Как найти точку касания двух окружностей
Перейти к содержимому

Как найти точку касания двух окружностей

  • автор:

Касание двух окружностей

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

kasanie-okruzhnostej

Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

vnutrenne-kasanie-okruzhnostej

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать .

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

\[{O_1}{O_2} = {O_1}A + {O_2}A = R + r\]

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов:

Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Определение общей внутренней касательной к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Формула для длины общей внешней касательной к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формула для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формула для длины общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Доказательство формулы для длины общей внешней касательной к двум окружностям

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Доказательство формулы для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Доказательство формулы для длины общей хорды двух окружностей

Таким образом, справедлива формула:

что и требовалось доказать.

определить точку касания двух окружностей

А при чем тут вторая окружность? концентричная первой означает, что центры у них совпадают. . и нужно только найти радиус второй, который будет равен (подразумевая, что она проходит через точку Т)
R=sqrt((60-20)^2+(40-25)^2)=sqrt(1825)
sqrt — корень
^ возведение в степень

ps:»точку касания прямой и окружности»
какой прямой? ? не нужно считать, что остальные обладают телепатическими способностями. они способны понять задачу только так, как вы ее расскажите.

Касающиеся окружности

Касающиеся окружности имеют одну общую точку — точку касания.

Внешнее касание — касание, при котором расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов d = R1 + R2.

Касающиеся окружности

Касающиеся окружности имеют одну общую точку — точку касания.

Внутреннее касание — касание, при котором расстояние между центрами окружностей равно модулю разности их радиусов d = |R1 — R2|.

Непересекающиеся окружности

Непересекающиеся окружности не имеют общих точек.

1) Если одна окружность лежит в другой окружности, то расстояние между центрами окружностей меньше модуля разности их радиусов d < |R1 - R2 |

Непересекающиеся окружности

Непересекающиеся окружности не имеют общих точек.

2) Если одна окружность лежит за пределами другой, то расстояние между их центрами больше суммы их радиусов d > R1 + R2.

Пересекающиеся окружности

Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.

Для того чтобы окружности пересекались в двух точках необходимо и достаточно чтобы расстояние между их центрами было больше модуля разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов |R1 — R2.| < d < R1 + R2.

banner

Проверь насколько ты готов к экзамену по русскому языку

banner

Это займет всего 15 минут, и в конце теста,
тебя будет ждать персональный
образовательный план пройти тест

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *