Как доказать что хорды равны
Перейти к содержимому

Как доказать что хорды равны

  • автор:

Как доказать равенство хорд

goodbabyes.com

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Однако не всегда легко установить, равны ли две хорды или нет. В таких случаях пригодятся различные методы и примеры, позволяющие доказать равенство хорд.

Один из таких методов — сравнение длин хорд. Если известно, что две хорды имеют одинаковую длину, то можно сделать вывод, что они равны. Для этого необходимо измерить длины хорд с помощью циркуля и линейки и сравнить полученные значения.

Пример: рассмотрим окружность с центром O и две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Если длина отрезка AM равна длине отрезка BM и длина отрезка CM равна длине отрезка DM, то можно сделать вывод, что хорды AB и CD равны.

Еще одним методом доказательства равенства хорд является метод подобных треугольников. Если можно установить, что хорды образуют подобные треугольники, то можно сделать вывод, что хорды равны. Для использования этого метода необходимо убедиться, что соответствующие углы хорд равны, а соотношения длин их сторон подобных треугольников совпадают.

Пример: рассмотрим окружность с центром O и хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Если углы AMB и CMD равны, а стороны этих треугольников соотносятся как AM/CM = BM/DM, то можно сделать вывод, что хорды AB и CD равны.

В статье будут рассмотрены различные методы и примеры, позволяющие доказать равенство хорд. Они помогут вам разобраться в этой теме и успешно решить задачи по геометрии.

Что такое хорды и для чего они нужны?

Одно из главных назначений хорд — измерение углов. С помощью хорд можно вычислить центральные и периферийные углы, а также многоугольники, образованные в результате пересечения хорд. Кроме того, хорды позволяют определить радиус и диаметр окружности, а также другие характеристики, в том числе площадь и длину.

В музыке хорды также играют важную роль. Они представляют собой аккорды, состоящие из нескольких звуков, которые звучат одновременно. Хорды определяют тон музыкальной композиции и создают её гармоническую структуру.

В целом, хорды являются важным инструментом для изучения и анализа окружностей, углов, фигур и музыкальных композиций. Они позволяют проводить сложные геометрические вычисления и анализировать музыкальные гармонии, открывая перед нами мир прекрасных математических и музыкальных закономерностей.

Методы доказательства равенства хорд

Доказательство равенства хорд в геометрии может быть выполнено с использованием различных методов. Ниже приведены несколько из них:

  1. Метод равных дуг. Этот метод основан на свойствах хорд, которые окружают центральный угол и образуют равные дуги на окружности. Если две хорды имеют равные дуги на одной и той же окружности, то эти хорды равны.
  2. Метод прямого угла. Если две хорды пересекаются в центральной точке окружности и образуют прямой угол, то эти хорды равны. Это свойство можно использовать для доказательства равенства хорд, если они пересекаются в центре окружности и образуют прямой угол.
  3. Метод равных треугольников. Если две хорды пересекаются внутри окружности и образуют равные треугольники с другими сторонами, то эти хорды равны. Это свойство можно использовать для доказательства равенства хорд, если они пересекаются внутри окружности и образуют равные треугольники с другими сторонами.

Применение этих методов позволяет доказать равенство хорд в различных геометрических задачах. Более сложные задачи могут требовать комбинации нескольких методов или использования дополнительных свойств окружностей и треугольников.

Методы геометрического доказательства

Существует несколько методов геометрического доказательства равенства хорд. Они основаны на различных свойствах окружностей и участках окружностей.

Метод равенства дуг заключается в доказательстве равенства хорд путем доказательства равенства соответствующих дуг окружностей. Если две хорды соответствуют одинаковым дугам окружности, то эти хорды равны.

Метод соприкосновения использует свойство окружностей, что хорды, равные по длине, соприкасаются с одной и той же дугой. Если две хорды соприкасаются с одной и той же дугой окружности, то эти хорды равны.

Метод равенства отрезков основан на равенстве отрезков, полученных отрезанием хорд отрезками радиуса. Если две хорды отрезают радиусы окружности и получаются равные отрезки, то эти хорды равны.

Метод перпендикулярности основан на свойстве, что в окружности хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром. Если две хорды пересекаются в центре окружности и образуют перпендикуляр к диаметру окружности, то эти хорды равны.

Приведенные методы геометрического доказательства равенства хорд являются лишь некоторыми из многих возможных. Все они основаны на свойствах окружностей и участках окружностей и могут быть использованы как в классической геометрии, так и в аналитической геометрии.

Примеры доказательства равенства хорд

Доказательство равенства хорд в геометрии может быть осуществлено с помощью различных методов. Вот несколько примеров таких доказательств:

1. Использование теоремы о прямоугольных треугольниках:

Рассмотрим окружность с центром O и диаметром AB. Пусть точка C лежит на окружности и образует прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 90 градусов.

Для доказательства равенства хорд AC и BC можно воспользоваться теоремой о прямоугольных треугольниках. Если мы докажем, что хорда AC и хорда BC являются гипотенузами прямоугольных треугольников, образованных соответственно относительно сторон AB и BA, то мы можем сделать вывод о равенстве этих хорд.

2. Использование свойств равных углов:

Допустим, что хорда AC и хорда BC пересекаются в точке D, а хорда BD и хорда AC пересекаются в точке E. Если мы докажем, что угол EDC равен углу EBC, а также угол ADE равен углу ABE, то можно сделать вывод о равенстве хорд AC и BC.

3. Использование метода перемещения:

Предположим, что хорды AC и BC не равны. Мы можем переместить точку B по окружности так, чтобы она перешла в C и не меняла длины хорды BC. Таким образом, хорда AC и хорда BC окажутся равными, и мы получаем противоречие с предположением.

Это лишь несколько примеров доказательств равенства хорд, и в каждом конкретном случае может потребоваться адаптация и комбинация различных методов. Однако понимание этих методов поможет вам лучше понять и применять геометрические доказательства равенства хорд.

Пример 1: Доказательство равенства хорд в окружности

Рассмотрим окружность O с центром в точке C и двумя хордами AB и CD. Нам нужно доказать, что хорда AB равна хорде CD.

Для начала запишем условие равенства хорд: AB = CD.

Далее рассмотрим два треугольника: треугольник ABC и треугольник CDB.

Заметим, что эти треугольники являются равнобедренными, так как основания этих треугольников — это хорды AB и CD, а высотой является отрезок, соединяющий их середины. Из этого следует, что углы ACB и DCB равны между собой.

Теперь вспомним, что угол, опирающийся на дугу, является вдвое большим угла, опирающегося на хорду, который в свою очередь является вдвое большим угла, образованного этой хордой и касательной к окружности. Из этого следует, что углы ACB и ADB также равны.

Таким образом, у нас есть три равных угла: ACB, DCB и ADB, что означает, что треугольники ABC и CDB подобны.

Используя теорему о подобных треугольниках, можно сказать, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Значит, AB/AC = CD/CB.

Но так как AC и CB — это радиусы одной окружности, то они равны между собой: AC = CB.

Подставим это равенство в пропорцию: AB/AC = CD/CB, получим AB/CB = CD/CB.

Заметим, что CB можно сократить: AB = CD.

Таким образом, мы доказали равенство хорд AB и CD в окружности O.

Равные хорды

ravnye-hordy

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

ravnye-hordy-ravnoudaleny

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

hordy-ravnoudaleny-ot-centra

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

ravnye-hordy-styagivayut

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

ravnye-hordy-styagivayut-ravnye

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

ravnye-dugi

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Хорда. Свойства хорды

gift

Что такое хорда и какие свойства она обладает? Давайте вместе исследуем эти вопросы и откроем для себя интересные законы, связанные с этим понятием.

Что такое хорда?

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружность, эллипс, круг, параболы, гиперболы).

Хорда, окружность

Также хорда может описывать отрезки линий, нарисованные на эллипсах и конических сечениях.
Длина дуги — это меньшая длина окружности на которую опирается хорда, обозначается \(◡ AB\) .

Свойства хорды

Есть несколько интересных свойств хорд окружности, которые помогают нам лучше понять окружности и использовать их в решении задач. Давайте рассмотрим некоторые из них:

  • Если длины двух хорд равны, то они лежат на одном расстоянии от центра:
  • Длину хорды \(AB\) можно вычислить по формуле:

\(AB = 2R sin α\)

  • Если две хорды равны между собой, то равны и длины этих хорд.

Синус половинного угла будет равен длине хорды, деленный на \(2\) радиуса:
\(sin⁡[\frac<α>]=\frac\)

Хорда, окружность

  • ​ \(AH*HB=QH*HM\)

Хорда, окружность

  • Если \( AB = CD\) , то \(ON=OK\)

Диаметр — это хорда, проходящая через центр.

Часто задаваемые вопросы:

↪ Хорда — это отрезок, который соединяет две точки на окружности. Он является прямой линией, которая лежит внутри окружности и имеет конечные точки на ее окружности.

↪ У хорды есть несколько важных свойств. Первое свойство — длина хорды меньше диаметра окружности, но больше радиуса. Второе свойство — если две хорды имеют одну и ту же длину, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Третье свойство — если хорда проходит через центр окружности, то ее длина равна диаметру, а она сама является диаметром окружности.

↪ Свойства хорды широко используются в геометрии и математике. Они позволяют решать различные задачи, связанные с окружностями. Например, можно использовать свойство хорды для вычисления длины хорды или определения ее расстояния от центра окружности. Также свойства хорды могут быть полезны при изучении углов, касательных и других элементов, связанных с окружностями.

  • Что такое хорда?
  • Часто задаваемые вопросы:
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

gift

Репетиторы
  • rhombusРепетитор по математике
  • rhombusРепетитор по физике
  • rhombusРепетитор по химии
  • rhombusРепетитор по русскому языку
  • rhombusРепетитор по английскому языку
  • rhombusРепетитор по обществознанию
  • rhombusРепетитор по истории России
  • rhombusРепетитор по биологии
  • rhombusРепетитор по географии
  • rhombusРепетитор по информатике
Специализация
  • rhombusРепетитор по олимпиадной математике
  • rhombusРепетитор по алгебре
  • rhombusРепетитор для подготовки к ОГЭ по физике
  • rhombusПодготовка к олимпиадам по физике
  • rhombusРепетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
  • rhombusРепетитор для подготовки к ОГЭ по истории
  • rhombusВПР по математике
  • rhombusРепетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
  • rhombusРепетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
  • rhombusРепетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
Предметы по класам
  • rhombus1 класс
  • rhombus2 класс
  • rhombus3 класс
  • rhombus4 класс
  • rhombus5 класс
  • rhombus6 класс
  • rhombus7 класс
  • rhombus8 класс
  • rhombus9 класс
  • rhombus10 класс
  • rhombus11 класс
  • rhombusНе школьник

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео: №144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС Скачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Как доказать что хорды окружности параллельны то

Видео: Геометрия 8 класс (Урок№28 — Свойства хорд окружности.) Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорд и дуг окружности
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о бабочке

Видео: 8 класс. Хорды в окружности (теория) Скачать

8 класс. Хорды в окружности (теория)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Фигура Рисунок Определение и свойства
Окружность Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео: ОГЭ Задание 26 Свойства хорд Скачать

ОГЭ Задание 26 Свойства хорд

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура Рисунок Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги Как доказать что равные хорды в окружности параллельны У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео: Длина хорды окружности равна 72 . | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА Скачать

Длина хорды окружности равна 72 . | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Фигура Рисунок Теорема
Пересекающиеся хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Секущие, проведённые из одной точки вне круга Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Пересекающиеся хорды
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Видео: ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5 Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео: Всё про углы в окружности. Геометрия | Математика Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео: ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды Скачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Видео: ОГЭ Задание 25 Окружность Касательная Хорда Скачать

ОГЭ Задание 25 Окружность Касательная Хорда

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео: ✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин Скачать

✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео: Равные хорды, равные дуги Скачать

Равные хорды, равные дуги

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Видео: №145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности Скачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео: Секретная теорема из учебника геометрии Скачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорд и дуг окружности
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о бабочке

Видео: ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия Скачать

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Фигура Рисунок Определение и свойства
Окружность Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео: Окружность. Длина хорды. Теорема синусов. Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура Рисунок Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги Как доказать что равные хорды в окружности параллельны У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео: Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Фигура Рисунок Теорема
Пересекающиеся хорды Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Секущие, проведённые из одной точки вне круга Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Пересекающиеся хорды
Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Видео: Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ Скачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео: Решение задачи 25 из ОГЭ по математике 9 класс Скачать

Решение задачи 25 из ОГЭ по математике 9 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Как доказать что равные хорды в окружности параллельны

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

�� Видео

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин Скачать

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *