Что такое счетное множество
Перейти к содержимому

Что такое счетное множество

  • автор:

Счётное множество

бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать натуральными числами, то есть установить Взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Как доказал Г. Кантор, множество всех рациональных чисел (См. Рациональное число) и даже множество всех алгебраических чисел (См. Алгебраическое число) счётны, однако множество всех действительных чисел (См. Действительное число) несчётно, всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество. Сумма конечного или счётного множества С. м. также является С. м.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

  • Счётно-перфорационные машины
  • Счётные деньги

Смотреть что такое «Счётное множество» в других словарях:

  • Счётное множество — Не следует путать с перечислимым множеством. В теории множеств, счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция ,… … Википедия
  • Несчётное множество — В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных… … Википедия
  • несчётное множество — понятие теории множеств; бесконечное множество, мощность которого больше, чем мощность счётного множества. Например, множество всех действительных чисел несчётное множество. * * * НЕСЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО НЕСЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО, понятие теории множеств; … Энциклопедический словарь
  • счётное множество — понятие теории множеств, бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами. Множество всех рациональных чисел и даже множество всех алгебраических чисел счётны, однако множество всех действительных чисел несчётно … Энциклопедический словарь
  • СЧЁТНОЕ МНОЖЕСТВО — понятие теории множеств, бесконечное множество, элементы к рого возможно занумеровать натуральными числами. Множество всех рациональных чисел и далее множество всех алгебр. чисел счётны, однако множество всех действит. чисел несчётно … Естествознание. Энциклопедический словарь
  • Множество Витали — Множество Витали первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, опубликовал в 1905 году итальянский математик Дж. Витали в своей статье «Sul problema della misura dei gruppi di punti… … Википедия
  • МНОЖЕСТВО — набор, совокупность, собрание к. л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так,… … Физическая энциклопедия
  • Множество второй категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия
  • Множество первой категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия
  • множество — а; ср. 1. Очень большое количество, число кого , чего л. М. народа. М. фактов. Вырастить м. цветов. Доказательства представлены во множестве. Великое м. примеров (очень много). 2. Матем. Совокупность элементов, объединённых по какому л. признаку … Энциклопедический словарь

Мощность множества

Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.

Мощность Q

Если А — бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.

[math] B \subset A [/math]

[math] a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \ < a_1 \>= A_1 [/math] — бесконечное множество.

[math] a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \ < a_2 \>= A_2 [/math] — также бесконечное множество.

Если [math] \ < a_1, a_2, . , a_n, . \>[/math] — совокупность попарно различных элементов, то это — счетное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:

Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно, то есть, другими словами: Если все [math] A_n [/math] — счетное/конечное множество, то [math]\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| [/math]

Выпишем все элементы этих множеств в таблицу:

[math]\ ||a^i_j||[/math] , где [math]\ a^i_j \in A_i,\ i, j \in \mathbb N [/math]

[math] \begin a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end [/math]

Будем нумеровать их по диагоналям: [math] \begin 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a^1_1 & a^2_1 & a^1_2 & a^3_1 & a^2_2 & a^1_3 & \cdots \end [/math]

В частности, множество рациональных чисел [math] \mathbb Q [/math] — счетно.

Континуум

Определение:
Множество [math] I = [0, 1][/math] называется континуумом.

[math] I [/math] — несчетное множество.

Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:

Разделим I на 3 части и назовем [math] \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 [/math] . Такой отрезок всегда существует.

Далее разобьем [math] \Delta_1 [/math] на 3 части. Назовем [math] \Delta_2 [/math] тот отрезок, который не содержит [math] x_2 [/math] , и так далее..

В результате выстраивается система вложенных отрезков:

[math] \ < \Delta_n : \Delta_\subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \> [/math]

По свойству системы вложенных отрезков:

[math] \exists d = \bigcap\limits_^ <\infty>\Delta_n [/math]

[math] d \in I [/math] . Пусть теперь [math] d \in \ < x_i \>\Rightarrow d = x_ [/math] .

Если [math] |A| = |I| [/math] , то обычно говорят, что А обладает мощностью континиума:

Мощность R

[math] |\mathbb R| = |I| [/math]

Рассмотрим функцию [math] y = tg \, x, x \in ( -\frac<\pi>, \frac<\pi> ) [/math]

С ее помощью можно установить биекцию между множествами [math] \mathbb R [/math] и [math] ( -\frac<\pi>, \frac<\pi> ) [/math] .

Биекцию между множествами [math] (0, 1) [/math] и [math] ( -\frac<\pi>, \frac<\pi> ) [/math] можно установить параллельным переносом и сжатием:

[math] x \leftrightarrow (x \cdot \pi) — \frac <\pi> [/math]

Получили, что [math] |\mathbb R| = | ( -\frac<\pi>, \frac<\pi> ) | = | (0, 1) | [/math] .

Осталось доказать, что [math] |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math] .

Применим следующий прием:

Пусть [math] a_1, a_2, . , a_n, . \in (0, 1) [/math] — попарно различны.

Множество [math] A = \ < a_1, a_2, . , a_n, . \>[/math] — счетное.

Определим множество [math] B = A \cup \ < 0, 1 \>[/math] . Множество [math] B [/math] также счетное.

Между счетными множествами можно установить биекцию: [math] B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math]

Так как [math] \mathbb Q [/math] — счетно. [math] |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow [/math] иррациональных чисел по мощности континииум.

Счётное множество

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами.

Определения [ ]

  • Пусть дано множество X . Тогда X называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N >
  • Бесконечное множество не являющееся счётным называется несчётным.
  • Непустое множество являющееся конечным или счётным называется не более, чем счётным.

Замечание [ ]

Таким образом множество счётно, если его элементы можно занумеровать в виде последовательности неповторяющихся элементов X = < x n >n ∈ N _>> такой, что

∀ i , j ∈ N ( i ≠ j ) ⇔ ( x i ≠ x j ) . \quad \bigl(i \neq j\bigr) \Leftrightarrow \bigl(x_i \neq x_j\bigr).>

Свойства [ ]

  • В предположении, что выполнена аксиома выбора, любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
  • Непустое подмножество счётного множества не более, чем счётно.
  • Не более, чем счётное объединение не более, чем счётных множеств само не более, чем счётно.
  • Декартово произведение конечного числа не более, чем счётных множеств само не более, чем счётно.

Примеры [ ]

  • Множество целых чисел счётно.
  • Множество рациональных чисел счётно.
  • Семейство всех подмножеств счётного множества несчётно.
  • Множество бесконечных последовательностей из нулей и единиц несчётно.
  • Множество вещественных чисел несчётно.

См. также [ ]

Счётное множество

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует X → N > , где N > обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, т. е. в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается как ℵ 0 (читается:

Свойства [ ]

  1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно;
  2. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно;
  3. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно;
  4. Множество всех подмножеств счётного множества Связанные понятия [ ]

Несчётное множество — такое Примеры [ ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *