Как найти последнюю цифру числа
Перейти к содержимому

Как найти последнюю цифру числа

  • автор:

Как найти последнюю цифру числа

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

  • ЗАДАЧИ
  • 6 класс
  • Письменная работа
  • Задачи для знакомства
  • Ацнок с зиланА
  • Чётность
  • Делимость
  • В триодиннадцатом королевстве
  • Алгоритмы
  • Математические игры
  • Движение и работа
  • Геометрия
  • Комбинаторика
  • Комбинаторика — 2
  • Задачи на повторение
  • Математическая абака
  • География и путешествия
  • Признаки делимости
  • Последовательности
  • От противного
  • Графы
  • Шахматы
  • Раскраски
  • Последняя цифра
  • Оценка плюс пример
  • Лингвистика
  • История математики
  • ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
  • Доп. набор 1
  • Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


5175. Последняя цифра

Вход. Одно натуральное число n (1 ≤ n ≤ 10 9 ).

Выход. Выведите последнюю цифру числа n.

Пример входа 1

Пример выхода 1

Пример входа 2

Пример выхода 2

РЕШЕНИЕ

элементарная задача

Анализ алгоритма

Последняя цифра натурального числа n равна n % 10.

Реализация алгоритма

Читаем натуральное число n и выводим его последнюю цифру n % 10.

printf( «%d\n» ,n % 10);

Java Реализация

import java.util.*;

public class Main

public static void main(String[] args )

Scanner con = new Scanner(System. in );

int n = con .nextInt();

int res = n % 10;

System. out .print( res );

Как узнать последнюю цифру 3^101. Как быстро узнать? Спасибо!

3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
3^6=729
Как видно последняя цифра начинает повторяться. Последними могут быть только четыре цифры 3, 9, 7, 1. Если показатель степени числа три разделить на четыре и получится частное без остатка, то степень оканчивается цифрой 1, если остаток 1, то последняя цифра 3, остаток 2 — цифра 9, остаток 3 — цифра 7.

Похожие вопросы

Как узнать последнюю цифру числа?

В зависимости от последней цифры числа с числом нужно делать различные действия.Для этого нужно узнать последнюю цифру.Пример: у числа 765 последняя цифра — 5.

  • Вопрос задан более двух лет назад
  • 15265 просмотров

1 комментарий

Простой 1 комментарий

Ni55aN

преобразовать в строку и получить последний символ этой строки
Но нужно еще уточнить какие могут быть числа. Если вещественные, то нужно получать последнюю цифру остатка или целой части?

Решения вопроса 1
Stalker_RED @Stalker_RED
Последняя цифра — это остаток при делении на 10.
const lastDigit = 765 % 10; // -> 5
Ответ написан более двух лет назад
Нравится 6 5 комментариев
Почему выходит, что остаток при делении на 10 это последняя цифра?
Stalker_RED @Stalker_RED

rd100, потому что десятичная система же.
Давайте разделим 42 на 10. Выйдет 4 и остаток — 2.
Разделим 293857257287 на 10. Выйдет 29385725728 и остаток 7. И нет, я не делил, я просто скопировал все числа кроме семерки, но можете проверить на калькуляторе.

Stalker_RED, спасибо
А при делении 5 на 10, он возвращает 0 и остаток 5?
Stalker_RED @Stalker_RED
rd100, конечно.
Вот тут подробно
https://youtu.be/4HDiMon4M50

bolossev666

Богдан @bolossev666
Ответы на вопрос 2

bingo347

Дмитрий Беляев @bingo347 Куратор тега JavaScript
Crazy on performance.

Для целых чисел все просто, как уже верно заметил Stalker_RED достаточно взять остаток от деления на 10 n % 10
Но вот с дробными числами все намного интереснее. Потенциально, можно получить целое представление последовательно умножая число на 10 (сдвигая тем самым десятичную точку вправо), а после воспользоваться предыдущим приемом. Но проблема тут в том, что потенциально такая последовательность может оказаться бесконечной и такой алгоритм зациклится.
Если обратится к стандарту IEEE 754, то можно узнать, что в 64 битах можно точно представить не более 16 десятичных разрядов, а это уже можно использовать как ограничитель, так как при превышении 16 сдвигов десятичной точки значение все равно уже не будет точным

const lastDigit = n => < // в n совсем не то if (isNaN(n) || !isFinite(n)) return NaN; // в n целое if (n % 1 === 0) return n % 10; // для дробных проще со строкой работать const s = String(Math.abs(n)); // неточные значения if (s.length >16 || s.includes('e')) return NaN; return +s.slice(-1); >

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *