Как найти расстояние от центра окружности до прямой
Перейти к содержимому

Как найти расстояние от центра окружности до прямой

  • автор:

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой A x + B y + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y ) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d = |A·M x + B·M y + C|
√ A 2 + B 2

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Найти расстояние между прямой 3 x + 4 y — 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

d = |3·(-1) + 4·3 — 6| = |-3 + 12 — 6| = |3| = 0.6
√ 3 2 + 4 2 √ 9 + 16 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Как найти расстояние от центра окружности до прямой

Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.

Re: Расстояние прямой до окружности

От: c_o_d
Дата: 13.07.07 09:44
Оценка:

дык пощитай растояние от центра до прямой. Длину перпендикуляра. А потом сравни его с радиусом. вот тебе и как близко

Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:

F>Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.

Вот так вот.
Re: Расстояние прямой до окружности

От: tinytjan
Дата: 13.07.07 09:52
Оценка: 1 (1)

Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:

F>Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.

Есть прямая y = ax + b. Коэффициенты можно вывести без особых затруднений
Если а == оо , т.е. прямая вертикальная то расстояние ( d ) определяется как разность коэффициента b (координата х точки прямой) и координаты х центра окружности.
Иначе

d = abs(y0 — a*x0 — b)/sqrt(1 + a^2)

Дальше сравниваешь с радиусом и делаешь че надо.

Re: Расстояние прямой до окружности

От: Socrat
Дата: 13.07.07 10:34
Оценка: 3 (1)

Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:

F>Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.

В свое время я тоже решал эту задачу, и оказалось, что через векторное произведение проще всего:

Пусть
(0,0) — одна из точек прямой
(x1,y1) — вторая точка прямой
(x2,y2) — центр окружности

Тогда расстояние от центра окружности до прямой:

D = |(x1y2 — x2y1)/sqrt(x1^2+y1^2)|

Re[2]: Расстояние прямой до окружности

От: Flem1234
Дата: 13.07.07 11:12
Оценка:

Здравствуйте, Socrat, Вы писали:

S>Пусть
S>(0,0) — одна из точек прямой
S>(x1,y1) — вторая точка прямой
S>(x2,y2) — центр окружности

S>D = |(x1y2 — x2y1)/sqrt(x1^2+y1^2)|

А что если прямая не проходит через центр координат, как изменится формула?

Re[3]: Расстояние прямой до окружности

От: Sealcon190
Дата: 13.07.07 12:02
Оценка: 1 (1)

Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:

F>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:

S>>Пусть
S>>(0,0) — одна из точек прямой
S>>(x1,y1) — вторая точка прямой
S>>(x2,y2) — центр окружности

S>>D = |(x1y2 — x2y1)/sqrt(x1^2+y1^2)|

F>А что если прямая не проходит через центр координат, как изменится формула?

Элементарно. Пусть (x,y) — первая точка, тогда

D = |((x1-x)(y2-y) — (x2-x)(y1-y))/sqrt((x1-x)^2 + (y1-y)^2)|

Найти расстояние от центра окружности x^2 + y^2 + 2y = 0 до прямой y = 2(2 — x)

Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.

Объявления Последний пост
Правила и принципы форума «Высшая математика» 28.10.2009 15:17
Открыта свободная публикация вакансий для математиков 26.09.2019 16:34
Гранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/2024 28.11.2022 13:56

15.01.2011 16:18
Дата регистрации:
13 лет назад
Найти расстояние от центра окружности x^2 + y^2 + 2y = 0 до прямой y = 2(2 — x)

Найти расстояние от центра окружности $x^2 + y^2 + 2y=0 $ до прямой $y=2(2-x)$
Вот что смог решить:
Нужно выделить полный квадрат по у $x^2 + y^2 + 2y=0$
уравнение окружности с центром в точке (a,b) и радиусом R:
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Не знаю что дальше делать

Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.01.2011 22:25.

Взаимное расположение прямой и окружности

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности.

1. d < r. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то окружность и прямая имеют две общие точки.

2. d = r. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют единственную общую точку.

3. d > r. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Теоремы о касательных и секущих

  1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

  1. Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке: \(AB=AC\) .

Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

  1. Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: \(AC^2=CD\cdot BC\) .

  1. Произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть: \(AC\cdot BC=EC\cdot DC\) .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *