ n ∈ N : | a n | ≤ C . (5.2)
Итак, мы хотим из (5.1) прийти к (5.2) . Начнём как обычно с картинки.
Рис. 5.1: Ограниченность последовательности, имеющей предел.

Хвост последовательности. На картинке видно, что кусок последовательности, начинающийся с номера n = N ( ε ) + 1 («хвост»), явно ограниченный: все элементы живут в коридоре вокруг числа A и не могут от него далеко уходить. Из рисунка получается, что все эти элементы ограничены по модулю числом A + ε (верхняя граница коридора), но это потому, что мы его так нарисовали — если бы A было меньше нуля, картинка оказалась симметричной (относительно горизонтальной оси) и ограничение проходило бы по нижней границе коридора. Чтобы не возиться с разбором разных случаев, мы будем пользоваться свойствами модулей. Однако, прежде, чем мы перейдём к аккуратному построению, нужно решить важный вопрос. Дело в том, что у нас сейчас нет никакого ε . Нам сказано (в (5.1) ), что N найдётся для любого ε > 0 , то есть ε мы можем задавать сами. Но как? На самом деле, здесь можно выбрать любое значение ε > 0 . Например, положим ε = 1 . Пусть N = N ( 1 ) — теперь это какое-то зафиксированное число. Тогда для всех n > N ,

| a n − A | < 1.

Итак, мы имеем оценку для | a n − A | для хвоста последовательности. А хотим, как следует из (5.2) , оценку для | a n | . Как её получить? Воспользуемся неравенством треугольника! Величина | a n | — это расстояние от a n до нуля. Это расстояние не больше, чем сумма расстояний от a n до A и от A до 0 :

| a n | = | a n − 0 | ≤ | a n − A | + | A − 0 | = | a n − A | + | A | .
| a n | = | a n − 0 | ≤ | a n − A | + | A − 0 | = = | a n − A | + | A | .
Но мы знаем, что для n > N , | a n − A | < 1 . Следовательно, для тех же n , | a n | < | A | + 1. (5.3)

Итак, для хвоста последовательности мы получили искомую оценку. Однако, это ещё не конец доказательства. Вдруг хвост ограниченный, а «голова» (элементы до N включительно) нет? Начало последовательности. На самом деле, этого не может быть. Дело в том, что элементов от a 1 до a N всего конечное число (их ровно N штук). А любое конечное множество обязательно ограниченно, потому что в нём есть максимальный элемент — такой элемент, который не меньше всех остальных. (Аккуратное доказательство этого утверждения — хорошее упражнение. Подсказка: можно сделать индукцию по числу элементов и воспользоваться тем фактом, что среди двух чисел всегда одно не меньше другого.) Сведём всё воедино. Итак, хвост последовательности можно ограничить числом | A | + 1 , а начало — максимальным из модулей чисел a 1 , a 2 , …, a N . Положим:

По построению, C искомое. Действительно, для всех натуральных n , либо n ≤ N , и тогда | a n | ≤ C по определению максимума, либо n > N , и тогда | a n | < | A | + 1 ≤ C по (5.3) . ∎

5.1.2 Бесконечные пределы

Итак, мы выяснили, что все сходящиеся последовательности ограничены. Однако, оказывается полезным выделить среди неограниченных последовательностей такие, чьё поведение похоже на поведение последовательностей, которые куда-то стремятся — только не к какому-то числу, а «к бесконечности». Аккуратный смысл этого выражения даётся следующими определениями.

Определение 1. Последовательность < a n >стремится к бесконечности, если для всякого числа C ∈ R найдётся такое натуральное N = N ( C ) , что для всех n > N выполняется неравенство | a n | > C . В кванторах:

∀ C ∈ R ∃ N = N ( C ) ∀ n > N : | a n | > C .
lim n → ∞ a n = ∞
a n → ∞ п р и n → ∞ .
Рис. 5.2: Последовательность стремится к бесконечности.

Определение 2. Последовательность < a n >стремится к плюс бесконечности, если для всякого числа C ∈ R найдётся такое натуральное N = N ( C ) , что для всех n > N выполняется неравенство a n > C . В кванторах:

∀ C ∈ R ∃ N = N ( C ) ∀ n > N : a n > C .
lim n → ∞ a n = + ∞
a n → + ∞ п р и n → ∞ .

Определение 3. Последовательность < a n >стремится к минус бесконечности, если для всякого числа C ∈ R найдётся такое натуральное N = N ( C ) , что для всех n > N выполняется неравенство a n < C . В кванторах:

∀ C ∈ R ∃ N = N ( C ) ∀ n > N : a n < C . lim n → ∞ a n = − ∞ a n → − ∞ п р и n → ∞ .

  1. Последовательность < a n >, a n = n , стремится к бесконечности, а также к плюс бесконечности.
  2. Последовательность < ( − 1 ) n n >стремится к бесконечности, но ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности не стремится.
  3. Последовательность < n + ( − 1 ) n n >не стремится ни к какой бесконечности, хоть и является неограниченной.

Замечание 1. В некоторых источниках — например, в учебнике Стюарта — используются немного другие обозначения: то, что мы называем просто бесконечностью, без знака, там обозначается через ± ∞ , а то, что мы называем плюс бесконечностью, там обозначается просто как ∞ . Мы будем придерживаться более привычными для русскоязычного читателя обозначениями.

Замечание 2. Нужно понимать, что в формуле
lim n → ∞ a n = ∞ ,

знак ∞ не является вещественным числом, то есть эту формулу не следует воспринимать как арифметическое равенство. Это условное обозначение для утверждения, точный смысл которого сформулирован в опредении 1 выше. Несмотря на то, что мы пишем, что предел чему-то равен, мы по-прежнему будем считать, что он не существует (поскольку последовательность < a n >не удовлетворяет определению предела ). Про последовательность < a n >мы будем говорить, что она расходится — но расходится не абы как, а «к бесконечности».

5.2 Арифметика пределов

Пусть есть две последовательности, < a n >и < b n >. Над ними можно проводить арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить. Операции над последовательностями проводятся поэлементно. Например, пусть последовательность < c n >является суммой последовательностей < a n >и < b n >. Можно записать:

что будет означать
∀ n ∈ N : c n = a n + b n .

Серия утверждений, которые мы докажем в этом разделе, говорит о том, как операция перехода к пределу взаимодействует с арифметическими операциями.

5.2.1 Предел суммы

Теорема 2. Пусть даны две последовательности, < a n >и < b n >и существуют пределы lim n → ∞ a n = A , lim n → ∞ b n = B . (5.4) (5.5) Тогда предел последовательности < a n + b n >тоже существует и равен A + B :

lim n → ∞ ( a n + b n ) = A + B .
Попросту говоря, «предел суммы равен сумме пределов».

Заметим, что A и B здесь — обязательно обычные вещественные числа, поскольку требуется, чтобы пределы существовали (см. замечание 2 ).

Доказательство. Перепишем формально, что нам дано, и что требуется доказать.

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.6) (5.7)

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.6) (5.7)

Мы хотим доказать.

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | ( a n + b n ) − ( A + B ) | < ε . (5.8) ∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | ( a n + b n ) − ( A + B ) | < ε . (5.8)

Утверждения (5.6) и (5.7) можно понимать так: мы можем добиться того, чтобы a n был близок к A , а b n был близок к B , накладывая подходящие условия на n . Утверждение (5.8) , которое мы хотим доказать, звучит так: мы хотим научиться накладывать такие условия на n , чтобы сделать ( a n + b n ) близким к ( A + B ) . Выглядит логично: если a n близко к A , а b n близко к B , то логично ожидать, что ( a n + b n ) окажется близко к ( A + B ) . Осталось доказать!

Начнём с преобразования левой части неравенства в конце (5.8) :

| ( a n + b n ) − ( A + B ) | = | ( a n − A ) + ( b n − B ) | .
| ( a n + b n ) − ( A + B ) | = = | ( a n − A ) + ( b n − B ) | .

Это тождественное преобразование (раскрыли скобки и перегруппировали слагаемые), но оно позволяет выделить в формуле те разности, которые мы умеем оценивать: ( a n − A ) и ( b n − B ) . Вернее, мы умеем оценивать их модули, поэтому нам понадобится одно из свойств модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей:

| ( a n − A ) + ( b n − B ) | ≤ | a n − A | + | b n − B | . (5.9)
| ( a n − A ) + ( b n − B ) | ≤ ≤ | a n − A | + | b n − B | . (5.9)

Теперь заметим, что первое слагаемое мы можем сделать меньшим, чем ε 1 , а второе — меньшим, чем ε 2 . Но как выбрать ε 1 и ε 2 ? Мы хотим в конечном итоге прийти к неравенству, в правой части которого будет ε . Значит, можно выбрать ε 1 и ε 2 так, чтобы их сумма равнялась ε . Положим:

ε 1 = ε 2 , ε 2 = ε 2 .

Теперь мы можем подставить эти ε 1 и ε 2 в утверждения (5.6) и (5.7) . Каждое из них выдаст нам в ответ своё N (вернее, N 1 и N 2 ) — номера членов, после которых выполняется соответствующая оценка для | a n − A | и | b n − B | . Мы хотим, чтобы они выполнялись обе. Как обычно, это означает, что из получившихся значений нужно выбрать максимальное.

Итак, мы готовы сформулировать железобетонное доказательство. Для любого ε > 0 положим ε 1 = ε / 2 и ε 2 = ε / 2 . Из (5.6) и (5.7) получим такие N 1 = N 1 ( ε 1 ) = N 1 ( ε / 2 ) и N 2 = N 2 ( ε 2 ) = N 2 ( ε / 2 ) , что для всех n > N 1

| a n − A | < ε 1 = ε 2 , (5.10) и для всех n > N 2
| b n − B | < ε 2 = ε 2 . (5.11) Положим теперь: N ( ε ) : = max ( N 1 ( ε 2 ) , N 2 ( ε 2 ) ) .

Тогда для всех n > N ( ε ) , будет выполнятья n > N 1 и n > N 2 , и значит будут выполняться обе оценки (5.10) и (5.11) .

Значит, согласно (5.9) , для всех таких n , будет также выполняться оценка

| ( a n + b n ) − ( A + B ) | ≤ | A n − A | + | B n − B | < ε 2 + ε 2 = ε . | ( a n + b n ) − ( A + B ) | ≤ ≤ | A n − A | + | B n − B | < < ε 2 + ε 2 = ε .

Таким образом, (5.8) доказано: мы научились по каждому положительному ε строить такое N , что для всех n > N выполнено неравенство | ( a n + b n ) − ( A + B ) | < ε .

Замечание 3. Это типичный пример доказательства теоремы, в которой нам даны какие-то утверждения о пределах и нужно доказать какие-то другие утверждения про пределы. Важно проследить, как это доказательство устроено, какие числа мы воспринимаем как данные, а какие строим сами.

Утверждение (5.8) мы хотим доказать. В нём сказано, что для всякого ε > 0 должно найтись такое N , что (и дальше сказано, что N «хорошее», обладает нужным нам свойством). Это означает, что для доказательства этого утверждения нам нужно научиться по каждому ε научиться строить N (как правило, в таких задачах доказать, что N существует, проще всего, предъявив явный алгоритм, как его строить) и доказывать, что оно «хорошее».

Далее, утверждение, например, (5.6) нам дано. В нём сказано, что для всякого ε 1 > 0 найдётся такое N 1 , что (и дальше сказано, что N 1 «хорошее»). Это означает, что мы можем по своему выбору выбирать ε 1 , и это утверждение в ответ выдаст нам N 1 , которое гарантированно удовлетворяет указанному далее свойству. В дальнейшем мы можем использовать это N 1 в нашем доказательстве — в данном случае мы его использовали (вместе с N 2 , полученным из (5.7) ), чтобы построить наше N , существование которого нужно было доказать. В доказательстве того, что N действительно то, которое нам нужно, мы использовали соответствующие «хорошие» свойства N 1 и N 2 , гарантированные нам утверждениями (5.6) и (5.7) . Чтобы связать всю конструкцию воедино, нам нужно было выбрать ε 1 и ε 2 в зависимости от нашего ε . Мы их выбрали ровно такими, чтобы получившаяся оценка была такой, какая нам нужна.

Всё вместе это выглядит как построение своего рода механизма, который принимает какой-то материал на вход и на выход выдаёт в точности то, что требуется, используя по ходу своей работы промежуточные механизмы, которые нам также даны, см. рис. 5.3 и 5.4 .

Рис. 5.3: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: построение N по ε .

Рис. 5.4: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: доказательство, что построенное N удовлетворяет условию в определении предела.

Построением таких механизмов мы будем заниматься на протяжении всего курса.

5.2.2 Упрощающая лемма

Давайте посмотрим ещё раз на доказательство теоремы 2 . Нам пришлось довольно хитрым образом выбирать ε 1 и ε 2 по ε , чтобы в итоге получилось нужное неравенство. Этот момент выглядит немножко неестественным. Что было бы, если бы мы просто положили ε 1 = ε и ε 2 = ε ? Тогда в конечном итоге было бы доказано такое утверждение:

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < 2 ε .

Это утверждение не является определением предела. Тем не менее, понятно, что оно эквивалентно определению предела: выбирать произвольное положительное значение ε и выбирать произвольное положительное значение 2 ε — это одно и то же!

Следующая лемма, которой мы будем в дальнейшем пользоваться, формализует это соображение.

Лемма 1. Пусть нашлась такая константа C , что для всякого ε 1 > 0 найдётся такое N 1 = N 1 ( ε 1 ) что для всякого n > N 1 выполняется неравенство | a n − A | < C ε 1 . Тогда lim n → ∞ a n = A .

∃ C ∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < C ε 1 . ∃ C ∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < C ε 1 . lim n → ∞ a n = A . (5.12)

Иными словами, если при доказательстве утверждения (5.12) получилось доказать «испорченное» определение предела, где в правой части последнего неравенства вместо ε стоит 10 ε или 15 ε или какое-нибудь ( M + 1 ) 2 ε — ничего страшного, это всё равно победа. Главное, чтобы константа, стоящая перед ε , не зависела от n .

Доказательство. Во-первых, заметим, что C обязательно больше нуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен, поэтому неравенство | a n − A | < C ε 1 может выполняться лишь при условии, что в правой части стоит положительное число, а ε 1 >0 , значит C > 0 .

Перепишем условие (5.12) формально. Оно выглядит так:

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < ε .

Чтобы по ε найти N , возьмём ε 1 = ε C (имеем право так написать, потому что C > 0 , и значит деление допустимо и не поменяет знак) и положим N = N 1 ( ε 1 ) = N 1 ( ε / C ) . Тогда для всех n > N выполняется неравенство:

| a n − A | < C ε 1 = C ε C = ε . Что и требовалось получить. Лемма доказана. ∎

Замечание. В формулировке леммы C может быть меньше 1 , хотя в этом случае она становится тривиальной: если у нас есть утверждение, начинающееся как определение предела, а заканчивающееся, например, неравенством | a n − A | < ε / 2 , то это уже победа: мы просто продолжим цепочку неравенств | a n − A | < ε / 2 < ε и получим то, что требовалось в «честном» определении предела. Можно было бы в доказательстве леммы рассмотреть два случая, C < 1 и C >1 , и для C < 1 написать более простое рассуждение (просто «ничего не делать», то есть положить ε 1 = ε , N = N 1 ( ε ) ), но приведённое выше доказательство работает в обоих случаях, так что в этом нет необходимости.

Теперь при доказательстве теорем, аналогичных теореме 2 , мы не будем подбирать хитрым образом вспомогательные ε , а вместо этого просто будем считать ε 1 = ε 2 = ε и дальше воспользуемся только что доказанной леммой. Начнём с теоремы о пределе произведения.

5.2.3 Предел произведения

Теорема 3. Пусть даны две последовательности, < a n >и < b n >и существуют пределы lim n → ∞ a n = A , lim n → ∞ b n = B . (5.13) (5.14) Тогда предел последовательности < a n b n >тоже существует и равен A B :

lim n → ∞ a n b n = A B .
Попросту говоря, «предел произведения равен произведению пределов».
Доказательство. Как обычно, запишем, что нам известно, и что нужно доказать.

Нам дано. Равенства (5.13) и (5.14) записываются в виде:

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.15) (5.16)

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.15) (5.16)

Мы хотим доказать. Равенство (5.17) :

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n b n − A B | < ε . (5.17) ∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n b n − A B | < ε . (5.17)

Преобразуем левую часть последнего неравенства в (5.17) . Для этого воспользуемся картинкой (см. рис. 5.5 ).

Рис. 5.5: Иллюстрация к формуле (5.18) .

Выражение ( a n b n − A B ) — разность площадей двух прямоугольников, которая выглядит как уголок. Можно разбить этот уголок на два прямоугольника, один со сторонами ( a n − A ) и B , а другой со сторонами a n и ( b n − B ) . Имеем:

| a n b n − A B | = | ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | . (5.18)
| a n b n − A B | = = | ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | . (5.18)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, легко проверить, что это алгебраическое тождество. (Как правило переход слева направо в этом тождестве делается с помощью приёма «добавим и вычтем a n B », что выглядит как фокус — нарисовав картинку мы раскрыли секрет этого фокуса.)

Воспользуемся теперь свойствами модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей, модуль произведения равен произведению модулей. Получаем такую оценку:

| ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | ≤ | a n − A | ⋅ | B | + | a n | ⋅ | b n − B | (5.19)
| ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | ≤ ≤ | a n − A | ⋅ | B | + + | a n | ⋅ | b n − B | (5.19)

Заметим, что сомножители | a n − A | и | b n − B | мы умеем делать маленькими благодаря известным нам пределам. А именно, положим ε 1 = ε 2 = ε и пусть N = max ( N 1 ( ε ) , N 2 ( ε ) ) . Тогда для всех n > N :

| a n − A | < ε , | b n − B | < ε . Разберемся теперь с остальными сомножителями (см. рис. 5.6 ).

Во-первых, | B | . С ним ничего делать не надо: это просто число, которое не зависит от n .

Далее, | a n | . С этой штукой не так просто: она от n зависит. Однако, мы помним , что последовательность, имеющая предел, ограничена. А последовательность < a n >имеет предел по условию. Значит, найдётся такое C 1 , что для всех n , | a n | < C 1 .

Рис. 5.6: Иллюстрация к формуле (5.20) .

Все сомножители неотрицательны, и значит можно оценить каждый из сомножителей, оценить их произведение, а потом оценить сумму. Имеем:

| a n − A | ⋅ | B | + | a n | ⋅ | b n − B | < | B | ε + C 1 ε = ( | B | + C 1 ) ε . (5.20) | a n − A | ⋅ | B | + + | a n | ⋅ | b n − B | < < | B | ε + C 1 ε = ( | B | + C 1 ) ε . (5.20)

Соединяя (5.18) , (5.19) и (5.20) в одну длинную цепочку неравенств, получаем неавенство, верное для всех n > N :

| a n b n − A B | < ( | B | + C 1 ) ε . Положим теперь C = | B | + C 1 и по лемме 1 искомое утверждение доказано. ∎

5.3 Заключение

Мы продолжаем строить теорию пределов и в этой лекции определили новое понятие — бесконечные пределы, причём аж трёх видов (к счастью, очень похожих друг на друга). Мы также доказали ряд важных общих свойств конечных пределов. Во-первых, сходящаяся (к конечному числу) последовательность ограничена. Во-вторых, предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов (но только если все эти пределы существуют, то есть, опять же, конечны). Наконец, мы доказали очень полезную лемму, которой будем пользоваться в дальнейшем. В следующей лекции мы разберемся с пределом частного — с ним будет всё похитрее. Не переключайтесь!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *