Как найти присоединенный вектор
Перейти к содержимому

Как найти присоединенный вектор

  • автор:

Правило нахождения присоединенных векторов

ОбозначимА матрицу линейного оператора в некотором базисе, – координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:

что равносильно уравнению

Таким образом, видим, что для отыскания i-го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.

54. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости. Следствие.

Определение. Говорят, что квадратная матрицаА с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица – диагональная.

Теорема 4.14. Для того чтобы квадратная матрица А n-го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р, необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие

где – кратность корня характеристического уравнения матрицы А.

60.Канонический вид квадратичной формы

Мы уже говорили о том, что в каждом базисе линейного пространства квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, который называется видом данной квадратичной формы.

Каноническим видом квадратичной формы называется такой ее вид, в котором коэффициенты при произведениях разноименных переменных равны 0, т. е. при .

Нормальным видом действительной квадратичной формы называется такой ее канонический вид, в котором отличные от нуля коэффициенты при квадратах равны 1 или –1. Все отличные от нуля коэффициенты при квадратах нормального вида комплексной квадратичной формы равны 1.

Теорема 5.6. Для любой квадратичной формы, заданной на линейном пространстве в существует базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид, и существует базис, в котором она имеет нормальный вид.

61.Знакоопределенные квадратичные формы

Определения. Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает положительные значения для любого нетривиального набора переменных.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если она принимает отрицательные значения для любого нетривиального набора переменных.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого нетривиального набора переменных она принимает либо положительное (отрицательное) значение, либо 0.

Квадратичная форма знаконеопределена, если существует нетривиальный набор переменных, при которых она принимает положительное значение, и существует нетривиальный набор переменных, при которых она принимает отрицательное значение.

Лемма 5.4 (необходимое условие знакоопределенности). Если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то все ее коэффициенты при квадратах положительны (отрицательны).

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Собственные векторы

Собственные векторы
11.09.2012, 05:08

Последний раз редактировалось Deggial 20.01.2013, 14:00, всего редактировалось 5 раз(а).
формулы поправил

Здравствуйте! Нужно найти собственные векторы матрицы '\times 3$. Я нашел собственные значения: $\lambda_1=1, \lambda_2=2$(кратное собственное значение). Собственные векторы удовлетворяющие $\lambda_1$имееют вид $(0, \ c_1, \ c_2)$, а собственные векторы удовлетворяющие собственному значению $\lambda_2$имееют вид $(k_1, k_1, 0)$. Не знаю как перевести с английского, в википедии тоже не нашел, но требуется найти generalised eigenvectors? Кто нибудь знает как их находить?

— Вт сен 11, 2012 05:42:12 —

ясно, что нужно взять $(0, 1, 1) , (1, 1, 0)$и третий будет $(1, 0, 1)$но как это обосновать? и как найти?
и что такое generalised eigenvector?

— Вт сен 11, 2012 05:59:23 —

кажется я уже разобрался:

нужно решить систему $(A - I\cdot\lambda_2) x_3 = x_2 $где $x_2$собственный вектор для $\lambda_2$, а $x_3=( x_<31>,\ x_, \ x_)$» /></p>
<p><b>Re: Собственные векторы</b><br />
11.09.2012, 06:24</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

Как же не нашли? Вот подробно и с примерами (если Вы на английском обучаетесь, то тем более).
http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector

Re: Собственные векторы
11.09.2012, 08:39
этот вектор называется присоединенным вектором
Re: Собственные векторы
11.09.2012, 22:57

Последний раз редактировалось geniy88 11.09.2012, 22:59, всего редактировалось 2 раз(а).

$\begin</p>
<p>еще раз здравствуйте! я кажется все же допустил где-то ошибку. Пример такой:<br />Задана матрица: <br /> && \\ && \\ &&\end$» /></p>
<p>Нужно найти ее присоединенные векторы.</p>
<p>Я начал решение с нахождения собственных чисел: <img decoding=, $\lambda_2 $имеет кратность 2.
Потом начал находить собственные вектора. Собственные вектора для $\lambda_1=1$имеют вид $ \ (0, c_1, c_1)$, где $ \ c_1$— произвольная постоянная. Я выбрал вектор $(0, 1, 1)$. Собственные вектора для $\lambda_2$имеют вид $(\ k_1, \ k_1, 0)$. Tak, что я взял векторы (0, 1, 1) для первого и (1,1, 0) для второго. Потом нашел второй вектор для $\lambda_2$применив матрицу $A - \lambda_2 I$:
$(A - \lambda_2 I)$$<(\ x_1, \ x_2, \ x_3)>^=<(1, 1, 0)>$» /> и нашел вектор <img decoding=. Далее применил матрицу $A - \lambda_2 I$к $<(0, 1, 1)>$» />.</p>
<p>В результате у меня получились 3 вектора:</p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 6theinternet -->
<script src=

$<(0, -1, -1)></p>
<p>^, <(1, 1, 0)>^, <(1, 1, 1)>^$» /></p>
<p>Можете подсказать что я сделал не так? и как все же найти мои векторы?</p>
<p><b>Re: Собственные векторы</b><br />
12.09.2012, 15:34</p>
<p>geniy88 , у меня тоже получилось для вещественных собственных значений матрицы <img decoding=и $\lambda_2 = 2$собственные векторы $(0, -C_1, -C_1)$и $(C_2, C_2, 0)$. А вот дальше я Вас не понимаю. Что означает это:

Цитата:

$\lambda_2$

Потом нашел второй вектор для

$(1-\lambda)(\lambda^2-4\cdot\lambda+4)=0$

Вы же разложили определитель на множители и сами сказали, что кратность второго корня равна 2. Т.е. совпадают эти два собственных значения, откуда совпадают и соответствующие собственные вектора. Вывод: вот этого

Цитата:

$A - \lambda_2 I$

применив матрицу

$(0, -1, -1), (1, 1, 0), (1, 1, 0)$

делать не нужно.
В итоге имеем 3 собственных вектора, два последних из которых совпадают:

Re: Собственные векторы
12.09.2012, 16:07

Заслуженный участник

loko в сообщении #617879 писал(а):
совпадают эти два собственных значения, откуда совпадают и соответствующие собственные вектора.

Это неверное утверждение.

loko в сообщении #617879 писал(а):
В итоге имеем 3 собственных вектора, два последних из которых совпадают:

Матрица с двумя с.в. и матрица с двукратным с.з. и одним с.в. это до такой степени разные вещи, что смысла говорить о кратных с.в. нет. Ни в одном учебнике Вы такого понятия не встретите.

Re: Собственные векторы
12.09.2012, 16:21

Xaositect , ну тогда мы имеем для данной матрицы 2 собственных вектора. Третьего нет. Получается, что если дискриминант квадратного уравнения, которое является одним из сомножителей характеристического уравнения, равен нулю, то имеем один собственный вектор, хоть и 2 собственных значения. Верно я Вас понял?

Re: Собственные векторы
12.09.2012, 16:46

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Xaositect 12.09.2012, 18:52, всего редактировалось 3 раз(а).

loko в сообщении #617891 писал(а):

Xaositect, ну тогда мы имеем для данной матрицы 2 собственных вектора. Третьего нет. Получается, что если дискриминант квадратного уравнения, которое является одним из сомножителей характеристического уравнения, равен нулю, то имеем один собственный вектор, хоть и 2 собственных значения. Верно я Вас понял?

Так.
Бывают матрицы с кратным собственным значением и различными собственными векторами, например, $\left(\begin1 & 0\\ 0&1\end\right)$. У нее характеристический многочлен $(\lambda - 1)^2$, одно двукратное с.з. $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$и двумерное пространство с.в., соответствующих этому с.з., порожденное, например, $(1\ 0)^T$и $(0\ 1)^T$. Тут все просто.

Бывают матрицы с кратным собственным значением, но количеством совбственных векторов меньше кратности этого значения. Например, $\left(\begin1 & 1\\ 0&1\end\right)$. У нее такой же характеристический многочлен $(\lambda - 1)^2$, двукратное с.з. $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$, но только один с точностью до умножения на константу с.в. $(1\ 0)^T$.
О кратных с.в. тут не говорят, потому что если говорят о чем-то кратном, то имеют в виду предельное положение двух различных чего-то. Например, многочлен имеет кратный корень, если он предел последовательности многочленов с близкими, но различными корнями. Здесь такой ситуации нет.
Зато в этом случае можно рассмотреть не соотношение $(A - \lambda I) x = 0$, которое дает собственные векторы, а соотношение $(A - \lambda I)^k x = 0$, которое дает собственные и присоединенные векторы. Обычно сначала находят собственные векторы $x$, а потом «присоединяют» к ним присоединенные $y$, решая уравнение $(A - \lambda I) y = x$. Потом к присоединенным векторам можно присоединять еще присоединенные, пока не закончится размерность. В данном случае присоединенным вектором к $(1\ 0)^T$будет $(c\ 1)^T$, где $c$— любое (присоединенные векторы определены с точностью до аддитивного слагаемого, состоящего из собственных и «нижележащих» присоединенных).

Как найти присоединенный вектор

Зарегистрирован:
05 июн 2016, 19:08
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Здравствуйте помогите пожалуйста решить проблему
Есть матрица [math]\begin 1 & 2 \\ 2 & -2 \end[/math]
ранг матрицы равен 2
собственные значения равны 2 (кратность 1) и -3 (кратность 1)
Как понимаю у меня не будет собственных векторов, но для каждого собственного значения существует по одному линейно независимому присоединённому вектору. Но как его найти я не знаю

Заголовок сообщения: Re: Как найти присоединенный вектор
Добавлено: 03 янв 2019, 01:55

Light & Truth

Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

1) [math]\begin 1- \lambda & 2 \\ 2 & -2- \lambda \end \Rightarrow \begin 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end = 0 \Rightarrow (1-\lambda)(-2 -\lambda) -4 =0 \Rightarrow \lambda^2+\lambda — 6=0[/math]

Пусть [math]\lambda = -3 \Rightarrow \left\
& 4x_ + 2x_ = 0 \\
& 2x_ + x_ = 0
\end\right.[/math] , у последняя системма есть бесконечно много решения, отбираем одно так : полагаем

[math]x_ = -2 \Rightarrow x_ = 1 \Rightarrow x_=\begin 1 \\ -2 \end[/math] получаем первый линейно независимы присоединённы вектор;
3) [math]\left\
& (1- \lambda)x_ +2x_ = 0 \\
& 2x_ -(2+\lambda)x_ = 0
\end\right.[/math]

Пусть [math]\lambda = 2 \Rightarrow \left\
& -x_ + 2x_ = 0 \\
& 2x_ -4 x_ = 0
\end\right.[/math] , у последняя системма тоже есть бесконечно много решения, отбираем одно так : полагаем

[math]x_ = 1 \Rightarrow x_ = 2 \Rightarrow x_ =\begin 2 \\ 1 \end[/math] получаем второй линейно независимы присоединённы вектор;

Заголовок сообщения: Re: Как найти присоединенный вектор
Добавлено: 03 янв 2019, 04:24

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2746
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
847 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

youi писал(а):

Как понимаю у меня не будет собственных векторов, но для каждого собственного значения существует по одному линейно независимому присоединённому вектору.

Понимаете с точностью до наоборот. Собственный вектор существует всегда , а присоединённый — только в случае кратного собственного значения. Таковых у Вас нет и присоединённых векторов соответственно нет.

§19.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

Romakip's picture

Пусть $\lambda_0$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ Мы уже имели раньше такое определение.

Определение 1. Вектор $x ≠ 0$ называется собственным вектором преобразования $A,$ отвечающим собственному значению $\lambda_0,$ если
$$ Ax = \lambda_0 x, \text (A — \lambda_0 E) x = 0. \qquad (1)$$

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном $\lambda_0$. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства $R.$

Мы обозначим его $ N_<\lambda_0>^1.$ Легко видеть, что $ N_<\lambda_0>^1$ инвариантно относительно преобразования $A$ (проверьте!).

Заметим, что подпространство $ N_<\lambda_0>^1$ состоит из всех собственных векторов преобразования $A,$ отвечающих собственному значению $\lambda_0,$ к которым добавлен ещё нулевой вектор.

Определение 2. Вектор $x$ называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования $A,$ отвечающим собственному значению $\lambda_0,$ если вектор
$$ y = (A-\lambda_0 E)x $$
является собственным вектором преобразования $A.$

Пусть $\lambda_0$ — собственное значение преобразования $A.$

Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов $x$, для которых выполнено условие
$$ (A-\lambda_0 E)^2 x = 0, \qquad (2)$$
т. е. ядро преобразования $(A-\lambda_0 E)^2.$ Обозначим это подпространство $ N_<\lambda_0>^2$ является инвариантным подпространством пространства $R.$ В самом деле, пусть $x \in N_<\lambda>^2$, т. е. $ (A — \lambda_0 E)^2 x = 0.$ Нам надо доказать, что и вектор $ Ax \in N_<\lambda_0>^2,$ т. е. что $(A — \lambda_0 E)^2 Ax = 0.$ Но преобразование $A$ перестановочно с $(A — \lambda_0 E)^2, $ т. е.
$$ (A — \lambda_0 E)^2 Ax = A(A — \lambda_0 E)^2 x = 0. $$

Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства $ N_<\lambda_0>^2.$ В нем есть векторы двух типов.

Если $ x \in N_<\lambda_0>^1,$ т. е. $(A — \lambda_0 E) x = 0,$ то подавно и $ (A — \lambda_0 E)^2 x = 0,$ т. е. $ x \in N_<\lambda_0>^2.$ Таким образом, $ N_<\lambda_0>^1$ целиком содержится в $ N_<\lambda_0>^2.$ Если $ x \in N_<\lambda_0>^2,$ но $ x \overline <\in>N_<\lambda_0>^1,$ т. е.
$$ (A — \lambda_0 E) x ≠ 0, \\
(A — \lambda_0 E)^2 x = 0,$$
то $x$ — присоединенным вектор 1-го порядка. Действительно, в этом случае $ y = (A — \lambda_0 E)x$ есть собственный вектор.

Таким образом, подпространство $ N_<\lambda_0>^2$ получается, если к подпространству $ N_<\lambda_0>^1$ добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство $ N_<\lambda_0>^k$, состоящее из всех векторов $x,$ для которых
$$ (A — \lambda_0 E)^k x = 0. \qquad (3)$$

Это подпространство инвариантно относительно преобразования $A.$ Ясно, что подпространство $ N_<\lambda_0>^k$ содержит предыдущее подпространство $ N_<\lambda_0>^.$

Определение 3. Вектор $x$ называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор
$$ y = (A — \lambda_0 E) x $$
есть присоединенным вектор порядка $k-1$.

По индукции можно показать, что если $x$ — присоединенным вектор k-го порядка, то
$$ (A — \lambda_0 E)^k x ≠ 0, \\
(A — \lambda_0 E)^ x = 0.$$

Другими словами, присоединенным вектором k-го порядка называется вектор, принадлежащий $ N_<\lambda_0>^$ и не принадлежащий $ N_<\lambda_0>^k.$

Пример. Пусть $R$- пространство многочленов степени $ \leqslant n -1$ и преобразование $ A$ — дифференцирование:
$$ AP (t) = \over > P(t).$$

Легко видеть, что $ \lambda = 0$ есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор $P(t) = const.$ Найдем для этого преобразования подпространства $ N_0^k$. По определению $N_0^k$ состоит из всех многочленов $P(t),$ для которых $A^k P(t) = 0,$ т. е.
$$ \over > P(t) = 0.$$

Это будут все многочлены, степень которых не превышает $k-1$. Присоединенным векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна $k-1$.

В этом примере размерность каждого из подпространств равна $ N_0^k$ и она растет от 1 до $n$ вместе с ростом $k$. Подпространство $N_0^n$ уже совпадает со всем пространством $R,$ и если мы захотим определять $ N_0^, N_0^$ и т. д., то все эти подпространства будут совпадать с $ N_0^n.$

Легко видеть также, что в этом примере $ AN_0^ = N_0^k.$ Это следует из того, что каждый многочлен степени $ k$ есть произволная от многочлена степени $ k+1$.

Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования $A$ имеет место равенство
$$ (A — \lambda_0 E) N_<\lambda_0>^ = N_<\lambda_0>^k.$$

Пусть $A$ — линейное преобразование, а $ \lambda_0$- его собственное значение. Покажем, что подпространства $ N_<\lambda_0>^1, N_<\lambda_0>^2, . $ сначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера $ p \leqslant n,$ этот рост прекращается, т. е.
$$ N_<\lambda>^p = N_<\lambda_0>^ = . $$

Мы уже показали, что каждое подпространство $ N_<\lambda_0>^k$ содержит $ N_<\lambda_0>^,$ т. е. что с увеличением номера подпространства $ N_<\lambda_0>^k,$ а значит, и их размерности, могут только увеличиваться.

Так как наше пространство конечномерно, то для какого-то $ p \leqslant n$ мы впервые получим, что $ N_<\lambda_0>^p = N_<\lambda_0>^$.

Докажем, что в этом случае $ N_<\lambda_0>^ = N_<\lambda_0>^ = . $ т. е. что дальнейшего возрастания подпространств происходить не будет.

Действительно, предположим противное, а именно, что $ N_<\lambda_0>^ = N_<\lambda_0>^

,$ но для некоторого $ i > 0$ подпространство $ N_<\lambda_0>^ $ строго больше, чем $ N_<\lambda_0>^.$ Тогда существует вектор $x$ такой, что
$$ x \in N_<\lambda_0>^, x \overline <\in>N_<\lambda_0>^. $$
Это значит, что
$$ (A — \lambda_0 E)^ x = 0, \text (A — \lambda_0 E)^ x ≠ 0. \qquad (4)$$

Обозначим через $y$ вектор $ y = (A — \lambda_0 E)^i x.$ Тогда первое из равенств (4) означает, что $ y \in N_<\lambda_0>^,$ а второе, что $ y \overline <\in>N_<\lambda_0>^p,$ что невозможно, так как подпространства $ N_<\lambda_0>^$ и $ N_<\lambda_0>^p$ по предположению совпадают.

Итак, пусть $ \lambda_0$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства $ N_<\lambda_0>^p, $ состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению.

Кроме того, в п. нам понадобится более детальная структура $ N_<\lambda_0>^p.$ А именно, обозначая через $N_<\lambda_0>^k$ подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка $ \leqslant k -1,$ мы получили возрастающую цепочку инвариантн ых подпространств
$$ 0 \in N_<\lambda_0>^1 \in N_<\lambda_0>^2 . \in N_<\lambda_0>^p. \qquad \qquad (5)$$
Все члены цепочки различны. Подпространство $ N_<\lambda_0>^k$ состоит при этом из всех векторов $x,$ для которых
$$ (A — \lambda_0 E)^k x = 0, $$
т. е. это есть ядро преобразования $(A — \lambda_0 E)^k.$

Преобразование $ A — \lambda_0 E$ переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.

  • Log in to post comments
  • 7337 reads

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *