Что такое нормальная подгруппа
Перейти к содержимому

Что такое нормальная подгруппа

  • автор:

Нормальная подгруппа

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если ∀ g ∈ G ∀ h ∈ H g h g − 1 ∈ H \in H> .

Эта статья является заготовкой. Вы можете помочь проекту, добавив сюда новый материал.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.

Advertisement

Наши ресурсы

В социальных сетях

Обзор

  • Что такое Фэндом?
  • О нас
  • Вакансии
  • В прессе
  • Обратная связь
  • Условия использования
  • Конфиден­циальность
  • Закон о цифровых услугах
  • Общая карта сайта
  • Локальная карта сайта
  • Cookie Preferences

Сообщество

  • Вики Сообщества
  • Поддержка
  • Справка
  • Запретить продажу данных

Реклама на сайте

Приложения Фэндома

Оставайтесь в курсе всего происходящего на ваших любимых сообществах.

Математика — это сообщество Фэндома на портале Увлечения.

Что такое нормальная подгруппа

Лекция 2. Нормальные подгруппы, факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах

Лекция из курса:

Поделиться:

Лекция 2. Нормальные подгруппы, факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах

1 / Загрузка

Скачать конспект лекции

Предыдущая лекция

Лекция 1. Начала теории групп: определение, примеры, гомоморфизм

Следующая лекция

Лекция 3. Основная теорема о гомоморфизме. Автоморфизмы групп

Мы в соцсетях:

© 2024 МГУ имени М. В. Ломоносова

Нашли ошибку или баг? Сообщите нам!

Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге

Нормальная подгруппа

[math]xHx^ \subset H[/math] по определению [math]H[/math] . Подставив в предыдущее выражение [math]x^[/math] вместо [math]x[/math] , видим, что [math]x^Hx \subset H[/math] . Следовательно, [math]H = x(x^Hx)x^ \subset xHx^[/math] .

Любая подгруппа абелевой группы — нормальна.

Примеры

  • Подгруппа [math]H =\<(1)[/math] , [math](2[/math] [math]3)\>[/math] группы [math]S_3[/math] группы перестановок множества из трех элементов не является нормальной.

Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, у которой левый и правый смежные классы совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа Nгруппы Gназывается нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента nиз Nи любого gиз G, элемент g n g^<-1>» width=»» height=»» /> лежит в <img decoding=:

N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, g\in G \,gng^<-1>\in» width=»» height=»» /></p>
<p>Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:</p>
<ol>
<li>Для любого <img decoding=из G, gNg^<-1>\sube N» width=»» height=»» />.</li>
<li>Для любого <img decoding=из G, gNg^<-1>= N» width=»» height=»» />.</li>
<li>Множества левых и правых смежных классов<img decoding=в Gсовпадают.

  • Для любого gиз G, gN = Ng.
  • N— объединение классов сопряженных элементов.
  • Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

    Примеры

    • \< e \>» width=»» height=»» /> и <img decoding=— всегда нормальные подгруппы G. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа Gназывается простой.
    • Центр группы — нормальная подгруппа.
    • Коммутант группы — нормальная подгруппа.
    • Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.
    • Все подгруппы Nабелевой группыGнормальны, так как g N = N g. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
    • Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
    • В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

    Свойства

    • Нормальность сохраняется при сюрьективныхгомоморфизмах и взятии обратных образов.
    • Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
    • Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
    • Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
    • Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p— наименьший простой делитель порядкаG, то любая подгруппа индекса pнормальна.
    • Если N— нормальная подгруппа в G, то на множестве левых (правых) смежных классов G / Nможно ввести групповую структуру по правилу

    (g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)NПолученное множество называется факторгруппойGпо N.

    • Nнормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N.

    Исторические факты

    Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

    Ссылки

    • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М .:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
    • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6
    • Теория групп

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *