Как найти направляющий вектор прямой
Перейти к содержимому

Как найти направляющий вектор прямой

  • автор:

Как найти направляющий вектор прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты — буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки и имеют вид

. (2)

Обознчим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим

.

Отсюда

, , . (3)

Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора . В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z — как функции от t ; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка M(x; y; z ) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t =0 точка М совпадает с точкой . Скорость v точки М постоянная и определяется формулой

.

Текст издания: © Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач: © Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/.
Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой а, его координаты — буквами l, m, n:

Если известна одна точка М0 (x0; у0; z0) прямой и направляющий вектор а = , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки M1 (x1; у1; z1) и М22; у2; z2), имеют вид:

Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); мы получим:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М00; y0; z0) в направлении вектора а = . В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, х, у, z — как функции от t; при изменении t величины х, у, z меняются так, что точка М

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t = 0 точка М совпадает с точкой М0. Скорость ϑ точки М постоянна и определяется формулой

ϑ = √(l 2 + m 2 + n 2 )

1007. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1 (2; 0; -3) параллельно: 1) вектору а = ; 2) прямой (x — 1)/5 = (y + 2)/2 = (z + 1)/-1; 3) оси Ох; 4) оси Оу; 5) оси Oz.

1008. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (1; -2; 1), (3; 1; -1); 2) (3; -1; 0), (1; 0, -3); 3) (0; -2; 3), (3; -2; 1); 4) (1; 2; -4), (-1; 2; -4).

1009. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1(1; -1; -3) параллельно: 1) вектору а = ; 2) прямой (x — 1)/2 = (y + 2)/4 = (z — 1)/0; 3) прямой х = 3t — 1, у = — 2t + 3, z = 5t + 2.

1010. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (3; -1;2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; -2), (3; -1; 0); 3) (0; 0; 1), (0; 1; -2),

1011. Через точки М1 (-6; 6; -5) и М2 (12; -6; 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

1012. Даны вершины треугольника A(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) и С(4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С,

1013. Даны вершины треугольника A(3; -1; — 1), В(1; 2; -7) и С(-5; 14; -3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине С.

1014. Даны вершины треугольника А(2; -1; -3), В(5; 2; -7) и С(-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

1015. Даны вершины треугольника A(1; -2; -4), В(3; 1; -3) и С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

1016. Дана прямая

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Вычислить проекции на оси координат какого-нибудь ее направляющего вектора а. Найти общее выражение проекций на оси координат произвольного направляющего вектора этой прямой.

1017. Дана прямая

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Найти разложение по базису i, j, k какого-нибудь ее направляющего вектора а. Выразить в общем виде раз-ложение по базису i, j, k произвольного направляющего вектора этой прямой.

1018. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1 (2; 3; -5) параллельно прямой

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1019. Составить канонические уравнения следующих прямых:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1020. Составить параметрические уравнения следующих прямых:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1021. Доказать параллельность прямых:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1022. Доказать перпендикулярность прямых:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1023. Найти острый угол между прямыми:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1024. Найти тупой угол между прямыми х = 3t — 2, у = 0, z = — t + 3 и x = 2t — 1, y = 0, z = t — 3.

1025. Определить косинус угла между прямыми:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1026. Доказать, что прямые, заданные параметри-ческими уравнениями х = 2t — 3, у = 3t — 2, z = — 4t + 6 и x = t + 5, y = — 4t — 1, z = t -4, пересекаются.

1027. Даны прямые

(x + 2)/2 = y/-3 = (z — 1)/4, (x — 3)/l = (y — 1)/4 = (z — 7)/2;

при каком значении l они пересекаются?

1028. Доказать, что условие, при котором две прямые

лежат в одной плоскости, может быть представлено в следующем виде:

Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

1029. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(-1; 2; -3) перпендикулярно к вектору а = и пересекает прямую

(x — 1)/3 = (y + 1)/2 = (z — 3)/-5

1030. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(-4; -5; 3) и пересекает две прямые

1031. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями

х = 3t — 7, у = — 2t + 4, z = 3t + 4

x = t + 1, у = 2t — 8, z = — t — 12.

1032. Даны уравнения движения точки М (x; y; z)

х = 3 — 4t, y = 5 + 3t, z = — 2 + 12t.

Определить ее скорость ϑ.

1033. Даны уравнения движения точки М

х = 5 — 2t, y = -3 + 2t, z = 5 — t.

Определить расстояние d, которое пройдет эта точка за промежуток времени от t1 = 0 до t2 = 7.

1034. Составить уравнения движения точки М (х; у; z), которая, имея начальное положение М0(3; -1; -5), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора s = со скоростью ϑ = 21.

1035. Составить уравнения движения точки М (х; у; z) которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки М1 (-7; 12; 5) до точки М2 (9; -4; -3) за промежуток времени от t1 = 0 до t2 = 4.

1036. Точка М (х; у; z) движется прямолинейно и равно-мерно из начального положения M0(20; -18; -32) в направлении, противоположном вектору s = ; со скоростью ϑ = 26. Составить уравнения движения точки М и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 3.

1037. Точки М(х; у; z) и N (x; у; z) движутся прямолинейно и равномерно: первая из начального положения M0(-5; 4; -5) со скоростью ϑM = l4 в направлении вектора s = , вторая из начального положения N0(-5; 16; -6) со скоростью ϑN = 13 в направлении, противоположном вектору r = . Составить уравнения движения каждой из точек и, убедившись, что их траектории пересекаются, найти:

1) точку Р пересечения их траекторий;

2) время, затраченное на движение точки М от M0 до Р;

3) время, затраченное на движение точки N oт N0 до Р;

4) длины отрезков М0Р и N0P.

2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

– получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки в уравнение :

– получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой

Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.

Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.

Указать нормальный вектор для заданной прямой y — 3 = 0 .

По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0 · x + 1 · y — 3 = 0 . Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0 , 1 .

Ответ: 0 , 1 .

Если дано уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 или уравнение с угловым коэффициентом y = k · x + b , тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.

Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x 1 3 — y = 1 .

Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x 1 3 — y = 1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x 1 3 — y = 1 ⇔ 3 · x — 1 · y — 1 = 0 .

Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3 , — 1 .

Ответ: 3 , — 1 .

Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y или параметрическим x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a → = ( a x , a y ) . Возможность нахождения координат нормального вектора n → возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n → и a → .

Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 = 0

Для решения можно выбирать любой удобный способ.

Найти нормальный вектор заданной прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 .

Из прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a → = ( 7 , — 2 ) . Нормальный вектор n → = ( n x , n y ) заданной прямой является перпендикулярным a → = ( 7 , — 2 ) .

Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a → = ( 7 , — 2 ) и n → = ( n x , n y ) запишем a → , n → = 7 · n x — 2 · n y = 0 .

Значение n x – произвольное , следует найти n y . Если n x = 1 , отсюда получаем, что 7 · 1 — 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Значит, нормальный вектор имеет координаты 1 , 7 2 .

Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем

x — 2 7 = y + 3 — 2 ⇔ 7 · ( y + 3 ) = — 2 · ( x — 2 ) ⇔ 2 x + 7 y — 4 + 7 3 = 0

Полученный результат координат нормального вектора равен 2 , 7 .

Ответ: 2 , 7 или 1 , 7 2 .

Указать координаты нормального вектора прямой x = 1 y = 2 — 3 · λ .

Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:

x = 1 y = 2 — 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 — 3 · λ ⇔ λ = x — 1 0 λ = y — 2 — 3 ⇔ x — 1 0 = y — 2 — 3 ⇔ ⇔ — 3 · ( x — 1 ) = 0 · ( y — 2 ) ⇔ — 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны — 3 , 0 .

Ответ: — 3 , 0 .

Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат О х у z .

Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда нормальный вектор плоскости относится к A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда получаем запись векторов в виде n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрического, имеющего вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , отсюда a x , a y и a z считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a → = ( a x , a y , a z ) . Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *