Как найти перпендикулярный вектор к вектору
Перейти к содержимому

Как найти перпендикулярный вектор к вектору

  • автор:

Как найти вектор перпендикулярный вектору

Подставим в это выражение координаты заданных векторов и из полученного равенства найдем $m$:

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 459 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Подставим в него заданные координаты векторов, получим:

Из полученного уравнения найдем $m$:

$$3-m=0 \Rightarrow m=-3$$

Как найти вектор, перпендикулярный вектору

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Определение 1

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Определение 2

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Определение 3

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Обозначение: $\overline$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.

Иначе одной маленькой буквой: $\overline$ (рис. 1).

Определение 4

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).

«Как найти вектор, перпендикулярный вектору» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Определение 6

Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$\overline\overline=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.

Необходимость: Пусть нам даны векторы $\overline$ и $\overline$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство

Так как векторы $\overline$ и $\overline$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$. Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.

$\overline\cdot \overline=|\overline||\overline|cos⁡90^\circ =|\overline||\overline|\cdot 0=0$

Достаточность: Пусть верно равенство $\overline\cdot \overline=0$. Докажем, что векторы $\overline$ и $\overline$ будут перпендикулярны друг другу.

По определению 6, будет верно равенство

Следовательно, векторы $\overline$ и $\overline$ будут перпендикулярны друг другу.

Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

$\overline\cdot \overline=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac=2\cdot 5+3=0$

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Определение 7

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

$\overlineх\overline=\begin\overline&\overline&\overline\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end$

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $\overline=(1,2,3)$ и $\overline=(-1,0,3)$

Найдем векторное произведение данных векторов.

$\overlineх\overline=\begin\overline&\overline&\overline\\1&2&3\\-1&0&3\end=(6-0)\overline-(3+3)\overline+(0+2)\overline=6\overline-6\overline+2\overline=(6,6,2)$

найти вектор, перпендикулярный двум заданным векторам

вычислить вектор с, перпендикулярный векторам a (2,-1,4) и b (-2,-4,-4). По какому алгоритму решать подскажите, спасибо.

Лучший ответ

Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Остальные ответы

Примерно решай так; Но, сначала сама прочитай все!! !
Вычислите скалярное произведение векторов d и r, если d=-c+a+2b; r=-b+2a.

Модуль вектора a равен 4, модуль вектора b равен 6. Угол между векторами a и b равен 60 градусам, вектор с перпендикулярен векторам a и b.

Точки Е и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причем AE=ED, BF: FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = вектору AB и вектор n = вектору AD. б) Может ли при каком – нибудь значении x выполняться равенство вектор EF = x умножить на вектор CD. .

Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Перпендикуляр к вектору.

Собственно, проблема только в том, чтобы рассчитать сабж к трехмерному вектору, с двухмерным все просто:
perp[ x, y ] = vector[ -y, x ];
Это следует из формулы поворота вектора, подставляя sin(90) и cos(90). В данном случае вращаем относительно оси Z.
А как быть с трехмерным вектором? По идее нужно вращать относительно некой оси, определяющей четвертое измерение.
Но какая будет для этого формула.

#1
11:09, 31 янв 2005

Поищи в DXSDK CrossProduct
Или в учебнике по алгебре\геометрии ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ :))))

#2
11:14, 31 янв 2005

San
у двумерного вектора, кстати, два перпендикуляра. а у терхмерного — бесконечно много. надо еще какое-нибудь условие, кроме перпендикулярности.

#3
11:23, 31 янв 2005

White Wolf
Ну ты меня совсем за ламера держишь :). Знаю я про cross product.
perp = vector ^ somevector;
А какой в таком случае выбирать somevector? Какой попало? В принципе можно, но не совсем правильно.
Да и посчитать cross product — время надо.

#4
11:30, 31 янв 2005

San
ты уверен что все так просто для 2д? какой перпендикуляр будет для ? 🙂

#5
11:32, 31 янв 2005

vector = dx, dy, dz
somevector = -dx, -dy, -dz

normal = somevector cross vector

#6
11:35, 31 янв 2005

San
Какой вопрос такой ответ! И нечего тут обижатся.
Как сказал Mega у 3Д вектора до фига перпендикуляров и нужно дополнительное условие.
И баста.

#7
11:42, 31 янв 2005

вотъ формула поворота на любой градус вокруг центра координат:

float sinV, cosV; math::sinCosf( sinV, cosV, rot ); m_V0.x = -( y )*sinV + ( x )*cosV; m_V0.y = ( y )*cosV + ( x )*sinV;
  • Vladimir Stroyev
  • Новичок

#8
11:50, 31 янв 2005

Народ, чего вы мучаетесь 🙂

const Vec3 GetPerpendicular(const Vec3&v)
<
Vec3 out(0, 0, 0);
out[ v.GetIndexOfMin() ] = 1;
return GetNormalized(Cross(out, v));
>

#9
11:58, 31 янв 2005

San
я там наврал в 5 посте. Вектора не должны быть коллинеарны. См. код Vladimir Stroyevа

#10
12:02, 31 янв 2005

San
Вопрос-то поставлен некорректно. В 3-мерном пространстве вектор, перпендикулярный данному, не единственен.
Множество таких векторов составляет плоскость, перпендикулярную данному вектору.

#11
12:56, 31 янв 2005

avost
x=-0, y=1;
>>vector = dx, dy, dz
>>somevector = -dx, -dy, -dz
>>normal = somevector cross vector
вот это уже ближе к телу 🙂

#12
12:57, 31 янв 2005

White Wolf
Эй, там же смайлик стоял. 🙂

#13
12:58, 31 янв 2005

shiftdel
Любой вектор, перпендикулярный данному.

#14
12:59, 31 янв 2005

Всем спасибо за ответы!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *