Когда неравенство выполняется при всех значениях х
Перейти к содержимому

Когда неравенство выполняется при всех значениях х

  • автор:

Правила решения неравенств

При решении числовых неравенств пользуются несколькими правилами, основанными на свойствах неравенств. Решить числовое неравенство с переменной — это значит, найти такие значения переменной (область значений), при которых данное неравенство становится верным. Обычно значения переменных выражаются пределами (множествами чисел, лучами, отрезками), которым они принадлежат.

Правила решения неравенств позволяют привести неравенство к виду, когда область значений становится очевидна. Например, x < b, где знак неравенства и число b могут быть любыми.

Перечислим эти правила.

Член неравенства можно перенести из одной его части в другую. При этом следует поменять знак этого члена на противоположный. Например:

Здесь положительное число 4 было перенесено из левой части неравенства в правую. При этом число стало отрицательным. Почему можно это делать? Одним из свойств числовых неравенств является следующее: если a < b, то a + c < b + c. Другими словами, если к обоим частям исходного неравенства прибавить одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Перенос члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком — это по-сути прибавление к обоим частям одного и того же числа. В приведенном выше примере к обоим частям неравенства было прибавлено число –4:

Левую и правую части неравенства можно одновременно умножить или разделить на одно и тоже число. Если это число положительное, то знак неравенства не меняется. Если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

Данное правило вытекает из свойства числовых неравенств. Если a < b и c >0, то ac < bc; если же с < 0, то ac >bc. Это правило касается только умножения. Однако операцию деления можно представить, как умножение на 1/c (как дробь).

Допустим, дано неравенство –0,5x ≥ 1. Здесь можно умножить обе части на –2 (чтобы получить 1x в левой части). Поскольку умножение выполняется на отрицательное число, то следует поменять знак неравенства на обратный. Получится x ≤ –2. Таким образом, неравенство –0,5x ≥ 1 верно при x ∈ (–∞; 2].

Неравенства. Общие свойства
консультация по алгебре

Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.

Из двух чисел a и b справедливо одно из следующих соотношений: а > b , а b , a = b .

☑

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если разность a – b положительна, то а > b ; если разность а – b отрицательна, то а b ; если разность а – b равна нулю, то a = b .

Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.

Неравенства а > b и а b называют строгими неравенствами. Рассматриваются также нестрогие неравенства:

  • неравенство a ≥ b , читают «а больше или равно b », или «а не меньше b »; это неравенство верно, если а > b или a = b
  • неравенство a ≤ b , читают «а меньше или равно b », или «а не больше b »; это неравенство верно, если a b или a = b .

Например, верными являются неравенства 7 ≥ 2, 7 ≥ 7, 5 ≤ 6.

Справедливы следующие свойства неравенств :

  • (1) если а > b , то b
  • (2) если а > b и b >с, то а > с (транзитивность неравенства);
  • (3) если а > b и с – любое число, то a + с > b + с;
  • (4) если а > b и с > 0, то ac > bc ; если a > b и с b с;
  • (5) если а > b и c > d, то a + с > b + d;
  • (6) если а > b и с > d и a , b , с, d – положительные числа, то ас > b d.

Свойство (3) читают так: к обеим частям неравенства можно прибавить любое число. Слово «можно» здесь (и далее) означает, что при таком преобразовании получается неравенство, равносильное данному, т. е. оно будет верным, если данное неравенство было верным, и неверным, если исходное неравенство было неверным. Из этого свойства следует, что любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Свойство (4) читается так: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения; обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный. В частности, если поменять знаки обеих частей неравенства на противоположные (т. е. умножить обе части неравенства на – 1), то надо заменить на противоположный и знак неравенства. Например, поменяв знаки обеих частей неравенства – 10 – 2. Полезно также уметь работать с двойными неравенствами: при изменении знаков всех трёх частей двойного неравенства оба знака неравенства заменяются на противоположные. Так, заменив знаки в двойном неравенстве а ≥ b – а ≥ –b > – с, или в более привычной записи – с –b ≤ – а.

Свойства (5) и (6) читают так: неравенства одного знака можно почленно складывать; неравенства одного знака с положительными членами можно почленно умножать.

Аналогичные неравенства справедливы и для знаков >,

Примеры решения задач на неравенства

Неравенства

Пример 1 . На координатной прямой отмечены числа a и

b . Выберите из следующих утверждений верное.

1) а – b – b – 2;
3) а – b > – 2; 4) а – b > 2

При выполнении задания используется определение понятий «больше» и «меньше» и свойство транзитивности. Из рисунка видно, что а > b . Отсюда а – b > 0. Значит, неравенства 1 и 2 не являются верными. Рассмотрим неравенство 3. Так как a – b > 0 и 0 > – 2, то a – b > – 2, т. е. это утверждение верно. Убедимся на всякий случай в том, что неравенство под номером 4 не является верным. Действительно, из а – b > 0 не следует, что a – b >2, так как, например, при а=1, b = 0 разность а – b равна 1, т. е. меньше 2.

Пример 2. Известно, что х > 10, y > 20. Какие из следующих неравенств верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих этому условию: I. ху > 200; II. ху > 100; III. ху > 400 ?

1) I и II 2) I и III 3) II и III 4) I, II и III

Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным. Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100. Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.

Пример 3 . Оценим разность а – b , если известны границы a и b : 10 b

Неравенства одинакового смысла можно складывать, поэтому заменим разность суммой: a + ( –b ) и найдём границы числа –b: –4 > –b > – 5, или – 5 –b – 4. Теперь сложим почленно двойные неравенства: 10 a – 5 – 6 – 4, получим 5 a – b

Пример 4 . Докажем, что если a и b – положительные числа, то а 2 > b 2 в том и только в том случае, когда а > b .

Воспользуемся алгебраической трактовкой отношения «больше». Сначала докажем, что если а > b > 0, то а 2 > b 2 . Для этого рассмотрим разность а 2 – b 2 :

а 2 – b 2 = (а – b ) (а + b ).

Оба множителя в правой части равенства положительны: а – b > 0, так как a > b ; a + b > 0, так как a и b – положительные числа. Значит, а 2 – b 2 > 0, отсюда следует, что а 2 > b 2 . Теперь докажем обратное утверждение: если а > 0, b > 0 и а 2 > b 2 , то а > b :

а 2 – b 2 = (а – b ) (а + b ).

Из того что а 2 > b 2 , следует, что а 2 – b 2 > 0, значит, произведение в правой части положительно. Так как a + b > 0, то второй множитель а – b также положителен, т. е. а – b > 0. Следовательно, а > b .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Общие свойства кислот

Урок в 8 кл на тему «Общие свойства кислот» с проведением лабораторной работы по учебнику Рудзитиса.

Общие свойства металлов(урок-семинар в 9 классе по изучению нового материала)

Данный материал поможет учителю, особенно молодому, провести первый урок по теме «Общие свойства металлов», используя технологию работы в группах, самостоятельной работы учащихся по приоб.

Урок химии в 9 классе с использованием ЭОР «Общие свойства металлов»

Урок изучения нового материала по теме «Общие свойства металлов» с критериями самооценки выполненной работы.

Урок химии в 9 классе с использованием ЭОР «Общие свойства металлов»

урок изучения нового материала с использованием ЭОР с критериями самооценки выполнения работы.

структура модуля урока «Общие свойства кислот» 8 класс

разработка урока по модульной технологии по теме «Общие свойства кислот» 8 класс. Цели данного урока: Дать понятия о кислотах как классе электролитов, рассмотреть их классификацию по различным признак.

«Биология – наука о живом мире. Общие свойства живых организмов».

Данная презентация является вспомогательным материалом для вводного урока по биологии. Биология (от греч. bios — жизнь, logos — наука) — наука о жизни, об.

урок по химии в 9 классе «Неметаллы. Общие свойства неметаллов»

Метапредметный урок «Информация и знание». Это первый урок в теме «Неметаллы».

Доказательство неравенств

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

Поскольку разность равна отрицательному числу,

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Поскольку (a1b2-a1b1)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a1b2-a1b1)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

  • Неравенство Коши:

\[ \frac{{a_1 + a_2 + . + a_n }}{n} \ge \sqrt[n]{{a_1 a_2 . a_n }} \]

При a1= a2= …= an неравенство превращается в равенство.

  • Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

  • Неравенство Коши-Буняковского

Равенство достигается лишь в случае, когда числа xi и yi пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство xi=kyi.

  • Неравенство Бернулли

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

  • Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

  1. При n1
  2. При 0

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

  • Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

  • Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

\[ (x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} . \]

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

\[ \frac{{x + a}}{2} \ge \sqrt {xa} ,\frac{{x + b}}{2} \ge \sqrt {xb} ,\frac{{x + c}}{2} \ge \sqrt {xc} ; \]

\[ x + a \ge 2\sqrt {xa} ,x + b \ge 2\sqrt {xb} ,x + c \ge 2\sqrt {xc} . \]

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

\[ 2\sqrt {xa} ></p>
<p> 0,2\sqrt {xb} > 0,2\sqrt {xc} > 0. \]» width=»243″ height=»21″ /></p>
<p><img loading=

\[ (x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} . \]

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

\[ 3^{20} + 4^{20} < 4^{20} + 4^{20} , \]

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

\[ \frac{{2 \cdot 4^{20} }}{{4^{20} }} < \frac{{5^{20} }}{{4^{20} }}, \Rightarrow 2 < \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} . \]

\[ \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} = \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} . \]

Применим неравенство Бернулли:

\[ \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} \ge 1 + 20 \cdot \frac{1}{4}, \]

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Неравенства в математике с примерами решения и образцами выполнения

неравенства

Людмила Фирмаль Людмила Фирмаль

Два неравенства А >В и С называются неравенствами противоположного смысла.

Иногда приходится пользоваться знаком неравенства(читается: «больше или равно») или знаком неравенства(читается: «меньше или равно»). Например,

неравенства

(равенство имеет место лишь при а = 0),

неравенства

(равенство имеет место лишь при х = у).

Если неравенства(равенство имеет место лишь при неравенства).

Определение. Действительное число А называется большим действительного числа В, если разность А—В положительна.

Если же разность А — В отрицательна, то А меньше В.

Теорема:

Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, то получится неравенство того же смысла.

Пусть А > В и m > 0. Тогда

неравенства

Но по условиям теоремы А — B>0 и m > 0. Следовательно, Am—Вm > 0. Из последнего неравенства по определению следует, что Am > Вm, что и требовалось доказать.

Теорема:

Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, то получится неравенство противоположного смысла.

Пусть A > B и m < 0. Тогда

неравенства

Am > Вm.

Примем к сведению следующие положения, не останавливаясь на их доказательствах:

  1. Если A >B, то В.
  2. Если A > B и B > С, то A > С (транзитивность неравенств).
  3. Если A >B и Q—произвольное число, то A + Q > B + Q.
  4. Если A > В и С > D, то A + C > B + D.
  5. Если А>В и C, то A—C>B — D.
  6. Если A>B и C>D, то неизвестно, что больше А—С или B — D. Возможен и тот и другой случай.
  7. Если А>В и C>D и при этом числа А и D положительные, то АС>BD.
  8. Если А > В и если А и В — положительные числа, то неравенствагде n — натуральное число и где неравенства— арифметические значения корней.
  9. Неравенство

неравенства

справедливо лишь тогда, когда хну либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны.

То же следует сказать и относительно неравенства

неравенства

Доказательство неравенств

1. Доказать неравенство

неравенства

неравенства

где

Чтобы доказать, что неравенствабольше или равно неравенства. Достаточно убедиться в том, что разность между неравенствабольше или равна нулю. Очевидно, что

неравенства

Но последнее выражение отрицательным быть не может. Следовательно,

неравенства

неравенства

что и требовалось доказать. (Равенство имеет место лишь при)

Число неравенстваявляется средним арифметическим чисел неравенстваа число неравенства— их средним геометрическим.

Из доказанного неравенства следует, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

2. Доказать неравенство

неравенства

где а > 0 и b > 0.

Составим разность между левой и правой частями этого неравенства и убедимся в том, что она неотрицательна.

неравенства

Очевидно, что

Последнее выражение отрицательным быть не может. Следовательно,

неравенства

а это и требовалось доказать. (Равенство имеет место лишь при а = b.)

3. Доказать неравенство

неравенства

неравенства

неравенства

что и требовалось доказать. (Равенство имеет место лишь при а = b.)

4. Доказать неравенство

неравенства

при условии, что a, b и с — положительные числа.

Докажем, что разность между левой и правой частями этого неравенства больше или равна нулю.

неравенства

Но последнее выражение отрицательным быть не может. Следовательно,

неравенства

неравенства

что и требовалось доказать. (Равенство имеет место лишь при условии, что a = b = с.)

5. Доказать неравенство

неравенства

неравенства

при условии, что числа — положительны и что

неравенства

Доказательство:

Как уже было доказано, если х и у— числа неотрицательные, то

неравенства

неравенства

Полагая получим:

неравенства

неравенства

Перемножая левые и правые части этих неравенств, получим:

неравенства

Но по условию неравенстваПоэтому неравенства

неравенства

что и требовалось доказать.

6. Доказать, что неравенство

неравенства

справедливо при всяком действительном значении х.

После выделения полного квадрата неравенство примет вид:

неравенства

Но это неравенство справедливо при всяком действительном значении х. Следовательно, и первоначальное неравенство обладает этим свойством.

7. Доказать, что неравенство

неравенства

справедливо при любых действительных значениях х и у.

Преобразуем левую часть неравенства следующим образом:

неравенства

Теперь неравенство примет вид:

неравенства

Левая часть этого неравенства, а следовательно, и левая часть первоначального неравенства положительна при любых действительных значениях х и у.

Неравенства с одним неизвестным

Примеры неравенств с одним неизвестным:

неравенства

Решить неравенство с одним неизвестным — это значит найти все такие значения неизвестного, при которых это неравенство справедливо (или убедиться, что ни одного такого значения нет).

Решением неравенства называется всякое значение неизвестного, при котором неравенство справедливо.

Существуют неравенства, не имеющие ни одного решения.

Например, таковы неравенства:

неравенства

Два неравенства называются равносильными, если любое решение одного из них является решением другого, и наоборот.

Аналогично двум основным теоремам о равносильности уравнений имеют место и теоремы о равносильности неравенств.

Теорема:

Если к обеим частям неравенства, содержащего неизвестное, прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, то получим новое неравенство, равносильное данному. (Прибавляемое выражение должно быть определенным при тех же значениях неизвестного, при которых будут определенными одновременно левая и правая части данного неравенства.)

Теорема:

Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному.

Если же обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, то получим неравенство противоположного смысла, равносильное данному.

Убедиться в справедливости этих свойств неравенств можно таким же путем, каким мы убеждались в верности теорем о равносильности уравнений.

Следствие из теоремы 1. Члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из одной части неравенства в другую.

Следствие из теоремы 2. Неравенство с дробными коэффициентами можно преобразовывать в неравенство с целыми коэффициентами.

Неравенство можно сокращать на общий множитель всех его членов, не содержащий неизвестного. Если этот общий множитель положительный, то смысл неравенства сохранится, а если отрицательный, то изменится на противоположный.

Примечание. Нельзя умножать или делить члены неравенства на выражение, если неизвестно, каким числом, положительным или отрицательным, оно является.

Решение неравенств первой степени с одним неизвестным

Всякое неравенство первой степени с одним неизвестным можно привести к виду

неравенства

  1. Если А>0, то неравенства
  2. Если А < 0, то неравенства
  3. Если А = 0 и В > 0, то неравенство справедливо при любом значении х.
  4. Если А = 0 и В < 0, то неравенство решения не имеет.

Пример:

неравенства

Умножив левую и правую части неравенства на 12, получим:

неравенства

Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а известные в правую:

неравенства

неравенства

Все действия, выполненные нами (умножение на 12, перенесение членов из одной части неравенства в другую с противоположным знаком), как мы видели, оставляют неравенства равносильными. Следовательно, данное неравенство справедливо при тех же значениях х, при которых справедливо неравенство х > 2.

Следовательно, данное неравенство удовлетворяется при всех значениях х, больше двух. На числовой оси эти значения изображаются всеми точками, лежащими справа от точки х=2 (рис. 125).

Решение систем неравенств первой степени

Системой неравенств называется совокупность неравенств, в которых под одной и той же буквой, обозначающей неизвестное, подразумевается одна и та же величина.

Чтобы указать, что неравенства, например 2х—3>0 и 5—4х>0, рассматриваются как система неравенств, записывают так:

неравенства

Решить систему неравенств с одним неизвестным— значит найти все те значения неизвестного, при которых оба неравенства системы становятся одновременно справедливыми, либо убедиться, что ни одного такого значения неизвестного не существует.

Всякое значение неизвестного, удовлетворяющее одновременно всем неравенствам системы, называется решением этой системы.

Примеры:

1. Решить систему:

неравенства

Решив первое неравенство, получим:

неравенства

Решив второе неравенство, получим:

неравенства

Следовательно, данная система удовлетворяется только при тех значениях х, которые заключены между 1 и 2 (рис. 126), т. е. 1.

2. Решить систему:

неравенства

Решив первое неравенство, получим:

неравенства

Решив второе, получим:

неравенства

Следовательно, система не имеет ни одного решения, так как нет такого числа, которое было бы одновременно больше 2 и меньше 1 (рис. 127).

неравенства

3. Решить систему:

неравенства

Эта система приводится к следующей:

неравенства

Следовательно, данная система удовлетворяется лишь при всех значениях х, больших 7.

4. Решить систему:

неравенства

Эта система приводится к следующей:

неравенства

Следовательно, данная система удовлетворяется лишь при всех значениях х, меньших 1.

5. Решить систему:

неравенства

Эта система приводится к виду:

неравенства

Следовательно, данная система удовлетворяется лишь при всех значениях х, заключенных между числами 2 и 7, т. е. 2 < х< 7.

Иногда решение одного неравенства сводится к решению систем неравенств. Например, решениями неравенства

неравенства

будут только решения следующих двух систем:

неравенства

неравенства

будут только решения следующих двух систем:

неравенства

Пример:

неравенства

неравенства

Здесь нежелательно умножать обе части неравенства на выражение , так как мы не знаем, каким числом, положительным или отрицательным, оно является.

Решение этого неравенства надо начинать с переноса всех членов этого неравенства в левую часть. Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим:

неравенства

Преобразуя левую часть этого неравенства, получим:

неравенства

Решениями последнего неравенства будут только решения следующих двух систем:

неравенства

неравенства

Первая система удовлетворяется при всех значениях х, заключенных между и 2.

Вторая система не имеет ни одного решения. Следовательно, и первоначальное неравенство удовлетворяется лишь при значениях х, заключенных между неравенстваи 2, т. е. неравенства

Пример:

неравенства

Решениями этого неравенства будут только решения следующих двух систем:

неравенства

Следовательно, первоначальное неравенство будет удовлетворяться как при всех значениях х, больших 8, так и при всех значениях х, меньших 3.

Решение неравенств второй степени

Всякое неравенство второй степени может быть приведено к виду:

неравенства

В самом деле, если имеем неравенство вида неравенства, то, умножив обе части этого неравенства на — 1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим неравенство неравенства неравенствавида (1). Поэтому неравенство (1) называется общим видом неравенства второй степени.

неравенства

1. Решения неравенства

неравенства

1.Случай, когда

(Выражение неравенстваназывается дискриминантом трехчлена неравенства.)

В этом случае данное неравенство можно записать в следующем виде (см. стр. 298):

неравенства

неравенства

где —действительные и различные корни трехчлена

неравенства

Будем считать, что буквой неравенстваобозначен больший корень, а буквой неравенства— меньший.

Пусть А > 0. Тогда в решение неравенства (2), а следовательно, и (1) войдут только решения следующих двух систем:

неравенства

Отсюда легко заключить, что решением данного неравенства будет совокупность всех чисел, больших неравенства, а также совокупность всех чисел, меньших неравенства.

неравенства

Первая из этих двух систем не имеет ни одного решения. Вторая же система удовлетворяется при всех значениях х, заключенных между неравенстваи неравенства.

неравенства

Следовательно, и данное неравенство 2-й степени будет удовлетворяться лишь значениями х, заключенными между корнями

неравенства

2. Случай, когда

Пользуясь выделением полного квадрата, запишем данное неравенство в виде:

неравенства

неравенства

Пусть А > 0. Тогда неравенство удовлетворяется при всяком значении х, так как

неравенства

3. Случай, когда В

Опять запишем данное неравенство в виде:

неравенства

неравенства

Пусть А > 0. Тогда данное неравенство удовлетворяется при всяком значении х, кроме .

Если А > 0 и если неравенство неравенствасправедливо при всяком значении х, то дискриминант многочлена неравенства, т. е. выражение неравенства, не может оказаться положительным. Это следует из того, что при А > 0 и неравенстванеравенство

неравенства

удовлетворялось бы не любыми значениями х.

2. Выводы, относящиеся к решению неравенства

неравенства

неравенства

1. Если и А > 0, то неравенство (I) будет удовлетворяться как значениями х, большими большего корня, так и значениями х, меньшими меньшего корня многочлена

неравенства

2. Если неравенстваи А < 0, то неравенство (I) будет удовлетворяться всеми значениями х, заключенными между корнями неравенстваи неравенства, многочлена неравенства.

неравенства

3. Если и А > 0, то неравенство (1) будет удовлетворяться при любом действительном значении х.

неравенства

4. Если и А < 0, то неравенство (I) не будет удовлетворяться ни при каком значении х.

неравенства

5. Если и А>0, то неравенство (I) будет удовлетворяться при всяком значении х, за исключением значения

неравенства

6. Если и А < 0, то неравенство (I) не может удовлетворяться ни при каком значении х.

Примечание. Запоминать эти выводы нет смысла, так как пользоваться ими приходится очень редко. Лучше всего закрепить в своей памяти не эти 6 выводов, а тот способ, с помощью которого они получаются. Прежде всего надо закрепить в своей памяти то, что при неравенстванадо прибегать к разложению многочлена неравенствана линейные множители, а в случае неравенствавыделять полный квадрат.

неравенства

3. Геометрическая интерпретация решений неравенства .

Мы знаем, что графиком функции неравенстваявляется парабола с осью, параллельной оси неравенства. Ордината вершины этой параболы равна неравенства

Парабола простирается неограниченно вверх, если А > 0, и вниз, если А < 0(см. стр. 341).

1. Пусть неравенстваи А >0, тогда неравенства. В этом случае вершина параболы будет лежать в нижней полуплоскости и сама парабола будет простираться вверх (рис. 128) ( неравенстваи неравенства— корни многочлена неравенства; неравенства— меньший корень, а неравенства— больший).

Из рисунка 128 мы видим, что значения трехчлена неравенства, т. е. ординаты точек параболы, положительны как при неравенстватак и при неравенства.

неравенства

неравенства

2. Пусть и А . В этом случае вершина параболы будет лежать в верхней полуплоскости и сама парабола будет простираться вниз (рис. 129).

неравенства

Из рисунка 129 мы видим, что значения трехчлена неравенстваположительны при неравенства.

неравенства

3. Пусть и А > 0. В этом случае вершина параболы будет лежать в верхней полуплоскости и сама парабола будет простираться вверх (рис. 130).

неравенства

На рисунке 130 мы видим, что значения трехчлена положительны при всех значениях х.

неравенства

4. Пусть и А < 0. В этом случае вершина параболы будет лежать в нижней полуплоскости и сама парабола будет простираться вниз (рис. 131).

неравенства

неравенства

На рисунке 131 мы видим, что значения трехчлена не могут быть положительными ни при каком значении х.

5. Пусть неравенстваи А > 0. В этом случае вершина параболы будет лежать на оси неравенстваи парабола будет простираться вверх (рис. 132).

неравенства

На рисунке 132 мы видим, что значения трехчлена неравенствабудут положительными при всех значениях х, за исключением
единственного значения неравенстваесть абсцисса вершины параболы).

6. Пусть неравенстваи А < 0. В этом случае вершина параболы будет лежать на оси неравенстваи парабола будет простираться вниз (рис. 133).

неравенства

неравенства

неравенства

На рисунке 133 мы видим, что значения трехчлена не могут быть положительными ни при каком значении х.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство

неравенства

неравенства

Поэтому решение данного неравенства сведется к решению неравенства

неравенства

неравенства

Значит, данному неравенству будут удовлетворять как все значения х, меньшие трех, так и все значения, большие пяти, и никакие другие.

2. Решить неравенство

неравенства

Умножив обе части неравенства на —1, получим:

неравенства

неравенства

неравенства

Последняя, т. е. вторая, система неравенств решений не имеет.

неравенства

Значит, неравенству удовлетворяют только значения х, заключенные между числами 3 и 5.

Замечания. а) Из неравенства неравенстваследует, что неравенстват. е. что — 1 .

б) Из неравенства неравенстваимеем, что неравенства, т. е. что либо х < — 1, либо же х > 1.

неравенства

3. Решить неравенство .

Из данного неравенства получается, что неравенства, т. е. что неравенства. Из неравенства неравенстваследует, что х > 1, а из неравенства х — 2 < 1получается, что х < 3.

Итак, данное неравенство удовлетворяется лишь значениями х, лежащими между числами 1 и 3, т. е. принадлежащими промежутку (1; 3).

4. Решить неравенство

неравенства

Из данного неравенства следует, что

неравенства

Сначала решим неравенство

неравенства

Из этого неравенства следует, что

неравенства

Теперь решим неравенство

неравенства

Из этого неравенства следует, что

неравенства

неравенства

удовлетворяют такие и только такие значения х, которые определяются следующими двумя неравенствами:

неравенства

Последним же двум неравенствам удовлетворяют как все числа, заключенные между неравенства, так и все числа, заключенные между неравенства(см. рис. 134).

неравенства

5. При каких значениях m неравенство

неравенства

справедливо для любого действительного значения х?

Решим эту задачу двумя способами.

Способ 1. Неравенство

неравенства

справедливо при любом значении х тогда и только тогда, когда

неравенства

В неравенстве (1) А = 1 > 0. Поэтому остается потребовать выполнения неравенства

неравенства

т. е. неравенства

неравенства

которое после преобразования принимает вид

неравенства

неравенства

В решение последнего неравенства войдут только решения следующих двух систем:

неравенства

Вторая система не имеет ни одного решения, а первая удовлетворяется при всех значениях m, заключенных между 3 и 5.

Следовательно, первоначальное неравенство будет справедливым при любых значениях х лишь тогда, когда число т будет заключаться между 3 и 5, т. е. когда 3.

Способ 2. График функции

неравенства

неравенства

есть парабола, бесконечно простирающаяся вверх, так как коэффициент при положительный.

Для того чтобы ордината у была положительной при всяком значении х, необходимо и достаточно, чтобы вершина этой параболы лежала в верхней полуплоскости, т. е. необходимо и достаточно, чтобы ордината вершины параболы была положительной. Но ордината вершины параболы

неравенства

неравенства

неравенства

Дальше ход рассуждений тот же, что и в первом способе.

6. Доказать неравенство Буняковского — Коши:

неравенства

неравенства

где — любые действительные числа.

Доказательство:

неравенства

неравенства

при всяком действительном значении t.

Следовательно, дискриминант левой части неравенства будет меньше или равен нулю, т. е.

неравенства

(см. замечание на стр. 389).

неравенства

что и требовалось доказать.

Неравенства и их решение

Основные свойства неравенств

Пусть а и b — какие-нибудь вещественные числа. Если разность а — b положительна, то говорят, что а больше b:

Неравенства

Если разность а — b отрицательна, то говорят, что а меньше b:

Неравенства

Точно так же, если а > b, то разность а — b положительна, если же а < b, то разность а — b отрицательна.

Для того чтобы высказать утверждение, что численное значение какого-нибудь алгебраического выражения больше или меньше численного значения другого алгебраического выражения, их соединяют знаком Неравенстваили Неравенстваи, таким образом, составляют неравенство.

Из определения вытекает, что неравенство а > 0 означает, что а положительно, и неравенство а < 0 означает, что а отрицательно.

Если в каждом из двух или нескольких неравенств левая часть больше правой или в каждом из неравенств левая часть меньше правой, то такие неравенства называются неравенствами одинакового смысла. Например, неравенства а > b и c > d имеют одинаковый смысл.

Если же в одном неравенстве левая часть больше правой, а в другом левая часть меньше правой, то такие неравенства называются неравенствами противоположного смысла.

Теорема:

Если а > b , то b < а, и, наоборот, если b < а, то а > b.

Доказательство:

По условию разность а — b положительна. А тогда разность b — а отрицательна. Следовательно,

Неравенства

Обратное утверждение доказывается точно так же.

Теорема:

Доказательство:

Неравенства

Сложив равенства (1) и (2) почленно, получим

Неравенства

Другое доказательство. Рассмотрим разность

Неравенства

По условию каждая из разностей а — b и b— с положительна, значит, а — c > 0, т. е. а > с.

Теорема:

Если а > b, то при любом с

Неравенства

т. е. неравенство не нарушается*), если к каждой части его прибавить одно и то же число.

Доказательство:

Пусть а — b = х, тогда

Неравенства

Так как, по условию, х > 0, то a + с > b + с.

Другое доказательство. Рассмотрим равенство

Неравенства

По условию а — b> 0, значит, а + с > b + c

Следствие:

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом знак его на противоположный.

Доказательство:

Неравенства

Прибавим к каждой части неравенства — b, получим

Неравенства

Слагаемое b перенесено из левой части в правую с противоположным знаком.

Теорема:

Если а > b и с > 0, то ас > bс, если а > b и с < 0, то ас < bс, если а >b и с = 0, то ас = be, т. е. неравенство не нарушается, если обе части его умножить на одно и то же положительное число;

неравенство превращается в неравенство противоположного смысла, если обе части его умножить на одно и то же отрицательное число;

неравенство превращается в равенство, если обе части его умножить на нуль
*) Выражение «неравенство не нарушается» означает, что неравенство преобразуется в другое неравенство одинакового с ним смысла.

Доказательство:

Неравенства

Тогда ас — bс = xс. По условию, x > 0.

Если c > 0 то произведение положительно и ас > bс.

Если с = 0, то произведение равно нулю и ас = be.

Теорема:

Если a > b и c > d, то a + с > b + d, т. е. при почленном сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.

Доказательство:

Неравенства

Сложив равенства (3) и (4) почленно, получим

Неравенства

Так как х и у положительны, то x + y > 0 и а + с > b+d.

Теорема:

Если а, b, с, d положительны и a > b, c > d, то ac > bd, т. е. при почленном умножении двух неравенств, имеющих положительные члены и один и тот же смысл, получается неравенство того же смысла.

Доказательство:

Неравенства

Неравенства

Так как х > 0; у > 0; b > 0 и d > 0, то правая часть последнего равенства положительна и ac > bd.

Теорема:

Неравенства

Если а > b > 0, то при любом натуральном n т. е. неравенство, имеющее положительные члены, не нарушается, если каждую часть его возвести в степень с одним и тем же натуральным показателем.

Доказательство:

Неравенства

При п = 1 утверждение справедливо по условию. Допустим, что утверждение справедливо при n = k, где fe-какое-нибудь Натуральное число, т. е. Умножим предыдущее неравенство почленно на неравенство а > b, получим

Неравенства

т. е. утверждение справедливо и при n = k + 1.

Замечание:

Неравенства

Если а и b отрицательны или имеют разные знаки, или одно из них равно нулю, то из а > b может не следовать Например, -3 < -2, однако (-3)² >(-2)²; -3 < 2, однако (— 3)² >2²; — 3 < 0, однако (— 3)² >0.

Теорема:

Неравенства

Если а > b, то при любом n

Доказательство:

Неравенства

Тогда на основании теоремы 7 имеем а < b, что противоречит условию.

Очевидно, что нельзя предполагать и то, что

Неравенства

Неравенство а > b называется строгим неравенством, неравенство а ≥ b называется нестрогим неравенством.

Теоремы 1—8 доказаны для строгих неравенств. Нетрудно показать, что все они справедливы и для нестрогих неравенств. Так, например, теорему 1 можно сформулировать так:

Если а ≥ b, то b ≤ а и, наоборот, если b ≤ а, то a ≥ b.

Доказательство:

Выше было доказано, что утверждение справедливо для строгих неравенств. С другой стороны, известно, что аналогичное утверждение справедливо и для равенств, т. е. если a = b, то b = а и, наоборот, если b = а, то а = b. Утверждение для нестрогих неравенств является объединением двух аналогичных утверждений, из которых одно справедливо для строгих неравенств, а другое— для равенств.

Доказательство неравенств

При решении различных вопросов возникает потребность в выяснении, которое из двух данных чисел больше другого. Такие задачи называются задачами на выяснение знака неравенств. Например, выяснить, какие корни имеет уравнение

Неравенства

вещественные или мнимые? Для решений этого вопроса надо выяснить, что больше

Неравенства

В некоторых задачах знак неравенства указан в условии задачи, и требуется доказать, что данное неравенство справедливо. Такие задачи называются задачами на доказательство неравенств. Например, доказать, что при любых положительных а и b

Неравенства

Между указанными двумя типами задач нет существенного различия, так как при установлении знака неравенства одновременно доказывается справедливость некоторого неравенства и наоборот.

Задачи на доказательство неравенств могут быть весьма разнообразны, а потому разнообразны и приемы их решения. Основные приемы доказательства неравенств поясняются следующими примерами.

Пример:

Какие корни имеет уравнение

Неравенства

действительные или мнимые?

Решение:

Неравенства

Для ответа на этот вопрос надо выяснить, что больше: ? Допустим, что

Неравенства

Неравенства

Тогда (теорема 4)

Неравенства

отсюда (теорема 7)

Неравенства

отсюда (теорема 3)

Неравенства

отсюда (теорема 4)

Неравенства

Мы показали, что из неравенства (1) следует неравенство (5). Но неравенство (5) несправедливо. Значит, нельзя предполагать, что неравенство (1) справедливо и таким образом

Неравенства

Неравенства

Неравенства

иначе т. е. рациональное число равно иррациональному. Остается, что

Неравенства

Корни квадратного уравнения

Неравенства

Ответ. Корни мнимые.

Пример:

Доказать, что, если а > 0, b > 0, то

Неравенства

т. е. что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Решение:

Допустим, что утверждение неверно, т. е.

Неравенства

Тогда (теорема 7)

Неравенства

отсюда (теорема 4)

Неравенства

отсюда (теорема 3)

Неравенства

Последнее неравенство несправедливо. Значит, нельзя было предполагать, что утверждение неверно.

Проведенное в последнем примере рассуждение имеет несколько неестественный характер. Применялось доказательство от противного вместо естественного здесь прямого доказательства. Однако при решении задач на доказательство неравенств прямым способом часто допускаются ошибки в изложении, так как здесь легко спутать прямое утверждение с обратным.

Мы изложим два варианта прямого доказательства. Первый из них напоминает обычное рассуждение при решении геометрических задач на построение.

Анализ. Допустим, что задача решена и доказано, что

Неравенства

Неравенства

Анализ показал, что из неравенства (6) вытекает неравенство (9). Неравенство (9) справедливо, но отсюда еще не следует, что справедливо неравенство (6). Однако если удастся доказать, что из неравенства (9) следует неравенство (6), то задача будет решена. Путь такого доказательства указан анализом.

Доказательство:

На основании теоремы 3 из неравенства (9) следует неравенство (8). На основании теоремы 4 из неравенства (8) следует неравенство (7). На основании теоремы 8 из неравенства (7) следует неравенство (6). Этим показано, что из неравенства (9) следует неравенство (6).

При желании можно анализ не излагать, а вести прямо доказательство. Очевидно, что

Неравенства

Неравенства

Прибавим к каждой части неравенства 4ab, получим

Неравенства

отсюда на основании теоремы 8

Неравенства

на основании теоремы 4

Неравенства

Ограничиваться же изложением одного анализа нельзя, так как из того, что некоторое утверждение справедливо, вообще не следует, что справедливо я обратное.

Второй вариант изложения ведется в форме, весьма напоминающей анализ, и является все же строгим. Требуется доказать, что

Неравенства

На основании теоремы 8 (но не 7) неравенство (10) вытекает из неравенства

Неравенства

На основании теоремы 4 неравенство (11) вытекает из неравенства

Неравенства

На основании теоремы 3 неравенство (12) вытекает из неравенства

Неравенства

Неравенство (13) очевидно.

Вычисления здесь приведены в том же порядке, что и при анализе, но всякий раз доказывалось, что доказываемое неравенство (10) вытекает из следующих за ним. При анализе поступают наоборот: из доказываемого неравенства (10) выводят все следующие за ним.

Замечание:

Рассмотренное неравенство имеет весьма простой геометрический смысл. На прямой АВ отложим последовательно отрезки а и b, на их сумме, как на диаметре, опишем окружность.

Тогда Неравенстварадиус этой окружности, а Неравенства— половина хорды, перпендикулярной к диаметру в общей точке отрезков а b.

Пример:

Доказать, что при любом натуральном n

Неравенства

Доказательство:

При n = 1 неравенство справедливо, так как

Неравенства

Предположим, что неравенство справедливо при n = k, где k — некоторое натуральное число, т. е.

Неравенства

Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n = k—1, т. е.

Неравенства

Сравнивая неравенства (14) и (15), заключаем, что неравенство (15) будет доказано, если будет установлено, что

Неравенства

Действительно, сложив почленно неравенства (14) и (16), получим неравенство (15).

Остается доказать неравенство (16). Оно вытекает из неравенства

Неравенства

Неравенства

Неравенство (18) вытекает из неравенства

Неравенства

Неравенства

Неравенство (20) вытекает из очевидного неравенства 9 > 8.

Пример:

Неравенства

Доказательство:

Разложим левую часть неравенства на множители. Имеем

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Равенство здесь имеет место только тогда, когда

Пример:

Неравенства

Доказать, что при

Неравенства

Доказательство:

Допустим, что с не превосходит а и b. Положим а = с + х, b = с + у, где х ≥ 0, у ≥ 0. Тогда неравенство можно переписать так:

Неравенства

Неравенства

Последнее неравенство вытекает из неравенства

Неравенства

которое в свою очередь вытекает из очевидного неравенства

Неравенства

Точно так же можно доказать, что неравенство справедливо и тогда, когда b не превосходит с и а или а не превосходит b и с, так как буквы а, b, с входят в условие задачи симметрично.

Пример:

Доказать, что при n > 1

Неравенства

Доказательство:

Обозначим левую часть неравенства Sn. Имеем

Неравенства

Второй раз слагаемые S расположены в порядке возрастания. Складывая почленно, имеем:

Неравенства

Если доказать, что при любом натуральном k, не превосходящем n,

Неравенства

тогда получим, что

Неравенства

Остается доказать неравенство (21). Оно следует из неравенства

Неравенства

или, что все равно, из неравенства

Неравенства

Неравенство (22) следует из неравенства

Неравенства

Последнее неравенство очевидно, так как

Неравенства

Пример:

Доказать, что если

Неравенства

Неравенства

Доказательство:

По доказанному на стр. 445

Неравенства

Перемножив неравенства почленно, имеем:

Неравенства

Неравенства

Учитывая, что получим неравенство (23).

Равносильные неравенства

Неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида

Неравенства

где f(x) и f) обозначают алгебраические выражения, содержащие неизвестное х. В частном случае одно из этих выражений может не содержать х. Например,

Неравенства

есть неравенство с одним неизвестным. Неравенство

Неравенства

также есть неравенство с одним неизвестным.

Определение:

Решить неравенство с одним неизвестным — это значит найти все значения неизвестного, при которых неравенство справедливо. Значения неизвестного, при которых неравенство справедливо, называются решениями неравенства.

Например, x =1 есть решение неравенства (1), так как при х = 1 это неравенство превращается в справедливое неравенство 5 > 2; Неравенстване является решением неравенства (2), так как при Неравенствалевая часть неравенства (2) принимает отрицательное значение Неравенства

Определение:

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение первого из них является решением второго, а каждое решение второго является решением первого.

Теорема:

Если к каждой части неравенства прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого неравенство равносильно данному.

Доказательство:

Для упрощения изложения доказательство проведем применительно к неравенству

Все сказанное по поводу этого неравенства может быть повторено и по поводу любого другого неравенства.

Неравенства

Прибавим к каждой части неравенства какой-нибудь многочлен относительно неизвестного, например , получим неравенство

Неравенства

Требуется доказать, что неравенства (3) и (4) равносильны. Пусть х = х₀ есть решение неравенства (3), т. е.

Неравенства

Неравенства

— справедливое неравенство. К каждой части неравенства (5) прибавим число , получим (теорема 3 § 1) справедливое неравенство

Неравенства

Неравенство (6) означает, что х = х₀ есть решение неравенства (4).

Итак, каждое решение неравенства (3) является решением неравенства (4).

Пусть теперь х = х₀ есть решение неравенства (4), тогда справедливо неравенство (6). На основании теоремы 3 § 1 справедливо и неравенство (5). Неравенство (5) означает, что х = х₀ есть решение неравенства (3).

Итак, каждое решение неравенства (4) является решением неравенства (3).

Неравенства

При. доказательстве теоремы мы не пользовались никакими особенностями многочлена . Существенно было только то, что при любом значении х многочлен этот имеет определенное числовое значение. Поэтому доказательство остается в силе и тогда, когда к каждой части неравенства (3) прибавляется какой-нибудь другой многочлен относительно х. В частности, доказательство остается в силе, когда к каждой части неравенства (3) прибавляется какое-нибудь число (многочлен нулевой степени относительно х).

Замечание:

Если бы к каждой части неравенства прибавили не многочлен относительно х, а какое-нибудь выражение, содержащее неизвестное в знаменателе, полученное в результате этого неравенство могло бы оказаться и неравносильным данному. Например, неравенство 2х — 1 > 0 имеет решение х = 3. Неравенство

Неравенства

при x = 3 не имеет смысла.

Следствие:

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом знак его на противоположный.

Доказательство опять проведем применительно к неравенству

Неравенства

Предположим, что желательно слагаемое сх перенести из правой части неравенства в левую. Прибавим к каждой части неравенства по —сх, получим равносильное неравенство

Неравенства

Слагаемое сх с противоположным знаком перенесено из правой части неравенства в левую.

Теорема:

Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то полученное в результате этого неравенство равносильно данному.

Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и при этом переменить знак неравенства на знак противоположного смысла, то полученное в результате этого неравенство равносильно данному.

Доказательство:

Доказательство и здесь проведем применительно к неравенству (3)

Неравенства

Умножим обе части этого неравенства на положительное число m получим

Неравенства

Пусть х = х₀ — решение неравенства (3), т. е.

Неравенства

— справедливое неравенство. Тогда на основании теоремы 4 § 1 справедливо и неравенство

Неравенства

Неравенство (9) означает, что х = х₀ есть решение неравенства (7).

Итак, каждое решение неравенства (3) является решением неравенства (7).

Пусть теперь х = х₀ есть решение неравенства (7), тогда справедливо неравенство (9). На основании теоремы 4 § 1 справедливо и неравенство (8), и это означает, что х = х₀ есть решение неравенства (3).

Итак, каждое решение неравенства (7) является решением неравенства (3).

Первая часть теоремы доказана. Точно так же доказывается и вторая часть теоремы относительно умножения обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число.

Замечание:

При умножении обеих частей неравенства на буквенное выражение надо иметь в виду, что при разных значениях входящих в него букв это выражение может быть и положительным, и отрицательным, и равным нулю.

Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным

Определение:

Неравенством первой степени с одним неизвестным называется такое неравенство, которое после раскрытия скобок, приведения подобных членов и перенесения всех членов в левую часть принимает вид ах + b > 0 или ах + b 0

Умножением обеих частей неравенства ах + b 0 на —1 его можно привести к равносильному неравенству вида

Неравенства

Поэтому достаточно изучить только неравенство ах + b > 0

Теорема:

Если а ≠ 0, то неравенство

Неравенства

имеет бесконечное множество решений, именно, ему удовлетворяют все числа, большие , когда а > 0, и меньшие , когда а < 0.

Если а = 0, неравенство (1) не имеет решений, когда b0, и имеет бесконечное множество решений, когда b>0. В последнем случае ему удовлетворяет любое число.

Доказательство:

Неравенство (1) равносильно неравенству

Неравенства

Пусть a > 0, тогда неравенство (2) равносильно неравенству

Неравенства

Неравенства

Последнее неравенство — простейшее, ему удовлетворяют все числа, которые больше чем , и только эти числа.

Неравенства

Неравенства

Неравенство (4) — простейшее, ему удовлетворяют все числа, которые меньше чем, и только эти числа.

Пусть а = 0. Неравенство (1) принимает вид 0x + b > 0 Это неравенство не имеет решений, когда b ≤ 0 и имеет бесконечное множество решений, когда b > 0. В этом случае неравенству удовлетворяет любое значение х.

Пример:

Решить неравенство 2х — 3 > x—1.

Решение:

Переносим неизвестные в левую часть, а известные в правую, имеем х > 2.

Полученному неравенству удовлетворяют все числа, бoльшие 2, и только эти числа. Решения неравенства изображаются точками, лежащими правее точки 2 (рис. 98).

Неравенства

Пример:

Неравенства

Неравенства

Решение:

Умножим обе части неравенства на 6, получим

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Разделим обе части неравенства на -5 (умножим на )

Неравенства

Решения неравенства (рис. 99) изображаются точками числовой оси,

Неравенства

лежащими левее точки

Неравенства

Ответ.

К неравенствам первой степени иногда сводятся неравенства, содержащие неизвестное в знаменателе.

Пример:

Неравенства

Решение:

Для освобождения неравенства от дробей обе части его надо умножить на х — 1. Очевидно, х — 1 ≠ 0, так как иначе неравенство (5) не имеет смысла. Так как х—1 может быть и положительным и отрицательным, приходится рассмотреть два случая.

Случай 1. Пусть х — 1 > 0, т. е. x > 1. Тогда

Неравенства

Этому неравенству удовлетворяет любое значение х. Таким образом, неравенству (5) удовлетворяет любое значение х > 1.

Случай 2. Пусть x < 1, тогда

Неравенства

Это неравенство решений не имеет.

При решении неравенств с буквенными коэффициентами необходимо учитывать знак коэффициента при неизвестном.

Пример:

Неравенства

Решение:

Перенесем неизвестные в левую часть, а известные в правую, получим

Неравенства

Так как m— 1 может быть и положительным числом, и нулем, и отрицательным числом, приходится рассмотреть три случая.

Случай 1. m > 1. Тогда

Неравенства

Случай 2. m = 1. Неравенство принимает вид

Неравенства

Это неравенство справедливо при любом х.

Неравенства

Ответ. Если m > 1,то Неравенства; если m = 1, то неравенство справедливо при любом значении х; если m < 1, то Неравенства

Определение:

Два или несколько неравенств с одним неизвестным образуют систему неравенств, если неизвестное в них обозначает одну и ту же величину. Решить систему неравенств с одним неизвестным — это значит найти все значения неизвестного, при которых все неравенства системы справедливы.

Пример:

При каком значении х дробь

Неравенства

Решение:

Чтобы дробь была положительна, необходимо и достаточно, чтобы числитель и знаменатель были одного знака. Поэтому задача сводится к решению двух систем неравенств

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Первое неравенство системы (7) требует, чтобы , второе —

чтобы Неравенства. Так как Неравенствасистеме (7) удовлетворяют все значения Неравенстваи только эти значения.

Первое неравенство системы (8) требует, чтобы Неравенствавторое—чтобы НеравенстваПри Неравенстваи только при этих значениях х удовлетворяются оба неравенства системы (8).

Неравенства

Таким образом, дробь (6) положительна при Неравенстваи при НеравенстваГеометрически это означает, что дробь (6) положительна в любой точке числовой оси, кроме точек, лежащих внутри и на концах отрезка Неравенства, (рис. 100).

Пример:

Решить систему неравенств

Неравенства

Решение:

Первое неравенство требует, чтобы х > — 1. Второе неравенство требует, чтобы х . Система (9) решений не имеет, так как нет такого числа, которое было бы больше — 1 и меньше- 2.

Цель исследования уравнений

Решение задач при помощи уравнений приводит иногда к результату, который показывает, что данная задача, не имеет решений. Часто такой вывод делается потому, что уравнение, составленное по условию задачи, не имеет, решений. Иногда же оказывается, что уравнение имеет решения, но решения эти не удовлетворяют условию задачи.

Если в условии задачи некоторые из данных величин обозначены буквами, т. е. ищется решение задачи в общем виде, уравнение, составленное по условию задачи, имеет буквенные коэффициенты. Такое уравнение при одних частных значениях букв имеет решение, при других значениях букв оно решений не имеет. При одних значениях букв решения удовлетворяют условию задачи и дают ответы на вопрос задачи, при других значениях букв решения условию задачи не удовлетворяют.

В силу этого при решении задач с буквенными данными требуется провести исследование задачи, т. е. выяснить:

1) при каких значениях букв уравнение или система уравнений имеет решения, и если имеет, то сколько;

2) при каких значениях букв решения уравнения или системы уравнений удовлетворяют условию задачи и при каких значениях букв решения условию задачи не удовлетворяют.

Ответ на первый из поставленных вопросов требует умения исследовать уравнение или систему уравнений с буквенными коэффициентами, независимо от того, что представляют собой величины, обозначенные буквами.

Ответ на второй вопрос требует умения отобрать из всех решений те, которые удовлетворяют условию задачи.

Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным

Уравнение первой степени с одним неизвестным может быть преобразовано к виду

Неравенства

Теорема:

Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой степени с одним неизвестным отличен от нуля, уравнение имеет решение и притом единственное.

Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой степени с одним неизвестным равен нулю, уравнение не имеет решений, когда свободный член отличен от нуля, и имеет бесконечное множество решений, когда свободный член равен нулю. В последнем случае уравнению удовлетворяет любое число.

Доказательство:

Если а ≠ 0, уравнение ах = b равносильно уравнению Неравенства. Это уравнение простейшее, ему удовлетворяет число Неравенства— и только это число.

Если а = 0, уравнение ах = b принимает вид 0х = b. Это уравнение не имеет решений, когда b отлично от нуля, так как произведение нуля и любого числа равно нулю. Если же b = 0, это уравнение принимает вид 0x = 0. Такому уравнению удовлетворяет любое значение х.

Задача:

Два фонтана наполняют бассейн: первый, действуя один, может наполнить бассейн в а часов; второй, будучи открыт один, наполнит бассейн в b часов. Кран, находящийся в дне бассейна, может опорожнить бассейн в с часов. Во сколько часов бассейн, вначале пустой, будет наполнен, если оба фонтана и кран будут открыты одновременно?

Решение:

Пусть бассейн наполняется в х часов. Первый фонтан, наполняя весь бассейн в а часов, в один час наполняет Неравенствачасть бассейна, а в х часов Неравенствачастей его. Второй фонтан за х часов наполняет Неравенствачастей бассейна. Кран за х часов выпустит воду в объеме Неравенствачастей бассейна. Так как разность между приходом и расходом воды за х часов равна емкости бассейна, имеем уравнение

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Если Уравнение имеет единственное решение

Неравенства

Неравенства

Если уравнение решений не имеет.

По смыслу задачи, х должно быть положительным числом, и потому задача имеет решение только тогда, когда

Неравенства

Неравенства

Нетрудно видеть, что неравенство означает, что количество воды, доставляемое в 1 час двумя фонтанами, меньше количества воды, которую способен выпустить кран в течение часа.

Неравенства

Равенство означает, что количество воды, доставляемой двумя фонтанами в 1 час, равно количеству воды, выпускаемой краном за то же время.

Неравенства

Ясно поэтому, что в случаях, когда , задача не имеет решения.

Ответ. В Неравенствачасов; задача имеет решение только тогда, когда Неравенства

Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

1 Два или несколько уравнений образуют систему уравнений, если одноименные неизвестные в них обозначают одну и ту же величину.

2 Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными называется система, которая после раскрытия скобок, перенесения членов, содержащих неизвестные, в левую часть, а известных членов в правую часть и приведения подобных членов принимает вид

Неравенства

Неравенства

где — известные числа.

3 Решить систему (1) — это значит найти такие значения для х и у, которые, будучи поставлены в систему вместо неизвестных, превращают каждое уравнение системы в тождество.

4 Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется пара таких чисел, которые, будучи подставлены в систему вместо неизвестных, превращают каждое уравнение системы в тождество.

5 Исследовать систему (1) — это значит по коэффициентам ее определить, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько.

6 Система (1) называется приведенной, если оба коэффициента при одном неизвестном в ней равны 1. Например, системы

Неравенства

Неравенства

не является приведенной.

Теорема:

Если оба коэффициента при каком-нибудь неизвестном в системе (1) отличны от нуля, то систему amy можно привести, т. е. построить равносильную ей приведенную систему.

Доказательство:

Пусть a₁ ≠ 0 и а₂, ≠ 0.

Разделим обе части первого уравнения на a₁, обе части второго уравнения на а₂ Получим приведенную систему, равносильную данной. (При делении обеих частей уравнения на одно и то же число ни одно решение не теряется и ни одно решение не приобретается.)

Точно так же доказывается теорема, если b₁ ≠ 0 и b₂ ≠ 0.

Теорема:

Если в приведенной, системе левые части различны, система имеет решение и притом единственное.

Доказательство:

Дана приведенная система

Неравенства

Неравенства

Предположим, что система (2) имеет решение, т. е. предположим, что существуют такие два числа , что имеют место тождества

Неравенства

Умножим первое тождество на р₂ второе на — р₁ и сложим их почленно. Получим

Неравенства

Неравенства

Из второго тождества вычтем первое, получим

Неравенства

Неравенства

Какой вывод мы можем сделать?

Вывод. Если система (2) имеет решение, то решение это определяется по формулам (3) и (4), а потому единственно.

Неравенства

Действительно, допустим, что система (2) имеет другое решение

Тогда имеют место тождества

Неравенства

Рассуждая так же, как и выше, получим

Неравенства

Неравенства

Докажем, что х и у, определяемые формулами (3) и (4), удовлетворяют системе (2). Для этого достаточно в систему (2) подставить вместо х и у их значения по формулам (3) и (4) и убедиться, что каждое уравнение системы превращается в тождество.

Теорема:

Если в приведенной системе левые части одинаковы, а правые различны, система решений не имеет.

Доказательство:

Неравенства

причем q₁ ≠ q₂. Система (5) не может иметь решений, так как не может существовать такая пара чисел х и у, чтобы х + pу равнялось одновременно и q₁ , и q₂ .

Теорема:

Если в приведенной системе и левые и правые части одинаковы, система имеет бесконечное множество решений.

Доказательство:

Неравенства

Уравнение x + py = q имеет бесконечное множество решений. Каждое такое решение является и решением системы (6).

Правило:

Для того чтобы узнать, сколько решений имеет данная система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, достаточно систему привести. Если в приведенной системе левые части различны, система имеет решение и притом только одно. Если же в приведенной системе левые части одинаковы, система не имеет решений, когда правые части различны, и имеет бесконечное множествo решений, когда правые части тоже одинаковы.

Пример:

Неравенства

Решение:

Приведем каждую из систем, получим

Неравенства

Неравенства

Первая система имеет единственное решение. Вторая имеет бес-конечное множество решений: у—любое число. Третья не имеет решений.

Пример:

Показать, что при любом b система

Неравенства

имеет единственное решение.

Решение:

Уравнение b + 2 = b— 5 не имеет решений. Поэтому при любом b левые части системы различны. Пример. Исследовать систему

Неравенства

Решение:

Приведем систему, получим:

Если Неравенства, система имеет единственное решение. Если Неравенства

система имеет вид

Неравенства

и решений не имеет.

Рассмотрим теперь системы, которые не могут быть приведены. Нетрудно видеть, что такие системы могут быть отнесены к одному из следующих четырех типов:

Тип 1. Система имеет такой вид:

Неравенства

Тип 2.Система имеет такой вид:

Неравенства

Тип 3. Система имеет такой вид:

Неравенства

Тип 4. Система имеет такой вид:

Неравенства

Система типа 1 имеет единственное решение:

Неравенства

Действительно, первое уравнение системы имеет решение Неравенствах — любое число; второе уравнение системы имеет решение Неравенствау— любое число.

Система типа 2 не имеет решений, если m ≠ 0, и имеет бесконечное множество решений, если m₁ = 0. В последнем случае

Неравенства

Система типа 3 не имеет решений, если m ≠ 0 , и имеет бесконечное множество решений, если m₁ = 0 . В последнем случае

Неравенства

Система типа 4 не имеет решений, если хоть одно из чисел m₁ и m₂ отлично от нуля. Если же m₁ = m₂ = 0, система имеет бесконечное множество решений: х — любое число; у — любое число.

Определение:

Выражение a₁ b₂ — a₂ b₁ называется определителем системы

Неравенства

Теорема:

Если определитель системы отличен от нуля и система эта может быть приведена, то отличен от нуля также и определитель соответствующей приведенной системы. Если определитель системы равен нулю и система эта может быть приведена, то равен нулю также и определитель соответствующей приведенной системы.

Доказательство:

Пусть a₁≠0; a₂≠ 0 Приведем систему (7), получим

Неравенства

Пусть D₁ и D₂ — определители систем (7) и (8). Имеем

Неравенства

т.е. D₁ = a₁a₂D₂.Если D₁ ≠ 0,то и D₂ ≠ 0.Если D₁ = 0,то и D₂ = 0.

Теорема:

Если определитель системы отличен от нуля, система имеет решение и притом единственное. Если определитель системы равен нулю, система либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

Доказательство:

Все изложенное выше может быть сведено в таблицу (см. табл. 1), из которой видно, что система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель ее отличен от нуля. Система не имеет решений или имеет их бесконечное множество тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

Неравенства

Теоремы о решении систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными могут быть выведены и без рассмотрения приведенных систем.

Теорема:

Если a₁ b₂ — a₂ b₁ ≠0 , то система

Неравенства

имеет решение и притом единственное.

Доказательство:

Допустим, что система (9) имеет решение, что решение это найдено и вместо неизвестных подставлено в гсистему. Тогда каждое уравнение системы превратится в тождество. Умножим первое тождество на b₂ второе на — b₁ и сложим. Получим

Неравенства

Неравенства

Вернемся к тождествам (9). Первое из них умножим на — a₂ , второе на a₁ , и сложим. Получим

Неравенства

Из сказанного вытекает, что если система (9) имеет решение, то решение это определяется формулами (10) и (11), и следовательно, единственное.

Остается доказать, что система (9) действительно имеет решение. Для этого достаточно в систему (9) подставить вместо х и у их значения по формулам (10) и (11) и убедиться, что каждое из уравнений системы (9) превращается в тождество.

Теорема:

Если a₁b₂ — a₂b₁ = 0, то система

Неравенства

либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесчисленное множество. Доказательство этой теоремы разобьем на два случая. Случай 1. Все коэффициенты при неизвестных а₁ а₂, b₁b₂, отличны от нуля. Перепишем систему так:

Неравенства

По условию, a₁b₂ — a₂b₁ = 0 , значит, НеравенстваПоэтому, если Неравенствато система не имеет решения, если же Неравенства, то система имеет бесчисленное множество решений. Всякое решение одного из уравнений является решением системы.

Случай 2. Среди коэффициентов при неизвестных имеются нули. Здесь возможны следующие случаи:

Неравенства

Случаи 1) и 2) отпадают, так как здесь a₁ b₂ — a₂ b₁ ≠0 . В случае 3) первое уравнение имеет решения х— любое число, а Неравенства, второе уравнение имеет решения х—любое число, а Неравенства

Если Неравенства, то система решений не имеет. Если же Неравенства, то система имеет бесчисленное множество решений х — любое число;Неравенства

Случаи 4), 5) и 6) подробно рассмотрены на стр. 462. Изложенный здесь вывод короче вывода, данного в начале параграфа, но он формальнее и хуже выясняет суть дела.

Пример:

Неравенства

Решение:

Вычислим определитель системы:

Неравенства

Если а ≠ 0 и а ≠ 1, система имеет единственное решение:

Неравенства

Если а = 0, система имеет вид

Неравенства

и решений не имеет.

Если а = 1, система имеет вид

Неравенства

Приведем систему, получим

Неравенства

Неравенства

Система имеет бесконечное множество решений: ; у — любое число.

Ответ. Если а(а — 1) ≠ 0, система имеет единственное решение. Если а = 0, система решений не имеет. Если а = 1, система имеет бесконечное множество решений.

Задача:

Две группы лыжников общей численностью в 100 человек выделили сборную команду в 15 человек. Первая группа выделила своего состава, вторая группа выделила 10% своего состава. Сколько лыжников в каждой группе?

Решение:

Пусть в первой группе х лыжников, во второй у лыжников. Тогда

Неравенства

Неравенства

Определитель системы (12) равен 10—р. Если р = 10, система (12) принимает вид

Неравенства

и решений не имеет.

Если p ≠ 10 система имеет единственное решение

Неравенства

Так как х должно быть положительным, p > 10. Так как у должен быть положительным, p > 15

Из этого видно, что при p ≤ 15 решение (13) не удовлетворяет условию задачи. С другой стороны,p ≤ 100. Таким образом,

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Так как х должно быть целым числом, то целое, следовательно, число р —10 должно быть делителем числа 500.

500 = 2² • 5³, поэтому для получения всех делителей числа 500 достаточно каждое из чисел 1, 2, 2² умножить на каждое из чисел 1, 5, 5², 5³. Получаем, что число 500 имеет 12 делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 и 500.

Согласно неравенству (14) для р —10 возможны только следующие значения: 10, 20, 25, 50, и следовательно, для р возможны только значения 20, 30, 35 и 60.

Неравенства

По условию, должно быть целым числом. Этому требованию удовлетворяют следующие значения р: 20, 35 и 60. Значениеp = 30 этому требованию не удовлетворяет. Окончательно имеем следующую таблицу решений:

Неравенства

Ответ. В первой группе либо 50, либо 20, либо 10 лыжников.

Исследование квадратного трехчлена

Содержание этого параграфа является дальнейшим развитием тех сведений, которые изложены в § 7 гл. II.

Теорема:

Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, трехчлен при всех значениях независимого переменного имеет тот же знак, что и его старший коэффициент.

Доказательство:

Неравенства

Так как b² — 4ас < 0, выражение в квадратных скобках представляет собой сумму квадрата и положительного числа, т. е. при всех значениях х является положительным числом. В силу этого трехчлен имеет при всех значениях х тот же знак, что и коэффициент а.

Доказанная теoрема имеет следующий геометрический смысл.

Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, график его целиком расположен в верхней полуплоскости (т. е. в полуплоскости, в которой ординаты положительны), когда 0, и в нижней полуплоскости, когда а < 0.Напомним, что график квадратного трехчлена называется параболой (рис. 101 и 102).

Неравенства

Теорема:

Неравенства

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, трехчлен равен нулю при а при всех остальных значениях независимого переменного имеет тот же знак, кто и его старший коэффициент.

Доказательство:

При b² — 4ас < 0 равенство (1) принимает вид

Неравенства

Выражение Неравенстваравно нулю при Неравенстваа при остальных значениях х имеет тот же знак, что и а.

Неравенства

Доказанная теорема имеет следующий геометрический смысл. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, график его касается оси Ох в точке и расположен в верхней полуплоскости, когда a > 0, и в нижней . полуплоскости, когда а< 0 (рис. 103 и 104).

Неравенства

Теорема:

Если дискриминант квадратного трехчлена положителен, трехчлен обращается в нуль в двух различных точках x₁ и x₂. Во всех точках, лежащих вне промежутка (x₁, х₂), трехчлен имеет знак своего старшего коэффициента, а во всех точках внутри этого промежутка имеет знак, противоположный знаку старшего коэффициента.

Доказательство:

Неравенства

Трехчлен обращается в нуль при х = х₁ и x = x₂ причем x₁ ≠ х₂.

Пусть х₁ < х₂ .Выясним сначала знак трехчлена вне промежутка (xx) т. е. при x < х₁ и при x > х₂

Если x < х₁ то x > х₂ и произведение (x- х₁ ) (x- х₂ )положительно. Значит, правая часть равенства (2) имеет тот же знак, что и коэффициент а.

Если x > х₂ , то x > х₁ и произведение (x- х₁ ) (x- х₂ ) опять положительно и правая часть равенства (2) опять имеет тот же знак, что и коэффициент а.

Осталось рассмотреть, какой знак имеет трехчлен при х, лежащем внутри промежутка между корнями.

Пусть х₁ < х < х₂ В этом случае хх₁ > 0, а х — х₂ < 0. Произведение (x- х₁ ) (x- х₂ ) — отрицательно, и правая часть равенства (2) имеет знак, противоположный знаку коэффициента а.

Доказанная теорема имеет следующий геометрический смысл. Если дискриминант квадратного трехчлена положителен, график его пересекает ось Ох в двух точках. Если при этом старший коэффициент трехчлена положителен, график трехчлена, за исключением дуги, отсекаемой осью Ох, находится в верхней полуплоскости. Если же старший коэффициент трехчлена отрицателен, график его, за исключением дуги, отсекаемой осью Ох, находится в нижней полуплоскости (рис. 105 и 106).

Неравенства

Задача:

Моторная лодка, пройдя по течению реки расстояние S км от пункта А до пункта В, повернула обратно в пункт А. Не доехав до Ар км, лодка остановилась. На весь путь от А до В и обратно до остановки лодка потратила t часов. Определить собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде), если скорость течения реки а км/час.

Решение:

Пусть собственная скорость лодки равна х км/час. Тогда скорость лодки, идущей по течению, (x + a) км/час, скорость лодки, идущей против течения, (х — а) км/час.

Путь, пройденный лодкой по течению, S км. Путь, пройденный лодкой против течения, (S—р) км. Время движения лодки по течению Неравенствачас. Время движения лодки против течения Неравенствачас.

Так как лодка находилась в движении t часов, то получаем следующее уравнение:

Неравенства

2. Посмотрим, какие ограничения для неизвестного и параметров вытекают из условия задачи. Собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения реки, так как иначе лодка не сможет плыть против течения реки, следовательно, х > а. Очевидно, что

Неравенства

3. Составим систему уравнений и неравенств, которым должно удовлетворять решение задачи:

Неравенства

при условии S > p; р > 0; t > 0 .

4. Решим систему:

Неравенства

Теперь нужно выяснить, действительны ли корни квадратного уравнения и удовлетворяют ли они требованию х > а. С этой целью рассмотрим квадратный трехчлен

Неравенства

Определим знак трехчлена при х = а:

Неравенства

следовательно, f(a) < 0. Старший коэффициент t трехчлена положителен.

Из теорем, доказанных в этом параграфе, легко вывести утверждение: если квадратный трехчлен при х = а имеет отрицательное значение, а старший коэффициент трехчлена положителен, то дискриминант трехчлена положителен и число а находится между корнями трехчлена.

Поэтому корни x₁ и x₂ уравнения (3) действительны и

Неравенства

Бoльший корень уравнения удовлетворяет всем условиям задачи.

Если бы мы не пользовались свойствами квадратного трехчлена, то решение было бы сложнее. Тогда следовало бы представить дискриминант уравнения в виде

Неравенства

показать, что он положителен, и, кроме того, доказать, что x₁ > а; х₂ a.

Неравенства

Решение неравенства второй степени с одним неизвестным

Неравенство второй степени с одним неизвестным имеет вид

Неравенства

Неравенства

Так как умножением обеих частей на —1 неравенство (2) превращается в неравенство вида (1), достаточно научиться решать неравенство (1).

Это проще всего сделать, исходя из графика квадратного трехчлена.

Действительно, для того чтобы решить неравенство (1), достаточно узнать, при каких значениях х график трехчлена находится в верхней полуплоскости. Ответ на этот вопрос можно дать на основании результатов исследования квадратного трехчлена.

Пусть D = b² — 4 ас.

Неравенства

  1. Если а > 0 и D > 0, график трехчлена находится в верхней полуплоскости, за исключением дуги, отсекаемой осью Ох. Неравенство (1) справедливо при x < x₁ и при где х₁ и x₂ корни трехчлена и x₁ < x₂
  2. Если а > 0 и D = 0, весь график трехчлена, за исключением одной точки, в которой он касается оси Ох, находится в верхней полуплоскости. Неравенство (1) справедливо при всех значениях х, кроме
  3. Если а > 0 и D < 0, весь график трехчлена находится в верхней полуплоскости, и неравенство справедливо при всех значениях х.
  4. Если а< 0 и D >0, график трехчлена находится в нижней полуплоскости, за исключением дуги, отсекаемой осью Ох. Неравенство (1) справедливо только при х₁ < x < x₂ где х₁ и x₂ — корни трехчлена.
  5. Если а< 0 и D = 0, весь график трехчлена, кроме точки касания с осью Ох, находится в нижней полуплоскости и неравенство (1) решений не имеет.
  1. Если а< 0 и D < 0, весь график трехчлена находится в нижней полуплоскости и неравенство (1) решений не имеет.

Полученные результаты коротко можно выразить так:

Если а > 0, то неравенству ах² + bx + с > 0 удовлетворяют все вещественные числа, за исключением корней трехчлена и чисел, заключенных между ними.

Если а < 0 то неравенству ах² + bx + с > 0 удовлетворяют все числа, заключенные между корнями трехчлена, и только они.

Пример:

Неравенства

Решение:

Пример:

Неравенства

Решение:

Для освобождения неравенства от дроби обе части его нужно умножить на а — 2. Поэтому приходится рассмотреть два случая.

Случай 1. а > 2. Неравенство (1) принимает вид

Неравенства

Неравенства

Левая часть неравенства (4) имеет корни х₁ = 1 и x₂ = a, причем x₁ < x₂ так как а >2. Неравенство (4) справедливо при всех значениях л:, лежащих вне промежутка (1, а), т. е. при х < 1и при х > а.

Неравенства

Левая часть неравенства (5) имеет корни х₁ = 1 ; x₂ = a . Неравенство (5) справедливо при всех значениях х, лежащих внутри промежутка, образованного корнями х₁ и x₂ . Рассмотрим три случая: а < 1; а = 1; а > 1.

Если а = 1, неравенство (5) решений не имеет.

Если а > 1. неравенство (5) справедливо при 1 < х < а < 2.

Ответ. Если а < 1,то a < x < 1если а= 1, то неравенство решений не имеет; если 1< а < 2, то 1 < x а если a > 2, то x 1 и х > а.

Общие сведения о неравенствах

Свойства неравенств:

Напомним, что из двух чисел а и b меньшим считается то, которому соответствует на числовой прямой точка, лежащая левее, и большим считается то, которому соответствует на числовой прямой точка, лежащая правее. Было отмечено, что справедливо следующее утверждение: Неравенстватогда и только тогда, когда Неравенстваположительное число; Неравенстватогда и только тогда, когда Неравенстваотрицательное число.

Если два числа а и b соединить одним из следующих знаков: Неравенствато получится числовое неравенство. Например, НеравенстваКаждое числовое неравенство есть по существу запись высказывания, например Неравенстваесть запись высказывания «число 1 меньше числа 2» Каждое высказывание может быть истинным или ложным; соответственно, каждое числовое неравенство может быть верным или неверным. Так, из написанных выше четырех числовых неравенств первые два являются верными, а последние два — неверными.

Условимся всюду в дальнейшем, говоря о числовых неравенствах, иметь в виду только верные неравенства, т. е. запись Неравенствапонимать как запись истинного высказывания «число а меньше числа b». Аналогично мы будем понимать записи Неравенства

Отметим некоторые свойства числовых неравенств:

Неравенства

1°. Если

Неравенства

2°. Если (свойство транзитивности).

Неравенства

3°. Если —любое действительное число (свойство монотонности).

Эти три свойства легко иллюстрируются на числовой прямой: свойство 1° означает, что если точка а лежит правее точки b, то точка b лежит левее точки а; свойство 2° означает, что если точка а лежит правее b, a b — правее с, то точка а лежит на числовой прямой правее точки с; наконец, геометрическая иллюстрация свойства 3° представлена на рис. 73.

4°. Если Неравенстваположительное число Неравенствато Неравенства

Доказательство:

Рассмотрим разность НеравенстваИмеем НеравенстваПо условию с — положительное число. Далее, так как Неравенствато разность Неравенства—положительное число. Но произведение двух положительных чисел есть число положительное, значит, НеравенстваТаким образом, НеравенстваНо если разность Неравенстваесть число положительное, то НеравенстваАналогично доказываются следующие свойства:

5°. Если Неравенстваотрицательное число, то Неравенства

Неравенства

6°. Если

7°. Если а и b — положительные числа и Неравенствато Неравенства

Докажите эти свойства самостоятельно.

Замечания:

1. Свойства 1°, 2°, 3° можно доказать таким же методом, каким было доказано свойство 4° (рекомендуем читателю провести соответствующие доказательства).

Свойства 4° и 5° имеют следующий смысл, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число и сохранить знак исходного неравенства, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и заменить знак неравенства на противоположный, то получится вернее неравенство.

Свойство 6° имеет следующий смысл: если почленно сложить два верных неравенства одного знака и сохранить этот знак неравенства, то получится вернее неравенство.

Остановимся еще на одном свойстве неравенств.

Неравенства

8°. Если а, b, с, d— положительные числа и если

Доказательство:

Имеем Неравенствапоэтому Неравенствапоэтому НеравенстваНо из неравенств Неравенстваследует по свойству транзитивности неравенство Неравенства

Итак, при почленном умножении верных неравенств одинакового смысла с положительными членами верным будет неравенство того же знака.

Замечание:

Перечисленные выше 8 свойств верны не только для знака Неравенствано и для каждого из остальных знаков неравенств Неравенства

Например, верны такие свойства:

Неравенства

Метод, примененный при доказательстве свойства 4, используется и для доказательства многих неравенств с переменными. Задачу «доказать, что при любых рассматриваемых значениях переменных заданное неравенство с переменными обращается в верное числовое неравенство» мы будем решать следующим образом: составим разность левой и правой частей неравенства и установим, что эта разность при рассматриваемых значениях переменных положительна (или соответственно отрицательна, неположительна, неотрицательна).

Примеры:

Неравенства

1. Доказать, что для любого положительного числа а верно неравенство

Доказательство:

Неравенства

Составим разность

Неравенства

Рассмотрим выражение НеравенстваПри любом значении а выражение Неравенствапринимает неотрицательное значение. Так как по условию Неравенства(причем знак равенства имеет место лишь при Неравенства

Итак, разность Неравенстванеотрицательна. Это значит, что Неравенства

Неравенства

2.Доказать, что если

Доказательство:

Неравенства

Составим разность

Неравенства

Так как по условию НеравенстваЗначит, НеравенстваНеравенства

Неравенства

откуда следует требуемое неравенство

Неравенства

3. Доказать, что если

Доказательство:

Неравенства

Но Неравенствапричем равенство достигается лишь в случае НеравенстваЗначит, Неравенства

Заметим, что число Неравенстваназывается средним арифметическим чисел а и b, а число Неравенстваназывается средним геометрическим чисел а, Ь. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

Неравенства

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим разность НеравенстваНеравенства

Перегруппировав слагаемые, получим выражение:

Неравенства

Неравенства

положительное при любых значениях х, у, z. Значит,

Линейные неравенства

Рассмотрим неравенства вида Неравенства(соответственно Неравенства Неравенствагде х—переменная, a Неравенства— выражения с переменной х. Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то получится числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство НеравенстваПри Неравенстваполучаем Неравенстваистинное высказывание (верное числовое неравенство); при Неравенстваполучаем Неравенстваложное высказывание.

Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной—значит найти множество всех его решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

1.Если какой-либо член неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

2.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

3.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Ниже на примерах мы покажем применение сформулированных утверждений для решения линейных неравенств, т.е. неравенств вида Неравенства(соответственно Неравенствагде а и b—действительные числа, и для решения неравенств, сводимых к линейным.

Примеры:

Неравенства

1. Решить неравенство

Решение:

Неравенства

Согласно утверждению 1, данному неравенству будет равносильно неравенство (слагаемое 7 перенесено из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, а знак заданного неравенства сставлен без изменения).

Разделим обе части неравенства Неравенствана положительное число 2, а знак неравенства оставим без изменения. Получим неравенство Неравенстваравносильное неравенству Неравенствана основании утверждения 2.

Итак, неравенство Неравенстваи неравенство Неравенстваравносильны. Множество решений неравенства Неравенстваа значит, и заданного неравенства Неравенстваесть промежуток Неравенства

Неравенства

2.Решить неравенство

Решение:

Раскрыв скобки, получим:

Неравенства

Неравенства

Далее, имеем: т. е.

Неравенства

Это неравенство равносильно неравенству (1), а значит, и заданному неравенству согласно утверждению 1.

Разделим теперь обе части неравенства (2) на отрицательное число —9 и изменим знак неравенства. Согласно утверждению 3 получим неравенство, равносильное неравенству (2): НеравенстваМножество решений последнего неравенства, а вместе с тем и исходного неравенства есть числовой промежуток Неравенства

Неравенства

Решение:

Освободимся от знаменателя, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6.

Неравенства

Неравенства

Множество решений последнего неравенства, а значит, и равносильного ему заданного неравенства есть промежуток

Неравенства

Неравенства

Решение:

Неравенства

Последнее неравенство верно при любом значении x, так как при любом значении х получится истинное высказывание НеравенстваПоэтому множеством его решений (а значит, и множеством решений заданного неравенства) будет вся числовая прямая, т. е. промежуток Неравенства

Неравенства

Решение:

Неравенства

Последнее неравенство не имеет решений, так как при любом значении переменной х получается ложнее высказывание НеравенстваЗначит, и заданное неравенство не имеет решений, т. е. множество решений пусто: Неравенства

Системы и совокупности неравенств

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись

Неравенства

означает, что неравенства Неравенстваобразуют систему.Иногда используется запись в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств Неравенстваможно записать в виде двойного неравенства Неравенства

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти множества всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств. Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенства

Неравенства, образующие совокупность, записываются в строчку и отделяются друг от друга знаком

Неравенства

означает, что неравенства образуют совокупность. Иногда для обозначения совокупности неравенств используется квадратная скобка. Так, запись

Неравенства

означает, что неравенства образуют совокупность.

Рассмотрим примеры решения систем и совокупностей неравенств.

Примеры:

1. Решить систему неравенств

Неравенства

Решение. Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство Неравенствавторое — в неравенство Неравенства

Таким образом, задача сводится к решению системы

Неравенства

Множество решений неравенства Неравенстваесть промежуток Неравенствамножество решений неравенства Неравенствапромежуток НеравенстваПересечением этих множеств служит интервал НеравенстваЭто и есть множество решений данной системы неравенств (рис. 74).

2.Решить систему неравенств

Неравенства

Решение:

Выполнив преобразование каждого из неравенств системы (сделайте это!), получим систему1

Неравенства

Множество решений неравенства Неравенствапромежуток Неравенствамножество решений неравенства Неравенствапромежуток

Неравенства

НеравенстваПересечение этих множеств пусто (рис. 75). Это значит, что заданная система не имеет решений. Ответ: Неравенства

3.Решить систему неравенств

Неравенства

Решение:

После преобразований получим систему

Неравенства

Множеством решений первого неравенства этой системы служит вся числовая прямая, а множеством решений второго неравенства —промежуток НеравенстваЭтот промежуток будет пересечением множеств решений неравенств системы. Ответ: Неравенства

4.Решить систему неравенств

Неравенства

Решение:

После преобразований получим систему

Неравенства

Так как множество решений первого неравенства системы пусто, то и множество решении системы — пустое множество.

Неравенства

Ответ:

5.Решить совокупность неравенств

Неравенства

Решение:

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность НеравенстваМножество решений неравенства Неравенствапромежуток Неравенствамножество решений неравенства Неравенствапромежуток НеравенстваОбъединением этих множеств служит промежуток Неравенства(рис. 76). Это и есть множество решений данной совокупности неравенств.

Неравенства

Ответ:

Примеры решения нелинейных неравенств

Неравенства

Решение:

Значение дроби положительно тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют значения одного знака, т. е. когда

Неравенства

Можно сказать, что заданное неравенство равносильно совокупности двух систем

Неравенства

Множество решений первой системы —промежуток Неравенствамножество решений второй системы —промежуток НеравенстваОбъединив эти множества, получим множество решений совокупности систем, а вместе с тем и множество решений заданного неравенства.

Неравенства

Ответ:

Неравенства

Решение:

Преобразуем заданное неравенство:

Неравенства

Разделим обе части последнего неравенства на (—5):

Неравенства

Значение дроби отрицательно в том и только в том случае, когда числитель и знаменатель имеют значения противоположных знаков; дробь обращается в нуль, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Воспользовавшись этим замечанием, приходим к следующей совокупности двух систем:

Неравенства

Множество решений первой системы промежуток Неравенствамножество решений второй системы пусто. Значит, множество решений совокупности, а поэтому и заданного неравенства — промежуток Неравенства

Неравенства

3.Решить уравнение

Решение:

Так как Неравенствав том и только в том случае, когда Неравенствато задача сводится к решению неравенства

Неравенства

Неравенства

Найдем корни трехчлена

Неравенства

и разложим этот трехчлен на множители, тогда

Неравенства

Последнее неравенство равносильно следующей совокупности систем:

Неравенства

Множество решений первой системы—промежуток Неравенствавторой—промежуток НеравенстваОбъединение этих множеств будет множеством решений совокупности систем, а вместе с тем и множеством решений данного уравнения.

Неравенства

Ответ:

Неравенства

Решение:

Если Неравенстваи, следовательно, неравенство (3) примет вид: НеравенстваЕсли же Неравенстваи неравенство (3) принимает вид: НеравенстваТаким образом, неравенство (3) равносильно следующей совокупности двух систем:

Неравенства

Множество решений первой системы —промежуток Неравенствамножество решений второй системы пусто. Значит, множеством решений совокупности систем, а тем самым и неравенства (3) служит промежуток Неравенства

Примеры графического решения неравенств и систем неравенств с одной переменной

Неравенства

1.Решить графически неравенство

Решение:

Неравенства

Построим график функции (рис. 77). Мы видим, что график расположен выше оси Ох при значениях х,

Неравенства

Неравенства

принадлежащих промежутку Это и есть множество решений данного неравенства.

Неравенства

2.Решить графически неравенство

Неравенства

Первый способ решения. Построим график функции имеем:

Неравенства

Неравенства

Значит. вершиной параболы служит точка (1,-9) График изображен на рис.78

Неравенства

Мы видим, что график пересекает ось Ох в точках —2 и 4 и расположен ниже оси Ох при значениях принадлежащих интервалу НеравенстваВ итоге получаем, что множеством решений заданного неравенства является отрезок Неравенства

Второй способ. Преобразуем заданное неравенство к виду НеравенстваПостроим в одной системе координат графики функций Неравенства(рис. 79). Неравенство Неравенствабудет выполняться при тех и только тех значениях х, при которых график функции Неравенстварасположен не выше графика функции Неравенства

3.Решить графически систему неравенств

Неравенства

Решение:

Неравенства

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 80).

Оба графика лежат выше оси Ох при значениях х, принадлежащих интервалу НеравенстваЗначит, множество решений заданной системы неравенств есть интервал Неравенства

Неравенства — основные понятия и определения

Числовые и алгебраические неравенства. Свойства неравенств. Действия над неравенствами

Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел a, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: а > b, а = b, или а < b. При этом запись а > b означает, что разность а—b положительна, а запись а < b — что разность а—b отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.

Соотношения а > b и а < b назовем неравенствами, числа а и bчленами (или частями) неравенства, знаки Неравенства(больше) и Неравенства(меньше)—знаками неравенства.

Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с < d называются неравенствами противоположного (или разного) смысла.

Из определения неравенства сразу следует, что

1) любое положительное число больше нуля;

2) любое отрицательное число меньше нуля;

3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;

4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.

Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.

Неравенства обладают следующими основными свойствами.

1 . Несимметричность (необратимость): если а > b, то b < а, и обратно.

Действительно, если разность а—b положительна, то разность b—а отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.

2. Транзитивность: если а > b и b > с, то а > с.

Действительно, из положительности разностей а—b и b—с следует и положительность а — с = (а—b) + (b—с).

Кроме знаков неравенства Неравенстваи Неравенстваприменяют также знаки неравенства Неравенстваи Неравенства. Они определяются следующим образом: запись Неравенстваозначает, что либо Неравенствалибо Неравенства. Поэтому, например, можно писать Неравенства, а также Неравенства. Обычно неравенства, записанные с помощью знаков Неравенства, Неравенства, называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков Неравенства, Неравенстванестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.

Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.

3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.

Доказательство:

Пусть даны неравенство а > b и произвольное число m. По определению разность а—b положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа m и (—m), от чего оно не изменится, т. е.

Неравенства

Это равенство можно переписать так:

Неравенства

Из этого следует, что разность (a + m)—(b + m) положительна, т. е. что

Неравенства

а это и надо было доказать.

На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства

Неравенства

Неравенства

4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.

Доказательство:

Пусть а > b; тогда а—b > 0 . Если m > 0, то m(а—b) > 0, так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим am—bm > 0, т. е. am > bm. Аналогичным образом рассматривается случай m < 0.

Неравенства

Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число 1/n, а числа n и 1/n имеют одинаковые знаки.

5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.

Доказательство:

Пусть а > b, b > 0 (в этом случае по свойству транзитивности и а > 0). Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции Неравенствапри х > 0 и положительном m будем иметь Неравенства.

В частности, если m = 1/k, где k — натуральное число, то получим

Неравенства

т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.

Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.

Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства— может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!

6. От неравенства а > b можно перейти к неравенству между 1 и 1/b: если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла: 1/а < 1/b.

Доказательство:

Если а и b—одного знака, то их произведение ab положительно. Разделим на ab неравенство а > b:

Неравенства

т.е. 1/a 1/b, что и требовалось получить.

Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.

7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).

Пусть b > с, с > 0. Тогда при а > 1 будет

Неравенства

а при 0 < а 1 будет

Неравенства

Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание а > 1, и убывает при а < 1(п. 43).

Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по полоокительному основанию, меньшему единицы, — неравенство противоположного смысла.

8. Если b > с и а > 1, то Неравенства; если b > c, но 0 < а < 1, то Неравенства.

Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции ах (п. 42), которая возрастает в случае а > 1 и убывает, если 0 < а 1.

9. При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.

Доказательство:

Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства а > b и с > d. По определению числа а—b и с—d будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.

Неравенства

Группируя иначе слагаемые, получим

Неравенства

Неравенства

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.

10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.

Доказательство:

Пусть даны два неравенства а > b и c > d. Сложим теперь два неравенства а > b и d > с одинакового смысла и получим неравенство

Неравенства

того же смысла. Из последнего находим

Неравенства

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.

11. Если почленно перемножить два неравенства одинакового смысла с положительными членами, то образуется неравенство того же смысла.

Доказательство:

Пусть а > b, с > d, причем b > 0, d > 0. Находим, умножая первое неравенство на с, а второе на b:

Неравенства

откуда в силу транзитивности

Неравенства

Отсюда снова вытекает правило о возведении неравенства с положительными членами в натуральную степень.

Неравенства

12. Для любого числа а имеет место неравенство .

Доказательство:

Если Неравенства, то справедливо равенство |а| = a. Если а < 0, то |а|>0 и имеется строгое неравенство |а|> а. В обоих случаях можно писать Неравенства, что и требовалось получить.

13. Модуль суммы не превосходит суммы модулей:

Неравенства

Доказательство:

Модуль суммы |a + b| равен либо а + b, либо —(а + b). По свойству 12 имеем

Неравенства

и, складывая эти неравенства почленно (по свойству 9), найдем

Неравенства

Точно так же Неравенства, Неравенстваи

Неравенства

Неравенства

Из неравенств (74.2) и (74.3) видно, что .

Неравенства

В действительности нетрудно выяснить, когда имеет место знак равенства и когда знак строгого неравенства: , если а и b одного знака, |а + b| < |а| + |b|, если а и b противоположных знаков.

Например, |5 + 3| = |5| + | 3|; в то же время |5—3| < |5| + |— 3|. Свойство 13 верно и для любого числа слагаемых. Более того, оно обобщается и на комплексные числа (речь идет, конечно, о неравенствах между модулями комплексных чисел, которые являются действительными числами). Именно, если Неравенства, Неравенства, то Неравенства(рекомендуем возвратиться к рис. 9, где сумма комплексных чисел изображена геометрически, и истолковать написанное выше неравенство геометрически).

14. Разность модулей не больше модуля разности:

Неравенства

Доказательство:

Запишем очевидное равенство

Неравенства

и применим свойство 13:

Неравенства

Получим Неравенства, или Неравенства. Неравенство (74.4) допускает следующее усиление:

Неравенства

и остается верным и в применении к комплексным числам (доказать самостоятельно).

Алгебраические неравенства

Неравенства между двумя алгебраическими выражениями, такие, например, как

Неравенства

могут при подстановке вместо буквенных параметров, входящих в левую и правую части неравенств, переходить либо в верные, либо в неверные числовые неравенства. Так, неравенство

Неравенства

удовлетворяется при а = 1, b = 1 и с = 2 и не удовлетворяется при а = 2, b = 2 и с = 3.

Имеются, однако, такие неравенства, которые оказываются справедливыми для всех допустимых значений входящих в них буквенных параметров. Таковы, например, неравенства (везде мы имеем в виду только действительные значения параметров)

Неравенства

Иногда приходится проводить доказательство неравенств; при этом «доказать неравенство»—значит установить, что оно справедливо для любых допустимых значений параметров.

Пример:

Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Решение:

Неравенства

Под средним арифметическим двух чисел a > 0 и b > 0 понимают число (а + b)/2, а под их средним геометрическим — число .

Требуется доказать справедливость неравенства

Неравенства

для всех положительных чисел а и b. Данное неравенство равносильно неравенству

Неравенства

преобразуем левую часть неравенства (75.2):

Неравенства

Неравенства

Теперь видно, что неравенство (75.2), а следовательно и неравенство (75.1), выполняется при любых положительных а и b; если , то неравенство строгое; если же а = b, то среднее арифметическое равно среднему геометрическому.

Дадим неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим также геометрическое истолкование (см. рис. 295, п. 216). Среднее геометрическое двух отрезков а и b, сумма которых принята за диаметр окружности, изображается полухордой MD, а среднее арифметическое— радиусом ОМ, который не меньше этой полухорды.

Неравенства

Неравенство (75.1) также обобщается на случай n положительных чисел и записывается в форме

Неравенства

(доказательство мы не приводим).

Пример:

Доказать, что при любом положительном а справедливо неравенство

Неравенства

Решение:

Данное неравенство можно записать в равносильной форме:

Неравенства

Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель:

Неравенства

(обе части неравенства преобразуются тождественно). Полученное неравенство верно: числители дробей равны 1, а знаменатель в правой части меньше. Из неравенства (75.6) следует неравенство (75.5), а из него — неравенство (75.4), которое требовалось доказать.

Пример:

Доказать, что во всей области допустимых значений а, b, с имеет место неравенство

Неравенства

Решение:

Обе части неравенства (75.7) неотрицательны; поэтому мы можем возвести неравенство в квадрат:

Неравенства

Неравенства

Всякий раз, когда а, b, с лежат в о.д.з. неравенства (75.7) и выполнено неравенство (75.9), будет выполнено и неравенство (75.7). Поэтому доказательство неравенства (75.7) сводится к доказательству неравенства (75.9). Обе его части также неотрицательны. Возводим его в квадрат. Получаем

Неравенства

Неравенства

— неравенство, верное при всех значениях а, b, с. В силу неравенства (75.11) устанавливаем последовательно справедливость предшествующих неравенств (75.10), (75.9), (75.8), вплоть до неравенства (75.7), которое требовалось доказать.

Решение неравенств

Множество решений неравенства

Равносильные неравенства. Будем рассматривать строгие или нестрогие неравенства вида

Неравенства

Неравенства

соответственно. Всякое числовое значение Неравенстваиз области допустимых значений называется решением неравенства (76.1) или (76.2), если при подстановке этого значения Неравенствав обе части неравенства получается верное числовое неравенство. Вообще говоря, неравенство может иметь различные решения (часто их бывает бесконечно много). Все решения неравенства образуют множество его решений (иногда называемое также областью его решений). Так, неравенство Неравенстваимеет в качестве своего множества решений открытый интервал (—1, 1), — 1 < х < 1, а неравенство Неравенства— отрезок [—1, 1], Неравенства. Иногда, краткости ради, мы допускаем вольность речи и говорим, что решением неравенства Неравенстваслужит интервал (—1, 1); в этом случае слово «решение» имеет смысл «множество решений».

В зависимости от своего конкретного вида неравенство может вообще не иметь решений (его множество решений пусто) или иметь множество решений самого различного вида (открытый интервал, отрезок, бесконечный интервал и т. д.). В любом случае решить неравенство — значит указать все множество его решений. В частности, неравенство может выполняться для всех (допустимых) значений х.

Из двух неравенств

Неравенства

Неравенства

второе называется следствием первого, если множество решений второго неравенства содержит в себе множество решений первого неравенства. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества решений совпадают. Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений (п. 54). Как и для уравнений, можно было бы сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть прибавление к обеим частям неравенства одинакового слагаемого (и, как следствие, перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую) и умножение обеих частей неравенства на положительное число или положительную функцию. Возможно также деление членов неравенства на положительную функцию и т. д. Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе равносильность неравенств может быть нарушена.

Пример:

Из двух неравенств

Неравенства

второе является следствием первого, но они не равносильны. Неравенства же Неравенстваи Неравенстваравносильны.

Соблюдение требования равносильности преобразований неравенства, выполняемых в процессе его решения, важней соблюдения соответствующего требования для уравнений. Действительно, можно не опасаться появления посторонних корней при решении уравнений, так как последующая проверка подстановкой в исходное уравнение позволяет их отбросить. Для неравенства характерно наличие бесконечного множества решений, и поэтому проверка их подстановкой в неравенство практически невозможна. По этой же причине и отыскание о.д.з. для решаемого неравенства является необходимой составной частью процесса решения.

Графическое решение неравенств

Если неравенство записано в виде f(х) > 0, то, построив график функции y = f(x), можно непосредственно по чертежу видеть, для каких значений х неравенство удовлетворяется (график лежит выше oси Ох). Решение будет точным или приближенным в зависимссти от того, точно или приближенно найдены точки, где график переходит из нижней полуплоскости у < 0 в верхнюю полуплоскость у > 0.

Если неравенство задано в виде Неравенства, то можно построить графики двух функций Неравенстваи Неравенстваи по чертежу определять, для каких значений х первый график располагается выше второго. Множество таких х и даст множество решений неравенства.

Основная ценность графического подхода к решению неравенств состоит в том, что уже схематическое изображение графиков функций часто показывает, что неравенство выполняется в интервалах, ограниченных такими характерными точками, как точки пересечения графиков Неравенстваи Неравенствамежду собой (или точки пересечения графика Неравенствас осью Ох). Отыскание этих точек является уже несколько более легкой задачей: оно сводится к решению уравнений, а ие неравенств.

Пример:

Неравенства

Решение:

Строим графики функций Неравенстваи Неравенства(рис. 62). Первый из них нам известен, второй представляет собой часть параболы Неравенствалежащую в верхней полуплоскости. Из чертежа видно, что неравенство удовлетворяется в интервале (а, 2), левый конец которого —корень уравнения Неравенства. Решаем это уравнение: Неравенства, Неравенства, Неравенства.

Неравенства

Корень Неравенства— посторонний, нужное нам значение: Неравенства. Итак, неравенство удовлетворяется в интервале (1, 2).

Пример:

Неравенства

Решение:

Строим график функции Неравенства; на рис.63 пунктиром показан график функции Неравенства, после чего график Неравенстваполучен по способу п. 48 (он показан сплошной линией). Далее проведена прямая y = 1. Сразу видно, что неравенству (77.1) будут удовлетворять значения х из двух симметричных интервалов: (—b, —а) и (а, b). Здесь через ±а, ±b обозначены абсциссы точек пересечения прямой у = 1 с графиком функции, т. е. решения уравнения

Неравенства

В силу симметрии достаточно найти решения уравнения (77.2) при х > 0. Поэтому уравнение (77.2) сводится к

Неравенства

При х > 1 имеем Неравенстваи из Неравенстванаходим х = 3.

При х < 1 имеем Неравенстваи из Неравенстванаходим x = 1/3. Ясно, что а = 1/3, b = 3 и множеством решений данного неравенства служит пара симметричных интервалов (—3, —1/3) и (1/3, 3).

Линейные неравенства. Системы линейных неравенств

Неравенства

(а также Неравенства, Неравенства, Неравенстваназываются линейными неравенствами или неравенствами первой степени.

Для решения неравенства (78.1) перенесем свободный член в правую часть неравенства с противоположным знаком:

Неравенства

Приходится различать два случая: а > 0 и а < 0. Если а > 0, то разделим обе части неравенства (78.2) на а и получим равносильное неравенство х > —b/а, которое показывает, что множество решений неравенства (78.1) в данном случае — бесконечный интервал Неравенства. Если a < 0, то при делении обеих частей неравенства (78.2) на а придется изменить смысл неравенства, х < —b/а, и решением неравенства (78.1) в этом случае будет бесконечный интервал Неравенства.

Замечание:

Если бы а = 0, то неравенство (78.1) не содержало бы х и было бы либо верным, либо неверным числовым неравенством.

Пример:

Решить неравенства: а) Зх + 4 > х + 10; б) 6х+ 1 >10х + 3.

Решение:

а) Перенесем члены, содержащие х, в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую часть:

Неравенства

Неравенства

Решением неравенства является интервал .

б) Перенесем неизвестные члены в левую часть, а известные — в правую часть неравенства:

Неравенства

Неравенства

При делении неравенства на отрицательное число (—4) изменим смысл неравенства на противоположный, получим .

Неравенства

Множеством решений данного неравенства служит бесконечный интервал .

Пример:

Решить (и исследовать) неравенство

Неравенства

Решение:

Неравенства

При а > 1 делим обе части на а—1 и сохраняем смысл неравенства: х > а + 1. При а < 1 одновременно с делением на а—1 изменяем смысл неравенства: х < а + 1. При а = 1 неравенство не выполняется ни при каком х.

Ответ. Если а > 1, то множеством решений служит интервал Неравенства; если a < 1, то множество решений — интервал Неравенства; при а = 1 решений не имеется.

В случае, если задана система линейных неравенств с одной неизвестной х, например система двух неравенств вида

Неравенства

то ее решение проводится так: решают каждое неравенство в отдельности, а затем находят те значения х, которые входят во множества решений каждого из неравенств. В случае двух неравенств решением каждого из них служит бесконечный интервал вида Неравенстваили Неравенства. Можно представить себе четыре основные возможности, поясняемые рис. 64, где I и II обозначают области решений первого и второго неравенств.

1) Решениями обоих неравенств служат бесконечные интервалы вида Неравенства, Неравенствасоответственно, т. е. лучи положительного направления с начальными точками Неравенства. Если, например, Неравенства, то решением системы неравенств будет общая часть этих лучей — луч Неравенства. Этот случай показан на рис. 64, а.

Неравенства

2) Решения неравенств — бесконечные интервалы (лучи) вида Неравенства, Неравенства. Решением системы служит тот из этих интервалов, который содержится в другом; при Неравенстватаким является интервал Неравенства(рис. 64, б).
3) Решение одного из неравенств — луч Неравенства, другого — луч Неравенства, причем Неравенства(рис. 64, в). Общей частью бесконечных интервалов, представляющих решения неравенств системы при Неравенства, является сегмент Неравенства, который и служит множеством решений системы. При Неравенствамножество решении сведется к одной точке Неравенства.
4) Решения неравенств — лучи Неравенстваи Неравенства, причем Неравенства(рис. 64, г). В этом случае ни одна точка числовой оси не удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Система неравенств не имеет решений (множество ее решений пусто).

Пример:

Решить системы неравенств:

Неравенства

Решение:

а) Решим равенства системы:

Неравенства

Обоим неравенствам одновременно удовлетворяют все числа, большие или равные (—2), но меньшие или равные 4. Записать решение данной системы поэтому можно так: Неравенства. Не множество решений — сегмент Неравенства.

При отыскании множества решений системы полезно пользоваться наглядным приемом, который в данном случае проводится так: интервал, содержащий решения одного неравенства, покрывается штриховкой в одном направлении (на рис. 65, а

Неравенства

в направлении слева вниз направо), а интервал, содержащий решения другого неравенства, — в другом направлении (на рис. 65, а слева вверх направо). Множеством решений системы будет служить дважды заштрихованный интервал числовой оси.

б) Множеством решений первого неравенства служит интервал Неравенства, а второго — интервал Неравенства. Следовательно, множества решений системы — бесконечный интервал Неравенства; на рис. 65, б это отчетливо видно.

в) Первому неравенству удовлетворяют все числа, меньшие 2, а второму—все числа, большие или равные 3. Множества решений неравенств, составляющих систему, общих точек не имеют (рис. 65, в). Неравенства несовместны, система противоречива.

г) Множеством решений первого неравенства служит интервал Неравенства, а второго — интервал Неравенства. Поэтому множеством решений системы является бесконечный интервал Неравенства; это видно из рис. 65, г.

К системам неравенств приводят неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины. Ограничимся решением типичного примера.

Пример:

Неравенства

Решение:

Для того чтобы записать неравенство без знака модуля, придется рассмотреть две возможности: 1) Неравенстваи 2) Неравенства.

Неравенства

1) ; тогда неравенство (78.3) принимает вид Зх — 4 < 5и мы приходим к системе неравенств

Неравенства

2) х < 2; в этом случае неравенство (78.3) сводится к виду — х + 4 < 5и получается система

Неравенства

Множество решений неравенства (78.3) будет объединением множеств решений систем (78.4) и (78.5). Первая система имеет своим решением интервал [2, 3), вторая — интервал (—1, 2). Итак, решение неравенства (78.3) — интервал (—1, 3).

Квадратные неравенства

Квадратным неравенством или неравенством второй степени называется неравенство вида

Неравенства

Неравенства

Так как исследование знака квадратного трехчлена по существу полностью проведено в п. 45 в связи с построением графика этой функции и наглядно представлено на рис. 45, то можно здесь воспользоваться этими результатами. В зависимости от знаков дискриминанта и старшего коэффициента а представляются следующие возможности:

1) d < 0, а >0. Неравенство (79.1) выполнено при всех значениях а (трехчлен положителен для всех значений аргумента). Этот случай представлен рис. 45, а (см. стр. 132).

2) d < 0, а < 0. Неравенство не выполняется ни для одного значения х, множество его решений пусто (рис. 45, б).

3) d = 0, а > 0. Такой трехчлен изображен на рис. 45, д; неравенство (79.1) выполняется для всех х, кроме х = — b/(2а) (двойной корень трехчлена).

4) d = 0, а < 0. Неравенство не может выполняться ни при одном значении х (трехчлен отрицателен всюду, кроме единственной точки х = — b/(2а) , где он обращается в нуль; рис. 45, е).

5) d > 0, а > 0. График трехчлена изображен на рис. 45, в. Неравенство (79.1) выполняется всюду вне интервала между корнями. Если Неравенства— корни трехчлена, причем Неравенства, то неравенство (79.1) выполняется в бесконечных интервалах Неравенстваи Неравенства.

Неравенства

6) d >0, а < 0. График показан на рис. 45, г; неравенство удовлетворено в интервале между корнями трехчлена ().

В сжатой форме эти положения о знаке квадратного трехчлена формулируют так: квадратный трехчлен с мнимыми корнями имеет постоянный знак, совпадающий со знаком его старшего коэффициента; квадратный трехчлен с различными действительными корнями имеет в интервале между корнями знак, противоположный знаку его старшего коэффициента, а вне интервала между корнями — знак, совпадающий со знаком старшего коэффициента.

Эти результаты для трехчлена с действительными корнями Неравенства(Неравенства) можно подкрепить следующими типичными рассуждениями, которые окажутся далее (в п. 80) полезными при решении неравенств высших степеней и неравенств, содержащих дробные рациональные функции. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители (п. 60):

Неравенства

Очевидно, что в областях Неравенства, Неравенства, Неравенстватрехчлен имеет определенный знак, одинаковый для каждой точки данной области. При переходе же из области в область, т. е. при переходе х через одно из значений Неравенства, знак его изменяется. Теперь достаточно установить знак трехчлена для каждой из трех указанных областей.

  1. Неравенства. Имеем Неравенства, Неравенства; знак трехчлена совпадает со знаком а.
  2. Неравенства; в этом случае Неравенства, Неравенства; знак трехчлена противоположен знаку а.
  3. Неравенства. Теперь уже Неравенства, Неравенства, и знак трехчлена снова совпадает со знаком а.

Выводы графического и алгебраического исследования полностью совпали.

Пример:

Решить следующие неравенства:

а) Неравенства; б) Неравенства.

Решение:

а) Преобразуем данное неравенство:

Неравенства

Неравенства

Получилось квадратное неравенство, равносильное данному. Замечаем, что дискриминант трехчлена Неравенствабольше нуля и что его корнями служат числа (—4) и 1. Таким образом, Неравенства. Множество решений данного неравенства состоит из двух бесконечных интервалов: Неравенства, Неравенства. Этот ответ рекомендуется проверить, построив график трехчлена Неравенства.

б) После простых преобразований получаем квадратное неравенство

Неравенства

равносильное данному. Дискриминант трехчлена Неравенстваположителен, корнями трехчлена являются числа Неравенства, Неравенства.

Множество решений задается неравенствами Неравенства; они представляют собой сегмент Неравенства.

Пример:

Неравенства

Решение:

Числа, модуль которых меньше а, заполняют интервал от —а до а. Поэтому неравенство (79.3) равносильно следующим неравенствам:

Неравенства

которые составят систему неравенств второй степени для х:

Неравенства

Перепишем их в стандартной форме:

Неравенства

Первое неравенство имеет множество решений Неравенства. Решения второго неравенства заполняют два бесконечных интервала: Неравенстваи Неравенства. Методом штриховки нетрудно убедиться, что множество решений данного неравенства состоит из двух интервалов: Неравенстваи Неравенства.

Неравенства

На рис. 66 показана графическая иллюстрация к данному неравенству. 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х. Рассмотрим теперь неравенства вида

Неравенства

Неравенства

(в левой части этих неравенств помещается, соответственно, целая или дробная рациональная функция от х (п. 50)). Такие неравенства решают путем разложения входящих в них многочленов на множители, после чего оказывается достаточным установить знак левой части неравенства в каждом из интервалов, на которые числовая ось разбивается действительными корнями функции Неравенства(корнями числителя и знаменателя дробной функции Неравенства.

Пример:

Решить неравенства: а) Неравенства; б) Неравенства; в) Неравенства.

Решение:

а) Для разложения кубического многочлена на множители найдем его корни. Легко заметить, что делитель 1 свободного члена является одним из корней многочлена (см. п. 62); другие корни равны 2 и 3, так что неравенство запишется в виде

(x — 1)(х — 2) (х — 3) > 0.

Теперь видно, что для х < 1 все три множителя отрицательны, произведение отрицательно. При 1 < х < 2 первый множитель положителен, два других отрицательны. Продолжая такие же рассуждения, найдем, что многочлен положителен в интервалах (1, 2), (3, +Неравенства) и отрицателен в интервалах (—Неравенства, 1), (2, 3). Множество решений неравенства состоит из интервалов (1, 2), (3, +Неравенства).

б) Для разложения левой части неравенства на множители находим ее корни; имеем биквадратное уравнение (п. 64)

Неравенства

Находим Неравенстваи Неравенства. Запишем разложение левой части неравенства на множители:

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Так как при любых х, то неравенство заменяется равносильным:

Неравенства

Множеством его решений служит сегмент [—1, 1].

в) Неравенство удовлетворяется при всех значениях Неравенства; множество его решений состоит из интервалов (—Неравенства, 0) и (0, Неравенства).

Сходным образом решаются и дробные неравенства.

Пример:

Неравенства

Решить неравенство .

Решение:

Начнем с предостережения: не следует делать «очевидного» упрощения, состоящего в том, чтобы умножить неравенство на знаменатель х—4 дроби; знаменатель может быть как положительным, так и отрицательным, и в зависимости от его знака при умножении придется рaссматривать два случая.

Вместо этого перенесем все члены неравенства в одну часть. получаем

Неравенства

Удобно изменить знак в числителе, одновременно изменив и знак неравенства:

Неравенства

В интервале х < 4 левая часть положительна, в интервале 4 < х < 15 —отрицательна, в интервале х > 15 — вновь положительна. Область решений — интервал (4, 15).

Пример:

Найти все значения х, для которых

Неравенства

Решение:

Из определения модуля (п. 6) следует, что равенство (80.3) равносильно неравенству

Неравенства

Запишем его в виде

Неравенства

Неравенства

Неотрицательные значения левая часть неравенства принимает в интервалах (—3, —2J и [1, +). Точки х = — 2 и х = 1 входят в области решений. В них левая часть неравенства обращается в нуль, а это допускается знаком нестрогого неравенства.

Пример:

При каких значениях а корни квадратного уравнения

Неравенства

Решение:

Корни трехчлена будут действительными при условии, что его дискриминант неотрицателен:

Неравенства

Так как произведение корней по теореме Внета равно Неравенства, то при положительных корнях должно быть Неравенства. В то же время из равенства Неравенстваясно, что корни будут положительными при выполнении условия

Неравенства

(так как Неравенства, то знаки корней одинаковы и совпадают со знаком Неравенства).

Итак, решение примера 4 свелось к решению системы неравенств

Неравенства

Второе неравенство имеет множество решений, состоящее из интервалов (— , —1) и (0, ). Первое неравенство перепишем в виде

Неравенства

и так как у нас Неравенства, Неравенства(точки а = 0 и а = —1 не входят уже во множество решений второго неравенства системы), то останется решить неравенство

Неравенства

Множеством его решений служит замкнутый интервал [—5, 3]. Точки, одновременно удовлетворяющие обоим неравенствам системы, заполняют интервалы [—5, —1) и (0, 3]. Корни данного уравнения (80.4) действительны и положительны, если

Неравенства

Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства

Неравенства, в левые и правые части которых входят алгебраические иррациональности, показательные или логарифмические выражения, содержащие неизвестную, называют, соответственно, иррациональными, показательными и логарифмическими неравенствами. Решение таких неравенств может требовать выполнения действий возведения в степень, потенцирования, логарифмирования. При проведении преобразований, связанных с этими действиями, необходимо учитывать соответствующие правила, относящиеся к неравенствам (п. 74). Приведем типичные примеры на решение неравенств названных типов.

Пример:

Неравенства

Решение:

Сначала отметим, что о.д.з. задается условием Неравенства. Далее рассматриваем два возможных случая: 1) правая часть неравенства отрицательна, 2) правая часть неравенства неотрицательна. Если Неравенства, Неравенства, то неравенство заведомо удовлетворяется: его левая часть не меньше нуля, как арифметическое значение квадратного корня. Остается рассмотреть случай Неравенства. В этом случае обе части неравенства неотрицательны и неравенство можно, не изменяя его смысла, возвести в квадрат. Получаем

Неравенства

Это приводит к квадратному неравенству

Неравенства

Неравенства

которое удовлетворяется при 4 < х < 11. Но по предположению х < 7; поэтому имеем .

Неравенства

Итак, неравенство (81.1) удовлетворяется при х > 7 и при 4 < х < 7, т. е., вообще, при х > 4. Множество решений неравенства — луч (4, ).

Пример:

Неравенства

Решение:

Неравенства

В данном случае о.д.з. определяется условие . Так как при любых допустимых значениях х обе части неравенства положительны, то возводим неравенство в квадрат:

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Так как слева имеем неотрицательное выражение, то должно выполняться условие ; в этом случае можно еще раз возвести в квадрат обе части нового неравенства (81.3) и получить

Неравенства

Неравенства

Учитывая все найденные ограничения на х:

Неравенства

приходим к следующему решению: неравенство (81.2) удовлетворяется для х, лежащих в сегменте [—1, 3].

Пример:

Неравенства

Решение:

Естественно отнести это неравенство к показательным неравенствам. После небольших преобразований запишем неравенство в форме

Неравенства

Теперь основания равны 4 > 1 и неравенство между степенями влечет за собой неравенство того же смысла между показателями степени:

Неравенства

Решаем полученное алгебраическое неравенство обычным способом (метод интервалов):

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Неравенству (81.4) удовлетворяют точки интервалов (—,—2) и (-1, 0).

Пример:

Решить логарифмические неравенства: a) Неравенства; б) Неравенства.

Решение:

а) Приведем логарифмы, входящие в данное неравенство, к общему основанию, например к основанию 4. Имеем

Неравенства

Теперь можно данное неравенство переписать так:

Неравенства

Основание больше единицы. По этой причине логарифмируемые выражения должны быть связаны неравенством того же смысла, что сами логарифмы. Таким образом,

Неравенства

Решим это квадратное неравенство и учтем условие х > — 1, определяющее о.д.з. Получим —1 х < 2.

Множество решений данного неравенства представляет собой интервал (—1, 2).

б) Заметим, что Неравенства, после чего перепишем данное неравенство так: Неравенства.

Неравенства

Отсюда . Это неравенство и данное—разного смысла, поскольку основание 0,5 логарифмов меньше единицы. Решив последнее неравенство, находим, что его решения заполняют конечный интервал (—1, 1).

Пример:

Неравенства

Решение:

Неравенства

В данном примере неизвестная входит как в основание, так и под знак логарифма; заранее неизвестно, будет ли основание логарифма 1 + х больше или меньше единицы, при решении придется учитывать обе эти возможности. Начнем решение примера с указания о.д.з. Ясно, что должно быть — 1< x < 2и, кроме того, (гак как основание логарифма не может быть равно 1). Таким образом о.д.з. состоит из интервалов (— 1, 0) и (0, 2). Теперь перепишем неравенство в виде

Неравенства

и рассмотрим два случая.

Неравенства

Учитывая все ограничения на х, получаем —1 х < 0.

Неравенства

и с учетом о.д.з. имеем 1/2 x < 2.

Итак, множество решений неравенства (81.5) состоит из интервалов (— 1, 0) и (1/2, 2).

Неравенства с двумя неизвестными

Неравенство с двумя неизвестными

Неравенства

имеет своими решениями пары чисел (х, у), которые изображаются точками плоскости. Найти множество всех решений данного неравенства (или, в других случаях, системы неравенств) — это значит указать на плоскости множество точек, в которых это неравенство (система неравенств) удовлетворяется. Такая необходимость возникает, например, при отыскании о.д.з. алгебраического выражения, зависящего от двух буквенных величин.

Пример:

Неравенства

Указать на плоскости множество решений неравенства: а) х(х—у) > 0; б) .

Решение:

а) Неравенство удовлетворяется в двух случаях: 1) при х > 0, х > y; 2) при х < 0, х < 0.

Неравенства

В случае 1) получается часть правой полуплоскости х > 0, лежащая ниже прямой у = х (рис. 67, а). Случаю 2) отвечает часть левой полуплоскости, лежащая выше прямой у = х (рис.67, б). Все множество решений неравенства показано на рис. 57, в.

Линии х = 0 и у = x, ограничивающие заштрихованную область, в нее не входят (так как решалось строгое неравенство).

б) Пусть сначала Неравенства, Неравенства. Тогда получается система неравенств

Неравенства

Так как х + у = 1 — уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные единице, то неравенствам будут
удовлетворять точки треугольника, ограниченного отрезками осей координат и прямой х + у = 1 (в первой четверти; рис. 68, а).

Неравенства

Части области, расположенные в других четвертях, будут симметричны указанному треугольнику (рис. 68, б). В этом легко убедиться, если заметить, что вместе с точкой (х, у) неравенству будут удовлетворять и симметрично расположенные точки (—х, у), (х, —у), (—х, —у). Линии, ограничивающие область, в данном случае ей принадлежат (вследствие того, что неравенство нестрогое).

Пример:

На плоскости Оху показать области, в которых функция

Неравенства

положительна или отрицательна.

Решение:

На плоскости Оху изобразим параболы Неравенстваи Неравенства, отделяющие друг от друга области Неравенстваи Неравенства(рис. 69, а), а также области Неравенстваи Неравенства(рис. 69, б). Области, где указанные выражения положительны, заштрихованы (разной штриховкой на рис. 69, а и 69, б). Оба чертежа совмещены на рис. 69, в и теперь видно, что области, покрытые двойной штриховкой и совсем незаштриховаиные, являются областями положительности функции, а однократно заштрихованные

Неравенства

области — областями ее отрицательности. Всего получается пять областей, в двух из которых функция отрицательна и в трех положительна.

Неравенства и алгоритм их решения

В отличие от уравнений в неравенствах невозможна проверка (в обычном смысле) найденных решений. Вследствие этого схема решения, часто применявшаяся при решении уравнений, заключающаяся в получении последовательности уравнений- следствий с последующим отбором корней, при решении неравенств не работает.

Тем не менее многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений (преобразование, разложение на множители, замена неизвестного). Более того, исходя из идей метода интервалов, решение любого неравенства (во всяком случае, тех, которые встречаются в школьной практике и на конкурсном экзамене) можно свести к решению одного или нескольких уравнений. Простейшую модификацию метода интервалов иллюстрирует следующий пример.

Решение неравенств

  1. Решить неравенство

Решение:

Отметим на числовой прямой точки, в которых меняют знак (обращаются в ноль) двучлены Решение неравенствсоответственно Решение неравенств(рис. 1). При х>1 каждый из трех двучленов положителен, следовательно, положительна и вся дробь. Двигаясь вдоль прямой справа налево, замечаем, что в каждой из отмеченных точек меняет знак в точности один множитель (деление на Решение неравенств— это умножение на Решение неравенств). Следовательно, меняет знак и левая часть нашего неравенства.

Решение неравенств

Ответ.

В общем случае метод интервалов основывается на следующем простом рассуждении. Пусть задана функция f (х), тогда числовую прямую можно разбить на четыре множества. А — множество

Решение неравенств

Решение неравенств

Решение неравенств вида можно разбить на следующие этапы. Сначала находим граничные точки множеств Л, В, С и D, для чего решаем соответствующие уравнения (в большинстве случаев множество В состоит из точек, являющихся граничными для Л и С). Найденные точки разбивают прямую на лучи и интервалы. Теперь для каждого луча или интервала определяем, к какому из четырех множеств относятся принадлежащие ему точки. (Лучше эти операции осуществлять последовательно. Например, сначала найти множество D, затем В и т. д.)

Решение неравенств

2. Решить неравенство

Решение:

Решение неравенств

Найдем значения х, для которых обращается в ноль соответственно числитель или знаменатель данной дроби: Отметим найденные точки на числовой прямой. В этих точках подкоренное выражение меняет знак. Поскольку при х>4 оно отрицательно, расставляем знаки, как показано на рисунке 2, а. Левая часть данного неравенства

Решение неравенств

Решение неравенств

определена при Теперь решим уравнение

Решение неравенств

Найдем Решение неравенстви нанесем эти значения на числовую прямую. Из нее нас интересуют лишь оставшиеся два полуинтервала (на рис. 2,б они не заштрихованы). Эти точки разбили каждый из наших полуинтервалов на две части: в одной выполняется искомое неравенство, в другой — нет. (Формально можно поступить так: обе части данного неравенства возводим в квадрат, переносим 1 в левую часть, приводим к общему знаменателю. Тогда найденные значения Решение неравенствесть нули числи­ теля получившейся дроби. В них происходит смена знака.) При х= 1 и Решение неравенств— неравенство выполняется.

Решение неравенств

Ответ.

Удобно при решении неравенства методом интервалов, находя точки, в которых меняет знак какой-либо множитель, отмечать эти точки черточкой. Тогда, если в какой-то точке меняют знак нечетное число множителей (стоит нечетное число черточек), знак всего выражения меняется; если же знак меняют четное число множителей (стоит четное число черточек), знак сохраняется.

Решение неравенств

3. Решить неравенство

Решение:

Множитель Решение неравенствобращается в ноль и меняет знак в точках ±1. В этих же точках обращается в ноль и множитель Решение неравенствНетрудно доказать, что он также меняет знак. Уравнение Решение неравенствимеет один корень х = — 1, при переходе через который выражение Решение неравенствРешение неравенств

Решение неравенств

меняет знак с минуса на плюс, если двигаться слева направо. (Докажите.) Теперь расставляем знаки (рис. 3).

Решение неравенств

Ответ.

Преобразование неравенств

Многие виды преобразований, которыми мы пользуемся при решении уравнений, так как они или приводят к эквивалентному уравнению, или, в крайнем случае, к уравнению-следствию, оказываются запрещенными при решении неравенств.

Решение неравенств

4. Решить неравенство

Решение:

При решении этого неравенства грубой ошибкой было бы освобождение от знаменателя (с сохранением знака не­ равенства). Стандартный путь: перенесем все в одну часть (левую) , приведем к общему знаменателю, а затем разложим на множители числитель. Получим

Решение неравенств

Получившееся неравенство решается методом интервалов.

Решение неравенств

Ответ.

При решении неравенств, содержащих квадратные радикалы, необходимо твердо запомнить что возводить их в квадрат, сохраняя знак неравенства, можно лишь при условии неотрицательности обеих частей. (Возможна, правда, и другая, более редкая ситуация, когда обе части неположительны. В этом случае знак не­ равенства меняется на противоположный.) В других случаях воз­ можно как приобретение лишних решений, так и потеря решений. (Ясно, что если при одном знаке неравенства между левой и правой частями решения добавляются, то при противоположном теряются.) Рассмотрим простой пример.

Решение неравенств

5. Решить неравенство

Решение:

Самый обычный путь решения состоит в рассмотрении двух случаев: Решение неравенствЕсли Решение неравенствто обе части неотрицательны (при допустимых х) и можно воз­ водить неравенство в квадрат, сохраняя знак неравенства. Полу­чим Решение неравенствОтметим, что здесь нам нет необходимости заботиться о выполнении неравенства Решение неравенствпоскольку это условие автоматически выполняется для всех х, для которых Решение неравенствПолучая квадратное неравенство, находим Решение неравенствНо по условию Решение неравенствследовательно, в первом случае решением неравенства будет Решение неравенств

Если х>3, то правая часть неравенства отрицательна, левая положительна; подходят все х>3.

Объединяя оба случая, получаем ответ: х>1.

Очень удобно данное неравенство решать при помощи замены Решение неравенствкоторая сразу приводит нас к квадратному неравенству Решение неравенств(в системе с неравенством Решение неравенств, откуда находим Решение неравенств

Решение неравенств

И наконец, третья возможность: исходя из идей метода интервалов, решаем уравнение Корень один: х=1 и т. д.

Решение неравенств

Ответ.

Неравенства, содержащие абсолютные величины

Обычный путь решения неравенств, содержащих абсолютные величины, состоит в том, что числовая прямая разбивается на участки, на каждом из которых на основании определения абсолютной величины знак модуля можно снять. Например:

Решение неравенств

6. Решить неравенство

Решение:

Решение неравенствотрицателен при 1 меняет знак при Решение неравенствСледовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

1.Решение неравенствВ этом случае Решение неравенствПолучаем неравенство Решение неравенствЕго решение Решение неравенствС учетом условия Решение неравенствнаходим Решение неравенств

2. Решение неравенствИмеем неравенство Решение неравенствЕго решение Решение неравенствСледовательно, весь отрезок — Решение неравенствудовлетворяет неравенству.

3. Решение неравенствПолучаем Решение неравенствВновь подходит весь интервал.

Решение неравенств

4. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Решение неравенств

Ответ.

Решение неравенств

Другой подход к неравенствам, содержащим абсолютные вели­ чины, состоит в следующем. Неравенство эквивалентно системе

Решение неравенств

Решение неравенств

а неравенство эквивалентно объединению неравенств

Решение неравенств

(Напомним, что в системе должны выполняться оба неравенства. Соответствует союзу «и». Объединение неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Соответствует союзу «или».) В случае строгих неравенств все неравенства со­ ответственно заменяются на строгие.

Решение неравенств

Доказательства обоих утверждений без труда следуют из определения абсолютной величины. Нагляднее всего эти доказательства реализовать, интерпретируя неравенства графически, изобразив на координатной плоскости в первом случае все точки (а; b) для которых а затем — все точки, для которых

Решение неравенств

и показать совпадение этих множеств.

Решение неравенств

Аналогично для неравенства

При помощи этого приема мы во многих случаях можем последовательно избавляться от знака абсолютной величины, уединяя выражения под этим знаком.

Решим, например, еще раз неравенство 6. Имеем

Решение неравенств

При решении этого неравенства особых преимуществ по срав­ нению с первым методом не видно. Однако в некоторых случаях эти преимущества весьма заметны.

Решение неравенств

7. Решить неравенство

Решение:

Это неравенство не так просто решить стандартным путем. В то время как переходя к системе и т. д.» мы решим его без особого труда.

Решение неравенств

Решение неравенств

Ответ.

Решение неравенств

На этом мы закончим рассмотрение примеров к теме «Неравенства». В конце помещены задачи с условием «решить неравенство». Однако не стоит только ими ограничи­ваться. Полезно, наряду с неравенством, указанным в условии, рассмотреть три других возможных неравенства. (Например, если стоит знак >, то рассмотреть также неравенства со знаками Полезно также рассмотреть уравнения (с одним не­ известным) и, заменив знак « = » на знак неравенства, решить соответствующие неравенства.

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства с переменными
  7. Прогрессии в математике
  8. Арифметическая прогрессия
  9. Геометрическая прогрессия
  10. Показатели в математике
  11. Логарифмы в математике
  12. Исследование уравнений
  13. Уравнения высших степеней
  14. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  15. Комплексные числа
  16. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  17. Алгебраические уравнения
  18. Неопределенные уравнения
  19. Соединения
  20. Бином Ньютона
  21. Число е
  22. Непрерывные дроби
  23. Функция
  24. Исследование функций
  25. Предел
  26. Интеграл
  27. Двойной интеграл
  28. Тройной интеграл
  29. Интегрирование
  30. Неопределённый интеграл
  31. Определенный интеграл
  32. Криволинейные интегралы
  33. Поверхностные интегралы
  34. Несобственные интегралы
  35. Кратные интегралы
  36. Интегралы, зависящие от параметра
  37. Квадратный трехчлен
  38. Производная
  39. Применение производной к исследованию функций
  40. Приложения производной
  41. Дифференциал функции
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Помощь студентам в учёбе lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *