Как найти угол через синус и косинус
Перейти к содержимому

Как найти угол через синус и косинус

  • автор:

Как найти угол,зная синус либо косинус этого угла?

Допустим мы имеем cos угла X который равен 0,4965.Как мне найти градусную меру этого угла? Может есть какая то формула,для нахождения градуса угла, которую я забыл?Или нужно постоянно смотреть в таблицу,и по другому никак?Также я имею калькулятор TI-83, который должен уметь переводить синусы и тп в градусы,а градусы в синусы и тп.Но я не очень в нем разобрался и могу ток градусы переводить в косинусы,синусы и тангенсы.

Лучший ответ

Для нахождения угла по его синусу, косинусу и т. д. используются так называемые аркфункции: арксинус, арккосинус и т. д. Их обозначают arcsin a, arccos a и т. д.
На Вашем калькуляторе над кнопками с синусом и косинусом есть надписи: sin в степени -1 и cos в степени -1.Это создатели калькулятора так кратко обозначили аркфункции. Чтобы ими воспользоваться, надо набрать число ( например, 0,4965), нажать клавишу SHIFT или 2nd, а затем клавишу, над которой написано cos в степени -1 и равно. У Вас получится угол, косинус которого равен 0,4965.

Остальные ответы
по таблицам Брадиса

Здравствуйте! Я тоже столкнулся с аналогичной проблемой ( учусь программированию языку MQL4), и вот Европа вся сидит на радианах, а нам углы подавай. Вот, я зашел в справочник и там ка-раз все функции в радианах, я сделал свои функции перевода углов в радианы и радианы в углы (они очень просты и не какой сложности), и вот только что написал как по катету и гипотенузе находить косинус, и теперь мне надо найти по косинусу угол, то есть, зная катет и гипотенузу я буду знать угол и наоборот. И хочу использовать в своих расчетах функцию арккосинус которая вернет мне радиану и которую я своей (ранее созданной функцией), переведу в угол. Вот, по ходу и все. Логика понятна?! До свидание. Извините: и совсем не знаю зачем она Вам?! И выпалил, как из пушки — весь свой негатив на Европу. Да будет так — они нам не товарищи. А так я только что был на каком-то сайте и там забиваешь значения и он тебе выводит ответ. Сайты где-то в самом начале поисковиков.

Похожий вопрос. К примеру, забыл я дома калькулятор, таблицы нет, интернета нет. Мне что на картах гадать что-ли?

Надо взять арккосинус этого косинуса, т. е. числа 0,4965
и получим: ~ 1,0512
далее: 1,0512 / Пи * 180 = 60,23

Тут вопрос точности — зная только косинус угла, вы не сможете уверенно вычислить угол, если этот угол маленький. Также и знание синуса вряд ли поможет, если угол близок к 90 градусам. Но если вы знаете одновременно и синус и косинус угла, то
Вот подпрограмма, которая сделает это —

Public Function Usc() As Integer ‘
Dim A As Single, U As Integer
If Abs(Caa) > Abs(Saa) Then
A = Atn(Saa / Caa) * 57.29578
If Caa < 0 Then If Saa >0 Then A = 180 + A Else A = A — 180
Else: A = Atn(Caa / Saa) * 57.29578
If Saa < 0 Then A = -90 - A Else A = 90 - A
End If: U = A
Usc = U
End Function
‘========
здесь Caa и Saa — косинус и синус, а U это искомое значение угла.

Что делать если ещё не проходили арккосинусы арксинусы?

Челу на 2 сообщения выше: хошь прикол? Sin(x)² + Cos(x)² = 1 а знаешь, что это значит? Правильно, это очень простое уравнение, решение которого можно вбить даже в просто компьютер

Формулы двойного угла

Справочник

Основные понятия. Тригонометрия довольно древняя наука, и ее первые упоминания связаны с необходимостью в практичной жизни, в земледелии, астрономии и строительстве. Впервые именно астрономы вывели такие понятия как отношение сторон треугольника. А официальные названия функций стали появляться позже, например, синус, который получил свое название первым, получил свое название от греческих математиков уже в третьем веке до н.э.. а косинус является относительно молодым, и был выведен как дополнение к синусу. История тригонометрии обширна и интересна, из древней науки о треугольниках она перешла в известную нам науку о тригонометрических функциях. Для того чтобы разобраться в формулах двойного угла, необходимо вспомнить основные понятия тригонометрии. Начнём:

основные понятия тригонометрии

Тригонометрические функции:

  • Синус угла — отношение катета напротив угла к гипотенузе:
  • Косинус — деление прилежащей стороны треугольника на гипотенузу;
  • Тангенс — отношение синуса к косинусу или катета напротив угла к прилежащему;
  • Котангенс — деление косинуса на синус, или стороны прилежащей к углу на противолежащую.

Определение

Тригонометрическая окружность — это окружность нанесённая на систему координат, имеющая радиус равный единице и центр в начале координат.

Тригонометрическая окружность

При помощи такой окружность можно наглядно разобраться в тригонометрических формулах и значениях. Например, найти числовые значения функций тригонометрии на системе координат, такие как:

\[ \sin 60^=\frac> \]; \[ \sin 30^=\frac \]

Данные примеры будут использоваться далее по тексту. Мы можем посмотреть их значение на окружности на рисунке ниже.

Числовые значения функций тригонометрии

Основное тождество в тригонометрии, звучит так:

  • Синус в квадрате угла плюс косинус в квадрате угла равны единице;
  • Произведение тангенса и котангенса угла равно единице;
  • Тангенс угла равен, делению, синуса этого угла на косинус, а котангенс наоборот косинуса на синус.

Данные тождества также будут применены для выведения формул двойного, тройного и т.д. углов.

Тождества для выведения формул углов

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла тригонометрических функций, необходимы для того чтобы выразить их, при этом угол должен иметь значение 2а, а также используя ТФ этого угла. Для отражения её на графике используют координаты с окружностью.

Список формул двойного угла

Прежде чем преступить к образованию формул двойного угла тригонометрии, давайте вспомним, что в тригонометрии углы принято писать в виде na, в такой записи п — обозначение натурального числа, а а — угол альфа. Обычно такая запись в тригонометрии используется без скобок, значит sin an, это тоже самое что sin (an). А также если рассмотреть запись sin n a, то она тоже имеет аналогичную запись вида (sin а) n . такое правило записи касается всех тригонометрических функций со степенями.

Рассмотрим какие же формулы двойного угла существуют на примерах.

Синус двойного угла формула:

sin 2 α = 2 * sin α * cos α;

Формула косинуса двойного угла:

cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α, cos 2α = 1 − 2 * sin 2 α , cos 2α = 2 * cos 2 α−1;

Тангенс двойного угла формула:

\[ \operatorname 2 \alpha=\frac \operatorname \alpha><1-\operatorname^ \alpha> \]
\[ \operatorname 2 \alpha=\frac<\operatorname^ a-1> \operatorname a> \]

Стоит не забывать, что выше приведённые формулы sin и cos, можно применять для любого значения угла. А вот если рассмотреть, формулы для тангенса, то при любых альфа где, tg 2a , имеет смысл, то есть при \[a \neq \frac<\pi>+\frac<\pi> \cdot z\], где z любое целое число. Что же касается формулы двойного угла котангенса, то при любом a, где ctg 2α определён на α ≠ 2 * z .

Как мы видим косинус с таким видом угла, наделён тремя вариантами записи формул, все они равноправны, а это значит, что результат их применения будет абсолютно одинаковым.

Доказательство формул двойного угла

Для того чтобы, формулы двойного угла были доказаны, вернёмся к истокам, формулам сложения. Сначала рассмотрим формулу синуса суммы, которая выглядит следующим образом:

\[ \operatorname(a+b)=\operatorname a * \cos b+\cos a * \sin b \]
\[ \operatorname(a+b)=\cos a * \cos b-\sin a * \sin b \]

Если считать что a = b, тогда выходит:

\[ \operatorname(a+a)=\sin a * \cos a+\cos a * \sin a=2 * \cos a * \sin a \]

И также для косинуса:

\[ \cos (a+a)=\cos a * \cos a-\sin a * \sin a=\cos ^ <2>\alpha-\sin ^ <2>\alpha \]

Таким способом мы доказали формулы синуса и косинуса двойного угла.

Формулы которые остались: cos 2α = 1 − 2 * sin 2 α , cos 2α = 2 * cos 2 α−1, выразили в таком виде благодаря приведению вместо единицы тождества суммы квадратов, cos 2 α +sin 2 α = 1. Поэтому вышло следующее:

Формулы приведения двойного угла: 1 − 2 * sin 2 α = cos 2 α +sin 2 α — 2 * sin 2 α = cos2α — sin2α.

И так же с третьих примеров формулы двойного угла.
2 * cos 2 α−1 = 2 * cos 2 α -( cos 2 α +sin 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α.

Для того, чтобы выполнить доказательство формул для тангенса и котангенса двойного угла тоже применяется равенство следующего вида:

\[ \operatorname 2 \alpha=\frac \text < и >\operatorname 2 \alpha=\frac . \]

Сделав замену на данные равенства получим следующие выражения:

Представленные выше выражения мы разделим на cos 2 α, при котором cos 2 α ≠ 0, а альфа имеет любое значение, когда тангенс угла альфа определён. Со вторым представленным выражением мы также произведём деление, только на sin 2 α, и он так же не равен нулю, и альфа имеет любое значение, при котором котангенс имеет смысл.

Получим следующие формулы:

Формулы для тангенса и котангенса

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

Как использовать формулы двойного угла

Рассмотрим, как применяются формулы двойного угла в решении на примерах. Такие примеры помогут закрепить и понять материалы рассмотренный ранее.

Чтобы проверить справедлива ли формула двойного угла для при значении угла альфа в тридцать градусов, необходимо применить функции тригонометрии для этих углов. Если α = 30°, тогда 2α = 60°.

Проверим: sin60° = 2 * sin30° * cos30°cos60° = cos230° — sin230°.

Следующим шагом, подставим эти значения в :

\[ \operatorname 60^=\frac 30^><1-\operatorname^ 30^> \text < и >\operatorname 60^=\frac<\operatorname^ 30^-1> <2 \cdot \operatorname30^> \]

Так как мы знаем, что синус тридцати градусов равен одной второй, косинус этого угла, равен корню из трёх, который поделен на два, тангенс заданного угла это корень из трёх на три, котангенс корень из трёх.

Получается, что синус двойного угла, то есть шестидесяти градусов, равен корню из трёх, который поделен на два; косинус — одной второй; тангенс корню из трёх; а котангенс корню из трёх делённому на три.

Получаем следующие выражения:

Пример решения задачи 1

Сделав все операции по вычислению, можно прийти к выводу, что справедливость для угла альфа тридцати градусов, подтверждена.

Теперь мы понимаем, что применение формул тригонометрии двойного угла, это видоизменение тригонометрических выражений. Стоит также рассмотреть пример применения формул двойного угла, в случае, когда угол не равен 2a. К примеру возьмём значение \[\frac\]. Имея такое значение, для решения задания, его необходимо преобразовать, поэтому получаем следующее:

\[a=\frac: 2=\frac\], применив данное выражение формула двойного угла для косинуса получит следующий вид:

\[ \cos \frac<5 \pi>=\cos ^ \frac<5 \pi>-\sin ^ \frac<5 \pi> \]

Пример:

Необходимо, через тригонометрические функции представить \[\sin \frac \text < при >\frac\].

Решение:

Пример решения задачи 2

Формулы тройного угла и более углов

Так как зачастую в тригонометрии возникает необходимость вычисления не только двойного угла, но и больше, например тройного, четверного и тд. Стоит рассмотреть примеры их вычисления. Выведение их формул аналогично с выведением формул двойного угла, но для этого будем применять формулы сложения (суммы) двойного угла.

Пример:

sin 3α = sin ( 2 α + α ) = sin 2α * cos α + cos 2 α * sin α = 2 * sin α ⋅ cos α * cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) * sin α =

=3 * sin α * cos 2 α — sin 3 α

Заменим cos 2 α, на выражение 1 — sin 2 α, и теперь получившаяся ранее формула тройного угла sin 3α =3 * sin α * cos 2 α — sin 3 α, примет следующий вид: sin 3α = 3 * sin α * cos 2 α — sin 3 α = 3 *sin α — 4* sin 3 α

Аналогично поступим и с формулами cos тройного угла:

cos 3α = cos ( 2 α + α ) = cos 2α * cos α − sin 2α *sin α = ( cos 2 α — sin 2 α ) * cos α − 2* sin α * cos α * sin α =

= cos 3 α − 3* sin 2 α * cos α

Заменяем sin 2 α на выражение разности единицы и косинуса, 1 — cos 2 α, выходит следующая формула : cos 3α =

= -3 * cos α + 4* cos 3 α

Так как теперь у нас есть формулы тройного угла синуса и косинуса, мы можем вывести формулы тройного угла для тангенса и котангенса, подставив полученные выражения в первичные формулы:

Формула тройного угла

К примеру, чтобы привести формулу угла четыре альфа, для удобства лучше 4а представить, как 2 * 2а, и в результате мы получим, что для выведения формулы для 4а, нужно использовать две формулы двойного угла.

А для выведения формулы угла пятой степени, 5а, необходимо выполнить 5а как сумму тройного и двойного угла, то есть 2а+3а.

В результате мы получим выражение из суммы двух формул двойного и тройного угла. Стоит отметить, что такое же правило будет действовать если необходимо вывести формулу половинного угла.

Область применения

Для того чтобы найти значение тригонометрических функций, берётся окружность на оси координат, у которой радиус равен единице, а диаметры у неё находятся в перпендикулярном положении.

Для такого вычисления нам понадобится отложить от точки, которая принадлежит окружности различные дуги, любой длины. Соответственно если мы отложим их против часовой стрелки они примут положительное значение, а если по часовой, то отрицательное.

Допустим конец дуги имеет некую длину s, в таком случае проекция радиуса в любом выбранном значении диаметра станет значением косинуса данной дуги. Выбранная длина s, или радианная мера угла, будет считаться числом аргумента. А если этот самый аргумент, это тригонометрическая функция угла, то мы знаем, что значение может быть и в градусах.

Мы знаем, что острый угол имеет значения больше нуля, но меньше п\2. В таком случае тригонометрическая функция рассматривается как катет делённый на гипотенузу. Такие названия сторон связаны с прямоугольным треугольником, в котором величина угла равна 90 градусов.

Чтобы решить задачи с функциями тригонометрии, используют теорему Пифагора. Такая теорема основана на свойствах того самого прямоугольного треугольника, в котором квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов.

Так как дуга делит окружность на несколько частей, то мы можем увидеть, что углы лежащие в первой четверти больше нуля. А во второй синус меньше, а косинус больше нуля, а в третьей все функции будут меньше нуля, то есть отрицательными, четвёртая имеет значения противоположные второй. Не стоит забывать, что для построения окружности вам понадобится циркуль.

Как мы видим формулы двойного угла, не так трудно вывести, для этого необходимо знать основные тригонометрические тождества и разобраться в единичной окружности на оси координат. Также необходимо отметить, что формулы двойного угла, как и другие формулы тригонометрии используются в разных сферах жизни:

  • В астрономии, учёные с помощью формул вычисляют положение небесных тел, а также расстояние до них;
  • Для различного вида навигации, к примеру, морской и воздушной;
  • В медицине и биологии, при построении биоритма живых организмов, а также тригонометрия служит основой работы некоторой медицинской техники;
  • Архитекторам она важна при создании планов строений;
  • но и это не всё, тригонометрия важна и для экономики, в производстве и создании электроники, в различных аналитических вычислениях, акустических построениях и многом другом.

Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы .

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла \(30^°\). Отложим на круге угол в \(30^°\) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна \(0,866\)… , что равно числу \(\frac>\) , а ордината равна \(0,5\), то есть \(\frac\).

как найти синус и косинус 30 градусов

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают \(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: \(±\frac=±0,5\); \(±\frac<\sqrt> ≈±0,707\); \(±\frac> ≈±0,866\).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

  • Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
  • Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
  • Градусная мера окружности равна \(360^°\), полуокружности \(180^°\), а четверти \(90^°\);
  • Углы в \(0^°\), \(30^°\), \(45^°\) и \(60^°\) выглядят так:

стандартные углы на тригонометрическом кругеугол в 45 градусов на тригонометрическом круге

  • Одна точка может соответствовать разным углам;
  • Угол может быть больше \(360^°\). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно \(360^°\) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в \(90^° \) и \(-90^°\).
Решение:

углы в 90 и -90 градусов

Пример. Отметьте угол в \(225^° \) и \(-135^°\).
Решение: \(225^°=180^°+45^°\)
\(-135^°=-90^°-45^°\)

углы в 225 и -135 градусов

Пример. Отметьте угол в \(420^° \) и \(-390^°\).
Решение: \(420^°=360^°+60^°\)
\(-390^°=-360^°-30^°\)

угол в 420 градусов на тригонометрическом кругеугол в -390 градусов на тригонометрическом круге

Задание 1 . Отметьте на окружности точки соответствующие углам: \(720^°\), \(225^°\), \(300^°\), \(870^°\), \(900^°\), \(-330^°\), \(-630^°\), \(-210^°\).

Как находить синус и косинус любого угла?

  1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
  2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
  3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

стандартные значение на оси косинусов и синусов

Пример. Вычислите \(\sin⁡300^°\) и \(\cos⁡300^°\) .
Решение: \(⁡300^°=360^°-60^°\)

как найти синус и косинус 300 градусов

синус и косинус -540 градусов

\(-540^°\) на тригонометрическом круге совпадает с \(-1\) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: \((-1;0)\). Значит, \(\cos⁡(-540^°)=-1\), а \(\sin⁡(-540^° )=0\).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье .

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

стандартные значение на оси косинусов и синусов

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения \(-18\sqrt\sin⁡(-135^°)\).
Решение. \(-135^°=-90^°-45^°\)

пример нахождение синуса и косинуса -135 прям на экзамене

Пример . Найдите значение выражения \(54\sqrt\cos⁡(510^°)\).
Решение. \(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)

Как найти угол через синус и косинус

Тригонометрические функции двойного угла

Положив в формуле

sin (α + β) = sin α • cos β + sin β • cos α.

β = α ,мы получим:

sin 2 α = sin α • cos α + sin α • cos α = 2 sin α cos α .

sin 2 α = 2 sin α cos α (1)

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса данного угла на его косинус.

Аналогично, положив в формуле

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β,

β = α , получим: :

cos 2 α = cos α cos α —sin α sin α= cos 2 α — sin 2 α .

cos 2 α = cos 2 αsin 2 α . (2)

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла.

Точно так же, положив в формуле

β = α , получим:

Тангенс двойного угла равен удвоенному тангенсу данного угла, деленному на единицу минус квадрат тангенса того же угла.

1) Пусть sin α = 0,6, причем угол α оканчивается во 2-й четверти.

Тогда cos α = — \ / 1 — sin 2 α = — \ / 1 — 0,36 = — 0,8.

sin 2 α = 2 sin α • cos α = 2 • 0,6 • (— 0,8) = — 0,96;

cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α = 0,64 — 0,36 = 0,28.

2) Пусть tg α = 3. Тогда

Замечание. Не следует думать, что двойной угол обязательно содержит четное число градусов или радианов: 20°; 60°; 4; 6 и т. д. Под двойным углом можно понимать любой угол. Например,

и т. д., вообще, α = 2α /2 . Поэтому иногда доказанные выше формулы полезно записывать в виде:

Эти формулы выражают тригонометрические функции угла через тригонометрические функции половинного угла.

Упражнения

1. Известно, что sin α = 0,8, причем угол α оканчивается во 2-й четверти. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2 α .

2. Найти tg 2 α и cos 2 α , если известно, что угол α оканчивается не в 1-й четверти и
tg α = 4 / 3 .

3. Найти cos α , еслц sin α = 0,1 и угол α оканчивается в 4-й четверти.

4. В какой четверти оканчивается угол α , если

а) sin α > 0, sin 2 α > 0; в) sin α < 0, sin 2 α > 0;

5. Вычислить:

а) sin 22°30′ • cos 22e30′;

б) cos 2 22°30′ — sin 2 22°30′;

6. Доказать тождества:

а) (sin α + cos α ) 2 = 1 + sin 2 α ;

б) cos 4 α — sin 4 α = cos 2 α ;

в) ctg α — tg α = 2 ctg 2 α .

7. Доказать, что для любого острого угла α

8. В каких пределах может изменяться выражение sin α • cos α ?

9. Упростить выражения:

a). sin 2 ( β — 45°) — cos 2 ( β — 45°).

б). sin ( π /4α ) • cos ( π /4α )

10.Доказать равенства:

а). sin 10° • cos 20° • cos 40° = 1 /8 .

11. Выразить sin α и cos α :

а) через sin α /2 и cos α /2 ;

12. Упростить выражения:

б). (tg α + ctg α ) sin 2 α .

в). 2 cos 2 α — cos 2 α

13. Вычислить:

в). cos ( 2arcsin 1 /2 )

г). sin [2arctg ( —2)].

14. Найти формулу общего членa арифметической прогрессии, для которой
а 1 = cos 2φ; а 2 = cos 2 φ

15. Доказать, что бесконечная геометрическая прогрессия, у которой
а 1 = 4sin φ, а 2 = sin 2φ, является бесконечно убывающей, и найти ее сумму.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *