Какое число больше в периоде или рациональное
Перейти к содержимому

Какое число больше в периоде или рациональное

  • автор:

Рациональные числа

Рациональные числа — это множество чисел, включающее в себя целые и дробные числа.

Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q.

Множество рациональных чисел содержит как дробные числа (обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа), так и целые числа. Любое целое рациональное число можно также представить и в виде дроби:

a ,
b

где a — это целое число, а b — натуральное число и b ≠ 0. Поэтому для любого целого числа a верно равенство:

a = a = a · 2 = a · 3 = a · n .
1 1 · 2 1 · 3 1 · n

Следовательно, любое целое рациональное число можно представить в виде дроби с любым знаменателем.

Сравнение рациональных чисел

Сравнить два рациональных числа — значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа.

Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Два рациональных числа равны, если равны их модули, и они имеют одинаковый знак.

Рациональные числа

Примеры рациональных чисел: -5,\; \frac,\; 0,\; 7\frac34,\; 4,\; 6 и т.д.

Во множестве натуральных чисел не всегда выполняется операция вычитания и поэтому возникла необходимость в его расширении. Таким образом, было введено понятие отрицательного числа вида ( −m , m — натуральное число).

Множеством целых чисел называют множество натуральных чисел, нуль и отрицательные числа и обозначается латинской буквой \mathbb .

В множестве целых чисел не всегда выполнима операция деления, и потому вводятся числа вида \frac

— обыкновенные дроби, где p и q — целые числа, q \neq 0 .

p — называют числителем дроби, а q — знаменателем.

В случае если q=1 дробь будет представлять собой \frac p1 , или просто чаще пишут p . Исходя из этого делают следующий вывод: любое натуральное число можно представить как обыкновенную дробь со знаменателем 1 . Запись \frac pq — другой вариант записи p : q .

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные. Дробь вида \frac pq , у которой знаменатель больше числителя, называется правильной дробью, а дробь, в которой числитель больше знаменателя или равняется ему — неправильной дробью.

Любую неправильную дробь можно представить как сумму натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа).

Рациональные числа: определения, примеры

Данная статья посвящена изучению темы «Рациональные числа». Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби a b , отрицательной обыкновенной дроби — a b или числа ноль.

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

  1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1 n .
  2. Любое целое число, включая число 0 , является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15 = 15 1 , — 352 = — 352 1 .
  3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь a b является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
  4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
  5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом.
  6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5 , 105 , 358 , 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа — 2 , — 358 , — 936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 3 5 , 8 7 , — 35 8 также являются примерами рациональных чисел.

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациональные числа

Рациональные числа — это такие числа, которые можно представить в виде дроби ± z n , где z — целое число, n — натуральное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; — m n = ( — m ) ÷ n = — m n .

Таким образом, можно записать:

z n = z n , п р и z > 0 0 , п р и z = 0 — z n , п р и z < 0

Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа — 3 , 0 , 5 , — 7 55 , 0 , 0125 и — 1 3 5 . Все эти числа являются рациональными, так как их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: — 3 1 , 0 1 , — 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Определение 3. Рациональные числа

Рациональное число — это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

  1. Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
  2. Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель — натуральным числом.
  3. Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос «рационально ли число?» является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения — рациональное число.

Например, значение выражения 2 · 3 1 8 — 0 , 25 0 , ( 3 ) является рациональным числом и равно 18 .

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

Оказывается, что число m n , заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n -ой степенью какого-то натурального числа.

Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9 , 81 — рациональные числа. 9 и 81 — полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199 , 28 , 15 1 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел.

Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 243 5 ? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243 , поэтому исходное выражение можно переписать так: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 121 5 . Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121 .

Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log 2 5 . Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log 2 5 = m n .По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.

Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2 · 2 = 2 .

Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2 log 2 3 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2 log 2 3 = 3 .

Рациональные числа: определение, свойства и примеры

Повторяем азы школьной математики и учимся применять их в коде на Python.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Лев Сергеев

Лев Сергеев
Программист, музыкант. Знает Java, C# и Unity3D, но не собирается останавливаться на достигнутом.

Миром правят числа! Так однажды сказал Пифагор, и у нас нет оснований с ним спорить. Вопрос лишь в том, что это за числа. Например, натуральными числами вы никогда не опишете отрицательный баланс на карточке или, скажем, точный показатель скорости света. Здесь нужна артиллерия помощнее — то есть рациональные числа.

Сегодня мы узнаем, что это за числа такие, зачем они нужны и как появились. Статья будет полезна не только студентам, штудирующим базу перед экзаменами, но и новичкам в IT — в конце мы посмотрим, как работать с рациональными числами на языке Python.

Из этой статьи вы узнаете:

  • что такое рациональные числа;
  • чем они отличаются от остальных;
  • какие у них есть свойства;
  • как работать с рациональными числами в Python;
  • резюме: что нужно запомнить.

Что такое рациональные числа

Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где числитель m — это целое число, а знаменатель n — натуральное. Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Например, число 0,5 можно представить как дробь 5/10 или ½, а значит, оно является рациональным. Математически это записывается как 0,5 ∈ Q.

Любое целое число тоже можно считать рациональным — ведь мы можем представить его в виде дроби. Например, число 5 можно записать как 5/1. Технически это будет неотличимо от деления 5 на 1, в результате которого получится та же самая пятёрка.

Ноль также относится к рациональным числам, потому что его мы тоже можем представить в виде дроби. Так как на ноль делить крайне не рекомендуется, знаменатель у ноля тоже не может быть меньше единицы. Проиллюстрировать это можно на примере пиццы: сначала у нас было 7 из 8 кусков, то есть дробь 7/8, а когда всё съели — стало 0/8:

Бесконечные периодические дроби также относятся к рациональным числам. Например, если мы возьмём дробь 1/7 и попытаемся перевести её в обычный вид — то есть разделим 1 на 7, — то получим 0,14285714285714… Последовательность после запятой (период) 142857 будет повторяться до бесконечности, но при обратной операции мы снова получим дробь 1/7, а значит, это также относится к рациональному множеству.

Если после запятой у дроби нет никакой повторяющейся последовательности, то число уже называется иррациональным. Например √2 = 1,41421356237… Ещё один пример — знаменитое число π («пи») — 3,1415926535…

Примеры рациональных чисел:

  • Целое положительное натуральное число 1 — это 1/1.
  • Целое число 0 — это 0/1.
  • Целое отрицательное число −5 — это −5/1.
  • Десятичная дробь 0,25 — это 25/100.
  • Отрицательная десятичная дробь −0,75 — это −75/100.
  • Смешанное число 3,25 — это 13/4.
  • Бесконечная периодическая дробь 0,333… — это 1/3.

Чем рациональные числа отличаются от остальных

Чтобы лучше разобраться в специфике рациональных чисел — краткий ликбез по математическим множествам.

Начнём с натуральных чисел. К ним относятся все положительные числа: от 1 до бесконечности — ноль в этот список не входит. Натуральные числа мы используем, чтобы посчитать что-то материальное: одна монета, два фломастера, пять машин. Этот вид чисел — самый древний, его использовали для расчётов ещё первобытные племена.

Целые числа — все натуральные числа, противоположные им (то есть отрицательные), а также ноль. Считается, что такие числа впервые стали использовать в Древнем Китае и Древней Индии для математического обозначения долга.

Следующее множество — рациональные числа. Это все натуральные и целые числа, а также дроби: обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические. Периодические — это такие дроби, где одна или группа цифр после запятой повторяются, например 0,161616… Если этого повтора нет, то число уже зовётся иррациональным.

Иррациональные и рациональные числа, в свою очередь, образуют новое множество — вещественные числа. Визуально это можно представить так:

Свойства рациональных чисел

Как и у любых других объектов в математике, у рациональных чисел есть свои свойства. Во всех примерах ниже a, b и c являются рациональными числами.

Свойства сложения

1️⃣ Переместительное свойство. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:

2️⃣ Сочетательное свойство. Чтобы к рациональному числу прибавить сумму двух чисел, нужно к первому числу прибавить и первое, и второе число:

3️⃣ Ноль — нейтральный элемент. Сложение нуля с рациональным числом не изменит это число:

4️⃣ Наличие противоположного числа. У каждого рационального числа есть противоположное, а при их сложении мы получим 0:

Чтобы лучше запомнить эти свойства, сохраните себе такую шпаргалку:

Свойства умножения с положительными множителями

Здесь всё практически идентично.

1️⃣ Переместительное свойство. От перемены мест множителей произведение не меняется:

2️⃣ Сочетательное свойство. Чтобы умножить рациональное число на произведение двух чисел, нужно первое число умножить сначала на первый, а потом на второй множитель:

3️⃣ Свойство умножения на 1. При умножении рационального числа на 1 мы получим то же число:

4️⃣ Свойство умножения на 0. При умножении рационального числа на 0 мы получим 0:

5️⃣ Свойство умножения на дробь. При умножении рационального числа на дробь, в числителе которой 1, а в знаменателе это же рациональное число, получится 1:

6️⃣ Распределительное свойство. При умножении суммы на рациональное число, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно, а потом эти значения сложить. Это же правило работает и с вычитанием:

Свойства умножения с отрицательными множителями

1️⃣Умножение чисел с разными знаками. Если есть хотя бы один отрицательный множитель, то всё произведение будет отрицательным (плюс на минус даёт минус, и минус на плюс даёт минус):

2️⃣Умножение отрицательных чисел: если мы умножаем оба отрицательных множителя, то произведение получится положительным (минус на минус даёт плюс):

Свойства вычитания и деления

Свойства вычитания рациональных чисел можно описать по аналогии со свойствами сложения, главное — не запутаться с минусом. Например, a − b = −b + a:

А свойства деления рациональных чисел обратны свойствам умножения:

Рациональные числа в Python

Рассмотрим примеры рациональных чисел и их свойств на языке Python. В питоне есть специальный модуль fractions, который позволяет нам работать с рациональными числами, а в нём класс Fraction, являющийся реализацией дробного значения.

Ну что ж, за дело. Для начала импортируем класс Fraction из модуля fractions, чтобы мы могли им пользоваться:

from fractions import Fraction

Теперь разберём, как работает этот класс. При создании объекта Fraction в конструктор можно передать:

  • два значения, где первое — это числитель, а второе — знаменатель (переменная a);
  • дробное значение в виде строки (переменная b);
  • вещественное значение (переменная c);
  • другой Fraction, так как Fraction и является реализацией рационального дробного значения (переменная d).
a = Fraction(1, 2) b = Fraction('1/2') c = Fraction(0.5) d = Fraction(a) print(a, b, c, d) print(float(a), float(b), float(c), float(d)) 1/2 1/2 1/2 1/2 0.5 0.5 0.5 0.5

Видно, что значение переменных Fraction при выводе показывает дробный вид рационального числа 0,5, а во второй строке вывода при приведении значения ½ к float, получим его вещественное представление .

Поменяем значения переменных и пройдёмся по свойствам рациональных чисел, взяв отрицательную дробь -¾, дробь ⅔ (с бесконечным периодом) и целое число 10:

a = Fraction(-3, 4) b = Fraction(2, 3) c = Fraction(10)

Возьмём сочетательное свойство сложения и применим формулу (a + b) + c = a + (b + c), дабы убедиться, что значения будут равны, а также приведём вид дробей к float:

print((a + b) + c, '=', a + (b + c)) print(float((a + b) + c), '=', float(a + (b + c))) 119/12 = 119/12 9.916666666666666 = 9.916666666666666

Как можно заметить, значения одинаковые, а при выводе в вещественном виде у нас получается число с бесконечным периодом 6. А как мы уже говорили выше, такие числа также относятся к рациональным.

Проделаем ту же операцию по формуле распределительного свойства умножения:

print((a + b) * c, '=', a * c + b * c) print(float((a + b) * c), '=', float(a * c + b * c)) -5/6 = -5/6 -0.8333333333333334 = -0.8333333333333334

Значения получились равные, но можно заметить, что при приведении к вещественному виду период рационального числа нарушается — 3 в конце заменяется на 4. Это происходит в силу особенностей вычислений в языке Python. Если мы на листе бумаги разделим 5 на 6, то получим 0,8333…, где 3 будет повторяться до бесконечности.

И напоследок разберём случай с делением рациональных чисел с использованием переместительного свойства. Для начала разделим a на b. Теперь поменяем операнды местами и посмотрим, что получится. Для этого умножаем a на дробь 1/b, подставив в качестве второго операнда класс Fraction, который и реализует эту дробь. Вуаля:

print(a / b, '=', a * Fraction(1, b)) print(float(a / b), '=', float(a * Fraction(1, b))) -9/8 = -9/8 -1.125 = -1.125

Резюме: повторим изученное

Из этой статьи мы узнали, что такое рациональные числа, чем они отличаются от других видов чисел и какие у них есть свойства. Давайте пройдёмся по основным моментам, дабы закрепить знания.

  • Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное.
  • Рациональные числа — это все натуральные и целые числа, а также дроби: обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические.
  • Бесконечные периодические дроби — это такие дроби, где есть повторяющаяся последовательность после запятой. Например, 1,16161616… Если дробь бесконечная, а такой последовательности нет, число называется иррациональным.
  • У рациональных чисел есть математические свойства: переместительное, сочетательное, распределительное и так далее.
  • С рациональными числами можно проводить любые математические операции, такие как сложение, вычитание, деление, умножение и другие.

Больше интересного про код — в нашем телеграм-канале. Подписывайтесь!

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *