Как найти главную часть функции
Перейти к содержимому

Как найти главную часть функции

  • автор:

Помогите пож-ста определить главные части следующих функций.

Обе функции являются вроде как б.м. Главные части у меня что-то никак не находятся. Конечно, возможен вариант, что их и нет вовсе, но меня не покидает чувство, что я что-то делаю не так. `x -> infty`

Вложения:
Снимок экрана 2013-10-17 в 20.34.20.png [ 10.85 KIB | Просмотров: 2192 ]
Снимок экрана 2013-10-17 в 20.40.12.png [ 15.69 KIB | Просмотров: 2192 ]

Заголовок сообщения: Re: Определить главную часть функции.
Добавлено: 17 окт 2013, 22:09
Dniwe писал(а):
меня не покидает чувство, что я что-то делаю не так

Показали бы, что и как делаете. Главные части при `x->oo`существуют.

_________________
Сопротивление бесполезно.
Заголовок сообщения: Re: Определить главную часть функции.
Добавлено: 18 окт 2013, 19:38
vyv2 писал(а):
Dniwe писал(а):
меня не покидает чувство, что я что-то делаю не так

Показали бы, что и как делаете. Главные части при `x->oo`существуют.
vyv2 писал(а):
Dniwe писал(а):
меня не покидает чувство, что я что-то делаю не так

Показали бы, что и как делаете. Главные части при `x->oo`существуют.

1) `lim_(x->infty)( (f(x))/(1/x^k)) = lim_(x->infty) (((2x + 1) arctg(1/(sqrt(x^4 + 3))))/(1/x^k)) = lim_(x->infty) ((x^k(2x + 1))/(sqrt(x^4 + 3))) `

Дальше я никак не пойму. Предел ведь должен быть равен 1. K=2? Как решить?

2) `lim_(x->infty)( (g(x))/(1/x^k)) = lim_(x->infty) ((sqrt(x + 3)*ln((x +2)/(x+10)))/(1/(x^k))) = lim_(x->infty)((-8x^k*sqrt(x+3))/(x+10))`
Здесь нахожусь в аналогичном ступоре.

Заголовок сообщения: Re: Определить главную часть функции.
Добавлено: 18 окт 2013, 20:09

Найти главную часть функции `f` при `x\to \infty`, т.е. найти такую функцию `g(x)=\alphax^\beta`, что `f\sim g` при `x\to \infty`. Это обычная задача на построение эквивалентной функции. В первой задаче сомножители эквивалентны `2x` и `1/x^2` при `x\to \infty`. Отсюда главная часть `2/x` при `x\to \infty`.

Заголовок сообщения: Re: Определить главную часть функции.
Добавлено: 18 окт 2013, 21:46

1) `1=lim_(x->infty) (f(x))/(αx^β) = lim_(x->infty) ((2x + 1) arctg(1/(sqrt(x^4 + 3))))/(αx^β) = lim_(x->infty) (x(2 + o(1))(arctg(1/x^2*(1+o(1)))))/(αx^β) = lim_(x->infty) (2/x)(1+o(1))/(αx^β)`

Предел ведь должен быть равен 1. Отсюда α=2, β=-1 или главная часть `g(x)=2/x`.
`o(1)` можно опустить, т.к. `lim_(x->infty) o(1)=0`

2) `1=lim_(x->infty) (f(x))/(αx^β) = lim_(x->infty) (sqrt(x + 3)*ln((x +2)/(x+10))/(αx^β))=lim_(x->infty) (sqrt(x)sqrt(1 + 3/x)*ln((1 +2/x)/(1+10/x))/(αx^β))= lim_(x->infty)(-8/x*sqrt(x))/(αx^β)`
Здесь главная часть `g(x)=-8/sqrt(x)`.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось TherionRider 28.12.2021, 18:25, всего редактировалось 6 раз(а).

Всем здравствуйте. Хотелось бы узнать свои ошибки, но и желательно ответ от данной задачи.
$\cos x-\sqrt[3]\cos x$, $x_0 = 0$
У меня в итоге преобразований получилось так
'-\cos x + \sqrt[3]\cos x - 1$
И, используя таблицу эквивалентности, наверное сделал сильную глупость, получил вот такое
$x^2/2 + x^<2/3>/2$» /><br />Ну и естественно, я посчитал, что главная часть это<br /><img decoding=

Posted automatically
08.12.2021, 02:23

— картинку уберите и наберите содержимое (нужное),
— (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы );
— отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Posted automatically
28.12.2021, 18:42

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Pphantom 28.12.2021, 18:43, всего редактировалось 1 раз.

i Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

TherionRider , дайте пожалуйста, определение «главной части функции».

Re: Найти главную часть функции
28.12.2021, 18:49

Главная часть функции это самая меньшая эквивалентная функция. Т.е. функция, которая показывает приблизительно такой же график в окрестности точки, которую мы ищем.

Re: Найти главную часть функции
28.12.2021, 19:07

Заслуженный участник

В каком смысле «самая меньшая»? И каким образом — «используя таблицу эквивалентности» — вы переделали $\sqrt[3]<\cos x>-1$» /> в <img decoding=

Последний раз редактировалось TherionRider 28.12.2021, 19:20, всего редактировалось 8 раз(а).

Поэтому я и написал, что сделал глупость при эквивалентности с косинусом 1/3. Я посчитал, что если возьму в $-1 (1-\sqrt[3]\cos x)$То оригинальная эквивалентность $x^2/2$станет $x^/2^$, но теперь я понимаю, что совершил глупость при использовании эквивалентности, и я не знаю, как мне именно этот косинус преобразовать. Я пытался в начале и выносить за скобку якобы общий множитель $\sqrt[3]\cos x$, но естественно это уже были бессмысленные потуги.
А по поводу самая меньшая, мы ведь, когда ищем главную часть функции, у нас в конце после преобразований $x^2 + x^3 + x^4$(представим, что это конечные преобразования какой-то функции к примеру) и т.д. Мы ведь пишем, что главная часть $x^2$. Я решил написать, что самую меньшую.

$Cx^k$

Да, я не забываю, что если функция б.м. или б.б. То главная часть будет иметь разные виды, их существует несколько, но основа заключается в , дальше как пойдет. Меня сейчас просто интересует, как преобразовать именно сам косинус в 1/3 степени, в этом вся проблема.

3.3. Метод выделения главной части функции

Определение 1. Функция называется Малой более высокого Порядка по сравнению с функцией при , если и и обозначается .

Примеры. 1. при , т. к. . Заметим, что при : ~, . Число назы-вается Порядком малости функции .

Определение 2. Функция называется Большой более высокого Порядка по сравнению с функцией при , если и .

Определение 3. Функция называется Главной частью функции при , если она представима при в виде .

При этом, функции и называются Эквивалент-ными при и обозначаются ~ .

Теорема 1. Для того чтобы функции и были экви-валентными при необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 2. Следующие функции эквивалентными между собой при

Первые три соотношения следуют из 1-го замечательного предела и его следствий, а четвертое и пятое — из следствий 2-го замечательного предела.

Теорема 3. ~ при .

Применим первый замечательный предел и формулу бинома Ньютона к тождеству

Выделение главной части функции значительно упрощает вычисление пределов.

Поскольку ~ , ~ , ~ , ~ ~ , ~ , то . Наконец, ~ , ~ при , то

Здесь нельзя использовать эквивалентные функции: ~, т. к. получим неопределенность. Преобразуем основание степени

Замечание. Последний пример продемонстрировал, что методом выделения главной части функции следует обращаться осторожно. Может оказаться, что решающую роль играет не главная часть функции, а другие ее части.

  • Главная
  • Заказать работу
  • Стоимость решения
  • Варианты оплаты
  • Ответы на вопросы (FAQ)
  • Отзывы о нас
  • Примеры решения задач
  • Методички по математике
  • Помощь по всем предметам
  • Заработок для студентов

4.5. Решение задач на вычисление пределов.

1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) — элементарная функция, определённая в точке а, то , например ;

2. , если f(х)0 при ха;

3. , если f(х) при ха;

4. , если g(х)0, f(х)  при ха, например и т.д.

Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:

  1. Докажем, что . При х + и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями . А).При справедливо неравенство (оно справедливо при n=2, далее, по индукции: пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1 n + n = 2n, т.е. оно верно и при n +1). Следствие: , т.е. последовательность ограничена. Б). Рассмотрим последовательность .

(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х — произвольное вещественное число, x>0. Тогда , где Е(х) — целая часть числа х. Обозначим Е(х)=n. . Устремим х +, тогда и n . Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части . По теореме 4.4.6 о пределе промежуточной функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а>1, поэтому будем считать доказанным, что при а>1.

  1. при а>1 легко сводится к предыдущему. Пусть , тогда , у + при х +, и .

7. Как следствие при а>1, b>1. 8. (неопределённость ) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у=1/х. Тогда х=1/у, у + при х +0, ln x=ln(1/y)=-ln y, поэтому .

4.5.2. Выделение главной части функции.

Выделение главной части функции — мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части — получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей — табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых. Как следует из определений разделов 4.4.8-4.4.11, утверждения «при ха 1. f(x)g(x); 2. f(x)-g(x)=o(g(x)) =o(f(x)); 3. g(x) есть главная часть f(x)» эквивалентны. Так как для f(x) может существовать бесконечно много главных частей при ха (например, при х0   …..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление пределов при ха обычно это С0(ха) k для бесконечно малых и для бесконечно больших, прих — это для бесконечно малых идля бесконечно больших, где С0 = const0, k =const>0 – порядок малости или роста функции f(x) относительно функции (ха) (или относительно прих). Для главных частей такого вида бесконечно малых при ха функций равносильны следующие утверждения: 1. ; 2. , где(х) – БМ при ха; 3. ; 4. , где;

  1. f(x)  .

Таким образом, в простейших случаях рецепт для выделения главной части вида С0(ха) k БМ при ха функции f(x) состоит в следующем: f(x) надо представить в виде f(x)=, где. Тогда, и— главная часть функцииf(x) при ха. Аналогично изложенному выше, с заменой (ха) k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой прих. Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10): 1. . Представимf(x) в виде . Если, то, поэтому,k=1 – порядок малости f(x) при х0. 2. . Представимf(x) в виде . Если, то, поэтому,k=2 – порядок малости f(x) при х по сравнению с . 3. . С помощью формул 4,6таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде . Здесь,, поэтому,k=1 – порядок малости f(x) при х0. 4. . Так какf(-2) = 0, то , и многочленделится нах + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как иf1(-2) = 0, то , поэтому, где. Результат:,— главная частьf(x), k=2 – порядок малости f(x) при х-2. 5. ., где. Поэтому,— главная часть,k=5/6 (относительно БМ ) при. В следующих задачах решение излагается более кратко. 6. 7. . 8. . 9. Неаккуратность при решении последнего примера даст результат верный, но бесполезный. 10. Пусть х +0. Тогда Если рассматривается случай ха  0, часто полезно сделать замену переменной у=ха. Пример: 11. Пусть х2. Найти главную часть БМ функции (убедитесь, что f(x) 0 при х2). Перейдём к переменной у=х-2х=у+2; у0 при х2. Меняем в функции х на у+2: Так как у0, мы пришли к задаче, рассмотренной в примере 2. Ответ: , при х2. 12. Для функции, представляющей собой линейную комбинацию степенных выражений легко показать, что при х0 f(x) эквивалентна своему слагаемому с минимальной степенью: f(x): и все слагаемые, кроме последнего, стремятся к нулю при х0, так как при i=1,2,…,k-1. При х f(x) эквивалентна своему слагаемому с максимальной степенью f(x): и все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю при х, так как при i=2,…,k.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *