Когда производная не существует
Перейти к содержимому

Когда производная не существует

  • автор:

Производные правила

Производные правила и законы. Таблица производных функций.

  • Производное определение
  • Производные правила
  • Таблица производных функций
  • Производные примеры

Производное определение

Производная функции — это отношение разности значений функции f (x) в точках x + Δx и x к Δx, когда Δx бесконечно мало. Производная — это наклон функции или наклон касательной в точке x.

Вторая производная

Вторая производная определяется по формуле:

Или просто выведите первую производную:

N-я производная

Производная n вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

В п — е производная равна производной от (п-1) производное:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] ‘

Пример:

Найдите четвертую производную от

е ( х ) = 2 х 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] » » = [10 x 4 ] » ‘= [40 x 3 ]’ ‘= [120 x 2 ]’ = 240 x

Производная на графике функции

Производная функции — это наклон касательной прямой.

Производные правила

Правило производной суммы

Когда a и b постоянные.

( af ( x ) + bg ( x )) ‘= af’ ( x ) + bg ‘ ( x )

Пример:

Найдите производную от:

3 х 2 + 4 х.

Согласно правилу сумм:

а = 3, б = 4

е ( х ) = х 2 , g ( х ) = х

f ‘ ( x ) = 2 x , g’ ( x ) = 1

(3 х 2 + 4 х ) ‘= 3⋅2 х + 4⋅1 = 6 х + 4

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) ‘= f’ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ‘ ( x )

Правило производного частного

Правило производной цепочки

f ( g ( x )) ‘= f’ ( g ( x )) ∙ g ‘ ( x )

Это правило можно лучше понять с помощью обозначений Лагранжа:

Функция линейной аппроксимации

Для малых Δx мы можем получить приближение к f (x 0 + Δx), когда мы знаем f (x 0 ) и f ‘(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ‘( x 0 ) ⋅Δ x

Производная, основные определения и понятия

Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

Определение производной функции в точке

Когда функция вида f ( x ) определена из промежутка ( a ; b ) , тогда x 0 и x 0 + ∆ x считаются точками данного промежутка. Производная функции f ( x ) в точке x 0 — это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆ x → 0 . Данное определение записывается как f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x .

Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

Функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 , если конечная производная в ней существует.

Когда функция вида f ( x ) дифференцируема в каждой точке из промежутка ( a ; b ) , тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка ( a ; b ) может принимать значения функции f ‘ ( x ) , иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f ‘ ( x ) , которая называется производной функции f ( x ) из интервала ( a ; b ) .

Нахождение производной иначе называют дифференцированием

Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

Найти производную функции sin ( 2 x ) в точке x 0 = π 6 .

Решение

Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ sin ( 2 x 0 ) ∆ x = lim ∆ x → 0 sin ( 2 ( x 0 + ∆ x ) ) — sin ( 2 x 0 ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin 2 ( x 0 + ∆ x ) — 2 x 0 3 · cos 2 ( x 0 + ∆ x ) + 2 x 0 2 ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x

Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 cos ( 2 x 0 + ∆ x ) = = 2 · 1 · cos ( 2 x 0 + 0 ) = 2 cos ( 2 x 0 ) = 2 cos 2 · π 6 = = 2 cos π 3 = 2 · 1 2 = 1

Ответ: ( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 1 .

Найти производную функции f ( x ) = 3 x 3 — 1 из промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞

Решение

Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x 0 = x , где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

f ‘ ( x ) = 3 x 3 — 1 ‘ = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 3 ( 3 + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ∆ x = 0 0

Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ) ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 ) ∆ x · ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 ) = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 2 ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — ( 3 x 3 — 1 ) ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = 3 · lim ∆ x → 0 3 x 2 + 3 x ∆ x + ( ∆ x ) 2 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = 3 · 3 x 2 + 3 x · 0 + ( 0 ) 2 3 ( x + 0 ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = 9 x 2 2 3 x 3 — 1

Ответ: 3 x 3 — 1 ‘ = 9 x 2 2 3 x 3 — 1 и x ∈ 1 3 3 ; + ∞

Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f ( x ) может не совпадать с областью определения производной этой функции. Предыдущий пример имеет область определения вида D f x : x ∈ [ 1 3 3 ; + ∞ ) , а производная определена на интервале D f x : x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . То есть при дифференцировании функция f ‘ ( x ) — это производная заданной функции f ( x ) из промежутка x ∈ D ( f ( x ) ) D ( f ‘ ( x ) ) .

Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.

Производная

Приращение аргумента и приращение функции

Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю.

f ′(x0 ) = lim Δx→0
f(x0 + Δx ) – f(x0 )

x0 — значение аргумента, принадлежащее области определения функции f(x) ,

Δf — приращение функции в точке х0 , соответствующее приращению аргумента Δx .

f ′(x0 ) = lim Δx→0
f(x0 + Δx ) – f(x0 )
(x0 + Δx) 2 – (x0) 2
2x0Δx + (Δx ) 2
= lim Δx→0 ( 2x0 + Δx ) = 2x0 . ◄

Функция, которая имеет производную в точке x0 , называется дифференцируемой в этой точке .

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на промежутке .

Производная функции f(x ) , которая дифференцируема на промежутке, является функцией аргумента x .

Основные правила дифференцирования

Для нахождения производной функции f(x ) используют следующие правила дифференцирования

f ‘ · g – f · g’
(f (g (x)))’ = fg‘(g) · gx‘(x)

Таблица производных

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Пусть задана функция y = f(x ) , имеющая производную в точке х = а . Проведём касательную к графику функции y = f(x ) в точке (а; f(а)) . Тогда угловой коэффициент или тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох будет равен производной функции y = f(x ) в точке х = а , то есть

Геометрический смысл производной : производная функции y = f(x ) в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

Уравнение касательной к графику функции y = f(x ) в точке х = а имеет вид:

► Например, составим уравнение касательной к графику функции f(x ) = х 2 5х в точке а = –1 .

Физический смысл производной

Если s = s(t) — закон прямолинейного движения, то s'(t) выражает скорость движения в момент времени t , а v ‘(t)ускорение , то есть

v(t) = s'(t) — мгновенная скорость;

а(t) = v'(t) — мгновенное ускорение.

► Например, закон свободного падения тела выражается зависимостью s(t) = 0,5·gt 2 . Тогда скорость падения в момент времени t такова:

Вообще производная функции y = f(x ) в точке x выражает скорость изменения функции в точке x , то есть скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x ) . В этом и состоит физический смысл производной .

► Например, для функции f(x ) = х 2 имеем f ‘(x ) = 2х , и, значит, f ‘(2 ) = 4 , f ‘(3 ) = 6 . Из этого следует, что в точке x = 2 функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке x = 3 — в 6 раз быстрее.

Условия возрастания, убывания и постоянства функции

Достаточное условие возрастания

Достаточное условие убывания

Необходимое и достаточное условие постоянства функции

Достаточное условие возрастания функции. Если в каждой точке интервала (a; b) выполняется неравенство

то функция y = f(x ) возрастает на этом интервале.
Достаточное условие убывания функции. Если в каждой точке интервала (a; b) выполняется неравенство

то функция y = f(x ) убывает на этом интервале.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции . Функция f(x ) постоянна на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда

в каждой точке этого интервала.

Точки экстремума и экстремумы функции

Точка максимума

Точка x0 называется точкой максимума (локального максимума) функции y = f(x ) , если найдётся такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой окрестности выполняется условие

f ( x0 ) > f (x ).

Точка максимума

x0 — точка максимума (локального максимума) функции y = f(x );
f ( x0 ) — максимум функции y = f(x ).
► Например, точка x = 0 является точкой максимума для функций
f(x ) = – х 2 и f(x ) = | х | .
Точка минимума

Точка x0 называется точкой минимума (локального минимума) функции y = f(x ) , если найдётся такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой окрестности выполняется условие

f ( x0 ) < f (x ).

Точка минимума

x0 — точка минимума (локального минимума) функции y = f(x );
f ( x0 ) — минимум функции y = f(x ).
► Например, точка x = 0 является точкой минимума для функций
f(x ) = х 2 и f(x ) = | х |.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума и обозначаются так: xmax и xmin .

Значения функции в точках максимума и минимума называются экстремумами функции и обозначаются так: ymax и y min или fmax и fmin .

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) . Если x0 — точка экстремума, то значение производной f ‘( x0 ) в этой точке или равно нулю, или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: f ‘(x) = 0 , называются стационарными точками функции .

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения уравнения f ‘(x) = 0 ), либо это точки, в которых производная f ‘(x) не существует.

Заметим! Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

► Например, точка x = 0 является точкой минимума для функций f(x ) = х 2 и f(x ) =| х | . Для первой из них f ‘(0) = 0 , для второй f ‘(0) не существует. А вот для функции f(x ) = х 3 точка x = 0 не является точкой экстремума, хотя является критической, так как f ‘(0) = 0 .

Достаточное условие экстремума . Если функция y = f(x ) непрерывна в точке x0 и производная f ‘(x) меняет знак в этой точке, то x0 — точка экстремума функции y = f(x ) . При этом, это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы

  1. Найти область определения исследуемой функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
  2. Найти производную функции.
  3. Найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
  4. Обозначить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.
  5. Определить относительно каждой критической точки, является ли она точкой максимума, точкой минимума или не является точкой экстремума.
  6. Записать результаты исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

► Например. Исследовать функцию y = x 4 4x 3 на монотонность и экстремумы.

D(y) = R . Функция непрерывна на всём множестве R .

Найдём критические точки. Точек, в которых производная не существует, нет, так как D(y’) = R . Найдём стационарные точки, то есть нули производной:

y’ = 0 при 4x 3 – 12x 2 = 0 ⇒ 4x 2 (x – 3) = 0 ⇒ 4x 2 = 0 или x – 3 = 0 ⇒ x = 0 или х = 3 ;

0 и 3 – критические точки.

Нанесём критические точки на область определения (вся координатная прямая), определим знак производной и характер поведения функции на каждом из полученных интервалов.

Исследовать функцию y = x4 – 4x3 на монотонность

Ответ: функция убывает на промежутке (–∞; 3) , функция возрастает на промежутке (3; +∞) ;

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Для непрерывной на отрезке [a; b] функции y = f(x ) её наибольшее и наименьшее значения достигаются или в критических точках, или на концах промежутка.

Поэтому, чтобы найти наибольшее или наименьшее значения функции на промежутке [a; b] , необходимо вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих (a; b) , и на концах промежутка для x = a и x = b, а потом среди полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

► Например. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x + e –x на отрезке [–1; 2] .

Критических точек, в которых производная не определена не существует. Найдём нули производной.

0 — критическая точка, причём содержащаяся в промежутке [–1; 2] . Найдём значение функции в этой точке:

Найдём значения функции на концах интервала [–1; 2] :

1 — наименьшее значение функции f(x) = x + e –x на отрезке [–1; 2] ;

2 + 1 / e 2 — наибольшее значение функции f(x) = x + e –x на отрезке [–1; 2] .

Схема исследования функции и построения её графика

  1. Найти область определения функции.
  2. Проверить наличие специфических свойств: является ли функция чётной или нечётной, периодической.
  3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
  4. Установить промежутки знакопостоянства.
  5. Найти промежутки монотонности функции.
  6. Найти критические точки и установить, какие из них являются точками экстремума, и найти экстремумы функции.
  7. Исследовать поведение функции в окрестностях «особенных» точек и при значениях аргумента, стремящихся по модулю к бесконечности.
  8. Используя полученные сведения, построить схематический график функции.

► Например. Исследовать функцию y = x 3 3x 2 и построить её график.

D(y) = R . Функция непрерывна на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция не является периодической.

Найдём абсциссы пересечения графика с осью Оx :

Найдём абсциссы пересечения графика с осью Оy :

Найдём критические точки. Так как D(y’) = R , то среди критических точек возможны только стационарные. Найдём нули производной:

0 и 2 — критические точки.

Результаты дальнейшего исследования функции оформим в виде таблицы:

x (–∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
y’ (x) + 0 0 +
y (x) 0 – 4
max min

график функции y = x3 – 3x2

Установим поведение функции при бесконечно больших по модулю значениях аргумента:

Используя результаты исследования, строим график функции y = x 3 3x 2 .

БЕЗ ГРАФИКА как понять, когда производная не существует на пальцах, простым языком на КОНКРЕТНЫХ примерах с цифрами

Думаю, что сначала надо рассмотреть что такое производная. В математике ее определяют как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Т. е. для того чтобы взять производную в некоторой точке x0 нужно найти отношение [f(x)-f(x0)]/[x-x0], когда x расположена как можно ближе к точке x0. Теперь, исходя из этого определения, можно рассмотреть варианты, когда такое отношение не существует.

Но сначала посмотрим, что будет для «хороших» функций, для которых все-таки производная в точке x0 существует. Для них возникает такая интересная вещь, что с некоторого расстояния приближение точки x к точке x0 перестает влиять на величину искомого отношения и значит, что данное отношение и определяет производную.

Теперь глядя на нашу формулу можно сразу выявить два типа «плохих» функций, для которых в точке x0 производная будет отсутствовать. Первым типом таких «плохих» функций будут те, которые не определены в окрестности точки x0. Т. е. область определения функции не включает в себя окрестность точки x0. Понятно, что для таких функций мы не сможем приблизиться к точке x0 как угодно близко. Примером такой функции будет ln(|x|-1). Она не определена в области -11). Понятно, что в точке x0=1 производная не определена.

Оба этих типа «плохих» функций называются разрывные функции.

Существует и третий тип разрывных функций, у которых производная в некоторой точке не существует. Такие функции похожи на первый тип, но в отличие от них они неопределенны только в одной точке x0, а в ее окрестности будет все в порядке. Тогда говорят, что точка x0 выколота. Примером такой функции будет функция 1/x. Она не имеет производную в окрестности точки x0=0, поскольку и сама функция, и ее производная в этой точке будут равны бесконечности, а значит и не определены в области действительных чисел.

Чтобы рассмотреть четвертый тип «плохих» функций, которые не являются разрывными нужно определить понятие правой и левой производной. Конечно можно и без них, но мне кажется, что так будет нагляднее.

Итак, если для первого и третьего типов мы ничего не можем сделать в точке x0, то для второго типов мы можем определить так называемые правые и левые производные. Для их определения надо чуть-чуть изменить нашу формулу на такую: [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]. Здесь точки x1 и x2 будут приближаться к точке x0 слева (левая производная) или справа (правая производная)

Так вот четвертым типом будут функции, которые непрерывны, но производная слева и производная справа не будут равны друг другу. В точке x0 такие функции имеют излом (угол) . Примером такой функции будет функция модуля, т. е. y=|x|. Она имеет излом в точке x0=0

Кажется, что это все возможные типы функций, у которых не существует производная, хотя мог что-нибудь и пропустить.

P.S. Какие-то проблемы с отображением математических знаков.

Остальные ответы

Без графика объяснить тяжелее, но всё же попробую. Возьмём, например, функцию у = 1/( х — 1). При х = 1 данная функция просто неопределена, то есть данному значению х не соответствует никакое у ( на 0 делить нельзя ),
ну и соответственно производной в этой точке быть не может ( условие определённости функции в точке — одно из условий сущестования производной этой функции в данной точке) . Или другой вариант : у = -1 при х меньше 0,
и у = 1 при х большем или равном 0. У этой функции также нет производной в точке 0 — потому что функция имеет разрыв в этой точке ( то есть для того, чтобы функция имела производную в точке, она должна быть ещё и непрерывна в данной точке ). Ну и напоследок : представьте себе «домик » , точнее его крышу, график : сначала прямая идёт вверх, затем вниз. Так вот, в точке, соответствующей вершие «крыши», функция также не имеет производной, потому что здесь угол, излом. Функция должна быть ещё и гладкой, для того чтобы у неё была производная в точке. ( это как раз из области графиков — проведя ладонью по графику «гладкой» функции
нельзя «уколоться» ).
Ну а ещё проще — по определению : производной называется ПРЕДЕЛ отношения приращения самой функции ( у ) к приращению аргумента ( х ), при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть : берём точку х0, рядом ещё одну точку х1, и смотрим, чему равно (у (х1) — у (х0))/(х1 — х0 ). А следующую точку х возьмём ещё ближе к х0, а затем ещё ближе, и смотрим, к чему стремится разность значений функции, делённая на разность значений аргумента.
И если есть какой-то предел, то это и будет производной функции в данной точке.
Например : у = 2х. Предел ( 2х1 — 2х0 )/ (х1 — х0 ) = пределу 2* ( х1 — х0 )/ ( х1 — х0) при х1 стремящемуся к х0 и равен 2.
Или : у = х*х Предел ( х1*х1 — х0*х0 )/ ( х1 — х0 ) = пределу (х1 — х0 )*( х1 +х0)/ (х1 — х0) — числитель мы разложили как разность квадратов, затем сокращаем общие множители в числителе и знаменателе — и получаем что первый предел равен пределу х1+х0, при х1 стремящемуся к х0. Но чем ближе х1 к х0, тем меньше х1 отличается от х0, значит, в пределе будет просто 2х0 ( только что мы доказали, что производная от х в квадрате равна 2х ).
Ну и самое главное : если рядом с графиком функции нарисовать прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза,
точнее, вершины её, принадлежали графику, при этом один из катетов — приращение функции ( высота треугольника ), а второй катет — приращение аргумента ( основание треугольника ), а затем посмотреть, что же происходит при уменьшении размеров треугольника ( при уменьшении разности х ), то становится понятно, что чем меньше треугольник, тем ближе гипотенуза к касательной к этой функции, а вот тангенс угла наклона касательной
как раз и будет значением производной функции в точке — и это очень удобно : тангенс положительный — касательная идёт «вверх» при увеличении х, функция в этой точке возрастает, тангенс отрицательный — функция идёт вниз при увеличении х, то есть убывает этой точке, тангенс равен 0 — касательная к графику горизонтальна ( и сразу возникает подозрение, а не вершина ли это какого-то холмика, или же не дно это оврага — то есть, не принимает ли функция в этой точке максимальное или минимальное значение ).
Пожалуй, всё.
Удачи !

Производная, это скорость изменения функции. Вы едете на машите с неизменной скоростью, производная скорости равна 0, как только скорость стала меняться появилось ускорение это производная от скорости вы это почувствуете на себе.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *