Какой буквой обозначается площадь
Перейти к содержимому

Какой буквой обозначается площадь

  • автор:

Какой буквой обозначается площадь?

Площадь обозначается заглавной буквой «S». Единицами измерения площади могут быть: миллиметры, сантиметры, метры, дециметры и километры, но обязательно квадратные. Еще площадь, например, поля можно измерить гектарами и арами.

Для каждой фигуры существует своя формула расчета площади. Вот основные из них:

текст при наведении

модератор выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Балу1­ 3 [117K]
10 лет назад

Во всех точных науках площадь обозначается английской буквой «S».

Измеряться она может в очень многих единицах измерения длины (километры, метры, сантиметры, миллиметры и так далее), но они должны быть обязательно квадратными.

Чтобы определять площадь как простых фигур (квадрат, прямоугольник. ), так и сложных в математике и физике существует очень много разных формул. Подробнее о них можно узнать, например, на сайте «Math-prosto.ru».

Площади плоских фигур

В начальной геометрии рассматривают площади плоских фигур, ограниченных прямыми линиями или дугами круга.

Совокупность отрезков, ограничивающих площадь, называют ее периметром или обводом. Площади обозначают, называя отрезки ее периметра.

Так площадь на чертеже 205 выговаривают словесно: площадь ABC.

Обозначение и площадь фигуры

Иногда площадь обозначают одной буквой, которую помещают внутри площади. Так, площадь ABC выговаривают также словесно: площадь D.

Измерить площадь значит найти вывод, получаемый из сравнения ее с другой площадью, принимаемой за единицу площадей.

Единица площадей. За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице. Эта площадь называется квадратной единицей.

Площадь квадрата, у которого одна сторона равна аршину, вершку, метру называют квадратным аршином, квадратным вершком, квадратным метром.

Измерить площадь значит найти ее отношение к квадратной единице.

Две плоские фигуры, совпадающие при наложении во всех своих точках, называются равными. Две фигуры, имеющие в своих площадях одинаковое число квадратных единиц, называются равновеликими.

В прямоугольнике одну сторону называют основанием, а другую перпендикулярную к ней высотой.

Так, в прямоугольнике ABCD (черт. 206) сторону AB можно принять за основание, тогда сторона AD будет высотой.

Если за основание примем сторону AD, то сторона AB будет высотой.

Сравнение площадей прямоугольников

Теорема 136. Два прямоугольника, имеющие одинаковые основания и высоты, равны.

Справедливость этой теоремы доказывается простым наложением.

В основе теории площадей плоских прямолинейных фигур лежит следующая теорема.

Теорема 137. Площади прямоугольников, имеющих одинаковые основания, относятся как высоты.

Даны два прямоугольника ABCD и ABFE с одинаковыми основаниями (черт. 206) и разными высотами AD и AE.

Требуется доказать, что ABCD/ABFE = AD/AE.

Доказательство. Здесь могут встретиться два случая: 1) когда высоты соизмеримы и 2) когда они несоизмеримы.

Первый случай. Высоты прямоугольников соизмеримы.

В этом случае они имеют общую меру. Предположим, что их общая мера AG укладывается m раз в большей и n раз в меньшей высоте AE, так что

Здесь m и n целые числа.

Проведя через точки деления отрезки, параллельные основанию, мы разделим прямоугольник ABCD на m, а прямоугольник ABFE на n равных прямоугольников, так что

Отношение площадей и высот прямоугольников

Второй случай. Высоты прямоугольников несоизмеримы.

В этом случае могут существовать следующие три предположения (черт. 207).

Докажем, что первые два предположения не имеют места.

то вторая дробь меньше первой, и следовательно знаменатель второй дроби надо уменьшить для того, чтобы она сравнялась с первой.

Выберем точку α такую, чтобы имело место равенство:

ABCD/ABFE = AD/Aα (a)

Разделим отрезок AD на столько равных частей, чтобы каждая часть была меньше αE, тогда одна из точек деления упадет в точку β, находящуюся между α и E.

Проведя отрезок βγ параллельно основанию, мы будем иметь прямоугольник AβγB, высота которого Aβ соизмерима с высотой AD, следовательно,

ABCD/Abγβ = AD/Aβ (b)

Разделив равенства (a) и (b), имеем равенство:

первая часть которого меньше 1, а вторая больше 1.

Такое равенство несообразно, следовательно, предположение, что ABCD/ABFE > AD/AE ведет к нелепости и не может быть допущено.

Точно также легко доказать, что неравенство

приводит к нелепости, следовательно, имеет место равенство:

Так как за основание можно принять любую сторону прямоугольника, то отсюда вытекает как простое следствие следующая теорема.

Теорема 138. Площади прямоугольников, имеющие одинаковые высоты, относятся как основания.

Теорема 139. Площади прямоугольников, имеющих разные основания и высоты, относятся как соответствующие произведения их оснований на высоты.

Дано. Два прямоугольника ABCD и abcd (черт. 208) имеют разные основания и высоты.

Требуется доказать, что

ABCD/abcd = (AD · AB) / (ad · ab).

Отношение площадей прямоугольников

Доказательство. Начертим такой прямоугольник αβγδ, который имел бы основание одинаковое с первым и высоту одинаковую со вторым прямоугольником, т. е.

αδ = AD и αβ = ab.

На основании теорем 137 и 138 имеют место два равенства:

ABCD/ αβγδ = AB/αβ и αβγδ/abcd = αδ/ad.

Перемножив эти две пропорции, получим:

(ABCD · αβγδ) / (αβγδ · abcd) = (AB · αδ) / (αβ · ad)

Заменив αδ и αβ равными им величинами AD и ab, получим:

ABCD/abcd = (AD · AB) / (ad · ab).

Теорема 140. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

Дано. Полагая, что за единицу площадей выбрана площадь квадрата, у которого сторона равна единице, мы в равенстве

ABCD/abcd = (AD · AB) / (ad · ab)

должны принять ab = ad = 1, abcd = 1, следовательно,

В этом случае величины AB и AD выражают число линейных единиц, а само произведение AB · AD выражает число квадратных единиц, т. е. число квадратов, сторона которых равна единице.

Если одна сторона прямоугольника равна 5 аршинам, а другая 3 арш., то его площадь равна 3 · 5 или 15 квадратным аршинам = 15 кв. арш.

Если основание и высота прямоугольника выражены в различных линейных единицах, нужно их привести к одному наименованию, а потом для вычисления площади перемножить полученные числа, тогда площадь прямоугольника, выразится в квадратных единицах того же наименования. Так, площадь прямоугольника, имеющего своим основанием 2 сажени и выстой 3 ф. вычисляется следующим образом:

основание = 14 фут.
высота = 3 фут.
площадь = 14 · 3 кв. ф. = 42 кв. фут.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Обозначив длину стороны квадрата через a и заметив, что его высота равна тоже a, мы имеем, что площадь квадрата равна a 2 .

В параллелограмме ABCD принимают за основание одну из сторон AD, тогда высота есть расстояние основания от другой ему параллельной стороны, считаемое по перпендикуляру к основанию. В параллелограмме ABCD основанием будет сторона AD (черт. 209), а высотой длина перпендикуляра BE.

Основание и высота параллелограмма

Теорема 141. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника того же основания и той же высоты.

Доказательство. Опустив из точек A и D (черт. 210) перпендикуляры Aa и Db, мы видим, что ΔAaB = ΔDbC, ибо треугольники прямоугольные и AB = CD как стороны параллелограмма. Aa = Db как расстояния сторон параллелограмма.

Площадь параллелограмма

Приложив к равенству

площадь фигуры ABbD, имеем:

AaB + ABbD = bCD + ABbD или

площадь прямоугольника AabD равна площади параллелограмма ABCD.

Отсюда вытекает заключение: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, или

Теорема 142. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Площадь треугольника

Доказательство. Всякий треугольник равен половине параллелограмма того же основания и той же высоты. Действительно, проведя через точку B треугольника ABC (черт. 211) прямую параллельную AC и через точку C прямую параллельную AB и продолжив их до взаимного пересечения в точке D, получим параллелограмм ABCD, у которого основание AC и высота BG одинаковы с основанием и высотой треугольника ABC. В этом параллелограмме ΔABC = ΔBDC, ибо BC сторона общая, AB = CD, AC = BD как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,

ABDC = ABC + BDC = 2ABC

Обозначив основание треугольника AC через b, а высоту BG через h, имеем:

Отношение площадей треугольников. 1. Треугольники, имеющие одинаковые основания, относятся как высоты.

Пусть b и h означают основание и высоту треугольника T, а b и h’ основание и высоту треугольника T’.

Площадь первого треугольника T = ½ bh

Площадь второго T’ = ½ bh’

T/T’ = (½ bh) / (½ bh’) = h/h’

2. Площади треугольников, имеющих одинаковые высоты, относятся как основания.

Пусть b и h основание и высота треугольника T, b’ и h основание и высота треугольника T’, откуда

T/T’ = (½ bh) / (½ b’h) = b/b’

Теорема 143. Площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных сторон на высоту.

Дана трапеция ABCD (черт. 212).

Требуется доказать, что ABCD = ½ (BC + AD) · BE.

Площадь трапеции

Доказательство. В данной трапеции ABCD соединим точки B и D.

Трапеция разобьется на два треугольника ABD и BCD.

Мы будем вообще площадь ABD просто называть ABD. Из чертежа видно, что

Площади треугольников ABD и BCD равны половине произведения основания на высоту, следовательно,

ABD = ½ AD · BE
BCD = ½ BC · DG

Так как BE = DG, то, сложив эти равенства, имеем:

ABCD = ½ AD · BE + ½ BC · BE = ½ BE (AD + BC) = BE · ((AD + BC)/2)

Если через точку F середину стороны AB проведем прямую, параллельную AD, то найдем, что

FK = FL + LK, где
FL = ½ AD
LK = ½ BC

½ (AD + BC) = FL + LK = FK

Площадь трапеции равна высоте, умноженной на отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон.

Теорема 144. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на апофему.

Дан правильный многоугольник ABCDEF, O его центр (черт. 213), OG его апофема, p его периметр.

Требуется доказать, что ABCDEF = ½ p · OG.

Площадь правильного многоугольника

Доказательство. Если соединим центр O с вершинами многоугольника, то он разобьется на равные треугольники AOB, BOC, COD и т. д.

Площадь ABCDEF = n · BOC

BOC = ½ BC · OG, следовательно, ABCDEF = ½ n · BC · OG

Так как p = nBC, то

ABCDEF = ½ p · OG (ЧТД).

Теорема 145. Площадь треугольника выражается по трем его сторонам. Она равна корню квадратному из произведения полупериметра на полупериметр без первой, на полупериметр без второй, на полупериметр без третьей стороны.

Дано. В треугольнике ABC даны три стороны (черт 214)

BC = a, AC = b, AB = c

Обозначим периметр его через 2p, т. е. 2p = a + b + c.

Формула площади треугольника

Требуется доказать, что площадь ABC =

Замечание. Обычно в треугольнике длину сторон обозначают малыми буквами тех углов, против которых лежат данные стороны.

Площадь треугольника по его периметру

Доказательство. Опустив перпендикуляр BD, получим:

ABC = ½ AC · BD = ½ b · BD

Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

BD 2 = AB 2 — AD 2 = c 2 — AD 2

Сторона BC как сторона, лежащая против острого угла, выражается равенством:

BC 2 = AB 2 + AC 2 — 2AC · AD

a 2 = c 2 + b 2 — 2b · AD

Вывод формулы площади треугольника

Теорема 146. Всякий многоугольник можно превратить в равновеликий треугольник.

Чтобы превратить пятиугольник ABCDE (черт. 215) в равновеликий треугольник, мы превратим его сначала в равновеликий четырехугольник. Для этого проведем диагональ CE и продолжим сторону AE.

Превращение многоугольника в равновеликий треугольник

Через точку D проведем прямую DF параллельную CE до пересечения ее в точке F с прямой CE и соединим C с F.

Два треугольника CDE и CFE равновелики, ибо они имеют общее основание CE и равные высоты, так как вершины их D и F лежат на одной и той же прямой DF параллельной основанию CE, следовательно, площадь CDE равна площади CEF.

Добавив к этому равенству по равной площади BCEF, получим, что площадь пятиугольника ABCDE равна площади четырехугольника ABCF.

Подобным построением каждый многоугольник превращается в многоугольник, имеющий число сторон на единицу меньше.

Превратим теперь четырехугольник ABCF в равновеликий треугольник. Для этого проведем диагональ AC, из точки B прямую BG параллельную AC до пересечения ее с прямой AF в точке G и соединим G с C. Два треугольника ABC и AGC равновелики: площадь ABC равна площади AGC.

Прибавив по ACF, получим: площадь четырехугольника ABCF равна площади треугольника GCF.

Подобным построением каждый многоугольник превращается в равновеликий с ним треугольник.

Площадь неправильного многоугольника. Чтобы определить площадь неправильного многоугольника, нужно или разбить его на треугольники или превратить в равновеликий треугольник, а затем определить площадь этого треугольника.

Теорема 147. Квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Дан прямоугольный треугольник ABC (черт. 216) и три квадрата, построенные на его сторонах: квадрат ACDE, построенный на гипотенузе AC и квадраты BCLK, ABGF, построенные на катетах BC и AB.

Требуется доказать, что

ACDE = BCLK + ABGF

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Доказательство. Из вершины B прямого угла опустим перпендикуляр BM на гипотенузу AC и продолжим его до пересечения со стороной ED в точке N.

Проведем прямые FC и BE.

Треугольник AFC имеет одинаковые основание и высоту с квадратом ABGF, следовательно,

Треугольник ABE имеем одинаковые основание AE и высоту с прямоугольником AMNE, следовательно,

У двух треугольников AFC и ABE
AB = AF как стороны квадрата AG
AE = AC как стороны квадрата AD
∠FAC = ∠BAE, ибо каждый угол состоит из прямых углов FAB и CAE, к которым приложен угол BAC, составляющий их общую часть. Следовательно, ΔAFC = ΔABE и откуда ½ ABGF = ½ AMNE и

Точно также легко доказать, что

Проведя прямые AL и BD, получим два треугольника ALC и BCD.

Треугольник ALC имеет основание и высоту одинаковые с квадратом BCLK, следовательно,

Треугольник BCD имеет основание CD и высоту одинаковые с прямоугольником CDMN, следовательно,

У двух треугольников ALC и BCD
CL = BC как стороны квадрата CK
AC = CD как стороны квадрата AD
∠ACL = ∠BCD

Следовательно, ΔALC = ΔBCD. Откуда ½ BCLK = ½ CDNM и

Сложив равенства (a) и (b), имеем:

ABGF + BCLK = AMNE + CDNM = ACDE, т. е.
ACDE = ABGF + BCLK (ЧТД).

Это предположение называется Пифагоровой теоремой.

Теорема 148. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Даны два треугольника ABC и abc (черт. 217), у которых ∠A = ∠a.

Требуется доказать, что

ABC/abc = (AB · AC) / (ab · ac).

Площади треугольников с равными углами

Доказательство. Принимая AC и ac за основания двух треугольников, проведем высоты BH и bh. Площади треугольников относятся как соответствующие произведения их оснований на высоты:

ABC/abc = (AC · BH) / (ac · bh) (a)

Два треугольника ABH и abh подобны, ибо они прямоугольны и ∠A = ∠a по условию, следовательно,

Заменяя в равенстве (a) отношение BH/bh отношением AB/ab, получим равенство:

ABC/abc = (AC · AB) / (ac · ab) (ЧТД).

Теорема 149. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон.

Даны два подобных треугольника ABC и abc (черт. 218), следовательно,

∠A = ∠a, ∠B = ∠b, ∠C = ∠c и
AB/ab = AC/ac = BC/bc (a)

Требуется доказать, что ABC/abc = AB 2 /ab 2 = BC 2 /bc 2 = AC 2 /ac 2 .

Отношение площадей подобных треугольников

Доказательство. Так как ∠A = ∠a, то на основании предыдущей теоремы

ABC/abc = (AC · AB) / (ac · ab) (b)

Заменяя в равенстве (b) отношение AC/ac отношением AB/ab, по условию (a) получаем:

ABC/abc = AB 2 /ab 2

На основании равенства (a), имеем:

ABC/abc = AB 2 /ab 2 = AC 2 /ac 2 = BC 2 /bc 2 (ЧТД).

Теорема 150. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты соответственных сторон.

Даны два подобных многоугольника ABCDE и abcde (черт. 219).

Требуется доказать, что

ABCDE/abcde = AB 2 /ab 2 = BC 2 /bc 2 = и т. д.

Отношение площадей подобных многоугольников

Доказательство. Из того, что многоугольники ABCDE и abcde подобны, следуют отношения:

AB/ab = BC/bc = CD/cd = DE/de = AE/ae (1)

Многоугольники разбиваются диагоналями на треугольники подобные, следовательно, на основании теоремы 149, имеем пропорции:

ABC/abc = AB 2 /ab 2
ACD/acd = CD 2 /cd 2
ADE/ade = DE 2 /de 2

На основании соотношений (1) имеем равные отношения:

AB 2 /ab 2 = BC 2 /bc 2 = CD 2 /cd 2 = DE 2 /de 2 = AE 2 /ae 2

ABC/abc = ACD/acd = ADE/ade = AB 2 /ab 2

откуда по свойству пропорций имеем:

(ABC + ACD + ADE) / (abc + acd + ade) = ABCDE / abcde = AB 2 /ab 2 (ЧТД).

Так как одноименные правильные многоугольники подобны, то площади одноименных правильных многоугольников относятся как квадраты их сторон.

Теорема 151. Многоугольник, построенный на гипотенузе, равен сумме подобных многоугольников, построенных на катетах.

Дано. На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены подобные многоугольники M, N, P (черт. 220).

Требуется доказать, что P = M + N.

Доказательство. На основании теоремы 150 имеем отношения:

M/P = BC 2 /AC 2
N/P = AB 2 /AC 2

откуда, сложив эти равенства, имеем:

(M + N)/P = (BC 2 + AB 2 )/AC 2

По свойству прямоугольных треугольников имеем:

AC 2 = BC 2 + AB 2

(M + N)/P = 1, откуда M + N = P (ЧТД).

Подобные многоугольники, построенные на сторонах прямоугольного треугольника

Теорема 152. С увеличением числа сторон площади правильных вписанных и описанных многоугольников приближаются к одному и тому же пределу.

Даны ab и AB (черт. 221) стороны одноименных правильных многоугольников вписанного и описанного.

Требуется доказать, что разность между их площадями может быть сделана меньше всякой данной величины.

Доказательство. Обозначив через Sn и sn площади, Pn и pn периметры, An и an стороны правильных одноименных многоугольников описанного и вписанного и через r радиус круга, мы по теореме 144 имеем:

В этом равенстве

r 2 — Oc 2 = aO 2 — Oc 2 = ac 2

Периметр правильного вписанного многоугольника меньше окружности pn < 2πr.

Отношение ac/Oc с увеличением числа сторон правильного вписанного многоугольника уменьшается. Для вписанного квадрата ac/Oc = 1. Если правильный многоугольник имеет больше 4-х сторон, то

Следовательно, для n > 4

Заменив в равенстве (1) pn (ac/Oc) через 2πr, получим неравенство:

Так как ac = ½ an, то

В этом неравенстве величины π и r постоянные, а сторона правильного вписанного многоугольника может быть сделана меньше всякой данной величины, следовательно, разность Sn — sn может быть сделана меньше всякой данной величины. Откуда

Теорема 153. Круг есть предел площадей правильного вписанного и описанных многоугольников.

Доказательство. Обозначив площадь круга через C, через Sn и sn площади, An и an стороны правильных многоугольников описанного и вписанного, имеющего больше четырех сторон, мы по предыдущему имеем:

следовательно, разность между площадью круга и площадью правильного вписанного многоугольника может быть с увеличением числа сторон сделана меньше всякой данной величины, поэтому

а так как lim Sn = lim sn, то и lim Sn = C.

Теорема 154. Площадь круга равна длине окружности, умноженной на половину радиуса.

Доказательство. Обозначим через Pn и Sn периметр и площадь правильного описанного многоугольника, имеющего n сторон, через O длину окружности, C площадь и r радиус круга.

Так как круг есть предел площадей описанных и вписанных правильных многоугольников, то

где с увеличением n числа сторон правильного описанного многоугольника величины α и β могут быть сделаны меньше всякой данной величины.

Вставляя вместо Sn и Pn их величины, находим:

Откуда на основании теоремы 129 находим выражение площади

Так как O = 2πr, то

C = 2πr · ½ r = πr 2

Площадь круга равна отношению окружности к диаметру, умноженному на квадрат радиуса.

Теорема 155. Площадь сектора равна дуге, умноженной на половину радиуса.

Доказательство. Обозначим длину дуги сектора через s и его площадь через c. Площадь круга относится к площади сектора как окружность к дуге сектора

C = πr 2 , O = 2πr, то
C/O = r/2, следовательно,
c = s · (r/2)

Для дуги, имеющей n градусов, имеем:

s = (2πr · n)/360, c = (πr 2 · n)/360

Теорема 156. Площади секторов двух кругов с одинаковым числом градусов относятся как квадраты радиусов.

Доказательство. Для двух кругов с радиусами r и r’ площади секторов c и c’, имеющих n градусов, выражаются формулами:

c = (πr 2 · n)/360, c’ = (πr’ 2 · n)/360

Теорема 157. Круг, построенный на гипотенузе, как на диаметре, равен сумме кругов, построенных на катетах.

Доказательство. Обозначив через a, b длину катетов и через c длину гипотенузы, через A, B, C площади кругов, построенных на них, мы имеем:

A = π(a 2 /4), B = π(b 2 /4), C = π(c 2 /4) (1)

Умножив это равенство на π/4, имеем:

(πc 2 )/4 = (πa 2 )/4 + (πb 2 )/4

На основании равенства (1) получаем:

Тоже заключение имеет место и для полукруга. На этом свойстве основана квадратура суммы двух криволинейных фигур, называемых Гиппократовыми луночками.

Гиппократова луночка есть фигура, ограниченная двумя дугами кругов, обращенными в одну сторону.

Взяв прямоугольный треугольник ABC (черт. 222) и построив полукруги на сторонах AC, AB и BC как на диаметрах, мы имеем равенство, обозначающее, что полукруг, построенный на диаметре AC, равен сумме полукругов, построенных на катетах AB и BC.

AFBGCA = ADBA + BECB

Сумма полукругов построенных на катетах равна полукругу гипотенузы

Вычитая из обеих частей сумму сегментов AFBA + BGCB, имеем:

ΔABC = ADBFA + BECGB

т. е. луночка ADBFA + луночка BECGB = ΔABC.

Это есть один из замечательных случаев квадратуры криволинейных фигур.

Задача. Разделить треугольник на три равные части из точки, находящейся на одной из его сторон.

Дана точка D на стороне AC треугольника ABC (черт. 223).

Требуется разделить площадь треугольника ABC прямыми, выходящими из точки B.

Разделение треугольника на три равные части

Решение. Положим, что прямые DH и DG действительно делят треугольник на три равные части. Разделим основание AC на три части и точки деления E и F соединим с точкой B. Отрезки BE и BF тоже делят треугольник на три равные части.

Соединим точки H и G с точками E и F.

Так как треугольники BCF и DHG имеют общий угол C, то по теореме 148

BCF/DHC = (BC · CF) / (HC · CD)

Площади BCF и DHC равны, ибо они составляют третью часть площади треугольника ABC, следовательно,

(BC · CF) / (HC · CD) = 1

Из этой пропорции видно, что сторона HF делит стороны треугольника BCD на части пропорциональные, следовательно, отрезок HF параллелен BD.

Точно также нетрудно доказать, что отрезок GE параллелен отрезку BD. Отсюда вытекает следующее построение. Чтобы разделить треугольник на три равные части из точки, находящейся на одной из его сторон, делим эту сторону на три равные части, соединяем данную точку с вершиной и из точек деления проводим прямые ей параллельные. Точки пересечения этих параллельных со сторонами треугольника соединяем с данной точкой. Эти отрезки и будут рассекать треугольник на три равные части.

Как пишут площадь в математике

Узнайте, как правильно записывать площадь фигуры в математике. Разберитесь с формулами и единицами измерения площади. Получите полную информацию от профессионалов в области математики. Математика — это наука, которая используется во многих областях нашей жизни. Она помогает нам решать различные проблемы, а также описывать и анализировать мир вокруг нас. Одним из основных понятий математики является площадь. Первоначально площадь была определена как количество квадратных единиц, необходимых для закрытия данного пространства. С течением времени математики начали разрабатывать более точные методы измерения площади. Одним из важнейших методов является интегрирование. Можно сказать, что интегрирование — это способ определения площади любой криволинейной фигуры. Этот метод широко используется в математическом анализе и физике. Но как пишут площадь в математике? Площадь как правило обозначается буквой S и измеряется в квадратных единицах. Например, прямоугольник со сторонами а и b имеет площадь S = a x b, а круг радиуса r имеет площадь S = πr^2.

Что такое площадь

  • Для прямоугольника величина площади вычисляется как произведение длины на ширину.
  • Для круга площадь вычисляется как произведение квадратного значения радиуса на число π (pi).
  • Для треугольника площадь вычисляется как половина произведения основания и высоты.

Точное вычисление площади может быть важно для таких областей, как архитектура, строительство, проектирование и дизайн.

Видео по теме:

Читать далее«Арбуз кримсон руби F1: отзывы, сроки и правила посадки».

Как пишется площадь в математических формулах

В математике площадь обозначается различными символами в зависимости от вида фигуры, для которой она вычисляется. Например, для прямоугольника площадь обозначается символом S:

S = a * b, где a и b — длины сторон прямоугольника. Эту формулу можно использовать для вычисления площади не только прямоугольника, но и квадрата, так как он является частным случаем прямоугольника.

Для круга площадь обозначается символом πr², где r — радиус круга, а π (пи) — математическая константа, равная приблизительно 3.14.

Для треугольника площадь можно вычислить по формуле S = 0.5 * b * h, где b — основание треугольника, h — высота, опущенная на это основание.

В некоторых случаях, особенно при работе с несколькими фигурами, используют символы с индексами. Например, для площади прямоугольника АBСD можно записать:

SABCD = AB * BC

Также, иногда используются буквы на латинице для обозначения площади, например, в физике:

Читать далее«Где и как делают ключи: название специализированного места».

A = F * d, где A — работа, F — сила, d — перемещение тела под действием силы.

Как правильно обозначать площадь на чертежах

При создании чертежа, обозначение площади является одним из главных элементов. Важно, чтобы оно было понятным и легко читаемым. Для этого можно использовать специальные обозначения и символы.

Одним из наиболее распространенных способов обозначения площади является прямоугольник со стрелкой внутри. Стрелка указывает на то, что данная фигура является двумерной и имеет площадь. Внутри прямоугольника можно написать значение площади в соответствующих единицах измерения.

Еще один способ обозначения площади — это сокращенное написание слова «площадь» и соответствующий символ. Например, S или S2. Также можно использовать римские цифры для обозначения различных площадей на чертеже.

Важно учитывать, что при обозначении площади необходимо указывать единицы измерения. Например, м2 для квадратных метров или см2 для квадратных сантиметров. Это помогает избежать недоразумений при интерпретации чертежа.

Наконец, для удобства чтения чертежа можно использовать таблицу площадей, в которой будут указаны значения площадей различных фигур в разных единицах измерения. Это позволит избежать необходимости повторного обозначения площади на чертеже и упростит его чтение и интерпретацию.

Вопрос-ответ:

Что такое площадь?

Площадь — это количество плоскости, занимаемое фигурой.

Как обозначается площадь?

Площадь обычно обозначается буквой S.

Как вычислить площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = a * b, где a и b — длины сторон прямоугольника.

Как найти площадь треугольника?

Площадь треугольника вычисляется по формуле S = (a * h) / 2, где a — длина основания треугольника, а h — высота, опущенная на основание.

Как вычислить площадь круга?

Площадь круга вычисляется по формуле S = π * r^2, где π — значение числа «Пи», а r — радиус круга.

Какая разница между площадью и периметром?

Площадь — это количество плоскости, занимаемое фигурой, а периметр — это длина всех сторон фигуры.

Можно ли вычислить площадь неправильной фигуры?

Да, площадь неправильной фигуры также можно вычислить, разбив ее на простые геометрические фигуры и вычислив площадь каждой из них, а затем сложив полученные значения.

Различные способы измерения площади

Площадь является одним из фундаментальных понятий математики, а ее измерение — одной из основных задач геометрии. Существует несколько способов измерения площади, которые применяются в зависимости от формы фигуры.

1. Формула для прямоугольника: для измерения площади прямоугольника используется простая формула: S=a*b, где a и b — длины двух сторон прямоугольника.

2. Формула для круга: для измерения площади круга используется формула: S=π*r^2, где π — константа, равная примерно 3,14159, а r — радиус круга.

3. Метод разбиения на прямоугольники: для измерения площади произвольной фигуры, которую нельзя разбить на простые геометрические формы, используется метод разбиения на прямоугольники. Фигура разбивается на небольшие прямоугольники, для которых площадь вычисляется по формуле S=a*b, а затем все площади складываются.

4. Метод Монте-Карло: для измерения площади произвольной фигуры применяется метод Монте-Карло. Он заключается в генерации большого числа случайных точек внутри фигуры и вычислении доли точек, попавших внутрь фигуры. Затем площадь фигуры пропорциональна этой доле.

Различные способы измерения площади используются в зависимости от формы фигуры и его цели: некоторые формулы просты и доступны для вычисления вручную, а методы Монте-Карло и разбиения на прямоугольники применяются для более сложных фигур, которые нельзя измерить другими способами.

Как определить площадь фигур с помощью формул

Как определить площадь фигур с помощью формул

Площадь фигуры — это мера ее плоской поверхности. Для многих фигур существуют конкретные формулы для расчета площади.

Для круга площадь можно определить, умножив квадрат радиуса на число Пи (π), т.е. S=πr².

Для треугольника формула будет зависеть от его типа. Например, для прямоугольного треугольника площадь можно найти, умножив половину произведения катетов: S=(a⋅b)/2.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину на ширину: S=a⋅b.

Для фигур более сложной формы, например, многоугольников, площадь можно найти, разбивая их на более простые фигуры и суммируя площади каждой из них.

Помните, что формулы для подсчета площади являются основополагающими для практически любой области, где необходимо знать площадь поверхности. Убедитесь, что вам известна формула, прежде чем приступать к расчету площади фигуры.

Правила записи формул для площади геометрических фигур

Правила записи формул для площади геометрических фигур

Квадрат: площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Записывается как S = a², где a — длина стороны.

Прямоугольник: площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Записывается как S = a*b, где a и b — длины сторон.

Треугольник: площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, опущенную на это основание. Записывается как S = 1/2*b*h, где b — длина основания, а h — высота на это основание.

Круг: площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число Пи (3,14). Записывается как S = Пи*r², где r — радиус круга.

  • Правила:
    • Для записи площади фигуры используется буква S;
    • В формулу площади входят только числа, арифметические знаки и переменные (a, b, r, h);
    • Скобки используются для обозначения порядка действий;
    • Важно правильно определить переменные и формулу, иначе результат будет неверен.

    Заключение: знание правил записи формул для площади геометрических фигур позволит легко решать задачи в школе и применять их в реальной жизни.

    Сложение и вычитание площадей

    Сложение и вычитание площадей

    При решении задач по математике мы часто сталкиваемся с вычислением площади фигур различной формы. Иногда нам нужно сложить или вычесть несколько площадей, чтобы получить ответ на вопрос задачи.

    Для сложения площадей мы используем простую формулу: S = S1 + S2 + … + Sn, где S1, S2, …, Sn — это площади всех фигур, которые мы хотим сложить. Например, если нам нужно сложить площади двух прямоугольников, то мы просто складываем их площади по формуле.

    Для вычитания площадей мы также используем простую формулу: S = S1 — S2, где S1 — это площадь большей фигуры, а S2 — это площадь меньшей фигуры. Например, если нам нужно вычесть площадь квадрата из площади прямоугольника, то мы просто вычитаем площадь квадрата из площади прямоугольника по формуле.

    Знание этих простых формул поможет нам решать математические задачи, которые требуют сложения или вычитания площадей.

    Примеры решения задач на площадь

    Пример 1: Определить площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 12 см.

    Решение: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, S = 8 см x 12 см = 96 кв. см. Ответ: площадь прямоугольника равна 96 кв. см.

    Пример 2: Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 7 см.

    Решение: Площадь треугольника равна произведению его основания и высоты, деленному на 2. Таким образом, S = (10 см x 7 см) / 2 = 35 кв. см. Ответ: площадь треугольника равна 35 кв. см.

    Пример 3: Найдите площадь круга с радиусом 5 см.

    Решение: Площадь круга равна квадрату его радиуса, умноженному на число пи (π), то есть S = 5 см x 5 см x π ≈ 78,5 кв. см. Ответ: площадь круга равна примерно 78,5 кв. см.

    Пример 4: Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см.

    Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов, деленному на 2. Таким образом, S = (3 см x 4 см) / 2 = 6 кв. см. Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна 6 кв. см

    Важность правильной записи площади в математике

    Важность правильной записи площади в математике

    В математике площадь является важным понятием, которое используется для определения площади поверхности фигур. Площадь также используется для решения различных задач и проблем в геометрии, физике и даже экономике.

    Правильная запись площади в математике очень важна, чтобы избежать ошибок в расчетах и понимании результатов. Один и тот же символ может использоваться для разных видов площади, например, квадратный метр (м²) и квадратный сантиметр (см²).

    Кроме того, чтобы правильно записать площадь, необходимо знать, какие единицы измерения использовать и как преобразовывать их в другие форматы. Например, для записи площади прямоугольника можно использовать формулу: S = a*b, где а и b — это длины сторон прямоугольника, а S — это площадь прямоугольника в квадратных единицах длины.

    • При записи площади необходимо указывать единицы измерения.
    • Важно помнить различные формулы для вычисления площади различных форм фигур.
    • Необходимо учитывать особенности таблицы и графика при записи площади в данных форматах.

    Правильно записывать площадь в математике не только продемонстрирует ваши знания в данной области, но также поможет избежать неправильных результатов и ошибок при решении математических задач.

    Практическое применение знаний о площади в жизни

    Знания о площади в математике активно используются в различных сферах жизни. Одним из наиболее ярких примеров является строительство. Архитекторам, строителям и инженерам необходимо уметь точно рассчитывать площадь зданий, участков земли и других объектов, чтобы избежать непредвиденных затрат и ошибок в процессе строительства.

    Кроме того, знания о площади используются в географии. Географические карты представляют собой оцифрованные изображения местности, на которых показаны различные объекты и территории. Зная площадь территории, можно точно рассчитать количество ресурсов, необходимых для ее использования или охраны, а также заниматься прогнозированием изменений в экосистеме.

    Знания о площади также активно используются в экономике. Оценка площади имущества и земельных участков помогает рассчитать налоги, стоимость аренды и другие экономические параметры. Знание площадей различных объектов может также помочь предсказать спрос на недвижимость и рыночные цены на нее.

    В заключение, знание о площади – это не только важный элемент образования, но и незаменимый инструмент в различных сферах жизни, где необходим точный расчет площадей и объемов.

    Что такое площадь в математике и как её вычислять

    Площадь в математике – это физический параметр, который выражает измеряемую плоскую фигуру в квадратных единицах длины. Узнайте, как определяют площадь и важнейшие единицы измерения в математике. Площадь является одной из важнейших характеристик геометрических объектов и может быть определена для различных фигур: от простенького круга до сложного многогранника. В математике площадь обозначается различными способами, которые зависят от типа фигуры, для которой требуется найти эту характеристику. Знание формул для расчета площади для различных геометрических объектов очень важно для решения задач в физике, геометрии и других областях науки и инженерии. В статье представлен обзор наиболее распространенных формул для расчета площади различных фигур. Вы узнаете, как найти площадь прямоугольника, треугольника, круга, эллипса и других фигур. На примерах будет показано, как применять формулы для нахождения площади и какой метод лучше использовать в конкретной ситуации. Если вы интересуетесь математикой или профессионально занимаетесь наукой или инженерией, то данная статья поможет углубить знания в области геометрии и сделать вашу работу более эффективной.

    Определение понятия площади

    Определение понятия площади

    Площадь — это геометрическая характеристика плоской фигуры, которая показывает, сколько единичных квадратов может быть помещено внутри нее без наложения и провисания. Понятие площади используется в различных областях математики, включая геометрию, топологию, анализ и дифференциальную геометрию.

    Чтобы рассчитать площадь фигуры, нужно знать ее форму и размеры. Существуют формулы для расчета площади различных фигур, таких как прямоугольник, круг, треугольник.

    Также существуют методы численного интегрирования, позволяющие рассчитать площадь фигуры произвольной формы.

    Читать далее«Арбуз кримсон руби F1: отзывы, сроки и правила посадки».

    Понимание понятия площади помогает в решении задач, связанных с проектированием, архитектурой, геодезией, экономикой и многими другими областями науки и техники.

    Понятие размерности площади

    Площадь – это величина, которая обозначает размер поверхности. Эта величина может быть измерена в различных единицах измерения, таких как квадратные метры, квадратные сантиметры, квадратные футы и др. Размерность площади зависит от выбранной единицы измерения. Например, если мы хотим измерить площадь комнаты в квадратных метрах, то результатом будет число с размерностью «квадратные метры». Если же мы измерим ту же площадь в квадратных футах, то ответ будет в размерности «квадратные футы». В математике размерность площади обозначается через символ L^2 , где L – это размерность длины. Такое обозначение означает, что площадь получается путем умножения двух длин, то есть имеет размерность, равную квадрату размерности длины. Из этого следует, что при изменении единицы измерения площади число может измениться, но размерность останется неизменной.

    Формулировка формулы для расчета площади прямоугольника

    Формулировка формулы для расчета площади прямоугольника

    Прямоугольник — это геометрическая фигура, у которой противоположные стороны равны и все углы прямые. Для расчета площади прямоугольника необходимо умножить длину одной из его сторон на длину другой. То есть: Формула для расчета площади прямоугольника:

    Читать далее«Где и как делают ключи: название специализированного места».

    • S — площадь прямоугольника
    • a — длина одной из сторон прямоугольника
    • b — длина другой стороны прямоугольника

    Например, если длина прямоугольника равна 4 см, а ширина — 6 см, то его площадь можно рассчитать, умножив 4 на 6: 4 * 6 = 24 см².

    Таким образом, для расчета площади прямоугольника достаточно знать длину его двух сторон и применить формулу:

    Длина стороны aДлина стороны bПлощадь прямоугольника

    4 см 6 см 24 см²
    8 м 5 м 40 м²

    Примеры расчета площади прямоугольника разных размеров

    Примеры расчета площади прямоугольника разных размеров

    Площадь прямоугольника может быть рассчитана по формуле: S = a x b, где a и b — длины двух смежных сторон прямоугольника. Рассмотрим несколько примеров расчетов.

      • Пример 1: Длина сторон прямоугольника равна 5 метров и 10 метров соответственно. Рассчитаем площадь прямоугольника:

      S = 5 м x 10 м = 50 м²

        • Пример 2: Длина сторон прямоугольника равна 6 см и 8 см соответственно. Рассчитаем площадь прямоугольника:

        S = 6 см x 8 см = 48 см²

          • Пример 3: Длина сторон прямоугольника равна 12 метров и 3 метра соответственно. Рассчитаем площадь прямоугольника:

          S = 12 м x 3 м = 36 м²

          Как видно из примеров, чем больше длины двух смежных сторон прямоугольника, тем больше его площадь.

          Длина стороны aДлина стороны bПлощадь прямоугольника S

          5 метров 10 метров 50 м²
          6 см 8 см 48 см²
          12 метров 3 метра 36 м²

          Таблица подтверждает результаты расчетов из предыдущего примера.

          Формулировка формулы для расчета площади круга

          Формулировка формулы для расчета площади круга

          Площадь круга можно рассчитать через радиус по формуле:

          S = πr2

          1. S — площадь круга
          2. π — математическая постоянная (пи), ее значение можно принять за 3,14
          3. r — радиус круга

          Данная формула является одной из основных в геометрии и широко используется в математике, физике, технике и других науках. Для расчета площади круга необходимо знать лишь его радиус, что делает эту формулу очень простой и удобной в использовании.

          Примеры расчета площади круга разных радиусов

          Площадь круга можно вычислить по формуле: S=πr², где π (пи) – постоянная величина, равная примерно 3,14, r – радиус круга. Ниже приведены примеры расчета площади круга разных радиусов.

          • Если радиус круга равен 5 см, то площадь круга равна:

          S = π × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 см²

          • Если радиус круга равен 10 см, то площадь круга равна:

          S = π × 10² = 3,14 × 100 = 314 см²

          • Если радиус круга равен 2 м, то площадь круга равна:

          S = π × 2² = 3,14 × 4 = 12,56 м²

          • Если радиус круга равен 7 м, то площадь круга равна:

          S = π × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 м²

          Из этих примеров видно, что при увеличении радиуса круга площадь увеличивается не просто в два, а в квадрате. Поэтому часто для удобства используют также формулу S=2πr

          Практическое применение формулы площади в повседневной жизни

          Практическое применение формулы площади в повседневной жизни

          1. Расчет количества краски для покраски стен.

          Чтобы вычислить, сколько краски потребуется, необходимо знать площадь поверхности стен. Для этого нужно измерить длину и высоту каждой стены и умножить их между собой. Затем суммировать площади всех стен. Полученную сумму можно умножить на коэффициент, который зависит от типа поверхности и используемой краски. Таким образом, можно рассчитать точное количество краски.

          2. Планирование зон отдыха в саду.

          Расчет площади поможет определить, какое количество земли понадобится для создания зоны отдыха в саду. Например, если площадь участка 100 квадратных метров, и вы хотите выделить треть участка под зону отдыха, то площадь зоны должна быть примерно 33 квадратных метра.

          3. Покупка ковра.

          Если вы планируете купить ковер для комнаты, то необходимо знать ее точные размеры. Площадь комнаты поможет определить размер ковра, который понадобится. Кроме того, зная стоимость ковра за квадратный метр, можно рассчитать его стоимость.

          В повседневной жизни часто приходится используют формулу площади. Важно понимать, что ее знание позволяет решать множество задач и проводить точные расчеты. Это очень удобно и экономит время и деньги.

          Расчет площади неправильной фигуры

          Неправильной фигурой называются геометрические фигуры, которые не являются прямоугольниками, квадратами или треугольниками. Расчет площади таких фигур может быть более сложным, поскольку для этого необходимо разбить фигуру на более простые фигуры.

          Один из способов расчета площади неправильной фигуры — это разбить ее на простые фигуры, для которых уже известна формула расчета площади. Например, можно разбить фигуру на прямоугольники или треугольники, а затем сложить их площади. Другим способом может быть использование формулы Герона для расчета площади треугольника и последующее сложение площадей всех треугольников, составляющих неправильную фигуру.

          Для наглядности можно использовать таблицу, в которую занести значения сторон и углов неправильной фигуры, расчётные формулы и значения, а также привести примеры вычислений и решений.

          Сторона/уголЗначениеРасчётная формулаЗначение площади

          AB 5 23.5
          BC 8
          CD 6
          ∠A 90 град. 9.5
          ∠ACD 130 град. 10.5
          ∠BCD 110 град. 3.5

          В данном примере неправильная фигура была разбита на треугольники ACB, BCD и CAD, для которых была использована формула Герона для расчета площади треугольника. Полученные значения были сложены, что дало общую площадь неправильной фигуры – 23.5 квадратных единиц.

          Таким образом, расчет площади неправильной фигуры может быть достаточно сложным и требовать разбиения фигуры на более простые фигуры с использованием соответствующих формул.

          Как рассчитать площадь треугольника

          Для расчета площади треугольника необходимо умножить длину его основания на высоту, опущенную на эту основание, и разделить результат на два.

          Формула для вычисления площади S треугольника со сторонами a, b, c:

          Если стороны треугольника не известны, то их можно вычислить по формуле Пифагора:

          Для расчета площади треугольника по формуле S = 1/2 * a * h нужно знать длину основания a и высоту h, которая опущена на это основание.

          Также можно использовать таблицу соответствия между типом треугольника и формулой для вычисления его площади.

          Таблица соответствия типов треугольниковТип треугольникаФормула расчета площади

          Равносторонний S = (a^2 * √3)/4
          Прямоугольный S = (a * b)/2
          Общего вида S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p=(a+b+c)/2

          Вопрос-ответ:

          Какие формулы используются для расчета площади

          Формулы для расчета площади могут быть разными в зависимости от фигуры. Например, для квадрата площадь вычисляется как S=a^2, где a-длина стороны, для прямоугольника — S=a*b, для треугольника — S=1/2*a*h. Существует много других формул для других фигур — круга, трапеции, эллипса и т.д.

          Что такое геометрическая площадь?

          Геометрическая площадь — это часть плоскости, заключенная внутри данной кривой. Расчет геометрической площади позволяет определить, сколько места будет занимать фигура на плоскости.

          Как площадь помогает в решении задач?

          Площадь — это один из основных параметров геометрических фигур. Расчет площади позволяет решать множество задач — для определения площади огорода, необходимой для выращивания растений, расчета площади стен для покраски и многих других.

          Как определить площадь нерегулярной фигуры?

          Определение площади нерегулярной фигуры может быть достаточно сложным, но возможным. Для этого необходимо разбить фигуру на более простые части, для которых можно определить формулу расчета площади. Затем необходимо прибавить значения площадей всех частей.

          Как считается площадь круга и какие формулы используются?

          Формула для расчета площади круга — S = π * r^2, где r — радиус круга, π — число пи (3,14). Для расчета площади круга необходимо возвести радиус в квадрат и умножить на число пи.

          Как определить площадь квадрата, если известна его диагональ?

          Для определения площади квадрата, если известно значение диагонали, необходимо воспользоваться формулой S=d^2/2, где d — диагональ квадрата. Надо длину диагонали возвести в квадрат и разделить на два, получив таким образом значение площади.

          Какая формула позволяет определить площадь трапеции?

          Формула для расчета площади трапеции — S = (a+b)/2 * h, где a и b — длины оснований трапеции, а h — высота трапеции. Необходимо сложить длины оснований, разделить на 2, а затем умножить на высоту.

          Существуют ли другие способы расчета площади кроме формул?

          Существуют ли другие способы расчета площади кроме формул?

          Конечно, существуют! В некоторых случаях вычисление площади может быть связано с подсчетом количества единиц площади на поверхности. Так, например, для вычисления площади поверхности земли можно разделить ее на равные части, например, квадраты в 1 километр на 1 километр, и подсчитать количество таких квадратов.

          Еще один способ — измерительные инструменты. Например, если мы хотим измерить площадь комнаты, мы можем использовать ленту измерения, измерить длину и ширину комнаты и перемножить эти значения. Также существуют различные геодезические инструменты для измерения площадей на местности.

          Наконец, можно использовать метод интегрирования. Однако это более сложный метод, который требует знаний математики и программирования. Суть его заключается в том, что мы разбиваем поверхность на бесконечно малые квадраты и складываем площади каждого квадрата, чтобы получить итоговую площадь.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *