Как найти производную по направлению
Перейти к содержимому

Как найти производную по направлению

  • автор:

Производная функции по направлению

Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ \overline $ и находится по формуле:

  1. Находим частные производные первого порядка:
    $$ \frac<\partial u><\partial x>; \frac<\partial u><\partial y>; \frac<\partial u><\partial z>$$
  2. Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
    $$ \frac<\partial u><\partial x>\bigg |_; \frac<\partial u><\partial y>\bigg |_; \frac<\partial u><\partial z>\bigg |_ $$
  3. Получаем направляющие косинусы по формулам:
    $$ \cos \alpha = \frac<|\overline|>; \cos \beta = \frac<|\overline|>; \cos \gamma = \frac<|\overline|> $$
  4. Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ

Находим частные производные первого порядка и вычисляем их значение в точке $ M $:

Вычисляем направляющие косинусы:

Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $:

Вычисляем направляющие косинусы:

По формуле производной по направлению получаем ответ:

Как найти производную по направлению


Составим единичный вектор e в направлении вектора b:

Производная поля по направлению вектора b равна проекции градиента на направление b, то есть скалярному произведению

Как найти производную по направлению

Рассмотрим функцию двух переменных n =2; z = f ( x , y ). Под направлением мы будем понимать любой вектор на плоскости.

Определение 1. Направляющими косинусами данного направления называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления — .

Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

На плоскости имеем

Если рассмотреть вектор , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором и имеет единичную длину.

Пусть даны точка и направление . Переместим точку М0 вдоль направления на величину D l в точку М1. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.

Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении: ,

Из треугольника М 0 М 1 А: .

Из треугольника М 0 М 1 В: .

Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);

Если направление совпадает с направлением оси ОХ, то производная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.

Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.

Доказательство. Приращение функции отличается от дифференциала на б.м. функции более высокого порядка чем приращения аргументов.

где при соответственно. Используя соотношения

Разделим обе части на

Перейдем в этом равенстве к пределу при , при этом

что и требовалось доказать. Доказательство для случая функции n переменных и направления , заданного направляющими косинусами проводится аналогично

Пример. Найти производную функции в точке М(1, 2) в направлении (4, -3).

Производная функции в точке в направлении вектора

Решение получаем, решая через калькулятор.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:
grad(z)=(10xy+3y²) i +(5x²+6xy) j
Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²) i +(5·1²+6·1·1) j или grad(z)A=13 i +11 j
Модуль grad(z):


Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:


Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №2 . Даны z=f(x; y), А(х0, у0).
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.
б) производную в точке А по направлению вектора а.

Пример №3 . Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2) .
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x

Решение.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №4 . Дана функция . Найти:
1) gradu в точке A(5; 3; 0) ;
2) производную в точке А в направлении вектора a = i -2 j + k .
Решение.
1. .
Найдем частные производные функции u в точке А.
;;
, .
Тогда
2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a 0 вектора a .
, где .

Пример №5 . Даны функция z=f(x) , точка А(х0, у0) и вектор a . Найти: 1) grad z в точке А ; 2) производную в точке А по направлению вектора a .
Решение.
Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):


Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:


Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a , то заданная функция в направлении вектора a убывает.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *