Отметьте точки которые не принадлежат единичной окружности
Перейти к содержимому

Отметьте точки которые не принадлежат единичной окружности

  • автор:

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac, \frac, \frac, 10π, -\frac\)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

определение числовой окружности

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Числовая ось, в некотором смысле, аналог числовой окружности Числа соответствующие точкам на числовой окржности

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Что такое единичная окружность?

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Начало отсчета на числовой окружност

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

1 на числовой окружности

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

числа 1,2,3,4,5 и 6 на числовой окружности

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

числа 1,2,3,4,5,6,7 и 8 на числовой окружности

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

отрицательные числа

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа \(π\) : \( \frac\),\(-\frac\),\(\frac\), \(2π\). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с \(π\). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

0, pi/2, pi, 3pi/2

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

одной точке соответствует множество чисел на числовой окружности

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

где \(t_0\) — любое значение это точки.

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Проверьте, лежат ли точки на единичной окружности: А (1/3;2 корень 2 дробь 3) В (корень 3 дробь 2;корень 3 дробь 2)С (2;3)

уравнение окружности х^2+y^2=r^2 по условию r=1 т. к. окружность единичная. подставляем координаты первой точки в уравнение. получаем (1/3)^2+(2корень2/3)^2=1 1/9+2*2/9=1 1/9+8/9=1 9/9=1 равенство верное значит точка А лежит на единичной окружности

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Точки на числовой окружности

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик поймёт тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности. Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O:

Начало отсчёта на числовой прямой

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O. За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Положительные и отрицательные направления на числовой окружности

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B:

Отмечаем число пи на числовой окружности

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C. Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B. Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B. В результате попадём в точку D, которая будет уже соответствовать числу :

Базовые точки на числовой окружности

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

-\frac{5\pi}{2}+2\pi m,\, m\in Z

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M. Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM? Правильно, вдвое меньше дуги OC. То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

-\frac{7\pi}{4}+2\pi k,\, k\in Z

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N, P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Числа кратные пи на четыре на числовой окружности

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N, как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L, так что точка S будет лежать между точками O и L, то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа кратные пи на три на числовой окружности

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

Мы знаем, где на числовой прямой находится точка L, соответствующая числу . Мы также знаем приблизительное значение числа . Тогда, очевидно, число чуть больше 1. Следовательно, точка, которая соответствует числу 1, расположена на числовой окружности чуть ближе к точке O, чем точка L:

Единица на числовой окружности

Отмеченной точке, как мы уже знаем, соответствуют также числа .

Таким образом, на сегодняшнем уроке мы усвоили, что каждому числу соответствует какая-то точка на числовой окружности, но каждой точке числовой окружности соответствует бесконечное множество чисел. Запомните это, чтобы не путаться в дальнейшем при изучении тригонометрии.

Надеюсь, вы усвоили этот урок. Чтобы убедиться в этом, выполните самостоятельно следующие упражнения. Возникшие вопросы обсудим с вами в комментариях:

  • Выделите на числовой окружности дугу, все точки которой удовлетворяют условию:

\[ \frac{\pi}{6}+2\pi n<t< \frac{2\pi}{3}+2\pi n. \]

  • Как расположены точки на числовой окружности, соответствующие числам:

Тригонометрическая окружность

В этой статье мы поговорим об основах тригонометрии — о тригонометрической окружности. С нее начинается изучение тригонометрии в 10-м классе.

Именно тригонометрические уравнения, как правило, попадаются в самом легком задании второй части ЕГЭ по профильной математике. А умение преобразовывать тригонометрические выражения может пригодиться и в первой части. Без этой важной темы на ЕГЭ никак не обойтись.

Тригонометрия очень непривычная тема для школьников. А единичная окружность — это основа, если вы разберетесь с ней, то все остальное не будет казаться таким сложным.

Единичная окружность

Чтобы начать пользоваться тригонометрической окружностью, ее нужно построить.

Для начала нарисуем обычную прямоугольную декартову систему координат — ту, в которой вы должны были в младших классах строить различные графики прямых, парабол и т.д. Горизонтальную ось (ось абсцисс), как обычно, обозначим за \(x\), а вертикальную (ось ординат) за \(y\). И нарисуем в этой системе координат обыкновенную окружность единичного радиуса с центром в точке с координатами \((0;0)\) — начало координат.

Пусть наша единичная окружность пересекает оси абсцисс и ординат в точках \(A,B,C,D\), как показано на рисунке. Центр окружности обозначим за точку \(O\).

четверти в тригонометрической окружности

Тригонометрическая окружность

Сразу обратите внимание, что оси \(x\) и \(y\) делят наш круг на четыре части, их называют четвертями. А еще каждой четверти присвоили свой номер так же, как пронумеровано римскими цифрами на рисунке. В школе часто мучают этими четвертями.

Как считать углы на единичной окружности

А теперь мы подобрались к самому главному: будем рисовать углы на окружности. Все углы отсчитываются, начиная с отрезка \(OA\) ПРОТИВ часовой стрелки. Например, давайте повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на угол \(30^o\) (как стрелку часов) и получим некоторую точку \(M\), лежащую на окружности. На рисунке хорошо видно, как мы получили угол \(\angle\).

Острый угол на единичной окружности

Острый угол на единичной окружности

Таким образом, можно получать любые углы, просто поворачивая отрезок \(OA\). На рисунке 3 кроме угла \(\angle=30^o\) я нарисовал углы: \(\angle=45^o\), \(\angle=60^o\), \(\angle=90^o\), \(\angle=120^o\), \(\angle=135^o\), \(\angle=150^o\), \(\angle=180^o\).

Углы на тригонометрической окружности

Рис.3. Углы на тригонометрической окружности

Обратите внимание на углы \(\angle=90^o\) и \(\angle=180^o\): прямой и развернутый углы соответственно. Они нам понадобятся чуть позже.

Но и это еще не все! Оказывается, бывают углы больше, чем \(180^o\). Например, на нашей окружности такими углами будут \(\angle=210^o\), \(\angle=315^o\).

Есть даже угол, который соответствует полному обороту \(\angle=360^o\) (см. Рис. 4)

Развернутые углы на тригонометрической окружности

Рис.4. Развернутые углы на тригонометрической окружности

Обратите внимание, что абсолютно все углы отсчитываются от отрезка \(OA\). И каждому углу соответствует своя точка на окружности. В тригонометрии принято все углы на единичной окружности обозначать просто точками. Например, точка \(K\) на рисунке 3 соответствует углу в \(60^o\), точка \(W\) соответствует углу \(210^o\).

Любознательный читатель может спросить: а существуют ли углы большие \(360^o\)? И ответом будет – конечно, да. Нам ничто не мешает повернуть отрезок \(OA\) на \(360^o\), а потом продолжить поворачивать его, например, еще градусов на \(30^o\). И тогда мы получим прекрасный угол, соответствующий точке \(V=390^o\).

Угол больше одного оборота на единичной окружности

Угол больше одного оборота на тригонометрической окружности

Кстати, точка \(V\) совпадет с точкой \(M\), соответствующей углу в \(30^o\). Получается, одна и та же точка может соответствовать сразу нескольким углам!

Действительно, если к любому углу прибавить \(360^o\), то вы попадете опять в ту же самую точку. Аналогично, можно обратить внимание, что точка \(A\) одновременно соответствует как минимум двум углам: \(0^o\) и \(360^o\).

Угол в \(720^o\) будет соответствовать двум полным оборотам.

А ведь можно к любому углу прибавить не \(360^o\), а \(720^o\), что соответствует сразу 2-м полным оборотам. И так добавлять обороты можно до бесконечности. Значит, любой точке на единичной окружности соответствует бесконечное количество углов с шагом в \(360^o\). Например, углы \(60^o, \, 420^o, \, 780^o, \, 1140^o\) и т.д. все лежат в одной и той же точке на окружности, так как они все отличаются на один полный оборот – на \(360^o\). Это важная мысль, в дальнейшем она нам пригодится.

В общем, можно отсчитывать углы от отрезка \(OA\) сколько угодно большие и можно накручивать круги до бесконечности. Причем каждой точке соответствует бесконечное количество углов.

А еще существуют отрицательные углы! Оказывается, если повернуть отрезок \(OA\) ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то мы получим отрицательный угол. Например, на рисунке показан угол в \(-30^o\).

Отрицательные углы на единичной окружности

Отрицательные углы на единичной окружности

Любой угол, получившийся поворотом по часовой стрелке, будет отрицательным.

Кстати, точка \(M\) на окружности, соответствующая углу в \(-30^o\), отсчитанному по часовой стрелке, совпадает с точкой, соответствующей углу в \(330^o\), отсчитанным против часовой.

Как переводить радианы в градусы?

Все знают, чтобы измерить некоторое расстояние, можно воспользоваться несколькими единицами измерения: сантиметрами, метрами, километрами или даже световыми годами. Точно так же углы можно измерять по-разному. Мы всю свою жизнь углы измеряли градусами и интуитивно уже понимаем, сколько градусов соответствует визуально какому углу. Довольно легко представить угол в \(30^o\) или \(90^o\).

Но, к большому сожалению, в математике углы часто измеряют не в градусах, а в радианах. Так просто удобно в некоторых случаях. А нам с вами ничего не остается, как привыкнуть к новой единице измерения углов.

Ничего страшного в этом нет. Первое, с чем нам нужно познакомиться — это иррациональное число Пи: $$\pi=3,14…;$$ Это известная константа, которая обладает интересными свойствами и используется во множестве научных областей. Но об этом в другой раз. Сейчас нам нужно запомнить, что угол в \(\pi\) радиан это то же самое, что и угол равный \(180^o\). $$\pi \, рад=180^o;$$ Из этого факта легко переводить радианы в градусы и наоборот: $$ \frac<\pi>=\frac^o=90^o;$$ $$ \frac<\pi>=\frac^o=60^o;$$ $$ \frac<\pi>=\frac^o=45^o;$$ $$ \frac<\pi>=\frac^o=30^o;$$

Для того, чтобы перевести абсолютно любой угол в градусы, удобно воспользоваться пропорцией. Для примера переведем \(\frac<5\pi>\) радиан: $$\pi \, рад=180^o;$$ $$\frac<5\pi> \, рад=x^o;$$ Пропорции решаются перемножением крест на крест: $$\pi*x=\frac<5\pi>*180;$$ $$x=\frac<\frac<5\pi>*180><\pi>=\frac*180=150^o.$$

Теперь отметим на тригонометрической окружности углы в радианах так же, как мы отмечали углы в градусах:

Радианы на тригонометрической окружности

Радианы на тригонометрической окружности

Чтобы интуитивно воспринимать радианы, важно помнить, что \(\pi \, рад=180^o\) – это равно половине окружности. Тогда \(2\pi=360^o\) – это полный круг. Представьте, что перед вами пирог или пицца, которую вы режете на части. Тогда, помня, что \(\pi\) это ровно половина пирога, легко представить, что, например, \(\frac<\pi>\) – это мы половину пирога поделили на 6 одинаковых частей и взяли одну. А \(\frac<5*\pi>\) – это опять делим половину пирога на 6 частей, только в этот раз берем 5 частей из 6-ти, считая от 0.

Можно пользоваться такой аналогией, а можно решать пропорции, как вам удобнее.

Мы научились отмечать на единичной окружности углы и познакомились с радианами.

Теперь приступаем к самому важному: какое отношение имеет этот круг единичного радиуса к тригонометрическим функциям?

Синус и косинус на тригонометрической окружности

Кратко напомню: Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе; Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Прямоугольный треугольник в тригонометрии

Прямоугольный треугольник в тригонометрии
$$\sin(\alpha)=\frac;$$ $$\cos(\alpha)=\frac;$$

И из этих формул и теоремы Пифагора следует одна из самых важных тригонометрических формул: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.$$

Раз эти определения вводились для прямоугольного треугольника, то у них есть большой недостаток. Они работают только в прямоугольном треугольнике, а значит только для острых углов. (В прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два другие обязательно острые).

Но синус и косинус можно посчитать на калькуляторе от абсолютно любого угла. Тогда определение из 9-го класса нам не годится.

И вот здесь на помощь приходит тригонометрическая окружность. При помощи нее мы сейчас постараемся определить синус и косинус.

Нарисуем единичную окружность (единичного радиуса) и отметим на ней какой-нибудь острый угол \(\angle=\alpha\). Точка \(M\) лежит на дуге этой окружности и соответствует углу в \(30^o\). Посмотрите внимательно на рисунок: у точки \(M\) мы можем определить координаты. Пусть по оси \(x\) координата точки \(M\) будет \(M_\), а по оси \(y\) — \(M_\). Точка \(M\): $$(M_;M_);$$

Координаты точки на единичной окружности

Координаты точки на окружности

Опустим из точки \(M\) перпендикуляры на оси координат. Перпендикуляр к оси \(x\) попадет в точку \(M_\), а перпендикуляр к оси \(y\) попадет в \(M_\). Строго говоря, в математике \(M_\) и \(M_\) называются проекциями точки \(M\) на оси координат.

Мы получили прямоугольный треугольник \(\triangle_\). По определению из 9-го класса синус \(\angle\) – это отношение противолежащего катета \(MM_\) к гипотенузе \(MO\) в \(\triangle\): $$\sin(\alpha)=\frac;$$ Обратите внимание, что \(MO\) это радиус нашей единичной окружности, значит он равен единице: $$\sin(\alpha)=\frac=MM_;$$ Из рисунка видно, что \(MM_=OM_\) или, другими словами, длина отрезка \(MM_\) – это координата точки \(M\) по оси \(y\).

Это важный момент! Получается, что \(\sin(\alpha)\) равен координате точки \(M\) по оси \(y\).

Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Косинус по определению в прямоугольном треугольнике \(\triangle>\) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$\cos(\alpha)=\frac>=OM_=M_;$$ Косинус \(\angle\), оказывается, будет равен координате точки \(M\) по оси \(x\).

Точно такие же рассуждения можно сделать для любого другого угла \(\beta\). Из рисунка ниже видно, что синус \(\angle\) – это координата точки \(N\) по оси \(y\). А косинус угла \(\angle\) – это координата точки \(N\) по оси \(x\). (Показано фиолетовым цветом).

Координаты точки на единичной окружности

Координаты точки на окружности

Данная логика будет справедлива и для тупых углов. Посмотрите на угол \(\gamma\). Значение синуса \(\angle<\gamma>\) будет соответствовать координате точки \(K\) по оси \(y\), а косинуса – по оси \(x\).

Тупой угол на единичной окружности

Тупой угол на единичной окружности

Можно сделать вывод, что значения синуса любого угла на окружности лежат на оси \(y\), а значения косинуса на \(x\).

А раз такие дела, то давайте обзовем наши оси координат не \(x\) и \(y\), а осями \(cos\) и \(sin\) соответственно. На этих осях будут лежать значения косинуса и синуса всех углов на окружности. И в дальнейшем на всех рисунках оси мы будем обозначать \(cos\) и \(sin\) соответственно.

Обратите внимание еще на один факт: координаты любой точки на окружности обязательно будут больше минус единицы и меньше единицы. Это значит, что значения синуса и косинуса лежат в этом же промежутке. Синус и косинус – это ограниченные функции.

Пример 1 Изобразить на тригонометрической окружности синус и косинус \(\frac<\pi>=60^o\).

Повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на \(\frac<\pi>\), получим точку \(W\) на окружности, которая соответствует этому углу. Если выполнять все это на миллиметровке и строить очень точно, то вы увидите, что координата точки \(W\) по \(y\) будет \(W_=\frac<\sqrt>\approx0,87\), а по оси \(x\) координата будет \(W_=\frac\).

Значения косинуса и синуса на тригонометрической окружности

Значения косинуса и синуса на тригонометрической окружности

Исходя из сказанного выше, мы делаем вывод: $$\sin(\frac<\pi>)=\frac<\sqrt>;$$ $$\cos(\frac<\pi>)=\frac;$$ Посмотрев в таблицу стандартных углов тригонометрических функций, понимаем, что мы сделали все правильно.

Тригонометрическая таблица стандартных углов

Тригонометрическая таблица стандартных углов

Вам, конечно, не придется сидеть с миллиметровкой и высчитывать значения тригонометрических функций, вы будете пользоваться таблицей стандартных углов. А тригонометрическая окружность нужна как большой помощник. При дальнейшем изучении тригонометрии вы в этом не раз убедитесь.

Кстати, интересно и очень важно отметить, что значение, например, синуса \(\frac<\pi>=(90^o)\) будет равно 1, а косинус \(\frac<\pi>\) будет равен 0. Чтобы это понять, необязательно смотреть в таблицу стандартных углов, такой вывод можно сделать при помощи тригонометрической окружности.

Прямой угол на единичной окружности

Прямой угол на единичной окружности

Действительно, обратите внимание: угол в \(\frac<\pi>=90^o\) соответствует на окружности точке \(B\). Координата точки \(B\) по оси \(x\) будет \(0\), а по оси \(y\) \(1\). А так как координаты точек на окружности, согласно сказанному выше, и есть значения косинуса и синуса угла, то: $$\sin(\frac<\pi>)=1;$$ $$\cos(\frac<\pi>)=0;$$

Знаки синуса и косинуса в зависимости от угла

В самом начале мы не просто так разбивали нашу окружность на четверти. Дело в том, что в каждой из этих четвертей тригонометрические функции имеют разные знаки. В школе обычно заставляют учить в какой четверти какой знак. Но мы, как всегда, постараемся вникнуть в суть и понять, как это работает. Тем более, что ничего сложного здесь нет, если разобраться в материале выше.

Мы с вами выяснили, что координаты любой точки на окружности – это и есть значения синуса и косинуса. Рассмотрим первую четверть: возьмем произвольную точку \(M\), лежащую на дуге в этой четверти, координата точки \(M\) по \(x\) будет \(M_\) и она будет обязательно положительной, так как лежит между нулем и единицей! А это значит, что косинус угла, соответствующего точке \(M\) тоже будет положительным. Аналогично, координата точки \(M\) по оси \(y\) тоже лежит от 0 до 1, а значит синус \(\angle\) тоже положительный.

Знак синуса и косинуса в первой четверти

Знак синуса и косинуса в первой четверти

И какой бы угол мы не нарисовали в первой четверти, у него будут положительные координаты, а значит, и положительные значения косинуса и синуса!

Рассмотрим теперь вторую четверть. Руководствуясь той же логикой: координаты произвольной точки \(K\), лежащей на дуге из второй четверти по \(x\), будут отрицательны, а по \(y\) положительны. Делаем вывод, что косинус любого угла из второй четверти будет отрицательным, а синус положительным.

Точно так же в третьей четверти и косинус, и синус будут отрицательными.

В четвертой четверти косинус положительный, а синус отрицательный.

Знаки синуса и косинуса

Знаки синуса и косинуса

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Теперь разберемся, как пользоваться тригонометрической окружностью в случае тангенса и котангенса.

Тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике

Тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике

Тангенс на окружности и его знаки

Чтобы на окружности можно было пользоваться тангенсом, нам понадобится дополнительная ось. Проведем ее перпендикулярно оси \(x\) (теперь это у нас ось косинусов) через точку \(A\):

Тангенс на тригонометрической окружности

Тангенс на тригонометрической окружности

Эта ось параллельна оси \(y\) и полностью ее дублирует. В точке \(A\) будет координата \(0\). Отметим на окружности в первой четверти произвольную точку \(L\). Соединим точку \(L\) с центром окружности и продлим прямую до пересечения с новой осью в точке \(F\).

Мы получили прямоугольный треугольник \(FOA\). В этом прямоугольном треугольнике можем расписать тангенс по определению:

$$tg(\angle)=\frac;$$ А так как \(OA\) – это не что иное, как радиус единичной окружности: $$tg(\angle)=FA;$$ А \(FA\) – это координата точки \(F\) по нашей новой оси. Значит \(tg(\angle)=tg(\angle)\) будет равен координате точки \(F\) по новой оси.

Аналогичным образом я могу выбрать другую произвольную точку \(P\) на окружности в первой четверти, продлить до пересечения с новой осью, получить некоторую точку \(T\). И опять, тангенс получившегося угла \(\angle=\angle\) будет равен координате точки \(T\) на новой оси.

Тут все ясно, но возникает справедливый вопрос: а что, если угол лежит не в первой четверти?

Логика рассуждений сохраняется: произвольному углу \(\angle\) соответствует своя точка на окружности \(Q\), соединим точку \(Q\) с центром окружности и продлим до пересечения с новой осью в точке \(H\). Оказывается, тангенс \(\angle\) будет равен координате точки \(H\) по новой оси.

Тангенс на тригонометрической окружности от тупого угла

Тангенс на тригонометрической окружности от тупого угла

Общая логика проста: берем точку на окружности, соответствующую некоторому углу \(\alpha\), соединяем ее с центром окружности и продляем до пересечения с осью тангенса. Координата точки пересечения с осью тангенса и будет значением тангенса угла \(\alpha\).

Эта ось называется осью тангенсов, так как на ней лежат значения тангенсов всех углов на окружности.

Стоит обратить внимание на знаки тангенса. Если соединять точки на окружности, лежащие в первой и третьей четвертях, с центром окружности, то пересекать ось тангенсов эти прямые будут всегда выше \(0\). Значение тангенса любых углов из первой и третьей четвертей будет положительно.

А если углы лежат во второй и четвёртой четвертях, то их тангенс будет отрицательным.

Котангенс на окружности и его знаки

С котангенсом ситуация очень похожа на тангенс. Только в этот раз мы проводим горизонтальную ось перпендикулярно оси синусов через произвольную точку \(B\). Эта ось будет параллельна оси \(x\) и полностью ее дублировать. Сразу назовем эту ось осью котангенса. Ноль на оси котангенса будет совпадать с точкой \(B\).

Теперь выберем произвольную точку \(N\) на окружности, этой точке будет соответствовать угол \(\angle\). Соединим точку \(N\) с центром окружности и продлим получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса в точке \(Q\).

Котангенс на тригонометрической окружности

Котангенс на тригонометрической окружности

Обратите внимание, что \(\angle=\angle\), как накрест лежащие при параллельных прямых (оси синуса и котангенса). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOQ\) и распишем в нем котангенс \(\angle\), как отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике: $$ctg(\angle)=ctg(\angle)=\frac=QB;$$ Мы получили, что котангенс \(\angle\) равен координате точки \(Q\) на оси котангенса.

Аналогичным образом можно выбрать произвольную точку на единичной окружности, соединить ее с центром окружности, продлить получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса, координата получившейся точки будет значением котангенса угла, соответствующего точке на окружности.

И у внимательного читателя должен возникнуть вопрос! Ведь не любую точку на окружности возможно соединить с центром окружности и продлить до пересечения с осью тангенса или котангенса.

Действительно, если точки \(B\) и \(D\) соединить с центром окружности, то получится прямая параллельная оси тангенса, а значит, она никогда не пересчёт ее. Как же тогда найти значения тангенса углов, соответствующих точкам \(B\) и \(D\)? А никак, тангенс этих углов не существует. Точкам \(B\) и \(D\) соответствуют углы: \(\frac<\pi>=90^o, \, \frac<3\pi>=270^o, \, -\frac<\pi>=-90^o\) и т.д. Каждой точке на окружности, как мы помним, соответствует бесконечное количество углов с периодом \(2\pi=360^o\).

Аналогичные рассуждения с котангенсом. Котангенс не будет существовать от углов: \(0, \, \pi=180^o, \, -\pi=-180^o, \, 2\pi\) и т.д.

Несколько важных свойств тангенса и котангенса.

  • Из построения можно заметить, что для любых углов из первой и третьей четвертей котангенс и тангенс будут положительные, а для второй и четвертой – отрицательные;
  • Тангенс и котангенс – неограниченные функции. Это значит, что они могут принимать абсолютно любые значения: \(tg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\) и \(ctg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\)
  • Тангенс не существует от углов на окружности в точках \(B\) и \(D\);
  • Котангенс не существует от углов на окружности в точках \(A\) и \(C\);

Пример 2 Изобразить на тригонометрической окружности \(ctg(\frac<\pi>)\).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *