Как найти коммутирующую матрицу
Перейти к содержимому

Как найти коммутирующую матрицу

  • автор:

Как найти коммутирующую матрицу

БлогNot. Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Матрицы A и B перестановочны (коммутативны), если A*B = B*A .

Например, нам нужно по заданной матрице

` | a b | A = | | | c d |

найти элементы матрицы B той же размерности

` | e f | B = | | | g h |

то есть, подобрать такие e , f , g , h , что A*B = B*A .

Так как эта система уравнений имеет бесконечно много решений (соответственно, перестановочная с данной матрица определена с точностью до постоянного множителя), один элемент искомой матрицы надо зафиксировать, например, положив e=1 . В остальном всё решится в символьном виде обычным блоком Given-Find:

поиск перестановочной матрицы в символьном виде (Mathcad)

поиск перестановочной матрицы в символьном виде (Mathcad)

А вот с дополнительными ограничениями вида «a,b. h не равны 0», или «определители A и B не равны 0», ничего не выйдет. Mathcad просто возьмёт «ближайшее» решение, состоящее из всех нулей.

Сказанное не значит, что Mathcad найдёт «наиболее короткое» или ещё в каком-то смысле «лучшее» решение задачи, имеющей бесконечное множество вариантов ответа. Например, такую простую перестановочную матрицу как

` | a-d b | B = | | | c 0 |

он не найдёт, если поставить до Given оператор h:=0 и искать значения e , f , g . Будут выданы всё те же нули, как «ближайшее подходящее» решение.

Если же матрица A задана не символьно, а в числах, всё ещё тривиальней (для удобства использован «дробный» формат при выводе матриц):

поиск перестановочной матрицы в аналитическом виде (Mathcad)

поиск перестановочной матрицы в аналитическом виде (Mathcad)

23.12.2015, 01:00 [14571 просмотр]

Геометрия и Алгебра. Помогите найти все коммутирующие матрицы 😀

Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.

Объявления Последний пост
Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий 26.03.2008 03:07
Запущен новый раздел «Задачки и головоломки» 29.08.2019 00:42
Гранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/2024 28.11.2022 13:56

03.09.2012 19:23
Дата регистрации:
11 лет назад
Геометрия и Алгебра. Помогите найти все коммутирующие матрицы 😀
Найти все матрицы коммутирующие с A. Пожалуйста по-подробнее.
( 2 1 0 )
A= ( 0 2 1 )
(0 0 2)
03.09.2012 22:14
Дата регистрации:
13 лет назад
Посты: 1 074

Цитата
mackalek
Найти все матрицы коммутирующие с A. Пожалуйста по-подробнее.
( 2 1 0 )
A= ( 0 2 1 )
(0 0 2)

Задача сводится к решению матричного уравнения $AX=XA$ , где $X$ — неизвестная матрица с 9 неизвестными элементами. Распишите полученное матричное равенство покоординатно и получите простую систему линейных уравнений.

03.09.2012 23:06
Дата регистрации:
11 лет назад

да, я это знаю, но преподаватель сказал что тут есть хитрое решение и мне почему то кажется, что это связано с тем, что A имеет вид жордановой матрицы.

04.09.2012 00:53
Дата регистрации:
13 лет назад

Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб.
Исходная матрица представляет из себя одну жорданову клетку.

Первое, что можно заметить: у неё есть единственный (с точностью до умножения на ненулевую константу) собственный вектор $v = (1,0,0)$ (записывать его, конечно, надо в столбец, но в строчку меньше места занимает). Если $B$ коммутирует с $A$ , то $ABv = BAv = 2Bv$ , откуда $Bv$ — собственный вектор матрицы $A$ (или нулевой вектор). Значит, $Bv = \lambda v$ для некоторого скаляра $\lambda$ и $(B)_ = (B)_ = 0$ , $(B)_ = \lambda$ . Далее рассуждаем в том же духе.

Вообще, $BA = AB \Leftrightarrow B(A-2E) = (A-2E)B$ (здесь $E$ — единичная матрица). А у матрицы $A-2E$ совсем много ноликов 🙂

Ответ такой:
$B = \left(\begin a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end \right)$
Естественно, никаких систем решать не надо!

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Найти все матрицы B, коммутирующие с заданной матрицей A

Найти все матрицы B, коммутирующие с заданной матрицей A
03.11.2009, 15:27

Последний раз редактировалось PAV 23.02.2011, 12:35, всего редактировалось 2 раз(а).
изменил заголовок

$ A = \left( \begin</p>
<p>Дана вот такая вот матрица.<br /> 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end \right). $» /><br />Требуется найти все матрицы B, такие что BA = AB.</p>
<p><b>Re: Задачка с матрицами (7)</b><br />
03.11.2009, 15:29</p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12theinternet -->
<script src=

Заслуженный участник

О, таких полно. Можете взять B=A.
Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 15:31
Ой
Я очепятался.. нужно найти все такие матрицы.
Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 15:39

Заслуженный участник

$\left( \begin</p>
<p>Ах, все . Ну, пишите:<br /> a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end \right)$» /><br />где эти самые буквы удовлетворяют таким-то уравнениям.</p><div class='code-block code-block-13' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 13theinternet -->
<script src=

Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 15:50

блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?
Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 15:58

Заслуженный участник

Может быть обратную матрицу найти?
Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 15:59

Заслуженный участник

Ну, кажется, там был какой-то критерий коммутативности через собственные векторы и жорданову форму, но если Вы пока не привыкли этими словами жонглировать туда-сюда, то так только сложнее.

Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 16:14

Заблокирован по собственному желанию

ИС в сообщении #257916 писал(а):

блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

А они, наверное, появятся сразу, как только решать начнём. Сам не решал, но задачка-то учебная, значит всё будет просто. Не зря столько ноликов в матрицу напихали.

Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 17:52

Экс-модератор

ИС в сообщении #257916 писал(а):
😐
блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб. Записываются две матрицы и приравниваются их соответствующие элементы. Оттуда вытаскиваются условия на них.

Re: Задачка с матрицами (7)
03.11.2009, 19:38
Парджеттер в сообщении #257985 писал(а):
Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб.

Не скажите. Исходная матрица всё-таки не зря представляет из себя одну жорданову клетку.

Первое, что можно заметить: у неё есть единственный (с точностью до умножения на ненулевую константу) собственный вектор $v = (1,0,0)$(записывать его, конечно, надо в столбец, но в строчку меньше места занимает). Если $B$коммутирует с $A$, то $ABv = BAv = 3Bv$, откуда $Bv$— собственный вектор матрицы $A$(или нулевой вектор). Значит, $Bv = \lambda v$для некоторого скаляра $\lambda$и $(B)_<21>= (B)_ = 0$» />, <img decoding=(здесь $E$— единичная матрица). А у матрицы $A-3E$совсем много ноликов

Объясните, пожалуйста, как найти все матрицы, перестановочные с данной:. l 1 2 l l 3 4 l

пусть наша матрица А, найдем матрицу В такую, что АВ=ВА (свойство коммутативности)
В:
| k l |
|m n|
АВ=
|(k+3l) (2k+4l) |
|(m+3n) (2m+4n)|
BA=
|(k+2m) (l+2n) |
|(3k+4m) (3l+4n)|
матрицы равны элементы, стоящие на соответсвующих местах равны:
k+3l=k+2m, 2k+4=l+2n, m+3n=3k+4m, 2m+4n=3l+4n, найдешь k, l, m, n ==> B

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *