Как найти центр окружности по трем точкам
Перейти к содержимому

Как найти центр окружности по трем точкам

  • автор:

Как найти центр окружности по трем точкам

Paul Bourke

Перевод Кантора И.А.

Пусть даны три точки P1, P2,P3 плоскости.

Проведем через пары точек две прямые. Первая линия пусть проходит через P1 и P2, а прямая b — через P2 и P3.
Уравнения этих прямых будут

где m — коэффициент наклона линии, получаемый из

Центр круга — находится на пересечении двух перпендикулярных прямых, проходящих через середины отрезков P1P2 и P2 P3. Легко доказать, что прямая, перпендикулярная к линии с коэффициентом наклона m имеет коэффициент наклона -1/m, значит уравнения прямых, перпендикулярных a и b и проходящих через середины P1P2 и P2P3 будут

Они пересекаются в центре, и решение относительно x дает

Значение у вычислим подстановкой x в уравнение одного из перпендикуляров. Можно и наоборот: сначала решить относительно y, а потом найти x.

Радиус найти элементарно. Например, точка P1 лежит на окружности. и мы знаем центр..

Уравнение окружности по трем точкам

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2

  • h,k — координаты центра Окружности
  • x,y — координаты точки окружности
  • r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Шаг:1

Подставляем координаты точек в формулу

  1. (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
  2. (2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
  3. (5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2
Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

  • (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
  • 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
  • 8 — 4k = 20 — 8k
  • k= 3
Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

  • (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
  • 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
  • 8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
  • 6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

  • r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
  • r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
  • r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
  • r 2 = 5
  • r = 2.24
Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h) 2 + (y — k) 2

Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2

Ответ :

  • Координаты точки центра окружности c(h,k) = c(4,3)
  • Радиус окружности r = 2.24
  • Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2 = (2.24) 2

Координаты центра окружности по трем точкам

Обычно эта задача решается через уравнения круга, но для программирования нужно аналитическое решение (в виде формулы).

Если решать систему уравнений, пытаясь выразить все неизвестные величины через 6 координат известных точек, то можно получить выражения для Xo, Yo и R.

Но вид этих выражений и их последующая реализация в виде программного кода — мягко говоря — не вдохновляют начинать эту работу.

К счастью, есть алгебраический метод, сводящийся к ряду несложных поэтапных расчетов, которые позволяют вычислить искомые неизвестные.

Ниже прилагаю реализацию этого подхода в виде функции на javascript.

Найти координаты центра окружности по трём точкам

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти: Координаты центра окружности С (Х; Y), пересекающей три данные точки.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Как найти центр окружности по трём точкам
Есть 3 точки A(x,y,z), B(x,y,z), C(x,y,z). Именно с 3-мя координатами. Очень хочется найти центр.

Как найти площадь сектора окружности, зная координаты центра окружности и двух равноудаленных точек
Можно ли как-то найти площадь сектора, зная координаты центра (х0, у0) окружности и двух.

Найти координаты центра окружности
Имеется отрезок y=99, -12\leq x\leq 12 и окружность (x+45)^2+(y-38)^2=63^2. Каким образом можно.

Найти координаты центра описанной окружности (формула есть но не понятна)
На форуме нашёл ниже следующий ответ, но я не умею перемножать матрицу. На картинке мой.

Змеюка одышечная
9864 / 4595 / 178
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,556

Уравнение окружности с центром в точке (a,b) и радиусом R имеет вид:
(x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2
Подставляете известные координаты точек и решаете полученную систему из 3-х уравнений относительно неизвестных a,b,R.

1076 / 657 / 68
Регистрация: 10.02.2011
Сообщений: 518

ЦитатаСообщение от tehnik-2 Посмотреть сообщение

Дано координаты 3-х точек:

1. Точка Р1 с координатами Х1 и Y1;
2. Точка Р2 с координатами Х2 и Y2;
3. Точка Р3 с координатами Х3 и Y3;

Найти: Координаты центра окружности С (Х; Y), пересекающей три данные точки.

Есть ещё один вариант решения предложенной задачи (он сложнее, чем способ, указанный уважаемой vetvet).
Треугольник P1P2P3 вписан в данную окружность. А как известно, центр вписанной окружности расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Следовательно, для решения данной задачи достаточно:
1) Найти координаты середины отрезка P1P2 (пусть это будет точка M) и составить уравнение серединного перпендикуляра a к отрезку P1P2 по точке M и вектору нормали P1P2.
2) Аналогично найти координаты середины отрезка P1P3 (пусть это будет точка K) и составить уравнение серединного перпендикуляра b к отрезку P1P3 по точке K и вектору нормали P1P3.
3) Найти координаты точки пересечения серединных перпендикуляров a и b, решив соответствующую систему двух линейных уравнений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *