Как найти расстояние между прямыми в призме
Перейти к содержимому

Как найти расстояние между прямыми в призме

  • автор:

Расстояние между скрещивающимися прямыми-2. Задание С2

В этой статье мы разберем решение такой задачи: В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ABи A_1C

Рассмотрим чертеж задачи:

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно, для начала, через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. В нашем случае для этого прийдется сделать дополнительное построение:

Мы получили призму, в основании которой лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°.

Теперь в плоскости грани DBB_1проведем прямую D_1Bпараллельно прямой A_1C,

и через эту прямую проведем плоскость ABD_1, которая будет параллельна прямой A_1C:

Расстояние между прямыми ABи A_1Cравно расстоянию от любой точки прямой A_1Cдо плоскости AB D_1.

Будем искать расстояние от точки С до плоскости AB D_1. Для этого проведем плоскость DCC_1, перпендикулярно плоскости AB D_1(AB<ortho>DC» />, так как диагонали ромба перпендикулярны, <img decoding=

KD_1— линия пересечения плоскости AB D_1и плоскости DCC_1.

Рассмотрим треугольник D_1KC. Нам нужно найти расстояние от точки С до прямой D_1K, то есть высоту треугольника, проведенную из вершины С:

KC=sqrt<3>/2″ /> (из треугольника <img decoding=), D_1K=sqrt<7>/2″ /> (из треугольника <img decoding=), D_1C=2(из треугольника D_1CC_1):

Дальше поступим так:

1. Найдем cos C по теореме косинусов.

2. Найдем sin C через основное тригонометрическое тождество.

3. Найдем площадь треугольника D_1KCпо формуле S=<1/2>sin» />.</p>
<p><img decoding=

4. Из площади выразим высоту, опущенную на основание — это и есть искомое расстояние.

cos<C></p>
<p>1. =//2>=sqrt/2″ /></p>
<p><img decoding=

S_<D_1KC></p>
<p>3. =2sqrt/2=sqrt/4″ /></p>
<p><img decoding=

H=<sqrt<3></p>
<p>/sqrt>=sqrt/7″ /></p>
<p><img decoding=

Замечание: призму можно было достроить «вверх». Попробуйте это решение самостоятельно.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Найти расстояние между прямыми в призме (С2)

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Для печатиДля печати Предыдущая темаПредыдущая тема | Следующая тема Следующая тема
Найти расстояние между прямыми в призме (С2)

Заголовок сообщения: Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Добавлено: 03 май 2012, 20:14
В правильной треугольной призме, все ребра которой 1, найти расстояние между прямыми АВ1 и ВС1.
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Добавлено: 04 май 2012, 08:43
У меня получилось `1/sqrt5`
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Добавлено: 04 май 2012, 08:56
khazh писал(а):
У меня получилось `1/sqrt5`

Вложения:
С2 4 мая.JPG [ 84.18 KIB | Просмотров: 6386 ]

Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Добавлено: 04 май 2012, 16:00

Спасибо огромное, вы такой молодец. А можно еще просьбу? Я понимаю, что на каждую задачу есть свой метод и на каждый метод своя задача. И все же: а можно эту же задачу методом ортогональных проекций?

Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Добавлено: 05 май 2012, 08:02
kuvsh70 писал(а):
а можно эту же задачу методом ортогональных проекций?

Вложения:
С2 5 мая.JPG [ 61.51 KIB | Просмотров: 6327 ]

Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние между прямыми в призме (С2)
Добавлено: 05 май 2012, 14:03
Спасибо огромное. Вы мне очень помогли!
Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]
Текущее время: 01 май 2024, 13:55 | Часовой пояс: UTC + 3 часа

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.

\(\blacktriangleright\) Т.к. через одну из скрещивающихся прямых проходит ровно одна плоскость, параллельная другой прямой, то расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Таким образом, если прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, то:

Шаг 1. Провести прямую \(c\parallel b\) так, чтобы прямая \(c\) пересекалась с прямой \(a\) . Плоскость \(\alpha\) , проходящая через прямые \(a\) и \(c\) , и будет плоскостью, параллельной прямой \(b\) .

Шаг 2. Из точки пересечения прямых \(a\) и \(c\) ( \(a\cap c=H\) ) опустить перпендикуляр \(HB\) на прямую \(b\) (первый способ).

Или из любой точки \(B’\) прямой \(b\) опустить перпендикуляр на прямую \(c\) (второй способ).

В зависимости от условия задачи какой-то из этих двух способов может быть гораздо удобнее другого.

Задание 1 #2452
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ребро которого равно \(\sqrt\) , найдите расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) .

Прямые \(DB_1\) и \(CC_1\) скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(DB_1\) пересекает плоскость \((DD_1C_1)\) , в которой лежит \(CC_1\) , в точке \(D\) , не лежащей на \(CC_1\) .

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\) . Т.к. \(DD_1\parallel CC_1\) , то плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(CC_1\) .
Докажем, что \(CO\) – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (т.к. ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\) ). Таким образом, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, \(CO\perp (B_1D_1D)\) .

\(AC\) , как диагональ квадрата, равна \(AB\sqrt2\) , то есть \(AC=\sqrt\cdot \sqrt2=8\) . Тогда \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .

Задание 2 #2453
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\) , если ребро куба равно \(a\) .

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(AB_1\) пересекает плоскость \((BB_1C_1)\) , в которой лежит \(BC_1\) , в точке \(B_1\) , не лежащей на \(BC_1\) .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(BC_1\) и плоскостью, проходящей через \(AB_1\) параллельно \(BC_1\) .

Для этого проведем \(AD_1\) — она параллельна \(BC_1\) . Следовательно, по признаку плоскость \((AB_1D_1)\parallel BC_1\) .

2) Опустим перпендикуляр \(C_1H\) на эту плоскость и докажем, что точка \(H\) упадет на продолжение отрезка \(AO\) , где \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(A_1B_1C_1D_1\) .
Действительно, т.к. по свойству квадрата \(C_1O\perp B_1D_1\) , то по теореме о трех перпендикуляр проекция \(HO\perp B_1D_1\) . Но \(\triangle AB_1D_1\) равнобедренный, следовательно, \(AO\) – медиана и высота. Значит, точка \(H\) должна лежать на прямой \(AO\) .

3) Рассмотрим плоскость \((AA_1C_1)\) .

\(\triangle AA_1O\sim \triangle OHC_1\) по двум углам ( \(\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ\) , \(\angle AOA_1=\angle HOC_1\) ). Таким образом,

По теореме Пифагора из \(\triangle AA_1O\) : \[AO=\sqrt2>=\dfrac2a.\]

Следовательно, из \((*)\) теперь можно найти перпендикуляр

Задание 3 #2439
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(A_1B\) и \(AC_1\) , если ребро куба равно \(\sqrt6\) .

По определению угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через \(A_1B\) параллельно \(AC_1\) .

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то проекция наклонной \(AC_1\) на эту плоскость – это прямая \(AB_1\) .

Пусть \(AB_1\cap A_1B=O\) . Опустим из точки \(O\) на \(AC_1\) перпендикуляр \(OK\) и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что \(OK\) перпендикулярен прямой \(A_1B\) .
Действительно, проведем \(KH\parallel B_1C_1\) (следовательно, \(H\in AB_1\) ). Тогда т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то и \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция \(HO\perp A_1B\) ) наклонная \(KO\perp A_1B\) , чтд.
Таким образом, \(KO\) – искомое расстояние.

Заметим, что \(\triangle AOK\sim \triangle AC_1B_1\) (по двум углам). Следовательно,

Видеотека. Стереометрия. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

1. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA_1и BC.

2. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми CB_1и AB.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SAи BC.

4. В единичном кубе ABCDA_1B_1C_1D_1найдите расстояние между прямыми ABи CA_1.

4. В единичном кубе ABCDA_1B_1C_1D_1найдите расстояние между прямыми AB_1и BC_1.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *