Как найти тангенс если известен котангенс
Перейти к содержимому

Как найти тангенс если известен котангенс

  • автор:

люди. как найти синус, косинус и катангенс, если известен тангенс?

ctg=1/tg, sin/cos=tg, cos/sin=ctg, tg в квадрате=1/cosв квадрате, ctg в квадрате =1/sin в квадрате!
УЧИ МАТЕМАТИКУ.

Остальные ответы
Посмотри в таблицах Брадиса

Котангенс проще всего — 1/tg)
Sin — надо решать уравнение типа Sin/(

системой,т.к. тангенс это отношение синуса к косинусу (или наоборот?) и тангенс как то можно вывести при помощи катангенса. Формул не помню, но по мысли должно быть так

CTG=1/tg
sin^2a+ cos^2a=1
tg^a+1=1/cos^a
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором — теорему косинусов.

Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы.

Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).

Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.

Угол поворота

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin или син) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α =икс

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс (ctg) угла поворота

Котанг угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Простое правило: синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

​​​​​​​

Тригонометрические формулы

Значение-тригонометрических-функций-некоторых-углов

Тригонометрические формулы — элементарные функции, которые выражают зависимость всех сторон прямоугольного треугольника от острых углов при гипотенузе (или зависимость хорд и высот от его центрального угла в круге).

Тригонометрия — наука, которая изучает свойства тригонометрических формул (trigwnon — треугольник, а metrew — измеряю).

К прямым функциям тригонометрии относят: sin x (синус), cos x (косинус). К производным: tg x (тангенс), ctg x (котангенс). А также другие тригонометрические функции: sec x (секанс) и cosec x (косеканс).

Косинус и синус в тригонометрии являются Вещественнозначными функциями, которые неограниченно дифференцируются и являются периодически непрерывными. Остальные же наоборот дифференцируются в области определении, однако, как и прямые тригонометрические функции есть непрерывными.

Значения функция для некоторых углов представлены в следующей таблице. Обозначение «∞» говорит о том, что функция в данной точке не определена и стремится к бесконечности.

Основные тригонометрические тождества:

« То, что принято без доказательств, может быть отвергнуто без доказательств ».

  1. При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a
  2. Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1
  3. Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a
  4. Найти котангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + 1/tg2 a = 1/sin2
  5. sin(90o – a ) = cos a
  6. cos(90o – a ) = sin a

Формулы двойного аргумента позволяют выразить sin2x, cos2x, tg2x через tg x, cos x и sin x . Соответственно формулы тройного аргумента выражают sin2x, cos2x, tg2x . Всем известно, что любая формула в математике может применяться не только слева на право, но и наоборот. В тригонометрии это действует во время преобразования суммы в произведение или же при переходе от произведения к сумме.

Переход от произведения к сумме:

Переход от произведения к сумме1

Переход от произведения к сумме2

Переход от произведения к сумме3

Переход от суммы к произведению:

Переход от суммы к произведению

Возникновение тригонометрии и тригонометрических формул связанно с астрономией, строительным делом и землемерием. Не смотря на то, что некоторые факты и понятия были

astronom_old

известны еще две тысячи лет назад, сам термин тригонометрия появился относительно недавно. Впервые способ решать зависимости между сторонами треугольника нашли Гиппарх и Клавдий Птолемеи (ІІ н.е.). Только намного позже эти зависимости стали называть тригонометрическими формулами.

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Линии тригонометрических функций

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Определение 4

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *