Почему на ноль нельзя делить
Перейти к содержимому

Почему на ноль нельзя делить

  • автор:

Почему на ноль нельзя делить

Помощь в математике. ГДЗ и решебники по математике для всех классов.

Популярные разделы:
Полезные материалы:

Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Источник — Элементы: Популярный сайт о фундаментальной науке

© 2006-2021 Math.com.ua

Почему на ноль делить нельзя?

Эта тема находится в разработке! В любой момент может добавлен новый материал или изменен уже имеющийся!

Все без исключения люди хотя бы раз слышали, что на 0 делить нельзя. Запрет деления на ноль, как и многие другие базовые правила, подают в виде непоколебимого факта в начальных классах в школе. Чаще всего, после подобных объяснений все равно ничего не понятно.

Так почему делить нельзя? Всемирный заговор, рептилоиды, Земля расколется надвое? На самом деле нет.

Сейчас мы раз и навсегда полностью разберемся, почему же нельзя делить на ноль. И даже выясним, что делить на него все же можно.

Подготовка

Раз уж мы собрались окончательно разобраться с вопросом деления на ноль, сначала необходимо точно разобраться, а что вообще такое «умножение» и «деление».

Что такое умножение?

Все мы умеем складывать числа. Довольно часто мы вынуждены много раз складывать число с самим собой. Например, если мы съедаем по 3 шоколадки каждый день в течении недели, то общее число съеденных шоколадок равно:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ⏟ 7 раз = 21 \underbrace<3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3>_ = 21 7 раз

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ​ ​ = 21

Чтобы короче записывать такие длинные суммы человечество придумало операцию «умножение». Сравните огромную запись выше с такой же записью, но с использованием умножения:

3 ⋅ 7 = 21 3 \cdot 7 = 21 3 ⋅ 7 = 21

Теперь мы можем строго сформулировать определение умножения в арифметике:

Умножить число a на число b — взять число a и сложить с самим собой b раз.

Что такое деление?

Пускай мы знаем, что всего съели 20 шоколадок, причем ели по 4 плитки в день. Как же нам узнать, сколько дней мы ели шоколадки?

Надо просто взять и начать складывать число 4 с самим собой, пока не получим 20 съеденных шоколадок. Количество сложений и будет количеством дней, которые мы ели шоколад.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 ⏟ 5 раз = 5 дней = 20 \underbrace<4 + 4 + 4 + 4 + 4>_ = 20 5 раз = 5 дней

4 + 4 + 4 + 4 + 4 ​ ​ = 20

То есть мы взяли число 4 и 5 раз сложили его с самим собой ( 5 дней ели шоколадки) и получили 20 . Но для многократного сложения мы уже ввели операцию «умножение»! Получается, в этом примере мы искали, на сколько надо умножить 4 , чтобы получить 20 :

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ⋅ 5 = 20 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5 = 20 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ⋅ 5 = 20

Заметьте, что в этой задаче мы провели как-бы умножение наоборот: зная результат ( 20 ) и один множитель ( 4 ) мы искали второй множитель ( 5 ). Для такой обратной операции человечество придумало отдельное название — «деление».

Поделить число a на число b — найти число раз, которое надо сложить b с самим собой, чтобы получить a .

a : b = c такое , что b + b + b … ⏟ c раз = b ⋅ c = a a : b = c \ \ такое, что \ \ \underbrace_ = b \cdot c = a a : b = c такое , что c раз

b + b + b … ​ ​ = b ⋅ c = a

Убедитесь, что вы точно понимаете суть определения деления, ведь именно оно и содержит ответ на вопрос деления на ноль!

Деление на ноль в арифметике

Теперь, когда мы точно понимаем, что же такое деление, перейдем к самой сути — деление на ноль. Делить на ноль можно разные числа, например 5:0 или 10:0 . Сначала мы разберем деление ненулевых чисел на 0 . Деление 0 на 0 разберем отдельно.

Ненулевое число на 0

Пускай мы нарушили все правила и все же решили поделить, скажем 5 на 0 :

5 : 0 = ? 5 : 0 = \ \ ? 5 : 0 = ?

Пользуемся определением деления: поделить число 5 на 0 — найти сколько раз надо сложить 0 с самим собой, чтобы получить 5 . Пробуем найти число сложений:

0 = 0 ⋅ 1 = 0 0 + 0 = 0 ⋅ 2 = 0 0 + 0 + 0 = 0 ⋅ 3 = 0 … 0 = 0 \cdot 1 = 0 \\ 0 + 0 = 0 \cdot 2 = 0 \\ 0 + 0 + 0 = 0 \cdot 3 = 0 \\ \ldots 0 = 0 ⋅ 1 = 0 0 + 0 = 0 ⋅ 2 = 0 0 + 0 + 0 = 0 ⋅ 3 = 0 …

Вот и все, приплыли. Сколько раз 0 сам с собой не складывай, ничего кроме 0 получить не выйдет. Значит на вопрос 5:0 просто нет ответа.

Попытаться поделить любое ненулевое число a на 0 можно, но ответа просто нет . Не получится найти такое число раз сложений 0 с самим собой, чтобы в результате получилось что-то отличное от 0 .

Деление 0 на 0

Теперь рассмотрим деление 0 на 0 . По определению делению это означает, что нам нужно найти, сколько раз сложить 0 с самим собой, чтобы получить 0 . Пробуем:

0 = 0 ⋅ 1 = 0 0 + 0 = 0 ⋅ 2 = 0 0 + 0 + 0 = 0 ⋅ 3 = 0 … 0 = 0 \cdot 1 = 0 \\ 0 + 0 = 0 \cdot 2 = 0 \\ 0 + 0 + 0 = 0 \cdot 3 = 0 \\ \ldots 0 = 0 ⋅ 1 = 0 0 + 0 = 0 ⋅ 2 = 0 0 + 0 + 0 = 0 ⋅ 3 = 0 …

Любое число сложений 0 с самим собой дает 0 . Выходит, что у нас бесконечно много правильных ответов!

0 : 0 = 1 0 : 0 = 2 0 : 0 = 3 … 0 : 0 = 1 \\ 0 : 0 = 2 \\ 0 : 0 = 3 \\ \ldots 0 : 0 = 1 0 : 0 = 2 0 : 0 = 3 …

Деление 0 на 0 имеет бесконечно много ответов.

Итог

Как видите, ничего страшного и криминального в делении на 0 нет.

Любые числа, кроме 0 , просто не получится поделить на ноль — нет ответа. И только сам 0 можно поделить на 0 , но в результате получим бесконечно много ответов.

Из-за такой неопределенности (то ответа нет совсем, то их бесконечно много), на ноль в математике обычно не делят.

Разобраться в теме
Запомнить важное
Закрепить задачами

Контент на этом сайте полезный и бесплатный.

Помогите нам: отключите блокировщик рекламы или станьте спонсором!

На ноль делить нельзя? Или можно?

Почему нельзя делить на ноль? Кто запретил? Школа упрямо запрещает нам делить на 0, но стоит переступить порог университета — индульгенция получена. То, что в школе считалось запретом, теперь возможно.

Можно поделить на ноль и получить бесконечность. Высшая математика… Ну почти. Можно объяснить и попроще. Так почему нельзя делить на ноль, а умножать можно?

Деление на 0

История и философия ноля

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ноль изобрели в Индии). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю.

Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки? Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей — лимонный сок.

Достаточно задать самому себе вопрос:

Если деление на бесконечность дает ноль, то деление на ноль должно давать бесконечность.

х/ ∞=0 значит и х/0=∞

Что будет если поделить на ноль?

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично:

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0

То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения. Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4.

Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений. Так что же получится в итоге?

Простое объяснение из жизни

Вот вам задачка из физики и реальной жизни. Допустим, мы хотим вычислит за сколько времени сможем пройти 10 километров. Значит Скорость * время = расстояние (S=Vt). Чтобы узнать время, расстояние делим на скорость (t=S/V). А что будет, если скорость у нас 0? t=10/0. Будет бесконечность!

Стоим на месте, скорость равна нулю, и с такой скоростью мы будем вечно добираться до отметки в 10 км. Значит время будет… t=∞. Вот и получилась у нас бесконечность!

И в этом примере делить на ноль можно, жизненный опыт позволяет. Жаль, что учителя в школе не могут объяснять такие вещи так же просто.

Еще одно объяснение

Давайте определимся, что такое деление? Например, 8/4 – означает вопрос «сколько четверок, может поместится в восьмерке?» Ответ: «две четверки», то есть математически 8/4=2.

А если задать себе вопрос 5/0=? Сколько нолей поместится внутри пятерки? Да сколько угодно. Бесконечное количество. Делим на ноль и получаем… снова бесконечность.

Но если вместо абстрактных цифр взять материальные вещи, например, яблоко. 6/3 — «если разложить 6 яблок по 3 в ящики, то сколько нужно ящиков?» Ответ: «2 ящика». Идем дальше 4/0 — «если разложить 4 яблока по ноль(!) штук в ящики, то сколько…» Получится, что ящики то не нужны, мы ничего никуда не кладем!

Совсем простое объяснение

Совсем просто, «на пальцах»

10/2=5 10/4=2,5 10/8=1,25 ….Чем больше число в знаменателе, тем меньше результат

10/2=5 10/1=10 10/0,5=20 ….Чем меньше число в знаменателе, тем больше результат, а если взять очень маленькое число? Например, 0,0000001 получится 1 00 000 000. И если пойти дальше в своих размышлениях и уменьшить знаменатель до нуля? В итоге получим что настолько огромное, что будет называться «бесконечность».

Так можно ли делить на ноль?

Все зависит от того, зачем вам это нужно и в рамках каких правил вы решили «разделять». Если это алгебра, то все просто — «на ноль делить нельзя» потому, что нет такого понятия как «бесконечность» (это вообще-то и не число вовсе), и неясно что должно получится в итоге.

Деление на ноль и высшая математика

Можно ли делить на ноль в высшей математике — да пожалуйста. Ведь нуль может быть представлен цифрой ноль (цифра означает число со значением «0», то есть вообще ничего), а может и неким бесконечно малым (то есть стремится к нулю, почти ничего, но все таки — не ничто). Тогда ничего не мешает спокойно делить на «бесконечно малое».

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее — это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что, в некотором роде, делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно… Но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи.

Делите на здоровье, если не боитесь бесконечности в результате.

Почему нельзя делить на ноль: простые объяснения

деление на ноль

Почему нельзя делить на ноль? Кто и почему запрещает нам эту математическую операцию? Сразу отметим, что деление на ноль в рамках школьной программы определяется как операция, которую запрещено совершать, а вот высшая математика смотрит на этот вопрос иначе. Тем не менее школьники обязательно зададут вопрос, почему на ноль делить нельзя. Прочтите статью и будьте готовы простыми словами объяснить сложное явление.

Что будет, если разделить на ноль: индийский ответ

Ноль был придуман в Индии, равно как и отрицательные числа. Европейцам такие понятия даже в голову не приходили. А вот индийские философы любили задуматься о бесконечном «ничто» или о математическом выражении долгов. Так и возникла дилемма: делить на ноль или нет. Есть простые объяснения этого вопроса.

деление на ноль

Около 1400 лет назад в Индии жил и работал некто Брахмагупта, который не только сформулировал этот вопрос, но и нашел оригинальное объяснение. Логика ученого была такова:

  1. Берем лимон и последовательно делим его на части.
  2. В какой-то момент дольки станут совсем крохотными.
  3. Теоретически последняя стадия такого деления должна равняться нулю.

Если при делении лимона получается не две части, а число, которое стремится к бесконечности, то каков будет размер каждой дольки? Наверное, столкнемся с бесконечным числом «нулевых долек». В реальной жизни результат такой нарезки — лужица лимонного сока с бессчетным количеством ломтиков.

То есть если число делить на бесконечность, то получится ноль и наоборот.

На ноль делить нельзя: нелогично

Рассмотрим простой пример:

  • а × 0 = 0;
  • b × 0 = 0;
  • значит: а × 0 = b × 0;
  • отсюда: а = b.

Таким образом, любое число оказывается равным любому числу, а это невозможно.

Делением называют действие, обратное по отношению к умножению. Это означает, что при делении 6 на 3 необходимо отыскать число, которое в случае умножения на 3 даст 6.

Следуя этой логике, при делении 6 на 0, нужно выбрать число, умножение на 0 которого даст 6. То есть а × 0 = 6? Но а × 0 = 0! Снова неувязка. Сколько нам необходимо нолей, чтобы вышло 6? Неужели бесконечно много? Но и сложение такого количества нолей даст только ноль.

Отсюда и еще один вывод о том, что если ноль делить на ноль, выйдет неопределенный итог. В уравнении 0 × а = 0 в качестве составляющей «а» может оказаться все что угодно. В бесчисленном множестве решений смысла нет.

Можно ли делить ноль: жизненное объяснение

Представьте, что необходимо подсчитать время, за которое пройдете 10 километров. Известно уравнение, в котором для поиска длины пути скорость умножают на время. Чтобы найти время в нашем случае, будем путь делить на показатель скорости. Но что если наша скорость нулевая?

Мы не двигаемся, поэтому идти заветных 10 км нам предстоит вечность. Время при таких условиях попросту перейдет в бесконечную величину, которую подсчитать не выйдет.

Делить на ноль можно, но бессмысленно

деление на ноль

Что собой представляет деление в алгебре:

  1. Например, 10 : 2 равноценно вопросу, сколько двоек помещается в десятке. Ответ — пять двоек. То есть 10 : 2 = 5.
  2. А если вопрос: 10 : 0 = ? Сколько нулей в десятке? Да сколько угодно. Бесконечность.

Давайте проделаем ту же операцию с вещами. Например: если разложить 10 яблок по 2 штуки в коробки, то сколько необходимо коробок? Ответ — 5 коробок. Но в случае, если раскладывать 10 яблок по ноль единиц в коробки, то сколько коробок понадобится? Получается, что в коробках необходимости попросту нет, потому что класть в них нечего.

Деление на ноль: самое простое объяснение

Посчитаем: 12 : 2 = 6, 12 : 4 = 3. Чем больше число знаменателя, тем меньше получается результат. Наоборот это правило тоже работает: для маленьких чисел результат больше: 12 : 1,5 = 8, 12 : 1 = 12.

Что получится с очень малыми числами? Например, с 0,0000001 выйдет 100000000. При уменьшении знаменателя до нуля число должно получиться огромнейшее, а точнее — бесконечность.

Таким образом, на ноль делить нельзя из-за отсутствия материального выражения бесконечности. Итог такого действия смысла не имеет. Что касается высшей математики, то, кроме ноля, она оперирует также понятием о бесконечно малом и расширяет привычные горизонты вычислений.

Итак, почему нельзя делить на ноль? В рамках алгебры такая операция не определенная, не логичная и абстрактная. Если хотите детальнее разобраться в этом вопросе, то придется прибегнуть к высшей математике. Чтобы разобраться с позиции этой дисциплины с указанным алгебраическим правилом, нужно познакомиться с дельта-функцией Дирака и прочими сложными понятиями.

А как думаете вы, почему нельзя делить на ноль?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *