Какое одз у корня
Перейти к содержимому

Какое одз у корня

  • автор:

Что такое область допустимых значений в алгебре

Математику считают точной наукой, что вполне аргументировано. Многие закономерности призваны не только упростить, но и улучшить качество выполняемых вычислений. При этом предлагаемые выражения для расчетов могут обладать любым уровнем сложности и относиться к тому или иному типу. В процессе решения многих математических примеров часто встречается понятие области допустимых значений. Термин сокращенно обозначают, как ОДЗ. Это полезная научная категория позволяет избежать большинства ошибок при работе над задачами.

С седьмого класса школы ученики активно изучают алгебру. Разбор темы ОДЗ является неотъемлемым этапом в образовательной программе. Особенно важно уметь определять область допустимых значений при работе с уравнениями, в состав которых включены переменные. В противном случае, если игнорировать данной условие, высока вероятность записи неверного ответа с лишними корнями, которые целесообразно исключить еще на этапе выполнения задания. Понятие ОДЗ неразрывно объединено с категориями приемлемых и недопустимых значений.

Выражение, обладающее какими-либо переменными, представляет собой запись обозначения величин, которые способны принимать разные значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Значением числового выражения называют такое число, которое получают в результате совершения всех манипуляций, предусмотренных рассматриваемым числовым выражением.

Наличие смысла характерно для соотношений, содержащих неизвестные, когда по итогам подстановки величин представляется возможным найти значение самого выражения. При прочих обстоятельствах говорят о том, что такие соотношения лишены смысла. Таким образом, становится более понятной логика классификации приемлемых и неприемлемых значений для конкретного алгебраического соотношения. Полагаясь на логические рассуждения, перечислим рассматриваемые понятия.

Допустимыми значениями для переменных являются такие значения этих переменных, при подстановке которых исходное выражение обретает смысл.

Недопустимыми принято считать такие значения переменных, при которых начальное выражение не имеет смысла.

Примечание 1

В процессе выполнения практических задач по алгебре часто возникает необходимость в выявлении спектра приемлемых величин неизвестных для конкретного алгебраического соотношения и формулировки соответствующей ОДЗ. Тогда важно обратить внимание на возможность присутствия более одной переменной и количества значений, которые вероятны и не приемлемы для определенного соотношения, также больше, чем одно.

Область допустимых значений обозначает наличие таких значений для переменной, при которых рассматриваемое в рамках решения задачи выражение приобретает смысл.

В качестве примера можно рассмотреть следующее несложное уравнение:

Заметим, что при заданных условиях переменных х и у не могут иметь значения со знаком минус, то есть:

В распространенных случаях необходимо не только корректно определить область допустимых значений индивидуально для каждого выражения, но и устранить лишние корни. В результате ответ на пример будет записан без ошибок. Наглядно ознакомиться с подобным принципом и определением ОДЗ можно на следующем примере. Представим, что имеется некоторое выражение с переменной х:

В процессе решения данного задания необходимо восстановить в памяти материалы по теме иррациональных уравнений. В первую очередь следует возвести во вторую степень каждую из частей представленного выражения. В итоге получим:

Заметим, что получилось квадратное уравнение, которое несложно преобразовать по стандартному алгоритму. Здесь уместно применить теорему Виета, чтобы упростить запись и вычислить значения переменной:

Приступим к проверке справедливости найденных решений. Как известно, это одна из ключевых стадий процесса вычислений и залог корректности полученного ответа. Справиться с этой задачей целесообразно путем подстановки определенных ранее значений в начальное равенство. Запишем оба варианта, так как имеется всего пара корней:

\(x=3:\text< >\sqrt=3\text< >\Leftrightarrow \text< >\sqrt=3 (все верно)\)

Начнем с разбора причин присутствия в результирующей записи корня, который не соответствует условиям задания, то есть обращает исходное математическое соотношение в неверное. Таким образом, получено неприемлемое значение, находящееся вне области допустимых значений. Причина заключается именно в том, что в процессе расчетов ОДЗ не было учтено. На первом этапе решения нужно проанализировать выражение и сделать соответствующую пометку со спектром допустимых значений:

В результате несложных логических рассуждений определен посторонний корень, который не нужно писать в ответ к задаче, так как это значение переменной выпадает из пределов ОДЗ и обращает исходное уравнение в неверное. Таким решением является следующее:

Как найти ОДЗ

Поиск ОДЗ представляет собой процесс определения всех допустимых значений переменных, характерных для конкретного выражения.

Важно уметь применять навыки выявления области допустимых значений при решении практических заданий. Согласно стандартному алгоритму действий в первую очередь целесообразно проанализировать данное по условию задания уравнение. После определения вида алгебраического отношения и неизвестных полезно изыскать возможности для преобразования записи в более удобный для расчетов формат.

С целью верного вычисления ОДЗ рекомендуется сохранить специальную таблицу с условиями для каждого типа выражений, представленную в следующем разделе. Полезно запомнить универсальные правила, которые свидетельствуют об отсутствии возможностей для вычисления того или иного соотношения:

  1. нельзя извлекать квадратный корень из числа со знаком минус;
  2. запрещено делить на ноль.

Когда основные условия поиска ОДЗ понятны, можно соотносить любое выражение с перечисленными пунктами. В результате получится точная область допустимых значений. Закрепить теоретические знания стоит с помощью прикладных примеров. Начнем тренировку с определения ОДЗ для следующего соотношения:

\(а^ + 4 \cdot а \cdot b – 6\)

Заметим, что в третью степень допустимо возвести любое число без ограничений. В таком случае вычисления возможны при разных значениях переменных. Областью допустимых значений переменных a и b является множество таких пар приемлемых значений (a, b), где a представляет собой любое число и на значение b также не распространяются ограничения.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное математическое соотношение отличается наличием ноля, который расположен в дробном знаменателе. Вспомним, что деление на ноль запрещено. Исходя из этого, можно сделать вывод о соответствии области допустимых значений для переменной а пустому множеству. Предусмотрен специальный знак для его обозначения: \(\varnothing\) .

Разберем другой пример для наглядности. Представим, что имеется выражение, область допустимых значений которого требуется определить:

В записи присутствует квадратный корень, поэтому выражение, расположенное под ним, не может иметь отрицательное значение. Таким образом, при каких-либо значениях а и b должно выполняться следующее неравенство:

\(a+3\cdot b + 5 \geq 0.\)

В результате ОДЗ включает в себя любые значения переменных a и b, при которых записанное выше соотношение обращается в справедливое неравенство.

В процессе записи области допустимых значений корректно следовать следующим инструкциям:

  • когда число входит в ОДЗ, то рядом с ним ставят квадратные скобки;
  • для чисел, не входящих в ОДЗ, предусмотрена запись в круглых скобках.

Функции, для которых важна ОДЗ

По информации из определения и смысла такого понятия, как область допустимых значений, можно установить высокую степень важности ОДЗ для выполнения разнообразных действий с функциями. В процессе можно определять переменные, исходя из рассмотренных принципов и закономерностей. Подобный подход исключает включение в число значений лишних решений, которые обращают алгебраическое выражение в неверное. Однако запомнить пределы для каждого соотношения достаточно сложно. Тогда в помощь с решением задач представлена табличная форма, где собраны наиболее часто встречающиеся примеры. Рассмотрим несколько основных функций с ОДЗ:

  • соотношения, демонстрирующие обратную зависимость: \(y=\frac:\text< >x\ne 0\) ;
  • выражения, содержащие в составе корень: \( \sqrt=y:\text< >\left\< \beginx\ge 0;\\y\ge 0.\end \right.;\)
  • разнообразные варианты записи показательной функции предусматривают соблюдение следующих условий при расчете значений: \(^>=z:\text< >\left\< \beginy>0;\\z>0.\end \right.;\)
  • в случае логарифмической функции также важно учитывать спектр значений, которые являются приемлемыми: \(<<\log >_>y=a:\text< >\left\< \beginx>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end \right.\)
  • для тригонометрической функции характерны следующие закономерности: \(-1\le \sin x\le 1; y = <\mathop<\rm tg>\nolimits> x:>x \ne \frac<\pi >+ \pi n,>n \in \mathbb; y = <\mathop<\rm ctg>\nolimits> x:>x \ne \pi n,>n \in \mathbb>\)

Примеры решения задач

Зная стандартные области допустимых значений для функций, которые чаще всего встречаются в процессе решения задач, целесообразно приступить к решению наглядных примеров. При поиске значений для переменных, как правило, требуется прибегнуть к ряду тождественных преобразований с применением изученных ранее алгебраических закономерностей. В частности, рекомендуется вспомнить правила перестановки слагаемых и множителей, раскрытия скобок, группировки, вынесения единого множителя за пределы скобок, приведение подобных и прочие полезные приемы.

Умение находить область допустимых значений обязательно пригодится на практике во время решения примеров на уроках, контрольных и самостоятельных работ. Кроме того, подобные задачи часто встречаются в выпускных экзаменах. В последующем навыки определения ОДЗ пригодятся при рассмотрении функций повышенного уровня сложности. Выполняя громоздкие расчеты и преобразования важно не допустить ошибки в записи искомых значений для переменных, что может негативно повлиять на результат многоуровневых вычислений.

Требуется вычислить корни выражения в соответствии с областью допустимых значений для обратной зависимости: \(\frac^>><<<\left( -1 \right)>^>>=\frac^>-2x+1>.\)

В первую очередь необходимо выполнить исследование записанной функции. Подобный формат представления уже знаком из теоретической части. Обратная зависимость не относится к числу сложных математических выражений, поэтому вычисления не отнимут много сил и времени. Важно выявить полезные закономерности, которые значительно упрощают дальнейшие расчеты. Здесь с правой стороны в выражении записан компонент формулы для выполнения сокращенного умножения:

Проанализируем запись после выполненных преобразований. На основании определения полученной функции целесообразно обратиться к соответствующему значению и записать ОДЗ:

\(-1\ne 0\text< >\Rightarrow \text< >x\ne 1.\)

На следующем этапе все еще сохраняется возможность для некоторых алгебраических преобразований. В сформулированной записи присутствуют идентичные знаменатели, от которых допустимо избавиться. Выполним соответствующие действий и получим следующие итог:

\(^>=x\text< >\Leftrightarrow \text< >x\left( -1 \right)=0\text< >\Leftrightarrow \text< >\left[ \beginx=0\\x=1\end \right.\)

Сравним полученные решения с областью допустимых значений. Сделаем вывод о необходимости исключения второго корня и запишем корректный ответ.

Требуется определить ОДЗ для тригонометрической функции и записать соответствующие решения: \(\frac^2>x>>> = <\mathop<\rm tg>\nolimits> x\)

Очевидно, по условиям задачи дана тригонометрическая функция. Даже при отсутствии подобного информационного сопровождения несложно выяснить вид этой функции самостоятельно путем анализа записи, в которой присутствуют такие категории, как косинус, синус и тангенс. Когда тип записанного соотношения определен, можно приступать к поиску соответствующего определения для приемлемых значений. Сформулируем определение области допустимых величин тригонометрической функции:

После предварительного исследования вероятных значений для конкретной функции целесообразно приступить к дальнейшему решению. Путем стандартных преобразований выполним вычисления:

\(\frac^2>x>>> = <\mathop<\rm tg>\nolimits> x \Leftrightarrow \frac>> \cdot \sin x = <\mathop<\rm tg>\nolimits> x \Leftrightarrow <\mathop<\rm tg>\nolimits> x \cdot \sin x = <\mathop<\rm tg>\nolimits> x \Leftrightarrow <\mathop<\rm tg>\nolimits> x\left( \right) = 0 \Leftrightarrow\)

Получилась классическая система с уравнениями. Продолжим расчеты для определения промежутков, которые соответствуют значениям неизвестных. В процессе важно придерживаться стандартных правил выполнения расчетов. Тогда результат получится корректный и без ошибок.

\(\left[ \begin<\mathop<\rm tg>\nolimits> x = 0\\\sin x = 1\end \right. \Leftrightarrow \left[ \beginx = \pi n,>n \in \mathbb\\x = \frac<\pi > + 2 \pi k,>k \in \mathbb\end \right.\)

Заметим, что второй блок с решениями не соответствует определенному ОДЗ, поэтому его не стоит записывать в ответ.

Ответ: \(x=\pi n,\text< >n\in \mathbb.\)

Следующий блок заданий посвящен разнообразным алгебраическим преобразованиям сложных выражений. В итоге простых действий можно получить более удобные для проведения дальнейших расчетов соотношения. С другой стороны, у определения области допустимых значений есть некоторые нюансы. К примеру, если перенести этап определения ОДЗ и попробовать рассчитать пределы приемлемых значений для преобразованного выражения, то результат возможно будет отличаться от первоначального, то есть область допустимых значений расширится, уменьшится, либо останется стабильной без изменений.

Дано выражение, для которого требуется определить параметры области допустимых значений: \(а+\frac -\frac\)

На первом этапе проанализируем запись из условия задания. Заметим, что выражение представлено в простом формате. Обратим внимание на правило, которое регламентирует запрет деления на ноль. Таким образом, необходимым является выполнение следующего неравенства:

Сформулировать подобное условие целесообразно с помощью следующей записи:

\((−\infty ; 0) \cup (0 ; +\infty)\)

Заметим присутствие в математическом соотношении подобных слагаемых, для которых доступна операция приведения. В результате получится выражение в виде а, область доступных значений для которого соответствует множеству вещественных чисел.

Ответ: \((−\infty ; 0) \cup (0 ; +\infty).\)

Необходимо воспользоваться основными правилами составления области допустимых значений и определить такой предел для следующего выражения: \(а^+а+4\cdot а\)

Заметим, что приемлемые значения из тех, которые принимает а, соответствуют множеству вещественных чисел, то есть R. После рассмотрения условий задания целесообразно приступить к преобразованию алгебраического соотношения. Первое, на что следует обратить внимание, заключается в наличии подобных слагаемых. Используя уже знакомые из курса алгебры закономерности, упростим исходное выражение:

Вновь определим, чему соответствует ОДЗ для полученного выражения. Его значение не поменялось, то есть осталось равным множеству чисел R.

Ответ: множество R.

Дано выражение, для которого требуется рассчитать значения, которые составляют область допустимых чисел: \(\sqrt\)

Руководствуясь стандартным алгоритмом действий, в первую очередь проанализируем записанное выражение. Заметим, что ОДЗ для переменной а соответствует следующему неравенству:

\((a — 1)\cdot (a — 4) \geq 0\)

Попробуем выполнить вычисления для записанного неравенства. В процессе целесообразно воспользоваться способом интервалов. Тогда область допустимых значений для преобразованного выражения примет следующий вид:

\( (−\infty; 1] \cup [4 ; +\infty).\)

На следующей стадии решения задачи можно воспользоваться свойством корней, смысл которого заключается во взаимном равенстве результата умножения корней и корня от произведения. Выполним простые преобразования и запишем исходное соотношение таким образом:

С целью определения ОДЗ лучше записать допустимые значения в виде системы, что позволит наглядно продемонстрировать условия для расчета:

В результате последующих вычислений получается следующее множество:

Заметим, что при расчете области допустимых значений после выполнения ряда математических преобразований начального выражения спектр возможных чисел для записи ответа значительно уменьшился. Подобное действие является ошибкой.

Ответ: \((−\infty; 1] \cup [4 ; +\infty).\)

Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения

Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».

Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.

Например, для функции обратной пропорциональности \(y=\frac1x\) допустимыми значениями для переменной x будут: 1; 2,7; -5, \(\sqrt\) , — в общем, все действительные числа. При подстановке их на место x, функция принимает конкретное значение. Исключениями из этого перечня будут 0, \(-\infty \) и \(+\infty\) , так как когда x принимает такие значения, функция не имеет смысла.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Что такое ОДЗ

Область допустимых значений (область определения) функции — совокупность всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. Для примера из предыдущего пункта, \(y=\frac1x\) , область допустимых значений будет иметь следующий вид: \((-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty)\) . Это значит, что в область определения функции \( y=\frac1x\) входят все числа в промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — \(\cup\) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.

Как найти ОДЗ: примеры, решения

Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.

Общие принципы нахождения области допустимых значений

  • деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: \(y=\frac50;\)
  • извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: \(y=\sqrt;\)
  • возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: \(y=0^;\;y=0^0;\;y=(^);\;y=(^>);\)
  • нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры: \( y=\log_3\left(-9\right);\;y=\log_2\left(0\right);\;y=\log_\left(64\right);\;y=\log_1\left(5\right);\)
  • тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0.

Примеры нахождения ОДЗ

Пример №1. Найти область определения функции \(y=\sqrt\)

Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2\geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: \(1-x^2\geq0\Rightarrow1\geq x^2\Rightarrow x^2\leq1\)

Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:

Раскроем модуль согласно правилу:

Из этого следует, что область допустимых значений функции \(y=\sqrt\) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: \(x\in\lbrack-1;\;1\rbrack\)

Пример №2. Найти ОДЗ функции \(y=\lg\left(x\right)\)

\(\lg\left(x\right)\) является краткой формой записи десятичного логарифма \(\log_\left(x\right)\) . Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции \(y=\lg\left(x\right)\) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до \(+\infty\) . Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: \(x\in(0;\;+\infty)\) .

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований

Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.

Функции, для которых важна ОДЗ

Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная \(y=k\cdot x+b\) или квадратичная \(y=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.

ОДЗ обратной зависимости

Функция обратной пропорциональности \(y=\frac kx\) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: \(x\in(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty).\)

ОДЗ степенной функции

Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:

  • при n>0 и \(n\in\mathbb\) , то есть n — целое положительное число: \( x\in(-\infty;\;+\infty);\)
  • для n>0, причем n — дробное число: \( x\in\lbrack0;\;+\infty);\)
  • для n=0: \( x\in(-\infty;0)\cup(0;\;+\infty);\)
  • при n<0 и \(n\in\mathbb: x\in(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty);\)
  • для n

ОДЗ показательной функции

Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:

ОДЗ логарифмической функции

Логарифмическая функция \(y=\log_a\left(x\right)\) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: \(x\in(0;\;+\infty).\)

ОДЗ тригонометрических функций

Как уже упоминалось выше, для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса область допустимых значений включает в себя все действительные числа: \(x\in(-\infty;\;+\infty)\) . Рассмотрим ОДЗ еще четырех тригонометрических функций:

  • тангенс: \(x\in(-\infty;\;\frac<\mathrm\pi>2+\mathrm\pi\cdot\mathrm n)\cup(\frac<\mathrm\pi>2+\mathrm\pi\cdot\mathrm n;\;+\infty), где n\in\mathbb;\)
  • котангенс: \(x\in(-\infty;\;\mathrm\pi\cdot\mathrm n)\cup(\mathrm\pi\cdot\mathrm n;\;+\infty), где n\in\mathbb;\)
  • арксинус и арккосинус: \(x\in\lbrack-1;\;1\rbrack.\)

Насколько полезной была для вас статья?

ОДЗ — Область допустимых значений

— если в выражении \(\sqrt\) значение переменной равно \(0\), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь \(x\) не может быть \(0\), а также \(1, -3, -52,7\) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: \(x\geq2\);

— а вот в выражение \(4x+1\) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь — вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.

Как найти ОДЗ?

Если переменная (икс) в уравнении или неравенстве стоит в знаменателе, логарифме, под корнем, в тангенсе или котангенсе ОДЗ записать нужно.

таблица с примерами использования ОДЗ

Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.

Без ОДЗ: С ОДЗ:
\(\frac=\frac\) \(\frac=\frac\)
ОДЗ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\) \(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\) \(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\) \(\frac>\) \(=4\) \(x_2=\) \(\frac>\) \(=4\)
\(x_1=\) \(\frac>\) \(=-3\) \(x_2=\) \(\frac>\) \(=-3\) — не подходит под ОДЗ
Ответ: \(4; -3\) Ответ: \(4\)

Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень ! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.

Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения — не существуют. Таким образом, «\(-3\)» – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.

Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!

Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.

Пример: Найдите область определения выражения \(\sqrt+\) \(\frac>>\)

Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу . Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым — больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?

Дело за малым, нужно решить систему неравенств.
В первом неравенстве перенесем \(5\) вправо, второе умножим на \(-1\)

Поделим первое неравенство на \(-2\).
Второе разложим на множители .

Отметим все корни первого неравенства на числовой оси.
Чтобы решить второе — воспользуемся методом интервалов

Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса.

ОДЗ — Область допустимых значений

— если в выражении \(\sqrt\) значение переменной равно \(0\), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь \(x\) не может быть \(0\), а также \(1, -3, -52,7\) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: \(x\geq2\);

— а вот в выражение \(4x+1\) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь — вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.

Как найти ОДЗ?

Если переменная (икс) в уравнении или неравенстве стоит в знаменателе, логарифме, под корнем, в тангенсе или котангенсе ОДЗ записать нужно.

таблица с примерами использования ОДЗ

Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.

Без ОДЗ: С ОДЗ:
\(\frac=\frac\) \(\frac=\frac\)
ОДЗ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\) \(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\) \(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\) \(\frac>\) \(=4\) \(x_2=\) \(\frac>\) \(=4\)
\(x_1=\) \(\frac>\) \(=-3\) \(x_2=\) \(\frac>\) \(=-3\) — не подходит под ОДЗ
Ответ: \(4; -3\) Ответ: \(4\)

Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень ! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.

Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения — не существуют. Таким образом, «\(-3\)» – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.

Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!

Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.

Пример: Найдите область определения выражения \(\sqrt+\) \(\frac>>\)

Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу . Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым — больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?

Дело за малым, нужно решить систему неравенств.
В первом неравенстве перенесем \(5\) вправо, второе умножим на \(-1\)

Поделим первое неравенство на \(-2\).
Второе разложим на множители .

Отметим все корни первого неравенства на числовой оси.
Чтобы решить второе — воспользуемся методом интервалов

Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *