Что такое сигма алгебра
Перейти к содержимому

Что такое сигма алгебра

  • автор:

Глава 3 Сигма-алгебра ( \(\sigma\) — алгебра)

Случайные величины принято обозначать заглавными последними буквами латинского алфавита, например \(X, Y, Z\) . События обычно обозначают заглавными первыми буквами латинского алфавита, например \(A,B,C\) . Для обозначения \(\sigma\) -алгебры обычно используются каллиграфические заглавные буквы латинского алфавита, например \(\mathcal\) .

3.1.2 Неформальное определение \(\sigma\) — алгебры:

\(\sigma\) -алгебра индивида — множество событий, про которые индивид может гарантированно сказать, произошли они или нет, вне зависимости от исхода эксперимента. Цель использования \(\sigma\) -алгебр — описать наделенность информацией индивидов.

3.1.3 Пример с игровым кубиком:

Эксперимент заключается в однократном подбрасывании игрового кубика. Пространство элементарных исходов: \[ \Omega = \\] Имеется три наблюдателя эксперимента: Антон — знает что кубик бросали, но не видел что на нем выпало. Обозначим \(\sigma\) -алгебру Антона \(\mathcal\) , Берта — внимательно наблюдала эксперимент, видела исход. Обозначим \(\sigma\) -алгебру Берты \(\mathcal\) . Ваня — так же видел исход эксперимента, но он из южно-американского племени Пираху, где при счете различают только 1, 2 и “много”. \(\sigma\) -алгебра Вани — \(\mathcal\) .

Определим, из каких элементов состоит каждая \(\sigma\) -алгебра. Антон не видел исход эксперимента, но знал, что эксперимент был, таким образом он может ответить на вопрос: “Упал ли кубик?”, или по-другому: “Выпало ли какое-нибудь число?”. То есть Антон различает только два события: “кубик упал”, которому соответствует все пространство элементарных исходов, и “кубик не упал”, которому соответствует пустое множество. Получаем, что \(\sigma\) -алгебра Антона состоит из двух элементов: \[\mathcal=\<\varnothing,\Omega \>\]

Берта видела исход эксперимента и различает все исходы, а значит, различает все возможные события, которые могут произойти в ходе эксперимента, их объединения, пересечения и прочие логические операции над ними ( мы предполагаем, что наши индивиды умеют делать логические выводы, на основе имеющейся информации). \(\sigma\) -алгебра Берты — булеан \(\Omega\) .

3.1.4 Формальное определение \(\sigma\) — алгебры:

Множество \(\mathcal\) называется \(\) для множества элементарных исходов \(\Omega\) , если:

  1. \(\varnothing,\Omega \in \mathcal\)
  2. Если \(A \in \mathcal\) , то и \(\bar \in \mathcal\)
  3. Если \(A_, A_,\dots \in \mathcal\) , то любое событие, которое можно получить из \(A_\) с помощью любой логической операции в счетном количестве, обязательно лежит в \(\mathcal\) .

На самом деле, некоторые пункты в данном определении можно опустить, так как другие пункты так же их учитывают. Минимальные требования, при которых определение остается корректным:

  1. \(\varnothing \in \mathcal\)
  2. Если \(A \in \mathcal\) , то и \(\bar \in \mathcal\)
  3. Если \(A_, A_,\dots \in \mathcal\) , то и \(\bigcup_^ <\infty>A_ \in \mathcal\)

3.2 Упражнение про Петров и Николаев:

В ходе эксперимента монетку подбрасывают бесконечное число раз. Пусть событие \(A_\) — в i-ом подбрасывании выпал орел, \(i=1,2,\dots\) .Имеются два типа наблюдателей, Петры и Николаи. \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная с первого, \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная со второго и тд. То есть \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная с i-ого. \(Николай_\) видел первое подбрасывание, а потом ушел, \(Николай_\) видел первое и второе подбрасывание, а потом ушел и тд. То есть \(Николай_\) видел все подбрасывания до i-ого включительно, а остальные не видел. Обозначим \(\sigma\) — алгебру i-ого Петра \(\mathcal_\) , а \(\sigma\) -алгебру i-ого Николая \(\mathcal_\) .

Задания:

  1. Выпишите явно \(\mathcal_\) и \(\mathcal_\) .
  2. Сколько событий в \(\mathcal_\) ?
  3. Сравните \(\mathcal_\) и \(\mathcal_\) .
  4. Сравните \(\mathcal_\) и \(\mathcal_\) .
  5. В какие \(\sigma\) -алгебры входят следующие события:
  • \(A_\)
  • \(A_\)
  • \(A_ \cup A_\)
  • \(A_ \cap A_\)
  • \(\bigcap_^<\infty>A_\)
  • \(\bigcup_^<\infty>A_\)
  • \(A_\cap \bar_\)
  • \(\bigcup_^<\infty>A_\)
  • \(\bigcap_^<\infty>(\bigcup_^<\infty>A_)\)
  • \(\bigcup_^<\infty>(\bigcap_^<\infty>A_)\)
  1. \(\mathcal_=\\) ;

выполнено с использованием пакета tikz в LaTeX

выполнено с использованием пакета tikz в LaTeX

Диаграмма условно разбита на 4 сектора, которые обозначены \(R_,R_,R_\) и \(R_\) . Элементы \(\sigma\) -алгебры \(Николая_\) — это все возможные комбинации “включения” и “исключения” областей \(R_\) . Получаем:

  • \(A_ \in \mathcal_, i=40,41,\dots\) ,
  • \(A_ \cup A_\in \mathcal_\) ,

\(A_ \cup A_\in \mathcal_, i=40,41,\dots\)

  • \(A_ \cap A_\in \mathcal_\) ,

\(A_ \cap A_\in \mathcal_, i=40,41,\dots\)

  • “в каждом подбрасывании выпал орел” \(\bigcap_^<\infty>A_\in \mathcal_\)
  • “за все подбрасывания хотя бы раз выпал орел” \(\bigcup_^<\infty>A_\in \mathcal_\)
  • \(A_\cap \bar_\in \mathcal_, i=56,57,\dots\) ,
  • “после 39 подбрасывания хотя бы раз выпал орел” \(\bigcup_^<\infty>A_\in \mathcal_, j=1,2,\dots,40\)

Сигма-алгебра

У этого термина существуют и другие значения, см. алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение [ ]

Семейство S > подмножеств множества X называется σ-алгеброй если оно удовлетворяет следующим свойствам:

Замечания [ ]

  • Для любой системы множеств S > существует минимальная сигма-алгебра σ ( S ) )> , являющаяся его надмножеством.
  • σ-алгебра, порождённаяслучайной величиной X , определяется следующим образом:

Примеры [ ]

  • Для любого множества X можно построить тривиа́льную σ-алгебру < X , ∅ >> , где ∅ — пустое множество.
  • Борелевская сигма-алгебра.

Эта статья содержит материал из статьи Сигма-алгебра русской Википедии.

Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. В теории вероятностей σ-алгебра интерпретируется как совокупность событий, для которых могут быть определены вероятности. В статистике σ-алгебра используется для определения понятия достаточной статистики.

Например, для множества событий [math]\displaystyle < \mathcal A = \>[/math] σ-алгеброй будет: [math]\displaystyle < \sigma(\mathcal R) = \>[/math] , где [math]\displaystyle< \emptyset >[/math] — пустое множество, [math]\displaystyle< \Omega >[/math] — достоверное событие или само множество, [math]\displaystyle< A^C >[/math] — дополнение [math]\displaystyle< A >[/math] , и так далее.

Сигма-алгебра позволяет решать задачи, если множество исходов эксперимента несчетно. Например, случайное бросание точки на отрезке будет иметь континуум (непрерывный) исходов. Если эксперимент имеет счетное множество исходов, любая совокупность исходов представляет собой событие, но если эксперимент имеет несчетное множество исходов, то представить любую совокупность исходов как событие нельзя, поскольку не будет выполнятся [math]\displaystyle< P(\Omega)=1 >[/math] (достоверное событие). Поэтому для экспериментов с несчетным множеством событий выделяется специальный класс подмножеств — сигма алгебра. Таким образом как алгебра является классом множеств, замкнутым относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения (более слабое условие), так и сигма-алгебра — это класс множеств, замкнутый относительно счетного (См. счетное множество) числа этих операций (более сильное условие). «Счетное» означает в биекции с натуральными числами. Сигма-алгебра необходима как мера множества.

Определение

Семейство [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math] подмножеств множества [math]\displaystyle< X >[/math] называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам [1] :

  1. [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math] содержит множество [math]\displaystyle< X >[/math] и пустое множество Ø.
  2. Если [math]\displaystyle < E\in \mathfrak>[/math] , то и его дополнение [math]\displaystyle < X\backslash E\in\mathfrak>[/math] .
  3. Объединение или пересечениесчётного подсемейства из [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math] принадлежит [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math]

Пояснения

  • Поскольку [math]\displaystyle< \bigcap_^<\infty>A_n = X\backslash \left(\bigcup_^<\infty>(X\backslash A_n)\right), >[/math]
  • Для любой системы множеств [math]\displaystyle < \mathcal>[/math] существует наименьшая сигма-алгебра [math]\displaystyle< \sigma(\mathcal) >[/math] , являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств [math]\displaystyle < \mathcal>[/math] ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на [math]\displaystyle< \sigma(\mathcal) >[/math] , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённаяслучайной величиной [math]\displaystyle < \xi:\,X\rightarrow \mathbb>[/math] , определяется следующим образом:

Сигма-алгебра и измеримое пространство

Основная статья: Измеримое пространство

Если задано множество [math]\displaystyle< X >[/math] и сигма-алгебра [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство. Таким образом, измеримое пространство — это пара [math]\displaystyle< (X, \mathcal F) >[/math] , где [math]\displaystyle< X >[/math] — множество, а [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Чтобы формализовать вероятностную задачу, соответствующему эксперименту приписывают измеримое пространство [math]\displaystyle< (X, \mathcal F) >[/math] , где [math]\displaystyle< X >[/math] — множество элементарных исходов эксперимента, а алгебра или сигма-алгебра [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] выделяет класс событий. Все остальные подмножества [math]\displaystyle< X >[/math] , не входящие в [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] , событиями не являются.

Сигма-алгебра и вероятность событий

Вероятность на [math]\displaystyle< (X, \mathcal F) >[/math] это числовая функция, определенная на множества из [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] и обладающая следующими свойствами:

1. [math]\displaystyle< P(A) \ge 0 >[/math] для любого [math]\displaystyle< A \in \mathcal F >[/math] . 2. [math]\displaystyle< P(X) = 1 >[/math] . 3. Если последовательность событий [math]\displaystyle < >[/math] такова, что [math]\displaystyle< A_iA_j=\varnothing >[/math] при [math]\displaystyle< i \ne j >[/math] , [math]\displaystyle< \bigcup_1^\infty A_n \in \mathcal F >[/math] , то

[math]\displaystyle< P\left (\bigcup_^\infty A_n\right )=\sum_^\infty P(A_n) >[/math] (требование аддитивности для событий)

Сигма-алгебра и вероятностное пространство

Тройка [math]\displaystyle< (X, \mathcal F, P) >[/math] , где [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] — сигма-алгебра, называется вероятностным пространством. Вероятность [math]\displaystyle< P >[/math] на [math]\displaystyle< (X, \mathcal F) >[/math] называется распределением вероятностей на [math]\displaystyle< X >[/math] . Таким образом, задание вероятностного пространства есть задание счетно-аддитивной неотрицательной меры на измеримом пространстве, такой что мера [math]\displaystyle< X >[/math] равна [math]\displaystyle< 1 >[/math] . В этом заключается аксиоматика А.Н. Колмогорова.

Построение вероятностного пространства [math]\displaystyle< (X, \mathcal F, P) >[/math] явялется основным этапом в создании математической модели (формализации) эксперимента.

Примеры

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества [math]\displaystyle< X >[/math] существует тривиа́льная σ-алгебра [math]\displaystyle < \left\>[/math] , где [math]\displaystyle< \varnothing >[/math] — пустое множество.
  • Для любого множества [math]\displaystyle< X >[/math] существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Примечания

  1. ↑Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.

Литература

  • Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.

В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску).

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.

  • Руниверсалис:Статьи без ссылок на источники с мая 2011 года
  • Руниверсалис:Статьи с текстом из источников со свободной лицензией
  • Руниверсалис:Статьи начального уровня

Что такое сигма алгебра

Лекция 2. Алгебры и сигма-алгебры событий. Аксиомы вероятностей

Лекция из курса:

Поделиться:

Лекция 2. Алгебры и сигма-алгебры событий. Аксиомы вероятностей

1 / Загрузка

Скачать конспект лекции

Предыдущая лекция

Лекция 1. Основные понятия теории вероятностей

Следующая лекция

Лекция 3. Непрерывность вероятности. Вероятностное пространство и случайные величины

Мы в соцсетях:

© 2024 МГУ имени М. В. Ломоносова

Нашли ошибку или баг? Сообщите нам!

Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *