Как заменить распределенную нагрузку на сосредоточенную при решении задач
Перейти к содержимому

Как заменить распределенную нагрузку на сосредоточенную при решении задач

  • автор:

Замена распределенных сил эквивалентными сосредоточенными

В задачах встречаются системы параллельных сил, распределенных по некоторому закону вдоль прямолинейного стержня (рис.1.33).

Такие распределенные силы характеризуются интенсивностью q, равной величине силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка (например, погонный вес балки как элемента строительной конструкции). В общем случае интенсивность является некоторой функцией q(x) координаты x, отсчитываемой вдоль нагруженного отрезка.

Интенсивность измеряется в системе единиц СИ в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

Рассмотрим систему параллельных сил, распределенных по произвольному закону q (x) вдоль прямолинейного отрезка длиной a и направленных

перпендикулярно этому отрезку (рис.1.33).

Величина главного вектора и главный алгебраический момент M O относительно центра (т. О) определяются суммированием (интегрированием) элементарных бесконечно малых сил q(x)·dx моментов x·q(x)·dx по всей длине нагруженного участка:

Если приложить главный вектор в точке стержня, удаленной от О на расстоянии (рис.1.34), то его момент относительно т.О станет равным главному алгебраическому моменту М 0. Это означает, что приложенный в этой точке один вектор * определяет такой же главный вектор и главный алгебраический момент системы. Таким образом, системы эквивалентны. Следовательно, приложенный в этой точке главный вектор * является равнодействующей силой, или, как принято говорить, сосредоточенной силой, эквивалентной исходной распределенной нагрузке.

Итак, формулы для оценки эквивалентной сосредоточенной силы и точки её приложения:

Воспользуемся полученными формулами для двух часто встречающихся случаев: равномерно и линейно распределенные нагрузки.

Равномерно распределенная нагрузка (рис.1.35).

Здесь интенсивность постоянна: q = const. Распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой , равной произведению интенсивности на длину отрезка и приложенной к середине нагруженного участка:

Силы, распределенные по линейному закону (рис.1.36).

Для такой системы сил интенсивность q меняется от нуля до максимального значения q max по линейному закону.

Эквивалентная сосредоточенная сила этой системы приложена в точке, делящей нагруженный участок в соотношении 2: 1 (рис.1.36) и равна:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Определите величину и точку приложения равномерно распределенной нагрузки.

2. Определите величину и точку приложения линейно распределенной нагрузки.

3. Какую размерность имеет погонный вес?

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Момент распределенной нагрузки

Определение величины момента M создаваемого равномерно распределенной нагрузкой q в произвольной точке балки.

Вопрос: Как определить момент в заданной точке балки, возникающий от распределенной нагрузки?

Момент нагрузки

Ответ: При расчетах балок, в сопромате часто возникает задача определить изгибающий момент в сечениях балки вызванный действием равномерно распределенной нагрузки q .

В этом случае, как правило, удобнее пользоваться понятием равнодействующей силы Rq , которой можно заменить распределенную нагрузку.

Рассмотрим пример нахождения момента в произвольной точке C от равномерно распределенной между точками A и B нагрузки интенсивностью q .

Для определения момента нагрузки необходимо знать ее длину a и расстояние z от любого ее края до рассматриваемой точки.

Определение момента нагрузки относительно точки

Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей Rq , которая для равномерного случая распределения будет располагаться ровно посередине нагрузки, при этом ее величина определяется как произведение интенсивности q нагрузки на ее длину a

Замена нагрузки на равнодействующую

Как известно момент силы определяется произведением силы на плечо

В данном случае силой в вышеуказанном выражении является равнодействующая Rq .

Плечом этой силы является расстояние от точки C до равнодействующей нагрузки

Определение плеча момента нагрузки.

Таким образом, момент нагрузки равен произведению интенсивности q нагрузки на ее длину a и на расстояние от ее середины до рассматриваемой точки a/2+z

MС=Rql=qa(a/2+z)

Для случая, когда точка лежит в пределах действия нагрузки, аналогично:

MС= Rql=qa(a/2-z)

Равнодействующая и момент нагрузки

  1. В случае действия неравномерно распределенной нагрузки ее интенсивность задается функцией.
  2. Для нагрузки, распределенной по площади (объему) при вычислении равнодействующей вместо длины надо подставлять площадь (объем) ее действия.
  3. Момент части распределенной нагрузки определяется аналогично.

Техническая механика

распределенные нагрузки в технической механике

Как мы уже знаем, любая сила характеризуется тремя свойствами: модулем (скалярной размерностью), вектором (направлением в пространстве) и точкой приложения. Для того, чтобы иметь полное представление о характере и последствиях воздействия любой силы на тело или элемент конструкции, необходимо знать — какова величина этой силы, куда она направлена и к какой точке приложена.
В действительности сила не может быть приложена к точке, поскольку точка — безразмерная, бесконечно малая единица пространства, поэтому фактически силы воздействуют на очень малую площадку, размерами которой пренебрегают. Такие силы (приложенные к ничтожно малой площадке тела) называют сосредоточенными .

В реальности часто встречаются силы, приложенные не к точке, а к объему или поверхности тела, например сила тяжести, давления ветра, воды и т. п., т. е. нагрузку воспринимает не бесконечно малая площадка, а значительная площадь или объем тела. Такие силы называют распределенными .
Примером распределенной силы (обычно употребляют выражение «распределенная нагрузка») может послужить выпавший на крышу дома снег. Сила тяжести снежного покрова давит на всю поверхность крыши, нагружая одинаково (или неодинаково) каждую единицу ее площади, а не какую-либо точку.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью, обычно обозначаемой латинской буквой q .
Интенсивность — это сила, приходящаяся на единицу длины (или площади) нагруженного участка.
Интенсивность в системе единиц СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м) или, соответственно, в ньютонах на квадратный метр (для нагрузки, действующей на площадь).

Интенсивность воздействия силы на площадь характеризует такие физические понятия, как давление и напряжение. В плоской системе рассматривается интенсивность действия силы на единицу длины.

Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность по всей длине участка называется равномерно распределенной (см. рисунок 1) .

точка приложения распределенной нагрузки

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен Q = ql (см. рисунок) .
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки Q прикладывается в середине отрезка АВ .

Распределенная нагрузка, имеющая переменную интенсивность, называется неравномерно распределенной (рис. 2) .
Примером такой нагрузки может служить меняющееся по высоте давление воды на плотину или снег, лежащий на крыше неровным слоем.
Определение точки С приложения равнодействующей неравномерно распределенной нагрузки производится путем геометрических расчетов и построений. Равнодействующая сила Q при таких нагрузках равна площади фигуры, охватываемой эпюрой нагрузки, а точка С приложения равнодействующей расположена в центре тяжести этой фигуры.

Нагрузки, распределенные по поверхности (по площади), характеризуются давлением, т. е. силой, приходящейся на единицу площади. В системе единиц СИ давление измеряется в Паскалях (Па) или ньютонах на квадратный метр (Н/м 2 ).

неравномерно распределенные нагрузки

Пример решения задачи с распределенной нагрузкой

Задача: Балка находится в равновесии под действием сосредоточенной силы F = 100 Н и равномерно распределенной нагрузки q = 60 Н/м (см. схему 3) .
Необходимо определить реакцию RВ опоры В .

решение задач статики с распределенной нагрузкой

Решение .
Поскольку по условию задачи необходимо определить реакцию опоры В , составим уравнение моментов сил относительно опоры А , учитывая, что равномерно распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой:
Q = ql , где l = (10 — 5) метров — часть балки, к которой приложена распределенная нагрузка .
Точка приложения сосредоточенной силы Q расположена в середине той части балки, к которой приложена распределенная нагрузка; плечо этой силы относительно опоры А будет равно: h = (10 — 5)/2 = 2,5 м.
Cоставляем уравнение моментов сил относительно опоры А из условия, что балка находится в состоянии равновесия (уравнение равновесия) .

  • сила RВ создает относительно точки А положительный момент, плечо которого равно 10м;
  • сила F создает относительно точки А отрицательный момент, плечо которого равно 5 м;
  • распределенная нагрузка q создает (посредством силы Q и плеча h ) относительно точки А отрицательный момент.

Получаем уравнение равновесия балки, в котором лишь одна неизвестная величина ( RВ ) :

ΣM = 10RВ — qlh — 5F = 10RВ — q(10-5)(10-5)/2 — 5F = 0 , откуда находим искомую реакцию опоры RВ :

Распределенные нагрузки и их равнодействующая

Распределенные нагрузки и их равнодействующая

Плоская распределенная нагрузка

Распределенной нагрузкой называют внешние или внутренние усилия, которые приложены не в одной точке твердого тела (т.е. не сосредоточены в одной точке), а равномерно, случайным образом или по заданному закону распределены по его определенной длине, площади (поверхности) или объему.

Рассмотрим виды распределенных нагрузок q: линейную, равномерную, треугольную (возрастающую или убывающую), трапециевидную, нелинейную, наклонную (направленную под углом) и замену их результирующей сосредоточенной силой — равнодействующей Q (Rq)

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Нагрузка распределенная по площади

Это может быть собственный вес элемента конструкции, давление газа или воды, распределенный вес сыпучих материалов, ветровая нагрузка и тому подобное.

Обозначение распределенной нагрузки — q

  • линейной нагрузки — Н/м,
  • нагрузки распределенной по площади — Н/м 2 ,
  • объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) — Н/м 3 .

или кратные им, например кН/м.

Равнодействующая распределенной нагрузки

При решении некоторых задач технической и теоретической механики, распределенную нагрузку удобно заменять её равнодействующей, обозначаемой Q или Rq, которая для линейного случая распределения, определяется произведением интенсивности нагрузки q на её длину AB.

Равнодействующая распределенной нагрузки действует в точке, расположенной в центре тяжести фигуры, ограниченной профилем её распределения.

Рассмотрим способы замены распределенных нагрузок их равнодействующей.

Равномерно распределенная нагрузка

Равномерно распределенная по длине AB нагрузка интенсивностью q, измеряемая в Н/м
Равномерно распределенная нагрузка
может быть заменена сосредоточенной силой Q (Rq)
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки

приложенной в центре (на пересечении диагоналей) прямоугольника, середине отрезка AB.

Линейно изменяющаяся (треугольная) нагрузка

Треугольная, линейно изменяющаяся убывающая (возрастающая) нагрузка
Треугольная распределенная нагрузка
может быть заменена равнодействующей силой, приложенной в точке C
Равнодействующая треугольной распределенной нагрузки
Отметим, что центр тяжести треугольника находится на пересечении его медиан, на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин.

Трапециевидная распределенная нагрузка

Трапециевидная, равномерно убывающая или возрастающая нагрузка характеризуется длиной и двумя значениями интенсивности распределения нагрузки: минимальной qmin и максимальной qmax
Трапециевидная распределенная нагрузка
Профиль такой нагрузки представляет собой трапецию.
Величина и положение равнодействующей Q в данном случае определяется по выражениям
Равнодействующая трапециевидной распределенной нагрузки

Нелинейная распределенная нагрузка

В произвольном общем случае, интенсивность распределения нагрузки по её длине может описываться одной или несколькими функциями.

Нелинейная распределенная нагрузка
Зная функцию q(x), сосредоточенная эквивалентная (равнодействующая) сила рассчитывается по формуле
Равнодействующая нелинейной распределенной нагрузки

Эта сила также приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x).

Для расчета точки приложения равнодействующей нагрузки необходимо вычислить координату положения центра тяжести фигуры, образуемой нагрузкой.

Наклонная распределенная нагрузка

Наклонная распределенная нагрузка

В случаях, когда распределенная нагрузка приложена под определенным углом, величина равнодействующей определяется аналогично ранее описанным способам.

При этом угол наклона самой силы будет равен углу наклона нагрузки q.

Например, линия действия равнодействующей наклонной равномерно распределенной нагрузки будет пересекать ось балки ровно посередине между крайними точками её приложения.

Величина равнодействующей будет равна площади параллелограмма, образованного профилем нагрузки.

Распределенная нагрузка от давления

Примером распределенной нагрузки от давления может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом.

Распределенная нагрузка от давления

Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м];

где:
R – радиус трубы,
2α – центральный угол,
ось Ox – ось симметрии.

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q, действующую на плоский элемент дуги:

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy:

Qy = 0, т.е. Q = Qx,

Тогда

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = p [Н/м 2 ].

Распределенная нагрузка как напряжения

Если цилиндр рассечен по диаметру, то равнодействующая этих сил равна

где, d – внутренний диаметр, или

Тогда, разрывающие баллон по диаметру усилия:

S1 = S2 = S;
2S = F;
S = p∙h∙R.

Если принять что a – толщина стенки, то (пренебрегая усилиями в крышке и дне цилиндра) растягивающее напряжение в стенке равно

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *