Как перевести комплексное число в показательную форму
Перейти к содержимому

Как перевести комплексное число в показательную форму

  • автор:

Как преобразовать алгебраическую форму записи величины в показательную

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)

Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота

Еще один способ точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:

Тогда становится понятно — чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции — катеты. Тогда по закону Пифагора:

Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

Можно легко определить нужный угол:

Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:

Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому — модуль тока):

Теперь рассчитаем угол поворота вектора:

Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:

С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:

Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:

Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Тригонометрической формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi),$$где $|z|$ — модуль и $\varphi$ — аргумент комплексного числа.

Показательной формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|e^,$$ где $|z|$ — модуль и $\varphi$ — аргумент.

В условии задачи дано комплексное число в алгебраической форме. Чтобы его перевести в тригонометрическую форму нужно найти модуль и аргумент.

Вычисляем модуль по формуле корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа $$|z| = \sqrt = \sqrt)^2> = 2.$$

Для нахождения аргумента нужно учитывать, что в данном комплексном числе $x = 1 > 0$, поэтому формула $\varphi = \arctg \frac$. Более подробнее о формуле можно прочитать в статье аргумент комплексного числа. $$\varphi = \arctg \frac = \arctg \frac> = \frac<\pi>$$

Теперь можно записать тригонометрическую форму $$z = 2(\cos (\frac<\pi>)+i\sin(\frac<\pi>)),$$и показательную $$z = 2e^<\frac<\pi>i>.$$

Находим модуль $$|z| = \sqrt<(-\sqrt<3>)^2 + 1^2> = \sqrt = 2.$$

Вычисляем аргумент по формуле $\varphi = \pi + \arctg\frac$, так как $x0$ $$\varphi = \pi + \arctg \frac> = \pi — \frac<\pi> = \frac<5\pi>$$

И наконец, записываем тригонометрическую форму на основании полученных значений $$z = 2(\cos \frac<5\pi> + i\sin \frac<5\pi>),$$и теперь показательную форму $$z = 2e^< \frac<5\pi>i>.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Калькулятор преобразования формы комплексного числа

Данный калькулятор позволяет осуществлять перевод комлпексных чисел из одной формы в другую c пошаговым описанием хода решения. Например, можно перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую или из экспоненциальной в алгебраическую и т.д. Для правильного использования калькулятора, Вам необходимо выбрать форму записи Вашего комплексного числа и ввести данные. В калькулятор можно вводить не только числа и дроби, но и символы (параметры). Ниже представлены необходимые теоретические сведения для правильного использования калькулятора.

где — произвольные действительные числа, называется алгебраической формой записи комплексного числа.

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Наконец, воспользовавшись формулой Эйлера:

можно получить экпоненциальную (показательную) форму записи комплексного числа:

Показательная форма записи комплексного числа

Экспоненциальной формой комплексного числа является выражение \(\ z=r e^ \) , где \(\ r=|z|=\sqrt+y^> \) — модуль комплексного числа, \(\ e^ \) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.

Пусть комплексное число \(\ z \) записано в тригонометрической форме \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=|z|=\sqrt+y^> \) — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим

Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:

где e — показатель, \(\ \mathbf \) — мнимая единица.

Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \) :

В случае, когда \(\ z \) — действительное число \(\ (\operatorname z=0) \)

Если \(\ z \) — чисто мнимое число \(\ (\operatorname z=0) \) , то справа

Используя формулу Эйлера, получаем:

Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения проблем

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *