Как найти область значения показательной функции
Перейти к содержимому

Как найти область значения показательной функции

  • автор:

Область значений функции

Справочник

Область значений функции, ее свойства и примеры решения

В данном материалы мы подробно рассмотрим значение функции. Определим основные методы ее вычисления. Изучим множество значений функции.

Подробно, разберем на примерах, методы нахождения функции. Прежде, чем начать изучение материала, охарактеризуем основное определение значению функции.

Определение

Функция — это определенное соответствие между двумя множествами, каждому элементу значению первого множества соответствует только один элемент второго множества.

Функции удобно изображать в виде графических прямых или кривых.

Понятие области определения функции

Функция задается тогда, когда любому значению, например x соответствует любое значение y. Независимой переменной называют значение х или по другому аргументом. Числовое значение y, как правило является зависимой переменной.

Данная зависимость между x и y в алгебре называют функциональной. Записывают ее в виде функции y = f(x)

Другими словами, функция, это когда значения одной переменной зависят от значений другой переменной.

Далее можно сформулировать определение область функции. То есть, на какой промежуток действе функции распространяется.

Область функции можно выразить геометрически. Например, в виде графика. Где за основу берутся оси х и y.

Например:

Область значений функции y = z 2 — это все значения, которые будут больше либо равные нулю. В виде записи это выглядит следующим образом: f(у): у ≥ 0. Не все функции обозначаются одинаковыми формулировками, в основном D(f). Но тригонометрические функции обозначаются немного иначе. D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус. Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = x. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1]. Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Для указания множества чисел в определенном промежутке, необходимо выполнить следующие действия:

  • назначается левая и правая границы, два числа через запятую или точку с запятой;
  • ставится круглая или квадратная скобка; это зависит, входит ли граница в промежуток;
  • круглая скобка, ставится, в том случае, если граница не входит в заданный промежуток;
  • квадратная, в обратном случае.

Если у промежутка нет правой границы, записываем знак бесконечности или плюс бесконечности. Если отсутствует левая граница, записываем знак минус бесконечности.

В случае, если записывается множество, которое состоит из нескольких промежутков, ставится знак объединение.

Рассмотрим на примерах

Все действительные числа от 1 до 9, можно выразить в следующей записи. [1;9]

Все положительные числовые значения, имеют следующий вид: (0; +);

Так как ноль, не является положительным число, то возле него ставится круглая скобка.

Область значения и определения функции

Область определения — y(x) любые числовые значения аргумента x.

Чаще всего область определения выражают как функцию D(y).

В математике существует две главных запрещенных (недопустимых) операции:

  • деление любого числового значения на ноль;
  • извлечение квадратного корня, из числа, которое имеет отрицательное значение.

При определении области функции, вступают в силу два основных ограничения:

  • В функции может быть деление на любую переменную. Таким образом, знаменатель, будет равен нулю и получим недопустимое значение. В таком случае, принято считать областью определения все действительные числа.
  • Функция имеет действие: как извлечение квадратного корня. Подкоренное выражение обязательно не должно быть отрицательным. Множество решений этого неравенства и будет областью определения функции.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция записывается обычной формулой y = N, а именно f(x) = N, где N — любое действительное число. Иными словами, принято называть константа.

Определение

Постоянная функция — это функция, при которой всегда наблюдается одно и то же числовое значение, независимо от того какое числовое значения имеет аргумент.

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит следующим образом: y = x k , то есть, f(x) = x k , где x — переменный показатель в основании степени, a — любое число в степени.

Область определения степенной функции, всегда имеет непосредственную зависимость, от значений показателя степени.

Рассмотрим основные моменты:

Если k — неотрицательное целое число, то областью определения данной функции является множество любых, обязательно, действительных чисел: (-∞, +∞).

Когда степенной показатель, является не целое число, то функция имеет следующий вид D(f) = [0, +∞).

Когда k — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Для остальных действительных отрицательных, a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

Если k равно нулю, то функция определена для всех чисел, кроме нуля. Так как ноль нельзя возвести в степень, а любое другое число в нулевой степени равно 1.

То есть, при k = 0, y =x0 = 1, на заданной области определения (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Область определения показательной функции

Показательная функция записывается как: y=k x

где значение x — показатель степени;

k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество значений R.

Основные примеры показательных функций:

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выражается как: y=log n k

Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы. Область определения логарифма и логарифмической функции — это множество положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1

y=ln x, определить область определения натурального логарифма. D(y)=(0;+).

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

Область определения логарифмической функции 1

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Область определения и множество значений функций косинус, синус, тангенс, котангенс

Множество значений всех действительных чисел, будет являться областью определения функций синус и косинус, и записываться следующим образом.

Функции являются ограниченными, как сверху, так и снизу.

y = sin x и y = cos x

Промежуток их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1

Областью определения функции тангенс tg x, является выражение \[x \neq \frac<\pi>+\pi k, k \in z\].

Областью определения функции y = сtg x является множество чисел \[x \neq \frac<\pi>, k \in z\].

На нижеприведенных примерах подробно расписано решение задач, при определении области функции, при заданных промежутках значений.

Пример №1

Определить область значения функции sin x

Данный вид функции относится к категории периодической. Ее период равняется

Определяем множество значений на следующем отрезке: (0;2π).

Область определения и множество значений функций 1

Пример №2

Необходимо определить область значения функции cos x.

область значения функции cos x

Наименьшее значение равно -1;

Минимальное значение косинуса равняется -1, потому что наименьшее значение х, на окружности стремится к этому значению и, следовательно, равняется -1.

Максимальное значение косинуса будет соответственно 1. Поскольку значение на окружности х имеет число 1.

Область значение, следовательно, будет от минус одно до плюс одного. [-1;1].

Применяем двойное неравенство и записывает следующее выражение:

\[-1 \leq \cos 1 \leq 1\]

Область значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражен в виде сложного выражения. Где имеют место ограничения касающиеся области определения и области значения.

Область значения косинуса 1

Таким образом, минимальное значение cos x, cos (15α), cos(5-11x) и так далее, будет однозначно равняться -1;

Самым максимальным значением cos x, cos(4φ), cos(5х+3) равняется 1.

Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].

Область значения квадрата косинуса, будет промежуток от нуля до единицы [0;1]. Потому что число в четной степени, является не отрицательным.

Аналогичным образом находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1]

\[0 \leq(\cos \alpha) \leq 1\]

Пример №3

y = tgx на определенном интервале \[\left(-\frac<\pi> ; \frac<\pi>\right)\].

Решение:

Из правил алгебры, известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Соответственно функция будет иметь возрастающую характеристику.

Далее необходимо определить поведение функции, в заданных пределах.

Поведение функции в заданных пределах

Выполнив решение, мы получаем рост значений от минус до плюс бесконечности. Решение будет сводится к следующему: множество решение заданной функции, будет множество всех действий функции.

Пример №4

Решение:

Для всех значений x производная будет положительной, в пределах от -1;1

Область определения и множество значений функций 1

Следовательно, область значения арксинуса равняется:

\[ E=(\arcsin x)=-\frac<\pi> ; \frac<\pi> \]

Пример №5

Разберем функцию 2sinx2-4, где значение х меньше либо равно значению 3. Необходимо вычислить область значений.

Функция является для всех значений x определенной.

Пример 5

Наблюдаем недопустимый вид при значении аргумента − 3.

При приближении к данному аргументу функция стремится к \[-2 \sin \frac-4\]. При стремлении x к − 3 с правой стороны значения будут стремиться к − 1.

Пример 6

Наблюдается разрыв в точке 3. Когда функция стремится к данному разрыву ее числовые значения приближаются к -1. Минус бесконечность будет наблюдаться при стремлении к такой точке, но только с правой стороны.

Из этого следует вся область значений данной функции разбивается на три интервала. (-;−3], (−3 ;3], (3;+)(-;-3], (-3; 3], (3;+).

Первый интервал имеет функцию, следующего вида \[y=2 \sin \frac-4\]. Так как синус должен быть, меньше либо равен 1, или больше либо равен -1. Получаем следующие выражения:

\[-1 \leq \sin \frac \leq 1\] из этого следует \[-2 \leq 2 \sin \frac \leq 2 \Rightarrow-6 \leq 2 \sin \frac-4 \leq-2\]

На промежутке -∞;-3, функция имеет следующие значения [-6;-2].

Функция y=-1, получается на полуинтервале (−3;3]. Следовательно, все значения будут сводится на данном интервале к одному числу, а именно -1.

Пример 6

Если значение x больше значения 3, то большинство множеств функции будет в промежутке от нуля до +∞.

Нет времени решать самому?

Как найти область значений показательной функции?

В этом уравнении у тебя зависимость y от x, а ты переделай, чтобы была зависимость x от y. Здесь будет:
x = log (y-1) по основанию 2. По свойству логарифма:
y — 1 > 0
y > 1, это и есть область значения в первоначальном уравнении.

Остальные ответы

Обратить x в 0

AnnaПрофи (524) 15 лет назад

получится Х=-1 и что потом? ведь надо найти у

Владимирова Александра Гуру (4883) Ну допустим, не -1, а 1)

Т. к. область значений показательной функции у=a^x, Е (у) = (0; +∞), то для функции вида у=a^x + b — область значений будет равна (b; +∞).
На примере, который ты написала:
у = 2^х + 1
Е (у) = (1; +∞).
Ты можешь наглядно увидеть это, ведь график этой функции получается сдвигом графика функции у= 2^х (которая является показательной, т. е. имеет область значений (0; +∞) ) вверх на 1 (т. е. область значений становится уже (1; +∞) ).

y больше еденицы)))

Похожие вопросы

Показательная функция, ее свойства и график

Функция, заданная формулой \(y=a^x\ (где \ a>0,a≠1)\) , называется показательной функцией с основанием \(a\) .

Графиком функции является кривая, которую называют экспонентой. Этим словом принято называть и саму функцию. Таким образом, экспонента – это показательная функция \(y = a^x\) .

При \(a > 1\) экспонента возрастает. При \(0 < a < 1\) экспонента убывает.

В обоих случаях экспонента выпуклая вниз.

Основные свойства показательной функции

  1. Область определения функции − множество \(\mathbb R\) действительных чисел.
  2. Область значений функции: \(E(y)=(0;+\infty)\) .
  3. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если \(x_1 , то \(a^>a^\) \(a^>a^\) .
  4. Функция ни четная, ни нечетная.
  5. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
  6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  7. Непрерывна.
  8. График любой показательной функции проходит через точку \((0;1)\) .
  9. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть она не имеет точек минимума и максимума функции.

Пройти тест по разделу

  1. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции \(y=(\frac12)^x\) ?
  2. Найдите область значений функции. \(y=-(\frac12)^+1\)
  3. Найдите область значений функции. \(y=3^-2\)
  4. Найдите область значений функции. \(y=17^\)
  5. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции. \(y=4^\)
  6. Найдите область значений показательной функции. \(y=3^x\)

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график

Показательная функция — одна из основных функций, изучаемая в школе и в ВУЗе. Познакомимся с основными понятиями и свойствами показательной функции, построим ее график.

  • Функцию вида y=a x , где а > 0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
  • Область определения показательной функции: D (y)=Rмножество всех действительных чисел.
  • Область значений показательной функции: E (y)=R+множество всех положительных чисел.
  • Показательная функция y=a x возрастает при a > 1.
  • Показательная функция y=a x убывает при 0 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  • а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.
  • a x∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  • a x:ay=ax-y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  • (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  • а -х =1/ax
  • (a/b)-x=(b/a)x.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

1) Построить график функции y=2 x . Найдем значения функции

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=2 0 =1; Точка А.

x=1, y=2 1 =2; Точка В.

x=2, y=2 2 =4; Точка С.

x=3, y=2 3 =8; Точка D.

x=-1, y=2 -1 = 1 /2=0,5; Точка K.

x=-2, y=2 -2 = 1 /4=0,25; Точка M.

x=-3, y=2 -3 = 1 /8=0,125; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2 x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2 > 1.

Пример 2

2) Построить график функции y=( 1 /2) x . Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

x=0, y=(½) 0 =1; Точка A.

x=1, y=(½) 1 =½=0,5; Точка B.

x=2, y=(½) 2 =¼=0,25; Точка C.

x=3, y=(½) 3 =1/8=0,125; Точка D.

x=-1, y=(½) -1 =2 1 =2; Точка K.

x=-2, y=(½) -2 =2 2 =4; Точка M.

x=-3, y=(½) -3 =2 3 =8; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=( 1 /2) x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0 1 /2) Пример 3

3) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=2 x , y=3 x , y=5 x , y=10 x . Сделать выводы.

График функции у=2 х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a > 1) показательной функции у=а х , тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Пример 4

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=( 1 /2) x , y=( 1 /3) x , y=( 1 /5) x , y=( 1 /10) x . Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=( 1 /2) x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0 х , тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3 x =4-x.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3 х и у=4-х.

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

2) 0,5 х =х+3.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5 х

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Найти область значений функции: 1) y=-2 x ; 2) y=( 1 /3) x +1; 3) y=3 x+1 -5.

1) y=-2 x

Область значений показательной функции y=2 x – все положительные числа, т.е.

0 1 /3) x 1 , получаем:

0+ 1 1 /3) x + 1 1 ;

Запишем функцию в виде: у=3 х ∙3-5.

0∙ 3 x ∙ 3 3 ;

0 -5 x ∙3 -5 -5 ;

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *