Как определить кратность корня
Перейти к содержимому

Как определить кратность корня

  • автор:

Кратность корня: понятие и методы определения

Что такое кратность корня и как ее определить?

Кратность корня – это количество раз, сколько корень является решением уравнения. Иными словами, это степень, в которой нужно возвести корень, чтобы получить исходное число. Например, если корень 2 имеет кратность 3, это означает, что число 2 нужно возвести в куб, чтобы получить исходное число.

Определить кратность корня можно, рассматривая уравнение и выясняя, сколько раз корень встречается в нем в качестве решений. Кратность может быть положительной целой степенью, отрицательной целой степенью или нулем. Нулевая кратность означает, что корень не является решением уравнения.

Определение кратности корня важно при решении уравнений, анализе графиков функций и других математических задачах.

Определение понятия «кратность корня»

Определение понятия

Кратность корня может быть целым положительным числом, но также может быть дробным или даже отрицательным числом. Целочисленная кратность корня указывает на то, что корень встречается определенное количество раз в уравнении или функции. Например, если корень имеет кратность 2, это означает, что он встречается два раза в уравнении или функции.

Дробная кратность корня указывает на то, что корень встречается дробное количество раз. Например, если корень имеет кратность 1/2, это означает, что он встречается один раз в квадратном корне. Отрицательная кратность корня указывает на то, что корень встречается в уравнении или функции с отрицательным показателем. Например, если корень имеет кратность -1, это означает, что он встречается с отрицательным показателем.

Кратность корня обычно определяется путем анализа уравнения или функции с использованием методов алгебры или графики. Алгебраический метод включает факторизацию уравнения и определение кратности корня по количеству его повторений. Графический метод позволяет наглядно увидеть, сколько раз функция пересекает ось абсцисс в данной точке.

Математическо-логическое объяснение кратности корня

Математическо-логическое объяснение кратности корня

Теперь, когда мы понимаем, что такое корень, давайте заглянем поглубже в его кратность. Кратность корня определяется степенью, в которую нам нужно возвести число, чтобы получить данное число. Например, если число 2 имеет кратность 3, это означает, что мы должны возвести 2 в куб, чтобы получить данное число.

Но как мы узнаем, какая кратность у корня? Для этого мы можем использовать простую математическую операцию, которая называется делением. Если мы имеем число, которое является корнем и возводим его в определенную степень, а затем делим полученное число на само число, и результат равен 0, это означает, что данное число является корнем с заданной кратностью.

Давайте рассмотрим пример для более ясного понимания. Предположим, что нам нужно определить кратность корня числа 4. Мы знаем, что корнем числа 4 является число 2, поэтому мы можем возвести 2 в некоторую степень и проверить, равно ли это число 4.

2 возводим в квадрат:

А затем делим полученное число на 2:

Результат равен 2, не равен 0, поэтому мы видим, что кратность корня числа 2 равна 2.

Теперь вы знаете, как определить кратность корня числа. Используйте эту информацию при решении задач и упражнений по математике. Помните, что практика делает чудеса, поэтому не бойтесь применять эти знания на практике и становиться все более уверенными в своих математических навыках!

Примеры расчета кратности корня

Примеры расчета кратности корня

Пример 1:

Даны уравнение и его корень:

Уравнение: x^3 + x^2 — 4x — 4 = 0

Чтобы определить кратность корня, мы можем подставить его в уравнение и проверить, станет ли оно равным нулю:

(2)^3 + (2)^2 — 4(2) — 4 = 8 + 4 — 8 — 4 = 0

Уравнение становится равным нулю, что означает, что корень x = 2 имеет кратность 1.

Пример 2:

Даны уравнение и его корень:

Уравнение: 2x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 2 = 0

Для определения кратности корня, мы снова подставим его в уравнение:

2(1)^4 — 5(1)^3 + 6(1)^2 — 5(1) + 2 = 2 — 5 + 6 — 5 + 2 = 0

Уравнение снова становится равным нулю, что означает, что корень x = 1 имеет кратность 1.

Пример 3:

Даны уравнение и его корень:

Уравнение: (x — 1)^2 = 0

В этом примере у нас уже есть кратный корень, поскольку квадрат разности (x — 1)^2 приводит к нулю. Подставим корень в уравнение и проверим:

Уравнение равно нулю, что означает, что корень x = 1 имеет кратность 2.

Пример 4:

Даны уравнение и его корни:

Уравнение: x^2 — 4x + 4 = 0

Корни: x = 2 (кратность 2)

В этом примере у нас есть корень кратности 2, поскольку многочлен имеет вид (x — 2)^2. Подставим корень в уравнение и проверим:

(2)^2 — 4(2) + 4 = 4 — 8 + 4 = 0

Уравнение равно нулю, что подтверждает кратность корня x = 2.

Это лишь несколько примеров расчета кратности корня, и они помогают нам лучше понять эту концепцию. Кратность корня имеет важное значение в алгебре и можно применять для решения различных математических задач.

Связь кратности корня с графиком функции

Кратность корня функции играет важную роль в анализе графика данной функции. Кратность корня определяет, какое количество раз функция пересекает ось абсцисс в точке корня. Если корень функции имеет кратность 1, то график функции будет пересекать ось абсцисс только в одной точке. В случае, если корень имеет кратность больше 1, график функции будет пересекать ось абсцисс в указанной точке несколько раз.

График функции с корнем кратности 1 будет иметь обычную форму прямой линии, пересекающей ось абсцисс в одной точке. Если корень функции имеет кратность 2 или более, то график функции будет пересекать ось абсцисс в указанной точке несколько раз, образуя петли или волны вокруг этой точки. Количество пересечений графика функции с осью абсцисс в точке корня будет совпадать с его кратностью.

Таким образом, кратность корня функции непосредственно связана с графиком этой функции. Она позволяет определить, сколько раз график функции будет пересекать ось абсцисс в указанной точке, а также форму и характер графика вокруг этой точки.

Как складывать и вычитать квадратные корни

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math.

Количество просмотров этой статьи: 563 135.

В этой статье:

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

Часть 1 из 2:

Постигаем основы

Step 1 Упростите подкоренное выражение.

  • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
  • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
  • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.

Step 2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы.

Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 — 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.

Step 3 Если вам дано.

Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.

Step 4 У корней, подкоренные.

  • 30√2 — 4√2 + 10√3 =
  • (30 — 4)√2 + 10√3 =
  • 26√2 + 10√3

Часть 2 из 2:

Практикуемся на примерах

Step 1 Пример 1:

  • Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
  • Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
  • Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5

Step 2 Пример 2:

  • Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
  • Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
  • Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
  • Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
  • Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.

Step 3 Пример 3.

Пример 3. 9√5 -2√3 — 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 — 2√3.

Step 4 Пример 4.

  • √9 = √(3 х 3) = 3.
  • √4 = √(2 х 2) = 2.
  • Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
  • Окончательный ответ: 5 — 3√2.

Step 5 Пример 5.

  • Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
  • Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
  • Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .
  • Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.

Предупреждения

  • Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
  • Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2.
    • Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).

    Похожие статьи

    • Как найти квадратный корень числа вручную
    • Как делить квадратные корни
    • Как перемножить квадратные корни
    • Как упростить квадратный корень
    • Как складывать и вычитать целые числа

    Дополнительные статьи

    найти квадратный корень числа вручную

    найти квадратный корень числа вручную

    найти среднее значение, моду и медиану

    найти среднее значение, моду и медиану

    вычислить общее сопротивление цепи

    вычислить общее сопротивление цепи

    вычесть дробь из целого числа

    вычесть дробь из целого числа

    решать кубические уравнения

    решать кубические уравнения

    извлечь квадратный корень без калькулятора

    извлечь квадратный корень без калькулятора

    найти множество значений функции

    найти множество значений функции

    переводить из двоичной системы в десятичную

    переводить из двоичной системы в десятичную

    перевести миллилитры в граммы

    перевести миллилитры в граммы

    умножить в столбик

    умножить в столбик

    проводить действия с дробями

    проводить действия с дробями

    вычислить вероятность

    вычислить вероятность

    найти область определения и область значений функции

    найти область определения и область значений функции

    разделить целое число на десятичную дробь

    разделить целое число на десятичную дробь

    Об этой статье

    Репетитор по математике

    Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math. Количество просмотров этой статьи: 563 135.

    Кратность корней

    Разложите многочлен на множители. Кратность корня равна степени множителя, из которого этот корень получается. А вот количество корней зависит от того в каком разделе математики Вам досталось это уравнение.

    Как Это понять? У меня задание по информационной безопасности.

    Вообще кратные корни удобно отлавливать за счет производной — это те и только те корни, которые общие у производной и исходного многочлена.

    Нашел теорему: многочлен не имеет кратных корней, если f(x) и его производная f ‘(x) взаимно просты.Тогда у меня вопрос: у меня многочлен имеет кратные корни x=2. но какова его кратность?

    Разделите исходный многочлен на x-2, а частное опять на x-2. Дальше понятно?
    Понял, кратность корня х=2 равна 3. Спасибо. Из задачника по общей алгебре Ефимова.

    Контрольный вопрос к студенту. Пусть на R[x] задан многочлен f(x)=(x^2+1)^2. Очевидно, этот многочлен и его производная не взаимно просты, но где же кратные корни.

    Задайте свой вопрос по математике
    профессионалам

    ● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
    Получите ответ профи быстро и бесплатно

    Другие вопросы на эту тему:

    Корни уравнения

    Вычислить сумму чисел, обратных его корням
    x^2-3x+5=0. Но корней нет, D меньше нуля.

    Нахождение суммы корней смешанного уравнения (показательное и логарифмическое)

    Найдите сумму корней уравнения
    (5^x)+5=9*(5^x/2)

    Параметры а и b

    [m](a^<2>+2ab-b^<2>-7)^<2>-(2a^<2>-5ab+b^<2>+1)(x-7)5^+\tan ^<2>x=0[/m]
    найти все а и b , при которыхсреди корней уравнения есть 2 различных корня с равными абсолютными величинами.

    Корни уравнения

    Найти сумму корней уравнения (x+7)^1/3+(1-x)^1/2=2

    Уравнение с параметром

    При каком значении параметра b сумма квадратов корней квадратного уравнения x^2-16x+b=0 равна 128. Применил теорему Виета, получил b=64. В школе сказали неверно, D=0 и корень один, теорему Виета нельзя применять.На курсах мне сказали, что я прав.
    Как быть, если такая задача попадется на ЕГЭ?

    Задача по высшей математике. Помогите решить, пожалуйста

    Определить количество действительных корней уравнения x^3+x-4=0 , и, применяя метод хорд и касательных , найти их приближенное значение с точностью 0.001.

    научная статья по теме ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Математика

    Текст научной статьи на тему «ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ»

    ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, < 7, с. 1181-1186

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОСТИ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ1)

    © 2008 г. Н. Н. Калиткин*, И. П. Пошивайло**

    (*125047 Москва, Миусская пл., 4а, ИММ РАН;

    **124498 Зеленоград, пр-д 48065, Моск. гос. ин-т электронной техн.) e-mail: kalitkin@imamod.ru Поступила в редакцию 30.03.2007 г.

    Переработанный вариант 29.01.2008 г.

    Для нахождения корней нелинейного алгебраического уравнения наиболее часто используют метод Ньютона. Для расширения области сходимости метода Ньютона применяют одно обобщение, нередко называемое непрерывным аналогом метода Ньютона. Для классического и обобщенного методов Ньютона предложен эффективный метод нахождения корней с одновременным вычислением их кратности. При этом корни даже высокой кратности (до порядка 10) вычисляются с малой погрешностью. Метод проиллюстрирован численными примерами. Библ. 8. Табл. 2.

    Ключевые слова: нелинейное алгебраическое уравнение, численное нахождение корней, определение кратности корней, обобщенный метод Ньютона.

    Пусть /(х) — функция одного переменного, непрерывная вместе с некоторым числом своих производных. Для нахождения корней х* уравнения

    существует много неплохих методов. Они описаны в большом количестве учебников и монографий, например [1]-[3]. Однако до сих пор определение кратности найденного корня может вызвать серьезные затруднения. Рассмотрим их причины.

    Очень надежный метод деления пополам в принципе не позволяет найти корни четной кратности. Корень нечетной кратности он находит, но без указания кратности. Если в этом случае пытаться исключать корни делением /(х) на х — х*, то после первого исключения останется корень четной кратности. Далее метод деления пополам перестает замечать этот корень и не позволяет найти его вторично и исключить.

    Метод Ньютона в достаточно малой окрестности корня любой кратности сходится к нему. Поэтому после первого исключения найденного кратного корня он может снова к нему сходиться. Однако на практике мы находим не точное значение корня х*, а приближенное значение х* .

    Поэтому второй раз мы находим корень с меньшей точностью. Для корней кратности порядка 5 и выше даже при расчетах на 64-разрядном компьютере может возникнуть значительная погрешность.

    В прочих методах тоже возникают те или иные трудности. В литературе и программах для произвольной функции /(х) нам удалось найти только один нестрогий способ (см. [4]), позволяющий оценить кратность корня. О нем будет сказано далее.

    Существует литература, специально посвященная вычислению корней многочлена (например, [5]). Это связано в основном с проблемой нахождения собственных значений матриц высокого порядка, которая сводится к вычислению корней характеристического полинома соответствующей степени. Для этой задачи разработаны некоторые специфические приемы. Однако

    1 -‘Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 05-01-00152, 05-01-08006) и НШ-5772.2006.1.

    они не переносятся на функции произвольного вида. На особенностях этой проблемы мы остановимся позднее.

    Ниже предложено несложное дополнение к методу Ньютона и обобщенному методу Ньютона, позволяющее для функции произвольного вида находить корни высокой кратности с малой погрешностью и одновременно определять их кратность. Это дополнение пригодно для написания хороших стандартных программ.

    2. МЕТОД НЬЮТОНА Классический метод Ньютона основан на итерационном процессе

    x. + 1 = x. — f (x.) / f’ (x.). (2)

    Как известно, он сходится, если существует непрерывная функция f»(x), а начальное приближение выбрано в достаточно малой окрестности корня. Пусть существует непрерывная функция f(p + Х)(х), а x* естьр-кратный корень уравнения (1). Тогда в малой окрестности корня имеет место приближенная формула

    f(x)~ a Ар + ЬАр + 1, А = x — x*. (3)

    Подставляя (3) в (2) и вычитая из обеих частей равенства значение x*, получаем

    4 + 1 = ^ As + O (А2).

    Отсюда видно, что метод Ньютона для простого корня (р = 1) сходится квадратично, а для кратного корня (р > 2) — линейно. По скорости сходимости можно определить кратность корня.

    Очевидно, что (р — 1)/р = A. + 1/Ai + O(As). Величины As, As + 1 нам не известны, поскольку в них входит неизвестное значение x*. Однако нетрудно показать, что таким же (с точностью до малых величин) будет отношение (xs + 1 — xs)/(xs — xs _ 1). Удобно ввести знаменатель линейной сходимости по формуле

    При сделанных предположениях рs —► р при s —►

    Поэтому надо ввести в ньютоновские итерации расчет р. по (4) и (5). Если итерации сходятся, а р. стремится к целому числу р, то мы находим значение корня x* и его кратность. Корень определяется при этом с высокой точностью даже при большой кратности.

    Заметим, что предложенный метод применим даже к функциям, имеющим вблизи корня вид f(x) ~ (x — x*)^ где р — не целое число. Сходимость значений р. к нецелому числу служит указанием на такой корень дробной кратности.

    В [4] предложен следующий способ. Заменим (2) на следующий итерационный процесс:

    x. + 1 = x. — mf (xs)/f'(xs), (6)

    где m — натуральное число. Проведем расчеты с разными m, выбирая одно и то же нулевое приближение. То значение m, при котором число итераций окажется наименьшим, должно быть кратностью корня.

    По существу, этот способ основан на тех же соображениях. Однако вместо анализа сходимости вблизи корня здесь берется число итераций, которое при далеком нулевом приближении может служить не слишком надежным критерием. Поэтому такой способ является гораздо менее надежным, чем предложенный здесь. Кроме того, этот способ не позволяет найти корни дробной кратности.

    е p 100 10-1/2 10-1 10-3/2 10-2 10-5/2 0

    1 0 0 0 0 0 0 0

    2 0.5000 0.5201 0.5265 0.5285 0.5291 0.5293 0.5294

    3 0.6667 0.6851 0.6909 0.6927 0.6933 0.6935 0.6936

    4 0.7500 0.7656 0.7705 0.7720 0.7725 0.7727 0.7728

    5 0.8000 0.8133 0.8175 0.8188 0.8192 0.8193 0.8194

    6 0.8333 0.8448 0.8485 0.8496 0.8500 0.8501 0.8501

    7 0.8571 0.8673 0.8705 0.8715 0.8718 0.8719 0.8719

    8 0.8750 0.8840 0.8869 0.8878 0.8881 0.8882 0.8882

    9 0.8889 0.8970 0.8996 0.9004 0.9007 0.9008 0.9008

    10 0.9000 0.9074 0.9098 0.9105 0.9107 0.9108 0.9108

    11 0.9091 0.9159 0.9180 0.9187 0.9189 0.9190 0.9190

    12 0.9167 0.9229 0.9249 0.9256 0.9258 0.9258 0.9259

    13 0.9231 0.9289 0.9308 0.9313 0.9315 0.9316 0.9316

    14 0.9286 0.9340 0.9357 0.9363 0.9365 0.9365 0.9365

    15 0.9333 0.9384 0.9401 0.9406 0.9407 0.9408 0.9408

    3. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА

    Этот метод в непрерывной формулировке предложен в [6], а его численная дискретная реализация — в [7] и последующих работах тех же авторов. Это обобщение сохраняет квадратичную сходимость вблизи простого корня и расширяет область допустимых нулевых приближений. Вместо (2) записывается обобщенный итерационный процесс (см. [7])

    Xs +1 = Xs — Ts9(xs), Ф( x) = f(x)/f (x), 0

    Значения Ts выбирают так, чтобы вдали от корня они были небольшими, а при попадании в малую окрестность корня стремились бы к 1. Мы будем использовать так называемый оптимальный шаг:

    Ts = f2( xs) + 9 f2 (xs — Ф ( xs) ), 0

    f (xs) + f (xs — Ф(xs))

    Здесь 9 — управляющий параметр метода. С ростом 9 величина Ts монотонно возрастает от значения

    f2(xs) + f 2(xs — Ф(xs))

    до т. = 1. Очевидно, что при б = 1 (т. = 1) формулы (7), (8) переходят в классический метод Ньютона (2).

    В методе (7), (8) можно также определять кратность корня по скорости сходимости итераций. Нетрудно показать, что в малой окрестности корня величина (4) связана с кратностью корня следующим соотношением:

    . 11 + 8 (1 — 1 / р)». (9) Р 1+ (1-1/р )2р

    Явную зависимость р(д) из (9) получить нельзя. Поэтому целесообразен следующий способ. Табулируем зависимость д(р, 8) для серии значений 8 (табл. 1). Сопоставляя расчетные значения д. с числами в табл. 1 при используемом в расчете параметре 8, определяем кратность корня.

    P классический обобщенный, б = 10 1/2

    погрешность корня x* погрешность значения fx*) Peff погрешность корня x* погрешность значения fx*) peff

    1 1 х 10-17 0 1.00 10-17 0 1

    2 8 х 10-9 9.2 х 10-17 2.00 7 х 10-7 2.2 х 10-13 2

    3 1 х 10-5 4.9 х 10-16 3.01 1 х 10-5 2.6 х 10-16 3

    4 6 х 10-4 7.3 х 10-15 4.03 1 х 10-3 5.5 х 10-14 4

    5 8 х 10-3 2.4 х 10-13 5.06 5 х 10-3 2.9 х 10-14 5

    6 2 х 10-2 1.6 х 10-13 6.08 3 х 10-2 1.1 х 10-14 6

    7 2 х 10-2 1.1 х 10-15 7.04 6 х 10-2 5.8 х 10-13 7

    8 1 х 10-1 1.3 х 10-13 7.95 6 х 10-2 5.2 х 10-15 8

    4. СТРАТЕГИЯ РАСЧЕТА

    Практика показала, что целесообразно начинать расчет при параметре б = 1, т.е. классическим методом Ньютона. Если S итераций не обеспечивают сходимости, то параметр б рекомендуется уменьшать в 101/2 раз, и снова выполнять не более S итераций. При этом целесообразно выполнять второй итерационный процесс не с последнего найденного приближения, а с исходного нулевого: если итерации плохо сходятся, то последнему приближению рискованно доверять. Если следующих S итераций снова окажется недостаточно, процедуру уменьшения б в 101/2 раз повторяют. Заметим, что табл. 1 построена именно для такого уменьшения б. Если сходимости не будет даже при б = 0.001, задачу следует считать непосильной для программы.

    Описанный способ тестировался на разнообразных функциях и сравнивался с рядом известных стандартных программ FSOLVE и FZERO из пак

    Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *