Как найти сторону треугольника по координатам вершин
Перейти к содержимому

Как найти сторону треугольника по координатам вершин

  • автор:

Как найти стороны треугольника, если даны координаты вершин х1;у1 х2;у2 х3;у3 .

Найти координаты векторов, образующих каждую сторону:
АВ=(х2-х1; у2-у1)
АС и АД аналогично.
Найти длины векторов |AB|=корень из суммы квадратов соответствующих координат векторов
Удачи!

Дядя ВаняПрофи (959) 14 лет назад
Спасибо большое. но не могли бы Вы немного по подробнее.
я не совсем понял. пожалуйста )))
ALEXANDRМастер (1350) 10 лет назад
Это бред какой-то
в системе координат построить данные треугольника и измерить в маштабе
Adil ShonУченик (161) 7 лет назад
Это слишком жестко)
Блин, а как это понять человеку, который он не проходил?
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Найти стороны треугольника по координатам

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

По заданным координатам вершин треугольника найти стороны и площадь
По заданным координатам вершин треугольника найти стороны и площадь.

Зная площадь прямоугольного треугольника и угол при основании, найти все стороны треугольника
Требования к программе: — Входные данные ввести с помощью стандартных процедур ввода; — На печать.

Найти стороны треугольника
Даётся n и массив с размером n . Все числа в размешку . Нужно найти стороны треугольника среди них.

65 / 65 / 47
Регистрация: 04.12.2016
Сообщений: 214

1 2 3
a=sqrt(pow(x2-x1, 2)+pow(y2-y1, 2)); b=sqrt(pow(x3-x2, 2)+pow(y3-y2, 2)); c=sqrt(pow(x3-x1, 2)+pow(y3-y1, 2));

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Найти стороны треугольника
2) В равнобедренном прямоугольном треугольнике известна высота, опущенная на гипотенузу. Найти.

Найти стороны треугольника.
Треугольник задан величинами своих углов и радиусом описанной окружности. #include<math.h>.

Найти длину третьей стороны треугольника
Треугольник, заданный долинами двох сторон а и Ь и углом (р) между ними. Найти длину третьей.

Найти длину третьей стороны треугольника
3) Периметр треугольника равен p, длина одной стороны равна a, другой — b. Найти длину третьей.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Даны вершины треугольника ABC.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) Площадь треугольника

Пример 2:

Решение от преподавателя:


Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

  • периметр треугольника;
  • уравнения сторон AB и BC;
  • уравнение высоты AD; угол ABC;
  • площадь треугольника.
Решение от преподавателя:



Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

8) Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:
  1. Уравнение прямой
    Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

    Уравнение прямой AB
    Каноническое уравнение прямой:

    или

    или
    y = -3 /7x + 16 /7 или 7y + 3x — 16 = 0

  2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7bm%7d%20=%20\frac%7bx_%7bA%7d%20%2B%20x_%7bB%7d%7d%7b2%7d%20=%20\frac%7b10%20%2B%20(-4)%7d%7b2%7d%20=%203
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=y_%7bm%7d%20=%20\frac%7by_%7bA%7d%20%2B%20y_%7bB%7d%7d%7b2%7d%20=%20\frac%7b-2%20%2B%204%7d%7b2%7d%20=%201
    M(3;1)
    Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
    Каноническое уравнение прямой:

    или

    или
    y = -1 /11x + 14 /11 или 11y + x — 14 = 0

  3. Уравнение высоты через вершину C
    Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

    Найдем уравнение высоты через вершину C

    y = 7 /3x + 62 /3 или 3y -7x — 62 = 0

  4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
    Уравнение прямой AB: y = -3 /7x + 16 /7
    Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
    y — y0 = k(x — x0)
    Подставляя x0 = -8, k = -3 /7, y0 = 2 получим:
    y-2 = -3 /7(x-(-8))
    или
    y = -3 /7x — 10 /7 или 7y + 3x +10 = 0
Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).

Решение от преподавателя:

1) Длина стороны AB.
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

2) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4x -3 или y -4x +3 = 0, угловой коэффициент к1=4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /9x + 5 /9 или 9y -4x — 5 = 0, угловой коэффициент к2=4/9
3) Угол между прямыми

4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -1 /4x + 15 /2 или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k1 = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1 /4
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1 /4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 10, k = -1 /4, y0 = 5 получим:
y-5 = -1 /4(x-10)
или
y = -1 /4x + 15 /2 или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42 /17
y = 117 /17
D( 42 /17; 117 /17)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)

5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.


Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /3x -1 /3 или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:


Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M( 11 /2;3)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(4;13) и М( 11 /2;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -20 /3x + 119 /3 или 3y + 20x — 119 = 0
Найдем точку пересечения медиан.
Имеем систему из двух уравнений:
3y -4x +1 = 0
3y + 20x — 119 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 5
y = 19 /3

6) CDдиаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности (x-x0) 2 +(y-y0) 2 =r 2

(x-106/17) 2 +(y-101/17) 2 =256/17

8) Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A

Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1 /4, ( так как уравнение CD:y = -1 /4x + 15 /2 или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 1, k = -1 /4, y0 = 1получим:
y-1 = -1 /4(x-1)
или
y = -1 /4x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 3 /2x -9 или 2y -3x +18 = 0

2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 6 /7x -45 /7 или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -2 /3x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB


или

или
4y + x — 12 = 0

2)Уравнение медианы (АD)

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:

или

или
y = 1 /9x + 1 /9 или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B

Найдем уравнение высоты через вершину B

Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.

Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

или

или
y = 2 /5x -11 /5 т.е. k1 = 2 /5
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
2 /5k = -1, откуда k = -5 /2
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5 /2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 0, k = -5 /2, y0 = 3 получим:
y-3 = -5 /2(x-0)
или
y = -5 /2x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .

Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3156 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Даны координаты вершин треугольника [math]ABC\colon\,A(x_<<>_A>,y_<<>_A>),B(x_<<>_B>,y_<<>_B>),C(x_<<>_C>,y_<<>_C>)[/math] .
Сделать чертёж. Найти:
1) длины сторон [math]|AB|,|AC|,|BC|[/math] ;
2) уравнения сторон [math]AB,AC,BC[/math] ;
3) уравнения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math] ;
4) длины медиан [math]|AA_1|,|BB_1|,|CC_1|[/math] ;
5) точку [math]M[/math] пересечения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math] ;
6) площадь треугольника [math]S_<<>_>[/math] ;
7) длину высоты [math]AA_2[/math] , опущенную из вершины [math]A[/math] на прямую [math]BC[/math] ;

Можно воспользоваться калькулятором Решение треугольника Онлайн (с графиком и подробным решением).

1) длины сторон [math]|AB|,|AC|,|BC|[/math]

2) уравнения сторон [math]AB,AC,BC[/math] ;

3) уравнения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math]

Сначала координаты находим точек [math]A_1,B_1,C_1[/math] :

4) длины медиан [math]|AA_1|,|BB_1|,|CC_1|[/math] из вершин [math]A,\,B[/math] и [math]C[/math]

5) точку [math]M[/math] пересечения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math]

6) площадь треугольника [math]S__>[/math]

7) длину высоты [math]AA_2[/math] , опущенную из вершины [math]A[/math] на прямую [math]BC[/math]

Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 05 дек 2011, 22:49

Начинающий

Зарегистрирован:
05 дек 2011, 19:52
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

задача похожая на мою из семестровой работы, отлично!
Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 08 ноя 2012, 13:36

Начинающий

Зарегистрирован:
07 ноя 2012, 09:30
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Но почему бы не добавить:
— Радиус и центр вписанной окружности;
— Радиус и центр описанной окружности.
что еще бывает у треугольника? Потом, лучше дать (может быть параллельно) формулы для трехмерного случая?

Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 08 ноя 2012, 13:46

Свет и истина

Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7359
Cпасибо сказано: 478
Спасибо получено:
3621 раз в 2879 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Уравнения биссектрис еще.Самое, на мой взгляд , муторное
Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 08 ноя 2012, 16:53

Начинающий

Зарегистрирован:
07 ноя 2012, 09:30
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Я. откровенно говоря, не ориентируюсь в материалах форума. Но если в нем есть обзорные статьи, типа «Вычисление параметров треугольника», то их лучше писать и обсуждать вместе активным участникам форума. Готов принять посильное участие.

Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 09 ноя 2012, 17:12

Light & Truth

Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Еще хорошо бы добавить штрих-код треугольника. Новое, так сказать, веяние.
Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 02 дек 2017, 12:49

Начинающий

Зарегистрирован:
19 ноя 2017, 12:54
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Здравствуйте помогите с решением поэтапно
Даны вершины треугольника АВС. Найти:1) уравнение сторон;2) длину стороны ВС; 3)уравнение высоты, опущенной из вершины А;4) площадь треугольника АВС; 5)систему неравенств, определяющих треугольник АВС.

А (-2;-6), В (-6; -3), С (10; -1).
заранее спасибо

Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 02 дек 2017, 15:35

Light & Truth

Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

А Вы первое сообщение темы читали?
Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 24 дек 2023, 10:27

Начинающий

Зарегистрирован:
24 дек 2023, 09:53
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

pewpimkin писал(а):
Уравнения биссектрис еще.Самое, на мой взгляд , муторное

Предлагаю найти уравнение биссектрисы так:
[math]\left| \overline \right|[/math] = [math]\left| \overline \right|[/math] =1

[math]\overline[/math] = [math]\overline[/math] + [math]\overline[/math]

Изображение

[math]\frac < x-x_> < x_>[/math] = [math]\frac < y-y_> < y_>[/math]

Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти .
Добавлено: 24 дек 2023, 13:18

Beautiful Mind

Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1091
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
139 раз в 136 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Декартовы системы координат тут совершенно неуместны по причине произвольности их выбора. Давайте считать, что треугольник ABC задан двумя векторам [math]\boldsymbol,\boldsymbol.[/math] «Задан» означает, что эти векторы известны, в частности известны их модули и скалярное произведение. Вот через это и надо выражать все остальное.

Например, высота на сторону BC это вектор [math]\boldsymbol h=t\boldsymbol+(1-t)\boldsymbol.[/math] Параметр t ищется из уравнения [math](\boldsymbol h,\boldsymbol-\boldsymbol)=0[/math]

Через S обозначим центр описанной окружности. Введем вектор
[math]\boldsymbol=x\boldsymbol+y\boldsymbol[/math] .
Параметры x,y ищутся из системы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *