Как найти радиус сферы
Перейти к содержимому

Как найти радиус сферы

  • автор:

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Изображение сферы с обозначениями

Определение.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара:

V = 4 π R 3 = 1 π D 3
3 6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами ( x 0, y 0, z 0) в декартовой системе координат:

( x — x 0) 2 + ( y — y 0) 2 + ( z — z 0) 2 = R 2

Сегмент шара с обозначениями

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x 0, y 0, z 0):
x = x 0 + R · sin θ · cos φ y = y 0 + R · sin θ · sin φ z = z 0 + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Сегмент шара с обозначениями

Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

V = h 2 π (3R — h )
3

Срез шара с обозначениями

Определение. Срез шара — это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.

Сектор шара с обозначениями

Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r .

Формула. Площадь поверхности сектора S с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):

S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):

V = 2 π R 2 h
3

Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.

Концентрические сферы

Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Радиус сферы, онлайн расчет

Радиус сферы, онлайн расчет поможет вам найти радиус сферы по двум формулам: через площадь поверхности или через объем сферы.

Длина окружности (периметр круга), онлайн расчет

Радиус шара, онлайн расчет

Геометрия 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА

Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Мы в соцсетях Присоединяйтесь!
Нашли ошибку? Есть предложения? Сообщите нам
Этот калькулятор можно вставить на сайт, в блог

Код для вставки без рекламы с прямой ссылкой на сайт

Код для вставки с рекламой без прямой ссылки на сайт

Скопируйте и вставьте этот код на свою страничку в то место, где хотите, чтобы отобразился калькулятор.

Как найти радиус сферы

Перед тем, как смело броситься на амбразуру решения задачи по нахождению радиуса сферы, нужно узнать, что вообще такое сфера и шар. Стереометрия говорит нам, что сфера – это поверхность, состоящая из массы точек пространства, которые находятся на одном расстоянии от центра. Эта точка – центр сферы, а радиус сферы (R) – это расстояние, на которое каждая точка удалена от центра сферы. Шар – это тело, которое ограничено поверхностью сферы.

Безусловно, способ определения того самого радиуса сферы будет зависеть от данных, которые у нас есть.

Способ 1. Определение радиуса сферы при помощи площади ее поверхности

Допустим, нам дана сфера вместе с площадью её поверхности. В таком случае мы будем использовать формулу площади её поверхности для того, чтобы вычислить радиус.

где S – это площадь поверхности сферы, число Пи = 3,14.

Способ 2. Определение радиуса сферы при помощи объема шара

Если нам дан объём шара, ограниченного сферой, то радиус находится так:

где V — это объём шара, число Пи = 3,14.

Способ 3. Альтернативные формулы определения радиуса сферы

В случае, если наша сфера вписана в правильный многогранник или описана вокруг него, можно воспользоваться следующим рядом формул.

Формула 1. Сфера вписана в правильный тетраэдр

Для сферы, которая вписана в правильный тетраэдр:

где a – длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).

Формула 2. Сфера описана около правильного тетраэдра

Для сферы, которая описана около правильного тетраэдра:

где a – длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).

Формула 3. Сфера вписана в куб

Для сферы, которая вписана в куб:

где a – длина ребра куба.

Формула 4. Сфера описана около куба

Для сферы, которая описана около куба:

где a – длина ребра куба.

Нахождение радиуса шара: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус шара и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Содержание скрыть

  • Формулы вычисления радиуса шара
    • 1. Через объем
    • 2. Через площадь поверхности

    Формулы вычисления радиуса шара

    Радиус шара

    1. Через объем

    Радиус шара вычисляется по формуле:

    V – объем шара; равен трем четвертым произведения его радиуса в кубе и числа π .

    π – число, приближенное значение которого равняется 3,14.

    2. Через площадь поверхности

    Радиус шара рассчитывается таким образом:

    S – площадь поверхности шара; равна четырем его радиусам в квадрате, умноженным на число π .

    S = 4 π R 2

    Примеры задач

    Задание 1
    Объем шара составляет 904,32 см 3 . Найдите его радиус.

    Вычисление радиуса шара через объем

    Решение:
    Воспользовавшись первой формулой получаем:

    Задание 2
    Вычислите радиус шара, если площадь его поверхности равна 314 см 2 .

    Вычисление радиуса шара через площадь поверхности

    Решение:
    В данном случае рассчитать радиус шара можно, применив 2-ю формулу (через площадь поверхности):

    Публикации по теме:

    • Нахождение площади квадрата: формула и примеры
    • Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
    • Нахождение площади треугольника: формула и примеры
    • Нахождение площади круга: формула и примеры
    • Нахождение площади ромба: формула и примеры
    • Нахождение площади трапеции: формула и примеры
    • Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
    • Нахождение площади эллипса: формула и пример
    • Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
    • Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
    • Нахождение периметра треугольника: формула и задачи
    • Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
    • Нахождение периметра ромба: формула и задачи
    • Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
    • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
    • Нахождение длины окружности: формула и задачи
    • Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: формула и задачи
    • Теорема косинусов для треугольника: формула и задачи
    • Теорема синусов для треугольника: формула и задачи
    • Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
    • Нахождение объема конуса: формула и задачи
    • Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
    • Нахождение объема куба: формула и задачи
    • Нахождение объема шара: формула и задачи
    • Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
    • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
    • Нахождение объема призмы: формула и задачи
    • Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности вписанного в цилиндр шара
    • Нахождение радиуса круга: формула и примеры
    • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
    • Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
    • Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
    • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
    • Формула Герона для треугольника
    • Теорема Менелая: формулировка и пример с решением
    • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
    • Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
    • Теорема о трех перпендикулярах
    • Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
    • Геометрическая фигура: треугольник
    • Признаки равенства треугольников
    • Признаки равенства прямоугольных треугольников
    • Свойства прямоугольного треугольника
    • Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
    • Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
    • Определение и свойства медианы треугольника

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *