Как найти потенциал в точке между двумя зарядами
Перейти к содержимому

Как найти потенциал в точке между двумя зарядами

  • автор:

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Если заряды одноименные, то потенциалы складывать надо, а если разноименные, то вычитать. Правильно думаю?

То есть в данном случае `phi=phi_1+phi_2=(kq)/r+(kq)/r=(2kq)/r` ?

Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 03 июн 2015, 17:52
Тимур Искандаров писал(а):

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Если заряды одноименные, то потенциалы складывать надо, а если разноименные, то вычитать. Правильно думаю?

То есть в данном случае `phi=phi_1+phi_2=(kq)/r+(kq)/r=(2kq)/r` ?

Правильно, но не совсем.
Потенциал определяется с точностью до постоянной. И когда мы говорим о потенциале, то должны обязательно указать, в какой точке мы принимаем потенциал равным нулю. Для точечного заряда потенциал принимается равным нулю в бесконечности. Но существуют случаи ( нелокализованные заряды, которые распространяются до бесконечности) , где принять потенциал в бесконечности не представляется возможным, иначе в любой точке он будет не определен (бесконечность). Например, в случае бесконечно заряженной плоскости.

_________________
Сопротивление бесполезно.
Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 03 июн 2015, 19:58

Просто не очень понимаю откуда формула берется.
Работа по перемещению пробного заряда `q` в электрическом поле источником которого является положительный заряд `q_1` из точки 1 в точку 2 равна `A=(kqq_1)/r_1-(kqq_1)/r_2=W_(p_1)-W_(p_2)`, отсюда видно, что потенциальная энергия положительного заряда в какой-то точке `W_(p)=(kqq_1)/r_1` пусть за ноль взята бесконечно удаленная точка.
Работа по перемещению пробного заряда `q` в электрическом поле источником которого является отрицательный заряд `q_2` из точки 1 в точку 2 равна `A=-((kqq_2)/r_1-(kqq_2)/r_2)=-(W_(p_1)-W_(p_2))=W_(p_2)-W_(p_1)` т.к. как радиус вектор направлен против электрической силы, отсюда видно, что потенциальная энергия отрицательного заряда `W_(p)=-(kqq_2)/r_1`.
Потенциальная энергия системы из этих двух зарядов в данной точке равна их сумме
`W_(p)=(kqq_1)/r_1-(kqq_2)/r_1=(kq(q_1-q_2))/r_1`.
Потенциал поля системы двух зарядов
`phi=(kq(q_1-q_2))/(qr_1)=(k(q_1-q_2))/r_1`.

p.s. тут что-то отрицательный взял, забыл что у меня положительные, но не суть. Как-то так это олучается? А то в Пинском «Физика 10» что-то не очень понятно написано что и откуда берется.

Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 03 июн 2015, 21:55

[quote=»Тимур Искандаров»][/quote]
Все так, только расстояние r — это расстояние от точечного заряда до точки, где определяется потенциал. У вас `r_2=r_1`, т.е. потенциал определяется в точке, находящейся на равных расстояниях от зарядов.
Кроме того, потенциальная энергия отрицательного заряда `W_(p)=-(kqq_2)/r_1`- не согласованы обозначения заряда и расстояния.

_________________
Сопротивление бесполезно.
Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 03 июн 2015, 22:20

А я прямо с Пинского брал, вот по такой логике как на рисунках.

То есть точку 1 принял за начальное положение пробного заряда, то есть в данной задаче `r_1=0,5`м, а точку 2 какую-то другую, в которую мы якобы желаем перенести заряд, т.е. исходя из рисунка `r_2>r_1`, а затем эту точку 2 переношу на бесконечность, то есть `r_2->infty`, следовательно второе слагаемое `(kqq_1)/r_2->0`. То же самое сделал и с отрицательным зарядом. Тем самым я подумал, что это и будет потенциальная энергия в данной точке.

p.s. тут правда на рисунках он почему-то интеграл не пишет, у меня в издании 1993 года он пишет:
Интегрирование в данном случае даёт следующий результат `A_(MK)=int_(r_1)^(r_2)Fdr=int_(r_1)^(r_2) (qQdr)/(4piepsilon_0r^2)=(qQ)/(4piepsilon_0r_1)-(qQ)/(4piepsilon_0r_2)`.
Откуда сразу понятно, что и откуда берется. Не вижу смысла писать готовые формулы, интеграл причем обычный совсем.

Вложения:
работа в поле 1.jpg [ 208.68 KIB | Просмотров: 5781 ]
работа в поле 2.jpg [ 192.33 KIB | Просмотров: 5781 ]

Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 04 июн 2015, 00:11

Вы разберитесь, что определяете. В первой задаче вы рассматриваете потенциал от двух зарядов, а Пинский рассматривает потенциалы от одного заряда в разных точках.

_________________
Сопротивление бесполезно.
Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 04 июн 2015, 07:49

А какой вообще физический смысл потенциала в точке на расстоянии `r` от источника поля `q` ?
Я думал посчитать какая энергия была бы в этой точке от одного заряда, затем от другого, тогда энергия от двух будет как сумма энергий каждого. Хотя, что эта энергия значит в упор не понимаю. Если висит люстра, то её энергия равна работе, которую мне необходимо совершить, чтобы её повесить (за нулевой уровень взял пол). Тогда по такой же логике получатся, что потенциальная энергия в точке поля заряда есть работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести пробный заряд из этой точки в бесконечность. Походу понял, а вот с потенциалом вообще не понятно.

Заголовок сообщения: Re: Потенциал поля между двумя зарядами
Добавлено: 04 июн 2015, 19:07
Тимур Искандаров писал(а):

А какой вообще физический смысл потенциала в точке на расстоянии `r` от источника поля `q` ?
Я думал посчитать какая энергия была бы в этой точке от одного заряда, затем от другого, тогда энергия от двух будет как сумма энергий каждого. Хотя, что эта энергия значит в упор не понимаю. Если висит люстра, то её энергия равна работе, которую мне необходимо совершить, чтобы её повесить (за нулевой уровень взял пол). Тогда по такой же логике получатся, что потенциальная энергия в точке поля заряда есть работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести пробный заряд из этой точки в бесконечность. Походу понял, а вот с потенциалом вообще не понятно.

Потенциальная энергия — это работа по перемещению заряда, а потенциал — это характеристика поля, а не заряда, который перемещаем. Чтобы получить потенциал, мы делим потенциальную энергию на заряд. Надо обратить внимание, что потенциальная энергия определяется для пробного заряда, который не должен изменять характеристики поля, создаваемые другими зарядами. Например, пробный заряд не должен влиять на изменение положения зарядов, создающих основное поле.

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Задача №6.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

Решение задачи:

Схема к решению задачи

Так как заряды одинаковы, и они находятся на одинаковом расстоянии \(r\) от точки A, в которой нужно определить потенциал, значит потенциалы электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, также одинаковы. Это видно из формулы:

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 .

Учитывая, что точка A находится посредине между двумя зарядами (\(r=\frac\)), то:

Искомый потенциал \(\varphi\) равен сумме потенциалов электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, поскольку потенциал — величина скалярная. Учитывая вышесказанное, имеем:

В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:

Ответ: 1,8 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Определение напряженности электрического поля с помощью потенциала

Формулу можно использовать для определения разности потенциалов между двумя точками электрического поля, если напряженность поля в области между этими точками известна. Обращая эту формулу мы можем выразить напряженность электрического поля через его потенциал, т. е., зная V, мы сможем определить Е.
Посмотрим, как это делается.
Уравнение можно переписать в дифференциальной форме:

где dV — бесконечно малая разность потенциалов между точками на расстоянии dl друг от друга, а El — составляющая напряженности электрического поля в направлении этого бесконечно малого перемещения dl.
Тогда:

Таким образом, составляющая напряженности электрического поля по любому направлению равна градиенту потенциала в этом направлении, взятому с обратным знаком. Градиентом величины V называется ее производная по определенному направлению dV/dl. Если направление не указывается, то градиент соответствует направлению наиболее быстрого изменения V; это соответствует направлению вектора Е в данной точке, поскольку именно в таком направлении составляющая вектора Е совпадает с полной величиной напряженности поля:

Если расписать составляющие вектора Е по координатам х, у, z и в качестве l взять направления вдоль осей х у, z, то уравнение (24.8) можно записать в виде:

Здесь dV/dx — частная производная V по направлению х при условии, что у и z фиксированы.

В последнем примере мы вычислили напряженность электрического поля Е диполя в произвольной точке пространства. Складывая векторы напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, получить этот результат было бы гораздо сложнее. Вообще говоря, для многих распределений зарядов гораздо проще рассчитать потенциал, а затем по формуле (24.9) — напряженность электрического поля Е, чем вычислять по закону Кулона по отдельности Е для каждого заряда: скалярные величины складывать намного проще, чем векторы.

Электростатическая потенциальная энергия

Предположим, что точечный заряд q перемещают в пространстве из точки а в точку b, электрические потенциалы в которых, обусловленные другими зарядами, равны соответственно Va и Vb. Изменение электростатической потенциальной энергии заряда q в поле других зарядов составляет:

Пусть теперь имеется система нескольких точечных зарядов. Чему равна электростатическая потенциальная энергия системы?
Удобнее всего выбрать за нуль потенциальную энергию зарядов на очень больших (в идеале бесконечно больших) расстояниях друг от друга. Потенциальная энергия уединенного точечного заряда Q1 равна нулю, поскольку в отсутствие других зарядов на него не действует никакая сила. Если к нему поднести второй точечный заряд, Q2, потенциал в точке, где находится второй заряд, будет равен:

Здесь r1 2 — расстояние между зарядами. Потенциальная энергия двух зарядов равна:

Она характеризует работу, необходимую для перемещения заряда Q2 из бесконечности (V = 0) на расстояние r1 2 до заряда Qi (или со знаком минус работу, необходимую для разнесения зарядов на бесконечно большое расстояние).

Если система состоит из трех зарядов, то ее полная потенциальная энергия будет равна работе по перемещению всех трех зарядов из бесконечности в место их расположения. Работа по сближению зарядов Q2 и Q1 определяется выражением (24.10);
чтобы перенести заряд Q3 из бесконечности в точку на расстоянии r1 3 от Q1 и на расстоянии r2 3 от Q2, требуется совершить работу:

В этом случае потенциальная энергия системы трех точечных зарядов будет равна:

Для системы четырех зарядов выражение для потенциальной энергии будет содержать шесть таких членов и т.п. (При составлении подобных сумм необходимо следить за тем, чтобы не учитывать одну и ту же пару дважды). Часто нас интересует не полная электростатическая потенциальная энергия, а лишь часть ее. Например, может возникнуть необходимость найти потенциальную энергию одного диполя в присутствии другого диполя. Во взаимодействии участвуют четыре заряда: Q1 и -Q1 первого диполя и Q2 и -Q2 второго диполя.
Потенциальная энергия одного диполя и в присутствии другого (иногда ее называют энергией взаимодействия) представляет собой работу по сближению диполей с бесконечно большого расстояния. В этом случае нас не интересует взаимная потенциальная энергия зарядов Q1 и -Q1 или Q2 и -Q2; выражение для потенциальной энергии двух диполей будет содержать лишь четыре члена, соответствующие энергиям взаимодействия между зарядами: Q1 и Q2 ; Q1 и -Q2 ; -Q1 и Q2 ; -Q1 и -Q2.

Заключение

Электрический потенциал в любой точке пространства определяется как электростатическая потенциальная энергия единицы заряда. Разность потенциалов между двумя точками определяется взятой с обратным знаком работой, которая совершается полем при перемещении единичного электрического заряда между этими точками. Разность потенциалов измеряется в вольтах (1 В = 1 Дж/Кл) и иногда называется напряжением. Изменение потенциальной энергии заряда q при прохождении им разности потенциалов V равно ΔU = qVba.
Разность потенциалов V между точками b и a в однородном электрическом поле напряженностью Е определяется формулой V = — Ed, где d — расстояние вдоль силовой линии поля между этими точками.
В неоднородном электрическом поле Е соответствующее выражение имеет вид .
Таким образом, зная Е, всегда можно определить V. Если значение V известно, то составляющие напряженности поля Е можно найти, обращая приведенное соотношение:

Эквипотенциальные линии или поверхности представляют собой геометрическое место точек одного потенциала; они всюду перпендикулярны силовым линиям поля. Электрический потенциал уединенного точечного заряда Q относительно нулевого потенциала (на бесконечности) равен:

Потенциал произвольного распределения зарядов можно определить, суммируя (интегрируя) потенциалы отдельных зарядов.

где r — расстояние от элемента заряда dq до точки, в которой определяется V.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Электрическая емкость, диэлектрики, накопление электрической энергии.
Конденсатор — устройство для накопления электрического заряда, который состоит из двух проводников (обкладок), расположенных близко друг к другу, но не соприкасающихся.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Как найти потенциал в точке между двумя зарядами

Найти напряженность поля и потенциал во всем пространстве тонкой сферы радиуса R , равномерно заряженной до заряда q .

Применим теорему Гаусса. Выберем в качестве замкнутой поверхности концентрическую сферу радиуса r > R (рис.). Очевидно, что напряженность на поверхности этой сферы будет одинакова по величине и направлена по радиусу. Тогда поток напряженности через нее будет E ⋅ 4 πr 2 . Согласно теореме Гаусса  2 E ⋅ 4πr = 4πkq, откуда  q-- E = k r2.

 q φ (r) = k -. r

Найдем потенциал сферы во всем пространстве. Так как вне сферы напряженность поля совпадает с напряженностью заряда, находящегося в центре, то и потенциал при r > R выразится в виде

Пронесем единичный положительный заряд из бесконечности до расстояния r от центра, меньшего радиуса сферы. Тогда работа, которую необходимо совершить по переносу до поверхности сферы будет равна kq∕R . Внутри сферы поле равно нулю и работа не совершается. Таким образом  q E = k --- при r >R, E = 0 пр и r < R, r2  q q φ = k-- пр и r >R, φ = k—п ри r < R. r R

PIC PIC

На рис. 3.1 изображены графики зависимости напряженности и потенциала поля от расстояния до центра однородно заряженной сферы.

3.1.2 Пример – поле и потенциал шара

 Q Q E = k -2, φ = k --. r r

Однородно заряженный шар. Пусть радиус шара R , полный заряд Q . Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущей задаче, получим, что вне шара напряженность и потенциал поля совпадают с полем заряда Q , помещенного в центр шара:

Чтобы найти напряженность электрического поля внутри шара, выберем в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r < R с центром в центре шара. Из симметрии ясно, что напряженность поля направлена по радиусу и одинакова по величине на всей поверхности сферы. Из теоремы Гаусса следует E (r) ⋅ 4πr2 = 4πkq (r), где q ( r ) – заряд внутри выбранной поверхности. Введем плотность заряда шара ρ . Тогда q(r) = ρ 4πr3 и E (r) = k q(r)-= 4-ρkr. 3 r2 3

Плотность заряда равна полному заряду, деленному на объем шара:  Q ρ = -----3---. 4 πR ∕3 Для напряженности поля внутри шара получим  Q--- E = k 3r. R

 ∫r R∫ Q-- ∫r Q--- φ (r) = - Edr = - k 2dr - k 3rdr. ∞ ∞ r R R

Найдем потенциал внутри шара.

Первый интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда из бесконечности до поверхности шара и равен kQ∕R . Второй член  ∫r 2 2 - k-Q--rdr = - k -Q--r--+ k -Q--R--. R3 R3 2 R3 2 R Значение потенциала внутри шара определится выражением  2 3- Q-- Qr--- φ (r) = 2 kR - k 2R3 .

PIC PIC

Окончательно имеем  q-- Q--- E = k r2 пр и r >R, E = k R3 r п ри r < R,  q 3 q Q φ = k --п ри r >R, φ = —k — k —-r2 пр и r < R. r 2 R 2r3 Заметим, что непрерывен не только потенциал (что и должно быть), но и напряженность электрического поля. Последнее связано с тем, что в системе нет заряженных тонких поверхностей. Поэтому нет и скачка напряженности. На рис. 3.2 приведены графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния до центра однородно заряженного по объему шара.

3.1.3 Пример – заземленная сфера

PIC

Пусть есть две проводящие концентрические сферы радиусов a и b . На внутреннюю сферу помещен заряд q , а внешняя заземлена (рис. 3.3 ). Требуется определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.

Так как внешняя сфера заземлена, на ней появляется некоторый заряд Q . Если бы он был известен, напряженность поля легко определилась бы из принципа суперпозиции (напомним, что во внешнем пространстве сфера создает поле, такое же, как точечный заряд, расположенный в ее центре, а внутри поля нет)

 q + Q E = k ----2-- пр и r ></p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 10theinternet -->
<script src=

b, r E = k-q- пр и a < r < b, r2 E = 0 при r < a. " />

Для потенциала при r > b имеем φ = k ( q + Q ) ∕r . На поверхности внешней сферы φ ( b ) = k ( q + Q ) ∕b .

Q = - q.

Так как эта сфера заземлена, φ ( b ) = 0 . Отсюда

Тогда напряженность поля при r > b равна нулю. Вне заземленной сферы поля нет. Этот результат не зависит от формы заземленного проводника. Говорят, что заземленная оболочка экранирует находящиеся внутри заряды: никакие изменения их величины или положения не сказываются снаружи.

PIC PIC

 ( ) φ (r) = φ + φ = kq 1-- 1- . 1 2 r b

Понятно, что при r > b потенциал равен нулю. Для нахождения потенциала между сферами пронесем единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку, используя принцип суперпозиции. В поле заряда Q работа совершается лишь до поверхности внешней сферы: φ 1 = kQ∕b — kq∕b . А в поле внутренней сферы φ 2 = kq∕r . Полный потенциал

 ( ) 1- 1- φ (a) = kq - . a b

Внутри малой сферы E = 0 , потенциал не меняется и равен потенциалу на поверхности

На рис. 3.4 приведены графики зависимостей E ( r ) и φ ( r ) .

3.1.4 Пример – разлетающиеся частицы

Четыре одинаковых частицы массы m и заряда q первоначально удерживаются в углах квадрата со стороной a . Заряды отпускают. Найти скорости зарядов по прошествии большого промежутка времени.

 mv2-- U = 4 , 2

Из симметрии ясно, что в любой момент времени частицы будут находиться в углах некоторого квадрата и обладать одинаковыми по величине скоростями, направленными по диагоналям этого квадрата. В результате вся начальная потенциальная энергия U перейдет в кинетическую энергию частиц где v – искомая скорость.

PIC

Дело, таким образом, сводится к вычислению начальной потенциальной энергии системы U . Перенумеруем заряды (рис. 3.5 ) и начнем �собирать� систему. Принесем из бесконечности первый заряд. Для этого не понадобиться совершать работу (внешних сил нет): A 1 = 0 .

Принесем второй заряд. Работа в поле первого заряда будет  2 q-- A2 = k a . Третий заряд уже придется двигать в поле, как первого, так и второго заряда:  q2 q2 A3 = k --√---+ k---. a 2 a Наконец, для последнего  2 2 2 A = kq--+ k -q√----+ k q--. 4 a a 2 a Полная потенциальная энергия системы  q2 ( √ -) U = A1 + A2 + A3 + A4 = k --- 4 + 2 . a Тогда  2 ( √ --) 2 k q-- 4 + 2 = 4mv---, a 2 откуда получаем ответ  ∘ ------(-----√--)---------- v = kq2a 4 + 2 ∕(2ma ).

3.1.5 Пример – столкновение зарядов

С большого расстояния навстречу друг другу со скоростями, соответственно, v 1 и v 2 движутся две одинаковых частицы массы m и заряда q . Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся.

mv1 - mv2 = 2mu.

При минимальном расстоянии скорости частиц u будут одинаковы. Из закона сохранения импульса Начальная потенциальная энергия электрического взаимодействия равна нулю.

Запишем закон сохранения энергии: mv2 mv2 mu2 q2 ---1-+ ----2 = 2----- + k --, 2 2 2 r где r – минимальное расстояние. Из первого уравнения u = (v1 - v2)∕ 2 . И, подставляя во второе, получаем ответ:  2 ----4kq------- r = m (v2 + v2) . 1 2

3.1.6 Пример – система конденсаторов

Определите емкость системы конденсаторов, изображенных на рисунке (рис. 3.6 ).

PIC PIC PIC

PIC PIC PIC

Пронумеруем конденсаторы и обозначим на схеме заряды (рис. 3.7 ). Из симметрии схемы ясно, что заряды на конденсаторах 1, 2 и 3, 4, соответственно, одинаковы. Так как батарея электронейтральна q 1 = q 2 .

Тогда ясно, что средний (5-й) конденсатор не заряжен и его можно убрать. Эквивалентная схема будет выглядеть так: (рис 3.8 ).

Так как емкость последовательно соединенных конденсаторов определяется по формуле  1 1 1 --′ = ---+ ----. C C 2C Отсюда C ′ = 2 3C . И имеем новую эквивалентную схему (рис. 3.9 ). По правилу определения емкости параллельно соединенных конденсаторов полная емкость цепи:  ′ ′ 4- C0 = C + C = 3 C.

 1 1 1 --- = ----+ ---. C0 2C 4C

Можно было поступить иначе. Так как средний конденсатор не заряжен, точки, к которым он подсоединен, имеют одинаковый потенциал. Тогда их можно соединить проводником: это не приведет к перераспределению зарядов на остальных конденсаторах. Соответствующая эквивалентная схема (рис. 3.10 . Или, учитывая, что имеется две пары параллельно соединенных конденсаторов, получаем еще одну эквивалентную схему (рис. 3.11 ). Отсюда

C = 4-C. 0 3

В итоге получаем тот же ответ:

3.2 Постоянный ток

3.2.1 Пример – соединение сопротивлений

Каким должно быть сопротивление r , чтобы входное сопротивление между клеммами было равно тоже r (рис. 3.12 )?

PIC PIC PIC

Последние два сопротивления, соединенные последовательно, имеют сопротивление R ′ = R + r. Тогда имеем эквивалентную схему: (рис. 3.13 )). Параллельное соединение сопротивлений R и R ′ приводит к схеме (рис. 3.14 )). Где  RR ′ R (R + r) R ′′ = ---------= -----------. R + R ′ 2R + r По условию: R + R ′′ = r .

То есть:  ( ) R--+--r-- R 1 + 2R + r = r. Откуда получаем ответ  √ -- r = R 3.

3.2.2 Пример – ЭДС и внутреннее сопротивление батареи

Батарея, замкнутая на сопротивление R 1 = 10 Ом , дает ток I 1 = 3 А ; замкнутая на сопротивление R 2 = 20 Ом , она дает ток I 2 = 1 , 6 А . Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление r батареи.

Из условия E = I1 (R1 + r), E = I2(R2 + r). Приравнивая правые части, получим I R + I r = I R + I r. 1 1 1 2 2 2 Откуда  I R - I R r = --2--2----1--1-= 1,43 О м. I1 - I2

 I1I2(R2 - R1 ) E = -----------------= 34,3 В. I1 - I2

Подставляя r в первое уравнение, получим

3.2.3 Пример – внутреннее сопротивление аккумулятора

Аккумулятор подключен один раз к внешней цепи с сопротивлением R 1 , другой раз – с R 2 . При этом количество теплоты, выделяющейся во внешней цепи в единицу времени, одинаково. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора.

Обозначим ЭДС аккумулятора через , а внутреннее сопротивление – через r . E = I (R + r), E = I (R + r). 1 1 2 2 Условие равенства количества теплоты дает: I2R = I 2R . 1 1 2 2 Или  2 2 --E--R1--- --E--R2---- R + r )2 = (R + r )2. 1 2 Разрешая это уравнение относительно r , получим ответ :  √ ------- r = R R . 1 2

3.2.4 Пример – цепь с конденсаторами

PIC

Конденсаторы емкости C 1 и C 2 и резисторы, сопротивления которых равны R 1 ,R 2 ,R 3 , включены в электрическую цепь, как показано на рисунке 3.15 ). Найти установившиеся заряды на конденсаторах. Напряжение U известно.

U = I(R1 + R2 + R3 ).

В установившемся режиме через резисторы течет постоянный ток, определяющийся из уравнения

 q --1 - I(R1 + R2 ) = 0. C1

Рассмотрим контур, содержащий C 1 ,R 1 ,R 2 . Для него:

q = U-C1-(R1--+-R2--). 1 R1 + R2 + R3

Откуда (подставляя I ):

 U C2 (R2 + R3 ) q2 = -----------------. R1 + R2 + R3

Аналогично, рассматривая контур, содержащий C 2 ,R 2 ,R 3 , получим

3.3 Магнитное поле

3.3.1 Пример – движение заряда в магнитном поле

На заряд q = 1 Кл, движущийся со скоростью v = 1 м/с, в магнитном поле действует сила F = 10 Н. Заряд движется под углом α = 30 ∘ к направлению индукции магнитного поля. Чему равна индукция этого поля?

F = qvB sin α.

На заряд действует сила Лоренца:

Откуда B = F∕ ( qv sin α ) . Подставляя числа, получим ответ: B = 20 Тл.

3.3.2 Пример – проводник с током в магнитном поле

PIC

В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях подвешен горизонтально проводник массы m = 0 , 16 кг и длины l = 0 , 8 м. Концы проводника при помощи гибких проводов, находящихся вне поля, подсоединены к источнику тока. Найдите угол, на который отклоняются от вертикали нити подвеса, если по проводнику течет ток I = 2 А, а индукция магнитного поля B = 1 Тл.

 IBl tgα = -----. mg

На проводник действуют две силы: тяжести mg , направленная вертикально, и Ампера IBl , направленная горизонтально (см. рис. 3.16 ). Тогда в равновесии Принимая g = 10 м ∕ с 2 и подставляя числа, получим tg α = 1 . Откуда α = 45 ∘ .

3.3.3 Пример – радиусы траекторий

Как относятся радиусы траекторий двух электронов с кинетической энергией K 1 и K 2 , если однородное магнитное поле перпендикулярно их скорости?

Скорости электронов определяются из формул: K = mv1-, K = mv2--. 1 2 2 2 Радиусы определятся из закона Ньютона  2 2 ev B = mv--1, ev B = mv--2. 1 R1 2 R2 Тогда отношение радиусов  ┌│ ---- R1 v1 │∘ K1 ----= ---= ----. R2 v2 K2

3.4 ЭДС индукции

3.4.1 Пример – падение в магнитном поле

В однородном магнитном поле индукции B находятся две вертикальные рейки, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям поля (рис. 3.17 ). По рейкам, расстояние между которыми равно L , может скользить без трения проводник массой m . Определите установившуюся скорость этого проводника, если верхние концы реек замкнуты на сопротивление R . В какие виды энергии переходит работа силы тяжести?

PICPIC

На скользящий проводник действуют две силы: тяжести mg и Ампера IBL . При установившемся движении mg - IBL = 0. ЭДС индукции E и нд = vBL = I R. Выражая ток из второго уравнения и подставляя в первое, получим ответ :  mgR v = --2--2. B L Можно получить ответ другим способом. Мощность силы тяжести в установившемся режиме переходит в тепло, выделяющееся на сопротивлении: mgv = I 2R.

3.4.2 Пример – стержень в магнитном поле

Металлический стержень AB , сопротивление единицы длины которого ρ , движется с постоянной скоростью v , перпендикулярной AB , замыкая два идеальных проводника OC и OD , образующих друг с другом угол α . Длина OC равна l , и AB перпендикулярен OC (рис. 3.18 ). Вся система находится в однородном постоянном магнитном поле индукции B , перпендикулярном плоскости системы. Найдите полное количество теплоты, которое выделится в цепи за время движения стержня от точки O до точки C .

Площадь треугольника в зависимости от времени S = xy∕ 2 , где x = vt,y = x ⋅ tg α = vt ⋅ tg α .

Тогда  ΔS 2 E и нд = B -----= v Bt ⋅ tg α. Δt Сопротивление R = ρx = ρvt . Мощность, выделяющаяся в цепи  E2 v3B2t ⋅ tgα N = --ин-д-= -------------. R ρ Полное время движения t 0 = l∕v .

 vB2l2 ⋅ tg α Q = -------------. 2ρ

Тогда ответ

3.4.3 Пример – вихревое электрическое поле

Индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра радиуса r = 0 , 1 м линейно возрастает со временем: B = αt (коэффициент α = 10 — 3 Тл/с ). Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряженность вихревого электрического поля на расстоянии l = 0 , 2 м от оси цилиндра?

Циркуляция электрического поля равна скорости изменения магнитного потока через сечение цилиндра:  2 E ⋅ 2πl = πr α. Отсюда  αr2 E = ----. 2l Подставляя числа: E = 2 , 5 ⋅ 10 — 5 В/м .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *