Как найти вершину гиперболы
Перейти к содержимому

Как найти вершину гиперболы

  • автор:

3.4.3. Фокусы и эксцентриситет гиперболы

Ввиду неравенства , фокусы гиперболы лежат «внутри» её ветвей и только там. Координаты фокусов определяются следующим образом:

Если гипербола задана каноническим уравнением , то РАССТОЯНИЕ от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле:
, и, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для нашей гиперболы , таким образом: (см. рис. выше).

Если гиперболу переместить / повернуть, то фокусы, естественно, мигрируют вместе с ней и их координаты изменятся.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .

Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .

Для нашего примера: .

По аналогии с эллипсом, зафиксируйте значение и проведите самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:

При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси . В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат.

Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Найти вершины гиперболы

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Уважаемые математики, добрый вечер, подскажите, я правильно нашел вершины гиперболы?

Дано каноническое уравнение:

У вершин гиперболы координаты A1(-a;0) и A2(a;0), но это как я понял при условии, если у гиперболы центр с координатами O(0;0), а в моем уравнении центр О'(-2;3).
Получается, что в моем случае координаты вершин A1(-7;3) и A2(3;3) ? Все верно, подскажите?

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

найти полуоси и вершины гиперболы
Установить, что плоскость z+1=0 пересекает однополостный гиперболоид .

Каноническое уравнение гиперболы, если действительная полуось равна 5, а вершины делят расстояние пополам
Составить каноническое уравнение гиперболы, если действительная полуось равна 5, а вершины делят.

Как найти координаты третьей вершины треугольника, зная все стороны и две вершины?
Добрый день, подскажите как найти координаты третьей вершины треугольника? Известны координаты.

Эксперт по математике/физике

10460 / 6938 / 3776
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 15,927

Лучший ответ

Сообщение было отмечено Mysterious Light как решение

Гипербола и парабола

Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка, посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе. Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом. Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

Гипербола и её каноническое уравнение

Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….

У гиперболы две симметричные ветви.

У гиперболы две асимптоты.

Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:

Построить гиперболу, заданную уравнением

Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной:

И только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:

Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля. я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

Каноническое положение гиперболы

1) Прежде всего, находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.

Напрашивается нахождение точек с абсциссами :

4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:

Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.

Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число называют действительной полуосью гиперболы;
числомнимой полуосью.

В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся.

Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет

У гиперболы, точно так же, как и у эллипса, есть две особенные точки , которые называются фокусами. Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым.

Общая концепция определения тоже похожа:

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .

Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для исследуемой гиперболы :

Определение гиперболы

Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:

Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:

Если точку «перекинуть» на левую ветвь и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.

Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .

Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.

Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .

Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .

Для данного примера: .

По аналогии с эллипсом, зафиксировав значение , желающие могут провести самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:

При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси .
В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат.

Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .

Равносторонняя гипербола

На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если , то каноническое уравнение заметно упрощается:

А вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот:

Прямые пересекаются под прямым углом и «справедливо» делят координатную плоскость на 4 одинаковые части, в двух из которых находятся ветви кривой. Образно говоря, равносторонняя гипербола «идеально сложена», то есть и не растянута и не сплющена.

Так как , то , следовательно, эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен: .

Предлагаю закрепить теорию и практические навыки миниатюрной задачей:

Построить гиперболу и найти её фокусы.

Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустит, тот пропустит многое 😉 Решение и чертёж в конце урока.

Начнём тревожить беззаботное существование нашей кривой:

Поворот вокруг центра и параллельный перенос гиперболы

Вернёмся к демонстрационной гиперболе . Что произойдёт, если в полученном уравнении поменять значения полуосей: ? Для эллипса данный трюк означал поворот на 90 градусов. Но здесь всё иначе! Уравнение определяет совершенно другую гиперболу. Ну, хотя бы обратите внимание на иные вершины: .

Теперь рассмотрим уравнение , которое очевидно тоже задаёт гиперболу. Однако к исходному уравнению оно также не имеет никакого отношения! Это предыдущая гипербола, повёрнутая на 90 градусов, с вершинами на оси ординат.

И, наконец, оставшийся случай задаёт нашу гиперболу , повернутую на 90 градусов. Как быть, если в практической задаче встретилась такая неканоническая запись?

Если требуется только построить кривую, то строим её в предложенном виде. Это довольно просто. Уравнения асимптот гиперболы обладают обратными угловыми коэффициентами:

Поскольку оси «поменялись ролями», то вершины будут расположены на оси ординат в точках . Выразим верхнюю ветвь гиперболы:

И найдём несколько дополнительных точек:

Поворот гиперболы на 90 градусов

Выполним чертёж:

Помимо геометрии, похожие графики требуется строить в некоторых задачах математического анализа.

Однако по возможности всё-таки лучше осуществить поворот на 90 градусов и переписать уравнение в канонической форме. Для этого следует поменять местами значения полуосей и переставить «минус» к переменной «игрек»: .
И далее работать уже с каноническим уравнением.

! Примечание: строгий теоретический подход предполагает поворот координатных осей, а не самой линии. При необходимости оформляйте решение по аналогии с соответствующим примечанием предыдущего урока.

Параллельный перенос. Уравнение задаёт гиперболу с действительной полуосью «а», мнимой полуосью «бэ» и центром в точке .

Так, например, гипербола имеет центр симметрии в точке . Асимптоты, само собой, переместились вместе с гиперболой, их уравнения отыскиваются по формулам:

Полуоси и расстояние от фокусов до центра симметрии остались прежними, а вот координаты фокусов изменились с учётом параллельного переноса:

Параллельный перенос гиперболы

Параллельный перенос гиперболы доставил заметно больше хлопот, чем параллельный перенос эллипса, смотрим на картинку:

После таких трудов, уравнение трогать бессмысленно, но если таки просят, то придётся….

В нестрогом варианте: «Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду путём параллельного переноса в начало координат: ».

Или в строгом – с параллельным переносом системы координат началом в точку
(см. шаблон у эллипса).

На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Парабола и её каноническое уравнение

Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:

Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.

В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :

Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.

Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое

определение параболы:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .

Каноническое положение параболы и её определение

Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :

Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):

Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.

Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси

Эксцентриситет любой параболы равен единице:

Поворот и параллельный перенос параболы

Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.

! Примечание: как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.

1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: , то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положения. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: , то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки.

Поворот параболы на 90 и 180 градусов

На следующем чертеже изображены графики кривых :

Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: .

Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны! Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу и разобрать каноническое уравнение , но, к сожалению, у неё достаточно малый фокальный параметр , и чертеж с точкой фокуса , директрисой был бы крайне невразумителен.

2) Параллельный перенос. Без всякой оригинальности. Уравнение задаёт ту же параболу с вершиной в точке . По моим наблюдениям, во многих задачах матана очень популярен частный случай – когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус».

Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения:

Построить параболу . Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы.

Как лучше действовать?

По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Примера 6 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями .

Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать в каноническом положении!

Ну, а наша обзорная экскурсия подошла к концу, и я надеюсь, что у вас не возникло и не возникнет трудностей с тремя атлантами темы – эллипсом, гиперболой и параболой. Предлагаю узнать новый теоретический материал и закрепить практические навыки на уроке Задачи с линиями 2-го порядка.

Решения и чертежи:

Равносторонняя гипербола

Пример 5: Решение: данная гипербола является равносторонней, поэтому имеет асимптоты . Действительная полуось , значит, вершины расположены в точках . Найдём дополнительные точки:

Определим координаты фокусов:

Выполним чертёж:

Перед вами «школьная» гипербола в каноническом положении. График функции получается путём поворота (вокруг начала координат) построенного графика на 45 градусов против часовой стрелки (а если строже – путём поворота системы координат на противоположно ориентированный угол в «минус» 45 градусов).

И в общем случае – график обратной пропорциональности представляет собой равностороннюю гиперболу, уравнение которой можно привести к каноническому виду .

Построение параболы в неканоническом положении

Пример 7: Решение: преобразуем уравнение:

Вершина параболы находится в точке , ветви направлены влево. С помощью уравнений найдём дополнительные точки:

Выполним чертёж:

Парабола получена путём поворота параболы на 180 градусов и её параллельного переноса в точку . Из канонического уравнения находим фокальный параметр , фокус и уравнение директрисы .
Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы . Учитывая поворот и параллельный перенос: .

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Как найти вершину гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и , расстояние между ними — через 2с. По определению гиперболы , или .

Пусть дана гипербола. Если оси декатовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис.). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии — центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. Вершины гиперболы суть точки А’ и А.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2 b , расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.

Отрезки длиной 2 a и 2 b , соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженного) являются асимптотами гиперболы, их уравнения суть

,

Уравнение

(2)

определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей, с фокусами на оси ординат; уравнение (2), как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2 b.

Две гиперболы, которые определяются уравнениями

,

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями ( a=b ) называется равносторонней; ее каноническое уравнение имеет вид

или

Число

где а — расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы . Если М( x; y ) — произвольная точка гиперболы, то отрезки и (см. рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам

, ,

фокальные радиусы точек левой ветви — по формулам

, .

Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями

, ,

называются ее директрисами (см. рис.). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями

, .

Каждая директриса обладает следующим свойством: если r — расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентрисистету гиперболы:

.

515 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
515.1 ее оси 2a=10 и 2b=8;
515.2 расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;
515.3 расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;
515.4 ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4;
515.5 уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20;
515.6 расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26;
515.7 расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
515.8 расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2;
515.9 уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 64/5;
516 Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
516.1 ее полуоси a=6, b=18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенной на оси абсцисс);
516.2 расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3;
516.3 уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48;
516.4 расстояние между директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5;
516.5 уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 32/5.
517 Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
517.1 ;
517.2 ;
517.3 ;
517.4 ;
517.5 ;
517.6 ;
517.7 .
518 Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
519 Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
520 Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .
521 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
521.1 ;
521.2 ;
521.3 ;
521.4 .
522 Дана точка M 1(10; ) на гиперболе . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М 1.
523 Убедившись, что точка М 1(-5; 9/4) лежит на гиперболе , определить фокальные радиусы точки М 1.
524 Эксцентриситет гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
525 Эксцентриситет гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
526 Эксцентриситет гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М 1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
527 Эксцентриситет гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить расстояние от точки М 1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
528 Определить точки гиперболы , расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5.
529 Определить точки гиперболы , расстояние которых до левого фокуса равно 7.
530 Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
531 Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы ( считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
532 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
532.1 точки M 1(6; -1), M2(-8; ) гиперболы;
532.2 точка М 1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет e= ;
532.3 точка М 1(9/2; -1) гиперболы с уравнения асимптот ;
532.4 точка М 1(-3; 5/2) гиперболы и уравнения директрис ;
532.5 уравнения асимптот и уравнения директрис .
533 Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
534 Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 60 0 .
535 Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2.
536 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
537 Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптоты равно b.
538 Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная .
539 Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотами, есть величина постоянная, равная ab/2.
540 Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и b, центр C(x 0; y0) и фокусы расположены на прямой:
540.1 параллельной оси Ox;
540.2 параллельной оси Oy.
541 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
541.1 ;
541.2 ;
541.3 .
542 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
542.1 ;
542.2 ;
542.3 ;
542.4 .
543 Составить уравнение гиперболы, зная, что:
543.1 расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F 1(-10; 2), F2(16; 2);
543.2 фокусы суть F 1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
543.3 угол между асимптотами равен 90 0 и фокусы суть F 1(4; -4), F2(-2; 2).
544 Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы .
545 Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директирсы .
546 Точка А(-3; -5) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.
547 Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e= , фокус F(2; -3) и уравнение соответствующей директрисы .
548 Точка М 1(1; -2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.
549 Дано уравнение равносторонней гиперболы . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
550 Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже:
550.1 ;
550.2 ;
550.3 .
551 Найти точку пересечения прямой и гиперболы .
552 Найти точки пересечения прямой и гиперболы .
553 Найти точки пересечения прямой и гиперболы .
554 В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:
554.1 , ;
554.2 , ;
554.3 , .
555 Определить, при каких значениях m прямая :
555.1 пересекает гиперболу :
555.2 касается ее;
555.3 проходит вне этой гиперболы.
556 Вывести условие, при котором прямая касается гиперболы .
557 Составить уравнение касательной к гиперболе в ее точке M 1(x1; y1).
558 Доказать, что касательные к гипербле, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
559 Составить уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных к прямой .
560 Составить уравнения касательных к гиперболе , параллельных прямой .
561 Провести касательные к гиперболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между ними.
562 На гиперболе найти точку М 1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой прямой.
563 Составить уравнение касательной к гиперболе , проведенных из точки А(-1; -7).
564 Из точки С(1; -10) проведены касательные к гиперболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
565 Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.
566 Гипербола проходит через точку А( ; 3) и касается прямой . Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
567 Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых , , при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
568 Убедившись, что точки пересечения эллипса и гиперболы являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
569 Даны гиперболы и какая-нибудь ее касательная, Р – точка пересечения касательной с осью Ох, Q – проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что .
570 Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
571 Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная, равная b 2 .
572 Прямая касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F 1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы.
573 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе и расстояние между ее вершинами 2а=8.
574 Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F 1M, F2M и проходит внутри угла F 1MF2.
575 Из правого фокусы гиперболы под углом ( <<) к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
576 Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577 Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3. Определить уравнение линии, в котороую при этом сжатии преобразуется гипербола .
578 Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола .
579 Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола при двух последовательных равноменых сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3.
580 Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .
581 Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .
582 Определить коэффициенты q 1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола преобразуется в гиперболу .
Текст издания: © Д.В.Клетенник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/ , http://kirill-kravchenko.narod.ru/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *