Какое число чаще всего выпадает на кубике
Перейти к содержимому

Какое число чаще всего выпадает на кубике

  • автор:

Какая цифра на кубике выпадает чаще

Существуют различные типы игральных костей, которые могут выпадать с разной вероятностью. Например, норвежский кубик могут выпадать числа 4 и 5 в два раза чаще, чем другие числа. Такие нюансы необходимо учитывать при выборе костей для игры и расчете вероятности выпадения тех или иных чисел.

  1. Расчет вероятности выпадения числа на кубике
  2. Стратегии повышения вероятности
  3. Заключение

Расчет вероятности выпадения числа на кубике

Для расчета вероятности выпадения каждого числа на кубике, необходимо воспользоваться формулой Рассела, которая гласит, что вероятность наступления события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Для шестигранных кубиков общее число исходов равно 6 (6 возможных чисел на каждой грани), а число благоприятных исходов для каждого числа — 1.

Стратегии повышения вероятности

Для повышения вероятности выпадения определенного числа на кубике можно попробовать следующие стратегии:

  • Использовать кости с определенным весом, чтобы некоторые грани выпадали чаще
  • Модифицировать кости, например, удалив часть материала с одной из граней или добавив другие элементы, что может изменить распределение вероятностей
  • Изменить способ броска, например, бросать кость с определенным углом или с сильным вращением, что также может повлиять на распределение вероятностей

Заключение

Таким образом, вероятность выпадения каждого числа на игральной кости одинакова и составляет 1/6. Однако, для различных типов игральных костей могут существовать особенности, влияющие на вероятность выпадения тех или иных чисел. Для повышения вероятности выпадения нужного числа можно использовать различные стратегии, однако стоит помнить, что честность игры всегда должна быть на первом месте.

  • Где была записана тайна Муравейного братства
  • Какая часть Земли не изучена
  • Сколько по времени проходить The Long Dark
  • Какие игры пойдут на очень слабый ПК
  • Какую игру пройти с девушкой
  • Сколько занимает Рафт
  • Можно ли запустить 2 игры одновременно
  • Что такое со 2 игра
  • Разное
  • Какие устройства поддерживают трассировку лучей
  • Какие игры выйдут на PS4 в 2024
  • Чем полезны игры 3 в ряд
  • Почему закрыли проект Большие гонки
  • Как установить андроид 12 без ПК
  • Что самое дорогое в Роблоксе
  • Какая самая первая игра в стиме
  • Какие есть игры мемо
  • Что развито в Новой Зеландии
  • Сколькими способами из колоды в 36 карт можно
  • Как называется игра где надо выращивать животных
  • Какие хобби у англичан самые популярные
  • Почему не работает зомби ферма в ВК
  • Какая любимая книга Пушкина

Какой цифрой на кубике выпадает чаще? Это зависит от вида кубика. Например, в честном игральном кубике вероятность выпадения любого из шести чисел одинаковая и составляет 16,67%. Однако норвежский кубик имеет особенность: числа 4 и 5 встречаются на нем в два раза чаще, чем остальные цифры. Поэтому вероятность выпадения каждого из этих чисел составляет 33,33%, а для остальных — 16,67%. Когда играешь в игру, важно знать вероятности выпадения определенных чисел, чтобы можно было правильно рассчитывать шансы на победу.

Все права защищены © 2024

Кубики и Вероятности

В настольных и кабинетных играх для генерации случайных чисел зачастую используются игральные кубики. Однако часто для разработки сбалансированной игры требуется получить более сложные распределения случайных величин, чем линейное, задаваемое одной игральной костью. Более того, порой требуется задать распределение в определенных числовых рамках и точно знать, какова вероятность выпадения того или иного значения.

Чтобы упростить себе разработку и балансировку игр в вышеописанных ситуациях, я в свое время создал для себя небольшую шпаргалку. Думаю, что такая подсказка может пригодиться как начинающим разработчикам, так и активным игрокам. Поэтому в данной статье я поделюсь своими расчетами, а так же методом, при помощи которого можно высчитывать вероятности для любых комбинаций игральных костей.

Общая вводная

Для начала я бы хотел немного раскрыть терминологию, которая будет использована в дальнейшем.

Исторически сложилось, что бросок игральной кости обозначается как XdY, где X — количество бросков, а Y — число граней или иное маркирование типа кости. Например 1d6 означает 1 бросок 6-гранного кубика. Буква d означает dice (мн. ч. от die — игральная кость, кубик (англ.)). Закоренелые игроки так и называют игровые кости — дайсы. Впрочем, иногда встречается и русский вариант записи — 1к6. Лично я предпочитаю использовать слово дайс, поскольку «кубик» у меня строго ассоциируется с 6-гранником 🙂

Соответственно, сам дайс в такой системе обозначается как dY. Так что если вам вдруг встретится запись вида d6, знайте, что это просто 6-гранный кубик. А запись 2d10 означает «результат двух бросков 10-гранного дайса».

Дайсы

Джентльменский набор дайсов

В качестве d2 может использоваться обыкновенная монета. Наиболее часто встречаются следующие форматы дайсов: d4, d6, d8, d10, d12, d20. Реже можно встретить d30. Особые ухищрения позволяют моделировать d100 с помощью двух d10, однако наибольшее распространение получил, конечно же, d6.

В некоторых старых компьютерных играх можно встретить такие интересные обозначения как 1d3 или 3d17. Естественно, представить себе 17-гранный кубик немного проблематично, так что, по сути дела, это — своеобразный переходный артефакт, когда компьютер уже позволял задавать случайное распределение в любом диапазоне, но игроки по старой привычке ориентировались по дайсовой схеме. В современных компьютерных играх обычно указан разброс случайных значений в формате X-Y. Например 15-85, что означает случайное значение от 15 до 85.

Впрочем, нас сейчас интересуют дайсы, так что вернемся к ним. Дайсовая форма записи имеет небольшое преимущество над записью формы X-Y. Хоть по-сути 2d6 означает случайную величину от 2 до 12, но в случае записи 2-12 нам неведом график распределения между этими значениями. Т.е. мы не знаем, одинакова ли вероятность выпадения, например 7 и 10. 2d6, в свою очередь, подразумевает не только границу значений 2-12, но и определенный порядок распределения случайных величин, о чем и пойдет речь далее.

Осталось добавить, что для смещения диапазона значений используются так называемые модификаторы броска. Фактически, это просто число, которое прибавляется или вычитается из результата броска. Записывается это в форме XdY+Z, где Z — и есть модификатор. Например, 1d6+3 означает 1 бросок 6-гранного кубика, к результату которого прибавляется 3.

С обозначениями разобрались, можно двигаться дальше.

1d6

В качестве подопытного возьмем знаменитый d6. При необходимости расчеты для любых других вариантов (включая экзотические d17) делаются без особых затруднений по аналогии. Главное — понять принцип.

Сначала проанализируем плотность вероятностей для броска 1d6.
Плотность вероятностей в нашем случае — это шанс выпадения тех или иных значений на кубике.

Очевидно что вероятность кубика упасть на ту или иную грань, в случае когда у нас идеально сбалансированный и не крапленый кубик, обратно-пропорциональна количеству его граней. Для d6 она, соответственно, составляет 1/6 или 16,67%. Т.е. любое из 6 значений выпадает с равной вероятностью в 16,67%.

1d6

Порою весьма полезно бывает знать какова вероятность выбросить значение равное или превышающее какое-то число. Кстати, такое значение принято записывать как X+. Например, 4+ означает «4 и более». Впрочем, к обозначению 18+ уже многие привыкли, так что освоиться с такой записью не составляет никакого труда 🙂

Посчитать такую вероятность довольно просто. Достаточно просуммировать вероятности всех удовлетворяющих нас результатов. Например в случае 5+ для 1d6 нас интересует сумма шансов выбросить 5 и 6. А это 1/6+1/6=1/3 или 16,67%+16,67% = 33,33% (Все процентные значения указаны с округлением. На самом деле 16,67% это 16,666666…..6%. Поэтому не удивляйтесь тому, что иногда 7+7=13 🙂 ).

Таким образом получаем следующие графики:

1d6_hi

1d6_low

Если свести все полученные данные в таблицу, то получим:

Значение Вероятность Значение Вероятность Значение Вероятность
1 16,67% 1+ 100,00% 1 16,67%
2 16,67% 2+ 83,33% 2- 33,33%
3 16,67% 3+ 66,67% 3- 50,00%
4 16,67% 4+ 50,00% 4- 66,67%
5 16,67% 5+ 33,33% 5- 83,33%
6 16,67% 6 16,67% 6- 100,00%

Ничего необычного. Для любого единичного броска кубика с любым количеством граней мы будем получать равномерное линейное распределение. Но что будет, если мы будем рассматривать результат нескольких бросков?

2d6

Проанализируем плотность вероятностей для 2d6. Для этого нам потребуется составить матрицу, столбцы которой будут результатами первого броска, а строки — второго.

1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Теперь нам нужно высчитать вероятности всех возможных исходов при двух бросках и записать их в ячейки матрицы. Если вероятность выбросить на d6 1 равна 1/6, то вероятность получить 1 и во втором броске равна 1/6 от 1/6, то есть 1/36 или 2,78%.

Таким образом в каждой ячейке такой матрицы получаем значение 2,78%

1 2 3 4 5 6
1 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
2 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
3 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
4 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
5 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
6 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%

Однако если мы заполним ту же самую матрицу значениями, которые получаются в сумме двух бросков, то получим:

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Из таблицы видно, что к значению 2 от броска 2d6 ведет только 1 исход, когда оба броска показали 1. В то время как получить 4 можно одним из трех исходов: 3 и 1, 2 и 2, 1 и 3. Выходит, что вероятность получить 4 при броске 2d6 равна сумме вероятностей 3 исходов, вероятность каждого из которых равна 2,78%. Получаем 2,78%+2,78%+2,78%=8,33% (помним про округление процентов).

Если составить таблицу вероятности для всех значений, получим:

Значение Вероятность
2 2,78%
3 5,56%
4 8,33%
5 11,11%
6 13,89%
7 16,67%
8 13,89%
9 11,11%
10 8,33%
11 5,56%
12 2,78%

В графическом представлении это выглядит так:

2d6

Заметим, что при учете двух бросков мы получаем распределение Гаусса (оно же нормальное распределение). Вероятность получить в результате двух бросков срединное значение (в нашем случае это 7) значительно выше, чем вероятность получить крайние значения (2 или 12). Соответственно гораздо чаще результаты бросков для 2d6 будут находится среди значений 5-9 и редко показывать 2-4 или 10-12. В некоторых случаях от случайной величины требуется именно такое поведение.

Кривые вероятности выбросить значение X+ или X- так же будут иметь нелинейный вид:

2d6_hi

2d6_low

Если представить полученные данные в табличной форме, то:

Значение Вероятность Значение Вероятность Значение Вероятность
2 2,78% 2+ 100,00% 2 2,78%
3 5,56% 3+ 97,22% 3- 8,33%
4 8,33% 4+ 91,67% 4- 16,67%
5 11,11% 5+ 83,33% 5- 27,78%
6 13,89% 6+ 72,22% 6- 41,67%
7 16,67% 7+ 58,33% 7- 58,33%
8 13,89% 8+ 41,67% 8- 72,22%
9 11,11% 9+ 27,78% 9- 83,33%
10 8,33% 10+ 16,67% 10- 91,67%
11 5,56% 11+ 8,33% 11- 97,22%
12 2,78% 12 2,78% 12- 100,00%

Получается, что если мы хотим получить генератор случайных чисел, который выдает распределение близкое к тому, что встречается «в природе», то использование пары кубиков или учет двух бросков дает нам эту возможность.

Ровно как и запись 2d6 имеет преимущество над 2-12 как раз в том, что указывает не только на диапазон, но и на плотность вероятностей.

Если же нам требуется получить нормальное распределение в промежутке от 0 до 10, то с помощью дайсов это можно организовать как бросок 2d6 из результата которого будем вычитать 2. Вспоминая описанные ранее обозначения, это 2d6-2.

Если такая перемена в графике произошла когда мы добавили второй бросок, то что произойдет, если ввести третий?

3d6

Для анализа плотности вероятностей для 3d6 можно, конечно составить 3-х мерную матрицу и посчитать все точь-в-точь как для 2d6. Но поскольку вероятности для 2d6 нам уже известны, то мы можем значительно упростить себе задачу:

2d6 1 2 3 4 5 6
2 2,78%
3 5,56%
4 8,33%
5 11,11%
6 13,89%
7 16,67%
8 13,89%
9 11,11%
10 8,33%
11 5,56%
12 2,78%

Помножив вероятности результатов для 2d6 на 16,67% получим вероятности исходов для 3-х бросков:

2d6 1 2 3 4 5 6
2 2,78% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46%
3 5,56% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93%
4 8,33% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39%
5 11,11% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85%
6 13,89% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31%
7 16,67% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
8 13,89% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31%
9 11,11% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85%
10 8,33% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39%
11 5,56% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93%
12 2,78% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46%

Ну а просуммировав исходы с одинаковым результатом, получим плотности вероятностей:

Значение Вероятность
3 0,46%
4 1,39%
5 2,78%
6 4,63%
7 6,94%
8 9,72%
9 11,57%
10 12,50%
11 12,50%
12 11,57%
13 9,72%
14 6,94%
15 4,63%
16 2,78%
17 1,39%
18 0,46%

Графически это выглядит так:

3d6

Графики вероятностей для X+ и X- тоже имеют более выраженные очертания нормального распределения:

3d6_hi

3d6_low

Итоговая таблица для 3d6 будет выглядеть так:

Значение Вероятность Значение Вероятность Значение Вероятность
3 0,46% 3+ 100,00% 3 0,46%
4 1,39% 4+ 99,54% 4- 1,85%
5 2,78% 5+ 98,15% 5- 4,63%
6 4,63% 6+ 95,37% 6- 9,26%
7 6,94% 7+ 90,74% 7- 16,20%
8 9,72% 8+ 83,80% 8- 25,93%
9 11,57% 9+ 74,07% 9- 37,50%
10 12,50% 10+ 62,50% 10- 50,00%
11 12,50% 11+ 50,00% 11- 62,50%
12 11,57% 12 37,50% 12- 74,07%
13 9,72% 13+ 25,93% 13- 83,80%
14 6,94% 14+ 16,20% 14- 90,74%
15 4,63% 15+ 9,26% 15- 95,37%
16 2,78% 16+ 4,63% 16- 98,15%
17 1,39% 17+ 1,85% 17- 99,54%
18 0,46% 18 0,46% 18- 100,00%

Из полученных результатов видно, что с увеличением количества бросков до 3 «колокол Гаусса» не только сохраняется, но и становиться более выраженным. Забегая вперед скажу что и для всех последующих повышений количества бросков (4d6, 5d6, 6d6 …) эта тенденция сохраняется.

Вместо итогов

Полученные таблицы можно использовать для балансировки вероятностных значений в разрабатываемых играх. Ровно как можно с помощью данных расчетов более точно оценивать свои шансы на исход броска во время игры.

Продемонстрированный метод применим для получения таблиц к любому количеству бросков любых дайсов.

Кстати, с помощью разнообразных дайсов можно задавать довольно большой диапазон случайных значений. Например 2d6+1d4 даст нормальное распределение в диапазоне 3-16. А с помощью двух d10 можно задать линейное распределение 0-99, для этого один кубик должен отвечать за десятки, другой — за единицы. Такую комбинацию двух d10 называют «процентником».

Надеюсь, эти таблицы будут Вам полезны.

Юрий Исаев
2015.07.27

Какое число чаще всего выпадает на кубике

Как жульничать при игре в кости – советы игрового эксперта

Недавно археологи раскопали игровой кубик 600-летнего возраста, который, вероятно, использовался для жульничества. На гранях деревянного кубика из средневековой Норвегии находились две пятёрки, две четвёрки, тройка и шестерка – а единички и двойки не было. Считается, что этот кубик использовался для обмана при игре в кости, а не в какой-то особой игре, в которой нужны были определённые комбинации чисел.

Сегодня подобные кубики известны, как «верхи и низы» [tops and bottoms]. Они полезны для нечестной игры, если вы склонны к подобным действиям, хотя не гарантируют постоянного выигрыша, и не выдерживают тщательного осмотра со стороны подозрительных соперников (им стоит только попросить рассмотреть кубик – и вас раскроют). Но при игре в кости есть несколько других вариантов жульничества, о некоторых из которых я вам расскажу.

Стоит отметить, что эти методы запрещено использовать в казино, и я не рекомендую вам использовать их в подобных заведениях – это лишь интересный метод изучения вероятностей.

Вероятности для честного кубика и для кубика «верх и низ».

У честной игральной кости вероятность выпадения любого числа из шести одинакова, и составляет 16,67%. В случае норвежского кубика числа 4 и 5 появляются в два раза чаще, поскольку они встречаются по два раза, поэтому для них вероятность равняется 1/3, 33,33%. В таблице перечислены эти вероятности.

Вероятности для суммы двух костей

Не нужно иметь особо живое воображение, чтобы понять, как можно использовать изменённые кости в свою пользу. Допустим, мы играем с двумя нормальными кубиками. Они могут выпасть 36-ю различными способами, и выдать 11 возможных вариантов суммы чисел. Например, любая из комбинаций 6+4, 4+6 и 5+5 даст в сумме 10.

Если мы будем использовать два изменённых кубика, на гранях которых есть только числа один, четыре и пять, мы не сможем выкинуть 11 или 12, поскольку на них нет шестёрок. Точно так же мы не можем выбросить три, поскольку у нас нет комбинации 1+2. Также мы не сможем получить комбинацию, сумма которой будет равна семи – а вероятность такой комбинации обычно наибольшая, 16,67%. В крэпс, игре в кости, в которую играют в казино, часто встречается ситуация, в которой вам совсем не нужна семёрка. Поэтому, если вы играете с костями, на которых невозможно выбросить семёрку, у вас будет преимущество.

Как не выбросить семёрку с двумя изменёнными кубиками

Поскольку подобные изменённые кости не пройдут даже поверхностного близкого осмотра, их необходимо вводить в игру на короткий промежуток, а затем снова подменивать. Для этого мошеннику нужно быть экспертом в области ловкости рук, пальминга, способным спрятать один набор костей в руке, а потом ввести их в игру, выведя из неё другую пару.

Вероятности выпадения сумм у двух кубиков, когда на одном из которых есть только числа один, два и четыре.

Использовать два кубиков с одними и теми же повторяющимися цифрами довольно рискованно, поэтому мошенник может предпочесть заменить только один кубик из двух. В нашем примере это означает, что избежать семёрки не удастся, и вероятность её выпадения останется равной 16,67%. Но при этом такая же вероятность будет у сумм пять и шесть.

Вероятности в игре крэпс выстроены так, что, когда вам нужно избежать семёрки, вероятность появления этой суммы наивысшая. Подменив один кубик, можно уменьшить шансы казино на выигрыш, увеличив вероятности появления других комбинаций.

Кубик с изменённым центром тяжести («загруженный»)

При игре с подгруженной костью мошенничество выявить труднее. Их можно делать разными способами. К примеру, можно высверлить одну из точек на одной из граней, и заполнить её тяжёлым материалом, чтобы кубик с большей вероятностью приземлялся этой гранью вниз. Если высверлить номер один, то вероятность появления шестёрки будет больше, поскольку шестёрка всегда расположена напротив единицы. Ещё один способ загрузить кубик – немного изменить его форму, чтобы увеличить вероятность качения. Это может дать небольшое преимущество, которое даст мошеннику фору.

С использованием костей «верх и низ» легко подсчитать вероятности выпадения различных сумм. С загруженным кубиком всё не так просто. Один из способов оценить вероятности – кинуть кубик много раз (возможно, тысячи), и посмотреть, какие числа выпадают, и как часто. Если вы увидите, что вероятность выпадения семи стала меньше, чем у честных кубиков, это может сыграть на руку при мошенничестве.

Контролируемые броски

Другой способ мошенничества не требует нечестных кубиков и включает лишь обучение технике броска контролируемым способом. Вы даёте кубику соскользнуть или выпасть так, чтобы он повернулся определённой гранью вверх. При использовании двух кубиков можно использовать один как стопор для другого. Опытный игрок может выполнять такие броски так, что это будет трудно заметить.

Доминик Лориджио, «доминатор кубиков», умел бросить кубики так, что это выглядело обычно, но при этом они приземлялись в нужной комбинации. Это достигается изучением того, как кубик летит в воздухе, и контролем каждого этапа броска. Для доведения до совершенства требуется много часов практики, но он добился того, что смог постоянно выигрывать при игре в крэпс.

Многие согласятся с тем, что Лориджио играл, просто используя правила для создания преимущества в свою пользу. Этот способ напоминает подсчёт карт в блэкджеке. Казино это может не понравиться, но технически говоря, вы не мошенничаете – хотя в некоторых казино вас могут заставить бросить кубики по-другому, если начнут подозревать, что вы применяете контролируемые броски.

Кубики и Вероятности

В настольных и кабинетных играх для генерации случайных чисел зачастую используются игральные кубики. Однако часто для разработки сбалансированной игры требуется получить более сложные распределения случайных величин, чем линейное, задаваемое одной игральной костью. Более того, порой требуется задать распределение в определенных числовых рамках и точно знать, какова вероятность выпадения того или иного значения.

Чтобы упростить себе разработку и балансировку игр в вышеописанных ситуациях, я в свое время создал для себя небольшую шпаргалку. Думаю, что такая подсказка может пригодиться как начинающим разработчикам, так и активным игрокам. Поэтому в данной статье я поделюсь своими расчетами, а так же методом, при помощи которого можно высчитывать вероятности для любых комбинаций игральных костей.

Общая вводная

Для начала я бы хотел немного раскрыть терминологию, которая будет использована в дальнейшем.

Исторически сложилось, что бросок игральной кости обозначается как XdY, где X — количество бросков, а Y — число граней или иное маркирование типа кости. Например 1d6 означает 1 бросок 6-гранного кубика. Буква d означает dice (мн. ч. от die — игральная кость, кубик (англ.)). Закоренелые игроки так и называют игровые кости — дайсы. Впрочем, иногда встречается и русский вариант записи — 1к6. Лично я предпочитаю использовать слово дайс, поскольку «кубик» у меня строго ассоциируется с 6-гранником ��

Соответственно, сам дайс в такой системе обозначается как dY. Так что если вам вдруг встретится запись вида d6, знайте, что это просто 6-гранный кубик. А запись 2d10 означает «результат двух бросков 10-гранного дайса».

Дайсы

Джентльменский набор дайсов

В качестве d2 может использоваться обыкновенная монета. Наиболее часто встречаются следующие форматы дайсов: d4, d6, d8, d10, d12, d20. Реже можно встретить d30. Особые ухищрения позволяют моделировать d100 с помощью двух d10, однако наибольшее распространение получил, конечно же, d6.

В некоторых старых компьютерных играх можно встретить такие интересные обозначения как 1d3 или 3d17. Естественно, представить себе 17-гранный кубик немного проблематично, так что, по сути дела, это — своеобразный переходный артефакт, когда компьютер уже позволял задавать случайное распределение в любом диапазоне, но игроки по старой привычке ориентировались по дайсовой схеме. В современных компьютерных играх обычно указан разброс случайных значений в формате X-Y. Например 15-85, что означает случайное значение от 15 до 85.

Впрочем, нас сейчас интересуют дайсы, так что вернемся к ним. Дайсовая форма записи имеет небольшое преимущество над записью формы X-Y. Хоть по-сути 2d6 означает случайную величину от 2 до 12, но в случае записи 2-12 нам неведом график распределения между этими значениями. Т.е. мы не знаем, одинакова ли вероятность выпадения, например 7 и 10. 2d6, в свою очередь, подразумевает не только границу значений 2-12, но и определенный порядок распределения случайных величин, о чем и пойдет речь далее.

Осталось добавить, что для смещения диапазона значений используются так называемые модификаторы броска. Фактически, это просто число, которое прибавляется или вычитается из результата броска. Записывается это в форме XdY+Z, где Z — и есть модификатор. Например, 1d6+3 означает 1 бросок 6-гранного кубика, к результату которого прибавляется 3.

С обозначениями разобрались, можно двигаться дальше.

1d6

В качестве подопытного возьмем знаменитый d6. При необходимости расчеты для любых других вариантов (включая экзотические d17) делаются без особых затруднений по аналогии. Главное — понять принцип.

Сначала проанализируем плотность вероятностей для броска 1d6.
Плотность вероятностей в нашем случае — это шанс выпадения тех или иных значений на кубике.

Очевидно что вероятность кубика упасть на ту или иную грань, в случае когда у нас идеально сбалансированный и не крапленый кубик, обратно-пропорциональна количеству его граней. Для d6 она, соответственно, составляет 1/6 или 16,67%. Т.е. любое из 6 значений выпадает с равной вероятностью в 16,67%.

1d6

Порою весьма полезно бывает знать какова вероятность выбросить значение равное или превышающее какое-то число. Кстати, такое значение принято записывать как X+. Например, 4+ означает «4 и более». Впрочем, к обозначению 18+ уже многие привыкли, так что освоиться с такой записью не составляет никакого труда ��

Посчитать такую вероятность довольно просто. Достаточно просуммировать вероятности всех удовлетворяющих нас результатов. Например в случае 5+ для 1d6 нас интересует сумма шансов выбросить 5 и 6. А это 1/6+1/6=1/3 или 16,67%+16,67% = 33,33% (Все процентные значения указаны с округлением. На самом деле 16,67% это 16,666666…..6%. Поэтому не удивляйтесь тому, что иногда 7+7=13 �� ).

Таким образом получаем следующие графики:

1d6_hi

1d6_low

Если свести все полученные данные в таблицу, то получим:

Значение Вероятность Значение Вероятность Значение Вероятность
1 16,67% 1+ 100,00% 1 16,67%
2 16,67% 2+ 83,33% 2- 33,33%
3 16,67% 3+ 66,67% 3- 50,00%
4 16,67% 4+ 50,00% 4- 66,67%
5 16,67% 5+ 33,33% 5- 83,33%
6 16,67% 6 16,67% 6- 100,00%

Ничего необычного. Для любого единичного броска кубика с любым количеством граней мы будем получать равномерное линейное распределение. Но что будет, если мы будем рассматривать результат нескольких бросков?

2d6

Проанализируем плотность вероятностей для 2d6. Для этого нам потребуется составить матрицу, столбцы которой будут результатами первого броска, а строки — второго.

1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Теперь нам нужно высчитать вероятности всех возможных исходов при двух бросках и записать их в ячейки матрицы. Если вероятность выбросить на d6 1 равна 1/6, то вероятность получить 1 и во втором броске равна 1/6 от 1/6, то есть 1/36 или 2,78%.

Таким образом в каждой ячейке такой матрицы получаем значение 2,78%

1 2 3 4 5 6
1 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
2 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
3 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
4 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
5 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
6 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%

Однако если мы заполним ту же самую матрицу значениями, которые получаются в сумме двух бросков, то получим:

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Из таблицы видно, что к значению 2 от броска 2d6 ведет только 1 исход, когда оба броска показали 1. В то время как получить 4 можно одним из трех исходов: 3 и 1, 2 и 2, 1 и 3. Выходит, что вероятность получить 4 при броске 2d6 равна сумме вероятностей 3 исходов, вероятность каждого из которых равна 2,78%. Получаем 2,78%+2,78%+2,78%=8,33% (помним про округление процентов).

Если составить таблицу вероятности для всех значений, получим:

Значение Вероятность
2 2,78%
3 5,56%
4 8,33%
5 11,11%
6 13,89%
7 16,67%
8 13,89%
9 11,11%
10 8,33%
11 5,56%
12 2,78%

В графическом представлении это выглядит так:

2d6

Заметим, что при учете двух бросков мы получаем распределение Гаусса (оно же нормальное распределение). Вероятность получить в результате двух бросков срединное значение (в нашем случае это 7) значительно выше, чем вероятность получить крайние значения (2 или 12). Соответственно гораздо чаще результаты бросков для 2d6 будут находится среди значений 5-9 и редко показывать 2-4 или 10-12. В некоторых случаях от случайной величины требуется именно такое поведение.

Кривые вероятности выбросить значение X+ или X- так же будут иметь нелинейный вид:

2d6_hi

2d6_low

Если представить полученные данные в табличной форме, то:

Значение Вероятность Значение Вероятность Значение Вероятность
2 2,78% 2+ 100,00% 2 2,78%
3 5,56% 3+ 97,22% 3- 8,33%
4 8,33% 4+ 91,67% 4- 16,67%
5 11,11% 5+ 83,33% 5- 27,78%
6 13,89% 6+ 72,22% 6- 41,67%
7 16,67% 7+ 58,33% 7- 58,33%
8 13,89% 8+ 41,67% 8- 72,22%
9 11,11% 9+ 27,78% 9- 83,33%
10 8,33% 10+ 16,67% 10- 91,67%
11 5,56% 11+ 8,33% 11- 97,22%
12 2,78% 12 2,78% 12- 100,00%

Получается, что если мы хотим получить генератор случайных чисел, который выдает распределение близкое к тому, что встречается «в природе», то использование пары кубиков или учет двух бросков дает нам эту возможность.

Ровно как и запись 2d6 имеет преимущество над 2-12 как раз в том, что указывает не только на диапазон, но и на плотность вероятностей.

Если же нам требуется получить нормальное распределение в промежутке от 0 до 10, то с помощью дайсов это можно организовать как бросок 2d6 из результата которого будем вычитать 2. Вспоминая описанные ранее обозначения, это 2d6-2.

Если такая перемена в графике произошла когда мы добавили второй бросок, то что произойдет, если ввести третий?

3d6

Для анализа плотности вероятностей для 3d6 можно, конечно составить 3-х мерную матрицу и посчитать все точь-в-точь как для 2d6. Но поскольку вероятности для 2d6 нам уже известны, то мы можем значительно упростить себе задачу:

2d6 1 2 3 4 5 6
2 2,78%
3 5,56%
4 8,33%
5 11,11%
6 13,89%
7 16,67%
8 13,89%
9 11,11%
10 8,33%
11 5,56%
12 2,78%

Помножив вероятности результатов для 2d6 на 16,67% получим вероятности исходов для 3-х бросков:

2d6 1 2 3 4 5 6
2 2,78% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46%
3 5,56% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93%
4 8,33% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39%
5 11,11% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85%
6 13,89% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31%
7 16,67% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78%
8 13,89% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31%
9 11,11% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85%
10 8,33% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39%
11 5,56% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93%
12 2,78% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46%

Ну а просуммировав исходы с одинаковым результатом, получим плотности вероятностей:

Значение Вероятность
3 0,46%
4 1,39%
5 2,78%
6 4,63%
7 6,94%
8 9,72%
9 11,57%
10 12,50%
11 12,50%
12 11,57%
13 9,72%
14 6,94%
15 4,63%
16 2,78%
17 1,39%
18 0,46%

Графически это выглядит так:

3d6

Графики вероятностей для X+ и X- тоже имеют более выраженные очертания нормального распределения:

3d6_hi

3d6_low

Итоговая таблица для 3d6 будет выглядеть так:

Значение Вероятность Значение Вероятность Значение Вероятность
3 0,46% 3+ 100,00% 3 0,46%
4 1,39% 4+ 99,54% 4- 1,85%
5 2,78% 5+ 98,15% 5- 4,63%
6 4,63% 6+ 95,37% 6- 9,26%
7 6,94% 7+ 90,74% 7- 16,20%
8 9,72% 8+ 83,80% 8- 25,93%
9 11,57% 9+ 74,07% 9- 37,50%
10 12,50% 10+ 62,50% 10- 50,00%
11 12,50% 11+ 50,00% 11- 62,50%
12 11,57% 12 37,50% 12- 74,07%
13 9,72% 13+ 25,93% 13- 83,80%
14 6,94% 14+ 16,20% 14- 90,74%
15 4,63% 15+ 9,26% 15- 95,37%
16 2,78% 16+ 4,63% 16- 98,15%
17 1,39% 17+ 1,85% 17- 99,54%
18 0,46% 18 0,46% 18- 100,00%

Из полученных результатов видно, что с увеличением количества бросков до 3 «колокол Гаусса» не только сохраняется, но и становиться более выраженным. Забегая вперед скажу что и для всех последующих повышений количества бросков (4d6, 5d6, 6d6 …) эта тенденция сохраняется.

Вместо итогов

Полученные таблицы можно использовать для балансировки вероятностных значений в разрабатываемых играх. Ровно как можно с помощью данных расчетов более точно оценивать свои шансы на исход броска во время игры.

Продемонстрированный метод применим для получения таблиц к любому количеству бросков любых дайсов.

Кстати, с помощью разнообразных дайсов можно задавать довольно большой диапазон случайных значений. Например 2d6+1d4 даст нормальное распределение в диапазоне 3-16. А с помощью двух d10 можно задать линейное распределение 0-99, для этого один кубик должен отвечать за десятки, другой — за единицы. Такую комбинацию двух d10 называют «процентником».

Надеюсь, эти таблицы будут Вам полезны.

Решение задач о бросании игральных костей

найти вероятность, что при бросании игральных костей

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

  • Одна игральная кость
  • Две игральные кости
  • Другие задачи
  • Полезные ссылки

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

таблица очков при бросании 2 игральных костей

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

таблица суммы очков при бросании 2 игральных костей

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

таблица суммы очков менее 5 при бросании 2 игральных костей

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

таблица произведения очков при бросании 2 игральных костей

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

таблица разности очков при бросании 2 игральных костей

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

таблица сумм очков (четные) при бросании 2 игральных костей

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

таблица сумм очков (четные, х до 4) при бросании 2 игральных костей

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac=\frac; \quad P(AB)=\frac=\frac=\frac;\\ P(B|A)=\frac=\frac=\frac. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один. » удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного. «. В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$

Полезные ссылки

таблица очков при бросании игральных костей

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

Понравилось? Добавьте в закладки

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Вступление

В первую очередь представленные далее данные будут полезны ведущим, или дизайнерам систем, но и игрокам это тоже может быть полезно.

Разные системы настольных ролевых игр используют разные способы проверки успешности действий. Они различаются по равномерности распледеления вероятностей, по сложности «прикидывания» вероятности выбросить то или иное значение, ну и по самому способу подсчета результата:

  • В некоторых прикинуть шансы выпадения того или иного значения, а также среднее значение весьма просто (1d20 — в среднем 10.5, 1d100 — в среднем 50.5), но они при этом страдают черезчур сильным разбросом успешности/неуспешности проверок — вероятность выпадения минимума такая же как вероятность выпадения максимума
  • Другие чуть сложнее, зато позволяют рассчитывать на некоторую стабильность — вероятность выпадения средних значений больше чем минимальных и максимальных (сумма на 2d6, 3d6, Xd10), подсчёт точных вероятностей тут сложнее, но приблизительно прикинуть всё-равно несложно: среднее это просто (максимум+минимум)/2 (2d6 — 7, 3d6 — 10.5, Xd10 — 5.5*X, Xd6 — 3.5*X), а вероятность выпадения среднего растёт относительно вероятности выпадения крайних значений с каждым увеличением количества кубиков.
  • А есть системы которые относительно легко «бросать», но сложнее считать. Из простейших, например, популярный способ генерации статов в D&D — 4d6 с выбором 3х лучших вариантов (sum(4d6 keep 3) == sum(4d6k3)). Интуитивно понятно что он примерно такой же как 3d6, только в среднем даёт большие значения, но так сходу нельзя ответить ни на один из вопросов: какое среднее значение? насколько график «острее» в районе среднего значения (как поменялось значение среднеквадратичного отклонения)? Потом еще есть системы где надо считать не сумму на дайсах, а количество дайсов на которых выпало определённое значение (cWoW — количество кубиков где выпало >= сложности, при броске Xd10, count(Xd10, >=Target), или «усложнённые» варианты выбора лучших значений (DtD сумма Y лучших значений при броске Xd10, Xd10kY)
  • А ещё в некоторых системах есть «взрывы» кубиков, например в WoD и DtD когда на 1d10 выпадает 10 — этот кубик учитывается в результат, но кидается ещё раз.

Прежде чем предоставить статистику, нужно затронуть немного теории.

Теория

Начнём с плотности вероятности случайной величины. Грубо говоря, график на котором видно вероятность выпадения того или иного значения это график плотности вероятности. Вот графики (с вики) вероятности получить различные суммы на одном, двух, трёх, четырёх и пяти кубиках (графики из википедии):

На последнем графике они сравниваются с нормальным распределением (черная линия). На нём видно, что чем больше кубиков, тем больше график соответствует нормальному распределению. И так:

Математическое ожидание ( μ) в нормальном распределении, это координата x его «центра», т.е. среднее значение выпадающей величины.

Среднеквадратическое отклонение (σ) — показатель «размазанности» распределения. Вероятность того, что случайная величина будет в пределах — μ-σ.. μ+σ примерно равен 68%, т.е. большая чать всех случайных значений будет в этих пределах. А в пределах μ-2σ.. μ+2σ будет уже 95% все. Зачем это знать? Ну если вызнаете сколько вам нужно выкинуть на кубиках, то зная в какой из диапазонов попадает величина можно представить себе вероятность попадания без запоминания всего графика: μ..μ+σ — 34%, μ+σ..μ+2σ — 14%.

Стоит заметить что для распределений отличных от нормального эти проценты будут другие, но всё-же если распределение похоже, то значения будут приблизительно похожи.

Пример для 4d6k3

Рассмотрим, например sum(4d6k3):

  • Математическое ожидание: 12.2, т.е. усреднённое значение всех бросков близко к 12, но несмотря на это чаще всего выпадает 13 (распределение не симметричное)
  • среднеквадратичное отклонение: 2.8, т.е. значения с 12.2 по 12.2+2.8 (т.е. реально 13,14,15) выпадают с вероятностью примерно 34%. Однако это распределение отличается от Гауссового, и в реальности вероятность выпадения этих значений будет 13%+12%+10% =35%, что не сильно отличается от нормального распределения
  • В общем случае вероятность выпадения значений в определённом диапазоне можно посчитать просто суммируя вероятности каждого из этих значений. Например: вероятность выкинуть 9 или меньше: (0.08+0.31+0.77+1.6+2.9+4+7)% ≈ 17%

Графики плотности вероятностей для sum(2d6), sum(3d6), sum(3d6k3), 1d6! (со взрывами):

Различные системы

Dungeons & Dragons

Большинство проверок сводится к «выбросить на 1d20 больше чем DC-skill» или к аналогичным. Для данной простой проверки даже графики-то не нужны, всё можно посчитать в уме. Вероятность выкинуть 10 или больше: 1/20*11 = 55%. Вероятность выкинуть 15 или больше: 6/20 = 30%

немного сложнее с новой системой Advantage/Disadvantage, когда бросается 2d20, и берется лучшее/худшее значение: min(2d20) и max(2d20). Вот графики для них:

  • При наличии advantage вероятность выбросить 20 — почти 10%! Аналогичная вероятность выкинуть 1 при disadvantage. Плотности вероятности обоих вариантов являются зеркальными отображениями друг-друга, поэтому свойства одной «зеркально» являются свойствами другой.
  • Математическое ожидание смещается на 3.3 вправо или влево. Однако распределение не Гауссово, и даже не похоже на изначальное, так-что это не эквивалентно бонусу/штрафу 3.3
  • при advantage вероятность получить 9 или меньше 20%, в то время как на обычном 1d20 —45%

Броски 2dN с выбором лучшего/худшего хороши для процессов вида «чем больше, тем вероятнее» или «чем меньше тем вероятнее», например при случайном выборе «силы» для воина, или при выборе количества трезвенников в баре, количество проституток в церкви, количество честных людей в правительстве, средняя школьная оценка мелкого воришки, вероятность что кошка приземлится на ноги. Так же эти броски хороши для описания процессов которые следуют закону Мерфи, например вероятность что бутерброд упадёт маслом вниз.

Хоббиты

Везучие хоббиты могут перекидывать кубик, если на нём выпало значение 1. Если вам интересно как это влияет на вероятности выбросить то или иное значение, то можете изучить следующие графики

Тут всё просто: вероятность получить 1 — 1/5

При наличии преимущества, вероятность получить 1 у халфлинга меньше одной тысячной процента, а остальное видно на графике

New World of Darkness

в WoD кидается Xd10, и считается количество костей на которых выпало 8 или больше. Кости на которых выпало 10 учитываются в успех и кидаются ещё раз, и учитываются так же как и первые брошенные кости, если опять выпадает 10, то процесс повторяется. Т.е. возможно да же на 1d10 выкинуть бесконечное значение успехов, правда вероятность этого очень низкая. Как оказалось, график плотностей вероятности данного вида бросков лучше всего отображается используя логарифмическую шкалу. Для тех кто не знает: на логарифмической шкале одно деление означает увеличение/уменьшение значения в 10 раз, на два деления — в 100 раз и т.д.

По графику видно что при такой системе подсчёта результатов при броске Xd10 вероятности 0..(X-1) успеха достаточно велики. Вероятность выпадения X и больше падает во много раз с каждым новым успехом.

Такие броски хорошо описывают процессы где вероятность определённых значений отличаются не сильно, но уменьшается с ростом величины. При этом несмотря на наличие границы, есть очень маленькая вероятность получить и большие значения. Такое распределение неплохо подходит для событий имеющих какие-то ограничения, которые при этом всё же изредка могут быть преодолены

Dungeons the Dragoning

В DtD, как и в WoD бросается Xd10 со «взрывами» кубиков и выбором N лучших значений, а вместо «количества по условию» считается сумма. Далее представлены графики для Xd10, графики для Xd10kN не отображены, но по аналогии с 4d6k3 они будут похожи на ND10 со сдвигом медианы (верхушки) правее с каждым X.

Данный вариант является компромиссным между «колоколовидным» распределением, где чаще всего выпадает определенное значение, и есть меньшая вероятность выпадения малых/больших значений , и распределением как в nWoD, когда нет верхнего предела значений, но их вероятность очень мала. Правда тут все же высокие значения выпадают чаще чем в nWoD, так-что на 3d10 где в среднем выпадает 15-16, вполне можно получить и 50 за одну игровую сессию несколько раз

Итоги

Разные способы подсчета результата лучше всего описывают события или действия разной природы. С событиями всё просто — их природа видна по графикам. А вот с действиями чуть сложнее — разные системы описывают разную степень влияния персонажа (модификатора) на результат: где-то все больше зависит от персонажа, где-то больше от случая.

  • 1dN+mod >= target, если порядок mod примерно такой же как и N, например 1d20+3, 1d20+10. Описывает действия, эффективность которых мало зависит от персонажа, а модификатор просто немного увеличивает эффективность
  • 1dN+mod >= target, если mod в разы больше N, например 1d6+20, 1d20+50. Описывает действия эффективность которых более менее стабильна, но может колебаться в окрестностях mod+((N+1)/2)
  • max(2dN)+mod >= target. Описывает действия эффективность которых в основном зависит от персонажа (mod), и как правило они максимально эффективны, но есть факторы которые могут уменьшить эффективность.
  • max(3dN)+mod >= target. Тоже самое что и max(2dN), но с еще большей вероятностью получить максимальное значение
  • sum(XdN)+mod >= target, когда X>=2. Описывает действия эффективность которых, как правило, напрямую зависит от персонажа, но есть факторы которые могут увеличить или уменьшить эффективность.
  • count((mod)dN >= constant value) >= target. Описывает действия где диапазон эффективностей напрямую зависит от персонажа. Сама эффективность тоже зависит от персонажа, но в меньшей степени. Эффективность больше диапазона очень мало-вероятна, но возможна
  • sum((mod)dN) >= target. Описывает действия где от персонаж зависит и эффективность, и «стабильность» эффективности и диапазон эффективности. Эффективность больше диапазона вероятна и ничем не ограничена, но маловероятна (но более вероятна чем для count((mod)dN >= constant value) >= target)
  • Вариации XdN keep Y best, где X>=2, 2 YdN, но увеличение X увеличивает вероятность большей эффективности и сильно уменьшает вероятность минимальной эффективности. Например в DtD: (mod1)d10k(mod2): mod2 определяет диапазон, эффективности и стабильность эффективности, mod1 — увеличивает стабильность и вероятность «сверх-эффективности»

Если вам хочется самим построить подобные графики и вы умеете программировать на python, то можете скопировать мой репозиторий и что-нибудь поменять

Сайт розроблений @imposeren і можливо іншими учасниками. Код цього сайту є відкритим проектом і доступний на BitBucket

Какое число чаще всего выпадает на кубике?

У честной игральной кости вероятность выпадения любого числа из шести одинакова, и составляет 16,67%. В случае норвежского кубика числа 4 и 5 появляются в два раза чаще, поскольку они встречаются по два раза, поэтому для них вероятность равняется 1/3, 33,33%.4 авг. 2018 г.

Какой шанс выпадения двух шестерок?

Выпадение двух шестерок — новое событие, являющееся пересечением независимых событий А и В. Получаем, что Ответ: 1/36.

Сколько вариантов бросков двух игральных костей?

В игре участвуют две игральные кости, и каждая игральная кость имеет 6 граней. Таким образом, возможно всего 36 различных комбинаций с суммами между 2 и 12.3 апр. 2013 г.

Почему на игральных костях 4 и 1 красного цвета?

Это связано вот с чем: во многих играх при выпадении единицы накопленные очки сгорают и право хода переходит к сопернику, а иероглифы «четыре» и «умереть» в восточных языках произносятся одинаково — «син». Красный цвет, который в восточной культуре считается счастливым, призван нейтрализовать дурное влияние.4 мая 2017 г.

Каков шанс выпадения 6 на кубике?

Если вы бросаете стандартный шестигранный кубик, и два раза подряд выпадает число 6 — вероятность того, что результатом следующего броска будет 6, точно так же равна 1 / 6. Вероятность не повышается от того, что кубик «нагрелся».20 янв. 2016 г.

Как рассчитать вероятность выпадения кубика?

Одна игральная кость С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле P=m/n, где n — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а m — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Какая вероятность выпадения числа на кубике?

У честной игральной кости вероятность выпадения любого числа из шести одинакова, и составляет 16,67%. В случае норвежского кубика числа 4 и 5 появляются в два раза чаще, поскольку они встречаются по два раза, поэтому для них вероятность равняется 1/3, 33,33%.4 авг. 2018 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *