Как определить размерность матрицы
Перейти к содержимому

Как определить размерность матрицы

  • автор:

Матрицы: определение и основные понятия.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A =
4 1 -7
-1 0 2

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m . При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A n×m .

Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются aij , где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Элементы матрицы A4×4:

A =
4 1 -7 2
-1 0 2 44
4 6 7 9
11 3 1 5

Определение.
Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
Определение.
Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:

< не нулевая строка < нулевая строка < не нулевая строка Определение. Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.
Определение.
Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:

не не нулевой столбец

Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:

0 1 -7 — главная побочная диагональ
0 0 2
0 1 -7 — главная побочная диагональ
0 0 2
8 2 9

Определение.
Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.
Обозначение.
След матрицы обозначается trA = a 11 + a 22 + . + ann .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Определение матрицы и типы матриц

В этой статье мы объясним, что такое матрицы и как определяется размерность матрицы. Кроме того, вы увидите образцы матриц. И, наконец, вы узнаете, какие типы матриц являются наиболее важными.

Что такое матрица?

матрица команд

представляет собой набор чисел, расположенных в

\displaystyle A =\left( \begin</p>
<p> a_ & a_ & \cdots & a_ \\[1.1ex] a_ & a_ & \cdots & a_ \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_ & a_ & \cdots & a_ \end \right)» width=»241″ height=»117″ /></p>
<h3>примеры матриц</h3>
<p>Вот несколько примеров различных матриц:</p>
<p><img decoding=

2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end \qquad B = \begin 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end \qquad C = \begin 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end» width=»479″ height=»85″ />

Размеры стола

Размерность массива

\bm<m \times n></p>
<p>» width=»48″ height=»9″ /></p>
<p>соответствует количеству строк матрицы, а</p>
<p>по количеству столбцов.</p>
<p><strong>Примеры:</strong> </p><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 5theinternet -->
<script src=

\displaystyle \begin</p>
<p> 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end» width=»93″ height=»54″ /></p>
<p><img decoding=

3 & 6 & -2 \end» width=»85″ height=»22″ />

матрица столбцов

Именно эта матрица имеет только один столбец:

\displaystyle \begin</p>
<p> 6 \\[1.1ex] 4 \end» width=»29″ height=»54″ /></p>
<h4>транспонированная матрица</h4>
<p>Матрица транспонирования или транспонирования — это матрица, полученная путем <strong>замены строк на столбцы</strong> . И это представлено буквой «t» в правом верхнем углу матрицы.</p>
<p><img decoding=

2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end \ \longrightarrow \ A^t= \begin 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end» width=»277″ height=»54″ />

\displaystyle B= \begin</p>
<p> 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end \ \longrightarrow \ B^t= \begin 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end» width=»279″ height=»85″ /></p>
<h4>Квадратная матрица</h4>
<p><strong>Квадратная матрица</strong> – это матрица, имеющая такое же количество строк, что и столбцов.</p>
<p>Например, квадратная матрица третьего порядка будет такой:</p>
<p><img decoding=

Главная диагональ квадратной матрицы состоит из элементов, идущих из левого верхнего угла в правый нижний угол:

Вторичная диагональ квадратной матрицы соответствует элементам, идущим из левого нижнего угла в правый верхний угол:

Мы рекомендуем вам ознакомиться со всеми свойствами квадратных матриц , поскольку они, вероятно, являются наиболее используемым типом матриц и, следовательно, очень важны для линейной алгебры.

треугольная матрица

Треугольная матрица — это матрица, в которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны 0.

Треугольные матрицы делятся на два типа: верхние треугольные матрицы , элементы которых ниже главной диагонали равны нулю, и нижние треугольные матрицы , элементы которых выше главной диагонали равны нулю. Чтобы полностью понять различия между ними, вы можете ознакомиться с другими примерами треугольных матриц .

Верхняя треугольная матрица:

\displaystyle \begin</p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9theinternet -->
<script src=

4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end» width=»80″ height=»85″ />

Нижняя треугольная матрица:

\displaystyle \begin</p>
<p> 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end» width=»94″ height=»85″ /></p>
<h4>диагональная матрица</h4>
<p><strong>Диагональная матрица</strong> — это квадратная матрица, в которой все элементы, не находящиеся на главной диагонали, являются нулями. Свойства и другие примеры диагональных матриц вы можете посмотреть по этой ссылке.</p>
<p><img decoding=

Хотя эти матрицы кажутся очень простыми, поскольку содержат много нулей, на самом деле они очень важны для математики. На самом деле существует целая процедура диагонализации матрицы, поэтому диагонализуемые матрицы имеют большое значение.

скалярная матрица

Скалярная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны. Если хотите, вы можете увидеть другие примеры скалярных матриц здесь.

\displaystyle \begin</p>
<p> 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end» width=»80″ height=»85″ /></p>
<h4>Матрица идентичности или единица измерения</h4>
<p><strong>Единичная матрица</strong> — это диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны 1.</p>
<p><img decoding=

1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end» width=»80″ height=»85″ />

Как и любая диагональная матрица, она выглядит как матрица очень простого типа. Но пусть вас не вводит в заблуждение ее внешний вид: это широко используемая матрица благодаря своим свойствам, например, она используется для инвертирования матрицы. Мы рекомендуем вам просмотреть свойства единичной матрицы , чтобы понять ее полезность.

нулевая матрица

Нулевая матрица – это матрица, в которой все ее элементы равны 0:

\displaystyle \begin</p>
<p> 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end» width=»80″ height=»85″ /></p>
<p>Как видите, эта матрица совсем не сложная. Но даже если это может показаться не так, у этого есть свое применение. Вы можете увидеть их применение на странице свойств нулевой матрицы .</p>
<h4>симметричная матрица</h4>
<p><strong>Симметричная матрица</strong> — это матрица, главная диагональ которой является осью симметрии.</p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12theinternet -->
<script src=

\displaystyle \begin</p>
<p> 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end» width=»108″ height=»85″ /></p>
<p>Благодаря свойствам симметричных матриц результатом транспонирования симметричной матрицы является сама матрица.</p>
<h4>антисимметричная матрица</h4>
<p><strong>Антисимметричная матрица</strong> — это матрица, у которой главная диагональ заполнена нулями и при этом является осью антисимметрии.</p>
<p><img decoding=

Теперь, когда вы познакомились с типами таблиц, вы, вероятно, задаетесь вопросом… какой во всем этом смысл? Ну и одно из основных применений — матричные операции, самой важной из которых является умножение, как это делается, вы также можете увидеть на странице матрицы умножения .

Ранг и размерность матрицы: в чем разница

Матрицы являются непременным инструментом в математике и имеют широкое применение в различных областях. Однако, при изучении матриц возникают понятия, которые могут запутать новичков. Один из таких вопросов — в чем разница между рангом и размерностью матрицы.

Ранг матрицы — это понятие, которое указывает на количество линейно независимых строк или столбцов матрицы. С помощью ранга матрицы можно определить ее вычислительную сложность и использовать на практике для решения систем линейных уравнений и других задач.

Размерность матрицы, с другой стороны, указывает на количество строк и столбцов, которые присутствуют в матрице. Это важное понятие, которое определяет форму и размеры матрицы. Знание размерности позволяет конкретизировать и ограничить операции, выполняемые с матрицей, и лучше понять ее свойства и особенности.

Таким образом, главное отличие между рангом и размерностью матрицы заключается в их предназначении. Если ранг указывает на линейную независимость строк или столбцов, то размерность определяет форму и размеры матрицы. Эти два понятия работают вместе, дополняя друг друга, и помогают полностью описать и анализировать матрицы в математике.

Что такое матрица?

Каждое число в матрице называется элементом матрицы. Элементы матрицы обозначаются буквами, как правило, заглавными латинскими буквами. Порядок элементов в матрице имеет значение, поэтому каждый элемент можно однозначно идентифицировать по его позиции в строке и столбце.

Матрицы широко используются для решения систем линейных уравнений, трансформации геометрических фигур, анализа данных и многих других задач. Размер матрицы определяется числом строк и столбцов. Двумерные матрицы состоят из одной строки и одного столбца называются векторами.

Матрицы могут быть складываемы, умножаемы, транспонированы и применены к другим алгоритмам обработки данных. Они имеют множество свойств и операций, которые делают их важным инструментом в различных областях знаний. Понимание матрицы и ее свойств — ключевой навык для успешного изучения и применения линейной алгебры и многих других дисциплин.

Что такое ранг матрицы?

Понятие ранга матрицы связано с линейной алгеброй и имеет множество практических применений в различных областях, таких как математическая статистика, обработка сигналов, компьютерная графика и другие.

Ранг матрицы можно рассматривать как мощность наибольшего набора линейно независимых векторов или мощность наибольшего набора линейно независимых столбцов. Ранг матрицы также может быть определен как размерность линейной оболочки ее векторов или столбцов.

Матрица, у которой ранг максимален и равен числу строк (или столбцов), называется матрицей полного ранга. Такая матрица имеет все строки (столбцы), которые являются линейно независимыми. В противном случае, когда ранг матрицы меньше числа строк (или столбцов), она называется матрицей неполного ранга. В матрице неполного ранга содержатся линейно зависимые строки или столбцы.

Знание ранга матрицы может быть полезным для решения систем линейных уравнений, поиска обратной матрицы, определения свободных переменных и других задач линейной алгебры.

Как определить ранг матрицы?

Существует несколько методов определения ранга матрицы:

  1. Метод Гаусса. Данный метод заключается в приведении матрицы к ступенчатому виду путем элементарных преобразований строк. Ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в ступенчатом виде.
  2. Метод определителей. Этот метод основан на вычислении определителей различных порядков миноров матрицы. Ранг матрицы будет равен наибольшему порядку ненулевого минора.
  3. Метод собственных значений. Данный метод заключается в нахождении собственных значений матрицы и использовании их для определения ранга.

Выбор метода для определения ранга матрицы зависит от конкретной задачи и структуры матрицы. Важно помнить, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов.

Какой ранг может быть у матрицы?

Возможные значения для ранга матрицы:

  1. Ранг может быть равен 0, если все элементы матрицы равны нулю. Это означает, что все строки (и столбцы) матрицы являются линейно зависимыми.
  2. Ранг может быть равен 1, если все строки (или столбцы) матрицы пропорциональны друг другу. В этом случае все строки (и столбцы) матрицы также являются линейно зависимыми.
  3. Ранг может быть равен числу строк (или столбцов) матрицы. В этом случае все строки (или столбцы) матрицы являются линейно независимыми.
  4. Ранг может быть любым целым числом, которое меньше или равно числу строк (или столбцов) матрицы, но больше нуля. В этом случае матрица содержит некоторое количество линейно независимых строк (или столбцов).

Знание ранга матрицы позволяет определить размерность пространства, порождаемого ее строками (или столбцами), а также решать линейные системы уравнений и решать другие математические задачи.

Что такое размерность матрицы?

Размерность матрицы играет важную роль, поскольку определяет ее форму и количество элементов. Например:

Размерность матрицы важна при выполнении матричных операций, таких как сложение, умножение и транспонирование. Матрицы с одинаковой размерностью можно складывать и умножать друг на друга, в то время как матрицы с разной размерностью не могут быть сложены или умножены.

Таким образом, понимание и использование понятия размерности матрицы является неотъемлемой частью линейной алгебры и математики в целом.

Как определить размерность матрицы?

Размерность матрицы определяет количество строк и столбцов в матрице. Очень важно точно знать размерность матрицы, так как это позволяет корректно выполнять операции над ней.

Существует несколько способов определить размерность матрицы:

  1. Если матрица представлена числами в виде таблицы, то размерность можно определить по количеству строк и столбцов. Например, матрица размерности 3×2 будет иметь 3 строки и 2 столбца.
  2. Если матрица задана в виде формулы или последовательности чисел, то ее размерность можно определить по количеству символов или элементов в формуле или последовательности.

Зная размерность матрицы, мы можем определить ее ранг, то есть количество линейно независимых строк или столбцов. Ранг матрицы дает представление о ее свойствах и возможностях при выполнении арифметических операций.

В чем разница между рангом и размерностью матрицы?

Ранг матрицы — это мера линейной независимости строк или столбцов матрицы. Он определяет максимальное количество линейно независимых строк или столбцов в матрице. Ранг матрицы также можно определить как наибольшее количество столбцов или строк, которые можно выбрать, чтобы образовать ненулевую линейную комбинацию без использования других строк или столбцов.

Таким образом, размерность матрицы указывает на ее физические характеристики — количество строк и столбцов, в то время как ранг матрицы указывает на ее абстрактные характеристики — количество линейно независимых строк или столбцов. Эти два понятия важны в линейной алгебре и находят широкое применение при решении систем линейных уравнений и других математических задач.

Матрицы: основные определения и понятия

Матрицей размера $m \times n$ называется прямоугольная таблица, содержащая $m \cdot n$ чисел, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов.

Обозначение

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то матрица называется матрицей размера $m \times n$ или $m \times n$-матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 463 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Элементы матрицы

Элементы матрицы $A$ обозначаются $a_$, где $i$ — номер строки, в которой находится элемент, а $j$ — номер столбца.

Задание. Чему равен элемент $a_$ матрицы $A=\left( \begin & & \\ & & \end\right)$ ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, $a_ = 7$.

Ответ. $a_ = 7$

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.

Диагонали

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Главная диагональ матрицы

: 1 и 6 — элементы главной диагонали.

Побочная диагональ матрицы

: 3 и 4 — элементы побочной диагонали.

Для матрицы элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 — побочную.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *