Когда совокупность а когда система
Перейти к содержимому

Когда совокупность а когда система

  • автор:

Совокупность уравнений и неравенств

Совокупности похожи на системы – в них так же присутствуют два или более неравенства (уравнения), но в отличие от системы мы ищем решение, которое подходит хотя бы одному из них (а не всем сразу).

Давайте сравним решение системы и совокупности:

\(\begin2x-8>0\\\fracx≤3,5\end\) \( \left[ \begin2x-8>0\\ \fracx≤3,5\end\right.\)

Сначала в обоих случаях нужно решить каждое неравенство и нанести решения на числовую ось.

\(\begin2x>8 \; |:4\\\fracx≤3,5 \;\;\; |\cdot 2 \end\) \( \left[ \begin2x>8 \; \;|:4\\ \fracx≤3,5 \;\;\; |\cdot 2\end\right.\)
\(\beginx>4\\x≤7 \end\) \( \left[ \beginx>4\\ x≤7 \end\right.\)
Ответ: \((4;7]\) Ответ: \((-∞;+∞)\)

То есть решение неравенств внутри системы и совокупности одинаково. Но разница появляется, когда мы начинаем искать окончательный ответ. В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подходят и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, то есть находим иксы, которые подходят хотя бы одному неравенству (или обоим сразу).

Наглядно эту идею можно представить так:

пример решения системы пример решения совокупности

решение системы решение совокупности

Чем отличается система от совокупности?

Решением системы ур-ний является решение каждого уравнения, а решением совокупности-решение одного из ур-ний.
Система равносильна союзу «и»,а совокупность-союзу «или».

Остальные ответы

1)система — значок: < Обозначает пересечение решений. Т. е. некое множество (конкретные решения, или целый промежуток) , где выполняются ВСЕ из равенств и/или неравенств системы.
2)совокупность — значок: [ Обозначает объединение решений. Т. е. некое множество (конкретные решения, или целый промежуток) , где выполняется ХОТЯ БЫ одно из равенств и/или неравенств системы
Например решением системы 6, x будет являться пустое множество (т. е. нет решений) , а решением совокупности [x>6, x

Похожие вопросы

Разница между системой и совокупностью в математике

Решению уравнений, системы уравнений или системы неравенств, всегда уделялось много внимания при изучении математики, физики в школьной программе. Метод решения системы уравнений широко применяется в науке, в статистике, при изучении физических проблем. Поэтому интересно знать сущность понятий системы и совокупности.

Определение

Система — выбор результатов решений, которые подойдут всем уравнениям системы. Этот поиск является как бы пересечением результатов решений.

Совокупность — выбор результатов решений, которые подойдут хотя бы для одного уравнения. Решение совокупности — это объединение решений каждого уравнения.

Сравнение

Рассмотрим решение системы двух уравнений с одной переменной. Находим значения переменной, с которыми каждое уравнение системы будет обращаться в верное равенство.

Решением системы уравнений называются те значения переменной, при которых оба уравнения системы будут обращаться в верные числовые равенства.

Систему уравнений будем решать так. Ищем решение для каждого уравнения и затем выбираем из полученных значений те, которые являются решением для каждого уравнения системы. Система предполагает выбор, пересечение решений. То есть при решении системы уравнений или неравенств из множества решений выбирается конкретные решения, при которых выполняются все равенства и/или неравенства системы.

Рассмотрим совокупность двух уравнений с одной переменной. Находим все значения переменной, с которыми каждое уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.

Решением совокупности уравнений считают любое значение переменной, при котором хотя бы одно уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.

Совокупность предполагает объединение решений. То есть выбор множества или конкретного решения, при котором могло бы выполниться хотя бы одно из равенств и/или неравенств системы

Вот пример:

Есть совокупность из 2 уравнений. Решая первое уравнение, получили ответ 0. Решая второе уравнение, получили 3 ответа -11,0,4.5. Решением совокупности будут все ответы -11,0,4.5.

А если бы эта была система уравнений, то только ответ 0 будет правильным ответом для того и другого уравнения.

Так образом в совокупности идёт объединение результатов. Они дополняют друг друга.

В системе пересечение результатов есть решение системы.

Выводы TheDifference.ru

  1. Решением системы будет пересечение результатов решений.
  2. Решение совокупности — это объединение результатов каждого решения.

Похожие статьи

(4 оценок, среднее: 5,00 из 5)

Система и совокупность в уравнениях и в неравенствах

В этой статье мы с вами разберем, какие различия существуют между совокупностью и системой в уравнениях и неравенствах.

В целом можно сказать, что система подразумевает нахождение общего, повторяющегося ответа в каждом уравнении / неравенстве в системе.

Совокупность является объединением решений, которые имеются во всех уравнениях/неравенствах в совокупности.

Если тебе нужна помощь с математикой, записывайся на интенсив — пройдёмся по самой важной теории для ЕГЭ прямо перед экзаменом! При покупке курса по базе подарим тебе интенсивы по всем остальным предметам. Жми, чтобы узнать подробности ��

Примеры в уравнениях

Представим себе следующее уравнение:

Произведение равно 0, когда какой-нибудь из множителей равен 0. Но мы понимаем, что нам подойдут корни, которые превращают каждый множитель в 0. Значит, нам их нужно объединить. В таком случае, у нас получается совокупность решений:

Теперь давайте представим себе систему из нескольких схожих уравнений:

Если решать каждое из них по отдельности, то у нас получится две совокупности в рамках одной системы, где нам нужно будет найти общие корни, которые имеются в каждом элементе системы:

Решением данной системы является общий икс, который встречается как в первой совокупности, так и во второй совокупности.

Однако можно взять пример, где общих решений вообще не будет:

Пример в неравенствах

Возьмем для примера следующую систему неравенств:

Как и в случае с уравнениями, нам необходимо найти такие значения переменной, которые входят в оба неравенства системы. То есть найти пересечение этих промежутков.

Если же мы возьмем совокупность этих неравенств, то получим следующее:

В этом случае мы берем все решения, которые подходят для первого неравенства и объединяем их с решениями, которые подходят ко второму неравенству.

В первом подходит все, что меньше 5, а для второго подходит как 5, так и все, что больше 5. Поэтому и результат получается от -бесконечности до +бесконечности.

Если же сейчас поменять знаки неравенств на противоположные, то получим следующие результаты:

Получение систем и совокупностей из промежутка

При решении неравенств второй части вам иногда пригодится замена, относительно которой вы будете решать ваше неравенство, однако в какой-то момент, вам необходимо будет обратно возвращаться к исходной переменной. Поэтому после получения промежутка для вашей замены, нужно будет представить это решение в виде каких-то неравенств простейшего вида.

Давайте потренируемся с этим переходом.

Возьмем для примера вот такой промежуток для переменной:

Знак объединения показывает, что вам подходят решения из каждого отдельного промежутка, которых у вас тут 4. Тогда мы их должны объединить, а значит, записать в виде совокупности.

Но как записать каждый отдельный промежуток? В виде системы, которая будет показывать пересечение простейших неравенств:

Но вместо систем можно записывать двойные неравенства, чтобы проще было их воспринимать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *