Как найти координаты центра и радиус окружности
Перейти к содержимому

Как найти координаты центра и радиус окружности

  • автор:

Основы мат. анализа Примеры

Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.

Составим полный квадрат для .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Применим форму , чтобы найти значения , и .

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

Найдем значение по формуле .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Подставим значения и в формулу .

Сократим общий множитель и .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Вынесем множитель из .

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель из .

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

Этап 5.3.2.2.4

Разделим на .

Найдем значение по формуле .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Подставим значения , и в формулу .

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель и .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель из .

Этап 5.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель из .

Этап 5.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

Этап 5.4.2.1.1.2.4

Разделим на .

Этап 5.4.2.1.2

Умножим на .

Подставим значения , и в уравнение с заданной вершиной .

Подставим вместо в уравнение .

Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная представляет радиус окружности, — сдвиг по оси X от начала координат, а — сдвиг по оси Y от начала координат.

Как найти координаты центр окружности??

Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

Остальные ответы

Похожие вопросы

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Коэффициенты a, b, c, d, e уравнения
Введите коэффициенты a, b, c, d, e в указанном порядке ax² + by² + cx + dy + e = 0
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Введенное уравнение
Уравнение после выделения полного квадрата

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Радиус окружности
Центр окружности
Ссылка Сохранить Виджет

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

  1. Перегруппируем слагаемые уравнения
  2. Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут — Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Найти центр и радиус окружности

\[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},\]

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

\[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;\]

\[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;\]

\[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;\]

\[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;\]

\[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;\]

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

\[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;\]

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

\[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;\]

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

\[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;\]

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

\[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,\]

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

\[({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + c = 0,\]

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

\[({x^2} - 2ax + {a^2}) - {a^2} + ({y^2} - 2by + {b^2}) - {b^2} + c = 0.\]

\[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + c - {a^2} - {b^2} = 0,\]

\[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.\]

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

Найти координаты центра и радиус окружности:

\[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0;\]

\[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0;\]

\[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0.\]

\[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0\]

\[({x^2} + 10x) + ({y^2} - 6y) - 15 = 0\]

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

\[{x^2} + 10x = ({x^2} + 2 \cdot x \cdot 5 + {5^2}) - {5^2}.\]

\[{y^2} - 6y = ({y^2} - 2 \cdot y \cdot 3 + {3^2}) - {3^2}.\]

\[({x^2} + 2 \cdot x \cdot 5 + {5^2}) - {5^2} + ({y^2} - 2 \cdot y \cdot 3 + {3^2}) - {3^2} - 15 = 0\]

\[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} - 25 - 9 - 15 = 0\]

\[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} = 49\]

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

\[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0\]

\[({x^2} - 5x) + {y^2} + 4 = 0\]

\[({x^2} - 2 \cdot x \cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + {y^2} + 4 = 0\]

\[{(x - 2,5)^2} + {y^2} + 4 - 6,25 = 0\]

\[{(x - 2,5)^2} + {y^2} = 2,25\]

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

\[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[{x^2} + {y^2} - \frac{4}{3}x - 3y + \frac{4}{3} = 0\]

\[({x^2} - \frac{4}{3}x) + ({y^2} - 3y) + \frac{4}{3} = 0\]

\[({x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})^2}) - {(\frac{2}{3})^2} + ({y^2} - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})^2}) - \]

\[{(x - \frac{2}{3})^2} + {(y - \frac{3}{2})^2} - \frac{{{4^{\backslash 4}}}}{9} - \frac{{{9^{\backslash 9}}}}{4} + \frac{{{4^{\backslash 12}}}}{3} = 0\]

\[{(x - \frac{2}{3})^2} + {(y - \frac{3}{2})^2} = \frac{{49}}{{36}}\]

Центр этой окружности лежит в точке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *