Как найти угол между высотой и медианой
Перейти к содержимому

Как найти угол между высотой и медианой

  • автор:

Задача. Найти угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника

.
Решение.
Решим задачу путем дополнительного построения вокруг заданной геометрической фигуры (треугольника), чтобы использовать свойства новой образованной фигуры (прямоугольника) для решения этой задачи по геометрии

Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

В результате дополнительного построения катеты прямоугольного треугольника одновременно являются сторонами прямоугольника, а гипотенуза — его диагональю.

Далее учтем следующие свойства треугольника и прямоугольника:

  • Сумма углов треугольника равна 180 градусам
  • Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
  • Диагонали прямоугольника равны

Величина одного из углов треугольника задана в условии задачи. Поскольку треугольник по условию прямоугольный, то мы можем найти величину третьего угла, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 — 90 — 20 = 70°
Таким образом, мы нашли градусную меру угла B в треугольнике ABC

Рассмотрим треугольник COA. Он равнобедренный, так как его стороны — это половины диагоналей прямоугольника. Это следует из свойств прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны, а в точке пересечения они делятся пополам, то половины равных отрезков будут также между собой равны. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то:
∠OCA = ∠OAC = 20º

Рассмотрим треугольник BKC. CK является высотой треугольника ABC, проведенной к гипотенузе. Значит угол BKC — прямой, то есть равен 90 градусам, а сам треугольник BKC — прямоугольный. Поскольку треугольник BKC — прямоугольный, то угол BCK = 180 — 90 — 70 = 20°. (Это следует из того, что сумма углов треугольника 180 градусов, угол BKC — прямой, а величину угла B мы нашли ранее)

Поскольку угол BCA — прямой, то его градусная мера равна 90 градусов и, одновременно, равна сумме градусных мер составляющих его углов: BCK, KCO и OCA.
Величину угла BCK мы только что нашли, она составляет 20 градусов, величину угла OCA мы также нашли ранее и она тоже составляет 20 градусов.
Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°

Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.

Угол между медианой и высотой в прямоугольном треугольнике

Как найти угол между медианой и высотой в прямоугольном треугольнике, если известны его острые углы?

Острые углы прямоугольного треугольника равны α и β (β>α). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.

Дано : ∆ ABC, ∠C=90º,

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠A+∠B=90º, то есть α+β=90º. Значит, β=90º-α.

\[CK = \frac{1}{2}AB, \Rightarrow CK = AK\]

Следовательно, треугольник ACK- равнобедренный с основанием AC. Отсюда, ∠ACK=∠A=α (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Рассмотрим треугольник ACF — прямоугольный (∠CFA=90º, так как CF — высота).

∠A+∠ACF=90º, откуда ∠ACF=90º-∠A=90º-α=β.

Вывод : угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе, равен разности острых углов прямоугольного треугольника.

Поскольку две другие высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами, то угол между медианой и высотой, проведённой к катету, есть угол между медианой и другим катетом. Для нахождения этих углов требуются дополнительные данные.

∠CBP — угол между медианой BP и высотой BC

(высота BC является также катетом).

∠CAE — угол между медианой AE и высотой AC

(высота AC является катетом).

Помогите найти угол между высотой и медианой в прямоугольном треугольнике, из учебника подготовки к ЗНО

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 32 градуса. Найти угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Распишите как нашли, пожалуйста.

Лучший ответ

Обозначим тр-к АВС. Высота СН. Медиана СМ.
Для краткости обозначим угол А=а, угол В=в, искомый угол МСН=х.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла в тр-ке равна половине гипотенузы.
1-й вариант решения. АМ=МС, значит тр-к АМС-равнобедренный, и угол МСА=а.
В тр-ке АНС угол НСВ=в (почему? объясни сам) . Тогда х=а-в.
2-й вариант решения. МС=МВ, значит тр-к МВС — равнобедренный, и угол ВСМ=в.
Тогда х=90о-2в.

глеб фёдоровУченик (246) 8 лет назад
90-32=58
58/2=29
90-29=61
Остальные ответы

Медиана равна половине гипотенузы.

Все вопросы в агент.

Дима ЗасухаПрофи (537) 10 лет назад
Да,как раз это свойство медианы из прямого угла забыл :),спасибо!

обозначим острые углы заданного прямоуг . тр-ка А и В, прямой С.
ВЫСОТУ СН,
медиану СМ.
угол В =90-32=58
в прямоугольном тр-ке ВС1Н угол С1=32 по сумме углов.
в тр-ке С2МА АМ=С2М отсюда угол АС2М=А=32.
Весь угол С в итоге состоит из трех углов: 32=АС2М ;= угол С1
тогда искомый угол МСН=90-64= сам считай.

Наталия СавинаУченик (143) 9 лет назад

Угол между высотой и медианой, опущенных из вершины прямого угла равен разности острых углов исходного треугольника! Ребята, все гениальное просто!!

Naumenko Высший разум (856830) Наталье. ответу-вопросу год- наконец нашелся знающий человек. СПАСИБО. мб автор вопроса проникнется и запомнит.. но мала надежда- есть пользователи — нами пользуются. и есть заказчики- потребители- дай ответ.. увы. еще раз спасибо за внимание.

Как найти угол между высотой и медианой

В треугольнике ABC (рис.) СЕ — высота и СО — медиана.

Обозначим искомый угол ОСЕ через φ, а углы треугольнику через А, В и С. Найдем из треугольников АСЕ, ВСЕ и ОСЕ cледующие выражения для отрезков основания:

OE = EC • tg φ

Tак как AО = OB, то

АЕ — ВЕ= (АО + ОЕ) — (ОВ-ОЕ) =2ОE.

Подставив найденные выражения этих отрезков, получим

EC • ctg A — EC • ctg B = 2 EC • tg φ,

ctg A — ctg B = 2 tg φ.

Ответ: tg φ = 1 /2 (ctg A — ctg В).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *