Как найти скорость частицы
Перейти к содержимому

Как найти скорость частицы

  • автор:

Конев В.В. Определенные интегралы

Движение частицы с переменной скоростью

Определенные интегралы

Геометрические приложения

Разобьем промежуток на столь малые интервалы , чтобы изменением скорости частицы в пределах каждого интервала можно было пренебречь.
Пусть – скорость частицы на промежутке времени . Тогда перемещение частицы за время можно найти по формуле . Перемещение s представляет собой сумму перемещений :

(1)

Равенство (1) является приближенным, поскольку скорость частицы несколько изменяется за время . Точность этой формулыы возрастает, если интервал разбивать на все меньшие элементы, увеличивая тем самым число элементов. Выполнив предельный переход и все , получаем точную формулу для перемещения частицы за промежуток времени от до :

(2)

Если на промежутке , то перемещение частицы равно по величине пройденному ее пути и – в соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла – численно совпадает с площадью области, расположенной под графиком функции на этом промежутке.

Рис. 1. Путь, пройденный частицей, равен площади области, расположенной под графиком скорости движения.

Определить скорость частицы (3 апреля 2009)

Электрическое поле напряженностью 105 В/м возбуждено перпендикулярно магнитному полю с индукцией, равной 0,1 Тл. Заряженная частица движется по прямолинейной траектории, перпендикулярно к обоим полям. Определить скорость частицы.

Задача районной олимпиады, г. Уфа.

  • магнитное поле
  • электродинамика
  • задачи с подсказками
  • сила Лоренца
  • версия для печати
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Комментарии

Опубликовано 3 апреля, 2009 — 20:31 пользователем lesha_01

Судя по условию задачи, частица движется с постоянной скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно. Следовательно, согласно первому закону Ньютона силы, действующие на неё уравновешены, т.е. их равнодействующая равна нулю.

Со стороны магнитного поля, вектор индукции которого B перпендикулярен вектору напряжённости электрического поля E, на движущуюся частицу действует сила Лоренца Fл. Поскольку эти силы согласно первому закону Ньютона должны быть уравновешены, значит, сила Лоренца антинаправлена электрической силе и по модулю равна ей:

Силу Лоренца определим по формуле Fл = Bqv sin α, а электрическую силу выразим через напряжённость электрического поля E:

C учётом этих равенств Bqv sin α = qE, Bv sin α = E.

Здесь α = 90°, поэтому sin α = 1, и поэтому Bv = E.

Отсюда v = E/B = 105/0.1 = 1050 м/с.

Ответ: 1050 м/с.

Как по мне, так это далеко не сложное задание для районнной олимпиады, у нас даже в школе повыше уровень был, а уж про район и город говорить вообще не буду.

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Найти скорость частицы относительно ядра (31 мая 2009)

Радиоактивное ядро, вылетевшее из ускорителя со скоростью 0,4 × С (С — скорость света в вакууме), выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью 0,75 × С относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.

Источник: г. Ижевск (Россия), КИГИТ, факультет НГиСТ, физика, задачи для подготовки к экзамену.

  • теория относительности
  • ядерная физика
  • задачи с подсказками
  • версия для печати
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Комментарии

Опубликовано 31 мая, 2009 — 23:21 пользователем inkerman

Запишите закон сохранения импульса относительно ускорителя, найдите скорость ядра после испускания. Зная скорость ядра и скорость частицы, найдите относительную скорость.

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 июня, 2009 — 08:54 пользователем Strungout
большое спасибо

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 17 марта, 2010 — 08:39 пользователем IIcuxo-fu3uk
тут нужно релятивистские законы использовать) не ошибитесь)

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 17 марта, 2010 — 10:33 пользователем Dzaurov
поясните, пожалуйста, формулами!

«Запишите закон сохранения импульса относительно ускорителя, найдите скорость ядра после испускания«, скорость ядра же дана: 0,4 С.

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 20 марта, 2010 — 22:14 пользователем Alexandr Ыых

Импульсы тут ни при чем, так как скорости уже заданы. То есть задачка не на динамику, а на кинематику.

u = 0.4c — это скорость движущейся системы отсчета (ядра),

vx = 0.75c — это скорость электрона в неподвижной системе отсчета,

v’x = ? — это скорость электрона в движущейся системе отсчета,

v’x = (vx − u) / (1 − (vx • u / c 2 )),

v’x = c (0.75 − 0.4) / (1 − (0.75 × 0.4)) = 0.5c.

Имейте ввиду, что эта формула работает, когда все скорости направлены по одной оси. Если частица движется перпендикулярно движению системы, то формула другая.

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 23 марта, 2010 — 07:50 пользователем IIcuxo-fu3uk
вот правильно)
тока в формуле под корнем)
Вы под корень занесли?)

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 23 марта, 2010 — 08:43 пользователем Alexandr Ыых

«. тока в формуле под корнем) Вы под корень занесли?)»
«Вода кипит при 90 градусах! Ой, нет, это я с прямым углом спутал.»
___
Под корнем — это длина и время, а в формулах для скорости знаменатель всегда без корня, причем на c 2 делится не квадрат скорости, а произведение разных скоростей.

В формуле для поперечной скорости релятивистский коэффициент (который с корнем) появляется, но не в знаменателе, а в числителе.

Полная формула для сложения скоростей:

v’= √((vx − u) 2 + vy 2 (1 − (u/c) 2 )) / (1 − (vx • u/c 2 )).

  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

К вопросу определения скорости движения частицы по вращающейся поверхности конуса Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Трофимченко В.Н., Воронов В.П., Мордовская О.С., Ханин С.И.

Одним из направлений повышения эффективности сепарации порошкообразных материалов является совершенствование способа подачи частиц в зону сепарации. Для равномерного распределения материала в сепараторе применяют различные устройства. В статье представлено математическое описание процесса движения частицы по поверхности вращающегося распределительного конуса. Приведены аналитические выражения, позволяющие определить скорость движения частицы исходя из конструктивных параметров конуса и частоты его вращения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Трофимченко В.Н., Воронов В.П., Мордовская О.С., Ханин С.И.

Расчет скорости схода частицы с вращающегося распределительного диска сепаратора

Исследование агрегатов частиц грубомолотого мергеля и процесса их дезагрегации в сепараторе с устройством в виде многозаходных лент

Теоретические зависимости сепарации измельченного зерна по конусной перфорированной поверхности

Закономерности движения крупных частиц измельченного материала в криволинейном патрубке возврата дезинтегратора

К вопросу о производительности центробежной противоточной мельницы
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «К вопросу определения скорости движения частицы по вращающейся поверхности конуса»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

Трофимченко В.Н., аспирант, Воронов В.П., канд. физ.-мат. наук, проф., Мордовская О.С., канд. техн. наук, доц., Ханин С.И. канд. техн. наук, проф.

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

Одним из направлений повышения эффективности сепарации порошкообразных материалов является совершенствование способа подачи частиц в зону сепарации. Для равномерного распределения материала в сепараторе применяют различные устройства. В статье представлено математическое описание процесса движения частицы по поверхности вращающегося распределительного конуса. Приведены аналитические выражения, позволяющие определить скорость движения частицы исходя из конструктивных параметров конуса и частоты его вращения.

Ключевые слова: распределительное устройство, скорость частицы, вращающийся конус, кинематические параметры._

Конструкции подавляющего большинства динамических центробежных сепараторов имеют устройства для равномерного распределения материала в зоне сепарации [1, 2, 3, 4, 5]. Эти устройства могут придавать необходимые скорости частицам материала при их попадании в газовую среду зоны сепарации, влиять на кинематические и динамические характеристики поступающих с распределительных устройств частиц. Это дает дополнительные возможности по управлению процессом сепарации и его эффективностью [6,7]. В этой связи установление взаимосвязи скоростных параметров поступающих в зону сепарации частиц материала с параметрами конструкции распределительных устройств, частотой их вращения, способом и местом подачи частиц, коэффициентом их трения о поверхность приобретает существенную практическую значимость. Распределительные устройства имеют конструктивные отличия. Наиболее часто они выполняются в виде вращающегося конуса [8]. Определению скоростных параметров взаимодействующих с распределительным устройством частиц посвящено достаточно много работ, однако в предлагаемых описаниях имеются определенные недостатки. К примеру, в работах [9,10] обязательным условием для определения скорости частицы является необходимость в определении времени нахождения частицы на поверхности вращающегося устройства экспериментальным способом. В

связи с этим разработка математического описания для определения скорости движения частицы по вращающемуся конусу является актуальной.

Рассмотрим движение частицы материала массой m по поверхности вращающегося с частотой ш конуса. Траектория движения частицы по внешней его поверхности, очевидно, будет представлять собой коническую спиральную линию или участок такой линии с переменным расстоянием r от оси вращения (рис. 1).

Согласно представленной на рис. 1 расчетной схеме, спиральную траекторию движения частицы в плоскости, перпендикулярной оси вращения, можно описать следующим соотношениями:

здесь t — текущее время.

Для описания движения частицы материала вдоль образующей конуса введем двумерную декартовую систему координат с началом

в точке 0¡ согласно расчетной схеме, представленной на рис. 2.

Пусть в некоторый произвольный момент времени частица материала на поверхности вращающегося конуса имеет следующие параметры г, г и которые согласно схеме на рис. 2 связаны между собой и геометрическими размерами конуса, следующими соотношениями:

Примем, что на частицу материала, находящуюся на внешней поверхности вращающегося конуса действуют следующие силы: вес частицы Р, сила реакции опоры Ы, центробежная сила ¥ц и сила трения о поверхность конуса.

Рис. 1. Представление траектории движения частицы материала по вращающейся поверхности конуса

Пусть в некоторый произвольный момент времени частица материала на поверхности вращающегося конуса имеет следующие параметры г, z и которые согласно схеме на рис. 2

где у — значение угла образованного направляющей конуса с осью О z; m — масса частицы материала; g — ускорение свободного падения.

Угол у определяется через параметры конуса и выражается согласно соотношениям:

связаны между собой и геометрическими размерами конуса, следующими соотношениями:

г = г0 (1 -z/h о) , z = /i0 ( W/L о) .

Рис. 2. Расчетная схема для описания движения частицы материала в неподвижной системе координат ( ; О 77

Примем, что на частицу материала, находящуюся на внешней поверхности вращающегося конуса действуют следующие силы: вес частицы Р, сила реакции опоры Ы, центробежная сила Рц и сила трения о поверхность конуса.

Проекция этих сил на ось О ^ позволяет получить следующее соотношение:

со sy = ho /L о , s i ny = го/ L 0.

т д с о 5 ( 7тт/2 — 7) = 0 , (6)

На основании (6) находим, что величина силы реакции опоры будет определяться соотношением:

Л^ = тдз 1 117 — т о2 г с о 57 . (9) Уравнение движения частицы материала в системе координат связанной с враще-

нием конической поверхности, будет иметь следующий вид:

т—^ = та cosy + тш2г sin у — fN, atг

где / — коэффициент трения скольжения.

d2t — дН° | ш2г°2 * f (д Г° C°Zr°ho * dt2 L0 L02 у L0 L02

Подстановка в (9) с учетом (4), (5), (7), (8) в (10) позволяет получить следующее уравнение:

Введем следующие обозначения: ш2г02 ( h0\

C учетом введенных обозначений уравнение (11) принимает вид:

Общее решение дифференциального уравнения (14) имеет вид:

( (0 = Сге~^ + С2е^ — В /А, ( 1 5 )

где Сг и С2 — постоянные интегрирования, значения которых можно найти исходя из следующих начальных условий:

где — расстояние от вершины конуса до начальной точки, с которой частица начинает движение по поверхности конуса.

Применение (17) и (15) приводит к соотношению:

Подстановка (18) и (15) позволяет получить выражение:

((0 = 2 СхсК(4А ^ — В/А . (19)

Применив (16) к (19) позволяет получить окончательно следующий результат:

Подстановка (20) в (19) позволяет получить окончательно следующий результат:

(( о = (ь н + в/а ) с к(4А г)-в/а . (21)

На основании (5) с учетом (21) можно найти изменение г — координаты частицы материала при движении по вращающейся поверхности конуса:

Согласно полученному соотношению (22) можно найти — время движения частицы материала по поверхности вращающегося конуса, а именно:

Применив (23) к соотношению (22) получаем следующее уравнение для определения зна-

Решая уравнение (26) относительно величины находим:

г Д = 4А агссН\Т^в/А). (2 5 )

Найдем изменение проекций скоростей частицы материала в плоскости, перпендикулярной оси вращения конуса у х и иу. С учетом (3) -(13) соотношения (1) и (2) принимают вид: г0(

На основании (26) и (27) находим:

dx r0 d( х dt L0 dt ^ dy r0

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Связь между компонентами скоростей в полярной — и декартовой — системах координат определяется следующими соотношениями:

уг = Ух соБср + уу Бтср, (30)

Уф = —vx sin (р + Уу COS (р.

Подстановка (28) и (29) в (30) и (31) позволяет получить следующий результат:

Lq &t Lq Lq Clt Lq Lq Clt

Уф = — —1 sinocos (p + -r-Cút, sinz (p +-Г—7sinocos (p + —— ü)^ cos2 cp = -—ü)^.

Подстановка (21) в (32) и (33) с учетом (12) и (13) позволяет окончательно получить следу-

Таким образом, полученные аналитические соотношения (34) и (35) определяют изменение компонент скорости движения частицы материала по внешней поверхности вращающегося конуса с частотой о в зависимости от параметров конуса Го, /го и расстояния от его вершины до начального положения частицы — I н.

С использованием полученного математического описания были получены графические зависимости от параметра Ьн и текущего времени ^ составляющих скоростей движения частицы мергеля и по вращающейся поверхности конуса распределительного устройства промышленного центробежного сепаратора с диаметром корпуса 4 м (рис. 3). Зависимости построены при следующих конструктивно -технологических параметрах сепаратора: о = 4 с _ г0 = 0, 2 7 5 м ; /0 = 0, 2 6 м;

I0 = 0, 3 7 8 м и коэффициенте трения / = 0 , 3 .

Функциональные зависимости (34) и (35) являются возрастающими. Приведенные на рис. 3 графические зависимости характеризуются

выраженным нелинейным характером изменения уг и у^, от Значения радиальной составляющей скорости превышают значения тангенциальной составляющей скорости для всех рассматриваемых интервалов значений и Так, при I н = 0,1 м и времени ^ = 0,2 с; t2 = 0,4 с; = 0,6 с радиальная составляющая скорости принимает значения = 1,12 м/с, = 2,77 м/с, уг з = 6,05 м/с; а тангенциальная составляющая — ! = 0,56 м/с, у

50%, 67 % и74 %; для второго — 76 %, 74 % и 80 %.

Рис. 3. Зависимости составляющих скоростей движения частицы мергеля по вращающейся конической

поверхности от / и I н: а^ — у ^ б^ — уг

Приведенное математическое описание дает процессов разделения порошковых материалов в возможность определить на поверхности вра- динамических центробежных сепараторах. щающегося конуса значения скорости частицы материала и ее составляющих. Его применение целесообразно при проектировании конических распределительных устройств, оптимизации

1. Трофимченко В.Н., Ханин С.И., Кирилов И.В. Анализ конструкций распределительных устройств динамических сепараторов // Энергосберегающие технологические комплексы и оборудование для производства строительных материалов: межвуз. сб. ст. — Вып. XII. / под ред. В.С. Богданова. Белгород, 2013. С.415-417

2. Богданов В.С. и др. Основы расчета машин и оборудования предприятий строительных материалов и изделий. Белгород: Изд-во БГТУ, 2013. 650 с.

3. Евсеев Е.А. К проблеме оптимизации пневмосепарационного процесса в кольцевом пространстве. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. 111 с.

4. Ходаков Г.С. Тонкое измельчение строительных материалов. Издательство литературы по строительству. Москва 1972. 239 с.

5. Барский М.Д. Фракционирование порошков. М.: Недра, 1980. 327 с.

6. Барский М.Д. Оптимизация процессов разделения зернистых материалов, М., «Недра», 1978. 168 с.

7. Clark M. Separation efficiency. International Cement Review (ICR). 2004. September. P.38

8. Андреев В.Л., Курбанов Р.Ф., Саитов В.Е., Шилин В.В. Оптимизация эксплуатационных параметров конструкционных элементов пневмосистем с кольцевым аспирационным каналом // Современные наукоемкие технологии. 2015. № 8. С. 7-12

9. Бойко И.Г., Попов О.А. Исследование движения частицы сыпучего корма по поверхности подающего конуса ротационного дозатора // Сучасш проблеми вдосконалення техшчних систем i технологш в тваринництвк Вюник ХНТУСГ iм. Петра Василенка. — Харюв ХНТУСГ, 2010. Вип. 95. С. 72-77.

10. Василенко, П.М. Теория движения частиц по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин // П.М. Василенко; под ред. акад. М.И. Медведева. — Киев Изд-во Укр. Акад. с.-х. наук, 1960. 283 с.

Trofimchenko V.N., Voronov V.P., Mordovskaya O.S., Khanin S.I.

THE QUESTION ABOUT CALCULATION SPEED OF PARTICLES ON A ROTATING

SURFACE OF THE CONE

One of the ways of increasing efficiency of separating the powder particle is to improve a method of supplying particles to a separation zone. For uniform distribution of the material in the separator use various devices. The article presents a mathematical description of the motion process, the particle on the surface of the rotating distributor cone. The analytical expressions for determining the rate of motion of a particle based on the design parameters of the cone and the frequency of its rotation. Keywords: feeder, particle velocity, rotating cone, kinematic parameters.

Трофимченко Владимир Николаевич, аспирант.

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46. E-mail: trofimchenko@inbox.ru

Воронов Виталий Павлович, кандидат физико-математических наук, профессор. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46. E-mail: dh@intbel.ru

Мордовская Ольга Сергеевна, кандидат технических наук, доцент. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46. E-mail: dh@intbel.ru

Ханин Сергей Иванович, кандидат технических наук, профессор. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46. E-mail: dh@intbel.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *