Как найти общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым
Перейти к содержимому

Как найти общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

  • автор:

Как найти общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Теорема 3.12.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Чертеж 3.4.1

Пусть и – скрещивающиеся прямые (чертеж 3.4.1). Через прямую проведем плоскость , параллельную прямой , а через прямую – плоскость , перпендикулярную плоскости . Пусть . По теореме о следе . Пусть . В плоскости проводим перпендикуляр к прямой . Заметим, что – общий перпендикуляр прямых и . Действительно, по теореме 3.9 имеем , следовательно, . Кроме того, по построению. Пусть – отрезок с концами на данных прямых и ( ), . Поскольку , то и . Кроме того, , следовательно, . Видно, что , то есть – кратчайшее расстояние между точками прямых и . Это расстояние равно расстоянию между прямой и плоскостью . Ранее было доказано, что пара скрещивающихся прямых определяет единственную пару параллельных плоскостей. Упомянутое расстояние и есть расстояние между этими плоскостями.

Лемма 3.1.

Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Пусть и – данные скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой точку и на прямой точку . Через точки и проведем прямые и соответственно такие, что Образуется две пары пересекающихся прямых параллельных прямым другой пары. По признаку параллельности плоскостей эти пары прямых определяют две параллельные плоскости, в которых и лежат данные скрещивающиеся прямые.

5.5.3. Как найти прямую, содержащую общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. «Чайникам» рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить – дело в том, что по сложности эту задачу надо бы поставить последней в параграфе, но по логике изложения она должна располагаться здесь. …Впрочем, танцуйте читайте все! 🙂

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу….

Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:
, или:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – это всё-таки не три неизвестных.

2) Аналогичные действия проведём со второй прямой. Перепишем её уравнения в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:
, или:

3) Запишем вектор . Ну и что, что нам не известны координаты точек – это же не мешает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала :

4) Вектор , как и ранее найденный вектор , является направляющим вектором прямой . Таким образом, они коллинеарны, и один вектор можно линейно выразить через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:
или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера. Но так извращаться мы, конечно, не будем. Выразим из 3-го уравнения и подставим эту «лямбду» в первые два уравнения:

Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение:
, а «лямбда» нам не потребуется.

То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Сам вектор нам не нужен, так как уже найден его коллега .

И после длинного пути всегда интересно выполнить проверку. Подставим координаты точки в уравнения :

– получены верные равенства.

Подставим координаты в уравнения :

– получены верные равенства.

Вывод: найденные точки действительно принадлежат соответствующим прямым.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Как найти общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.
Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.

Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.

Дадим еще два полезных определения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.

Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Определение 3.6.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Теорема 3.12.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Пусть и – скрещивающиеся прямые (чертеж 3.4.1). Через прямую проведем плоскость , параллельную прямой , а через прямую – плоскость , перпендикулярную плоскости . Пусть . По теореме о следе . Пусть . В плоскости проводим перпендикуляр к прямой . Заметим, что – общий перпендикуляр прямых и . Действительно, по теореме 3.9 имеем , следовательно, . Кроме того, по построению. Пусть – отрезок с концами на данных прямых и ( ), . Поскольку , то и . Кроме того, , следовательно, . Видно, что , то есть – кратчайшее расстояние между точками прямых и . Это расстояние равно расстоянию между прямой и плоскостью . Ранее было доказано, что пара скрещивающихся прямых определяет единственную пару параллельных плоскостей. Упомянутое расстояние и есть расстояние между этими плоскостями.

Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Пусть и – данные скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой точку и на прямой точку . Через точки и проведем прямые и соответственно такие, что Образуется две пары пересекающихся прямых параллельных прямым другой пары. По признаку параллельности плоскостей эти пары прямых определяют две параллельные плоскости, в которых и лежат данные скрещивающиеся прямые.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми

ТЕОРЕМА. Пусть p1 и p2 – две произвольные скрещивающиеся прямые. Если рассмотреть всевозможные прямые A1A2, такие, что точка A1 лежит на прямой p1, а точка A2 лежит на прямой p2, то будут выполнены следующие два утверждения:

  1. Среди всех прямых A1A2 существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой p1 и к прямой p2 ( общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым ).
  2. Среди всех отрезков A1A2наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

Через произвольную точку прямой p1 проведем прямую , параллельную прямой p2 , а через произвольную точку прямой p2 проведем прямую , параллельную прямой p1 . Обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые p1 и , а буквой β плоскость, проходящую через прямые p2 и (рис 1).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Поскольку прямая p1 параллельна прямой , лежащей на плоскости β , то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая p1 параллельна плоскости β. Точно так же, поскольку прямая параллельна прямой p2 , лежащей на плоскости β , то прямая по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости β. Таким образом, плоскость α содержит две пересекающиеся прямые p1 и , параллельные плоскости β. В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости α и β параллельны.

Спроектируем прямую p1 на плоскость β. Получим прямую , являющуюся проекцией прямой p1, и обозначим точку пересечения прямых p2 и буквой B2 (рис. 2).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Спроектируем теперь прямую p2 на плоскость α . Получим прямую , являющуюся проекцией прямой p2 , и обозначим точку пересечения прямых p1 и буквой B1 (рис. 3).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.

Докажем, что построенная прямая B1B2 является единственным общим перпендикуляром к прямым p1 и p2 .

Заметим, что любая прямая, перпендикулярная к p1 и к p2 , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна к построенным выше плоскостям α и β (рис. 3). Кроме того, общий перпендикуляр к прямым p1 и p2 должен проходить через точку, лежащую на прямой p1 , а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости γ , перпендикулярной к плоскостям α и β , и проходящей через прямую p1 .

С другой стороны общий перпендикуляр к прямым p1 и p2 должен проходить через точку, лежащую на прямой p2 , а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости δ , перпендикулярной к плоскостям α и β , и проходящей через прямую p2 .

Таким образом, общий перпендикуляр к прямым p1 и p2 является линией пересечения плоскостей γ и δ, то есть прямой B1B2 .

Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.

Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок A1A2 , у которого конец A1 лежит на плоскости α , а конец A2 лежит на плоскости β . Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость β и обозначим основание этого перпендикуляра символом A3 (рис. 4).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Если отрезок A1A2 не является перпендикуляром к плоскостям α и β, то точка A3 не совпадет с точкой A2 , и треугольник A1A2A3 будет прямоугольным треугольником с гипотенузой A1A2 и катетом A1A3. Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то

ЗАМЕЧАНИЕ. Длину отрезка B1B2 , лежащего на общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым, и называют расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Справочник по математике для школьников

  • Арифметика
  • Алгебра
  • Тригонометрия
  • Геометрия (планиметрия)
  • Геометрия (стереометрия)
  • Элементы математического анализа
  • Вероятность и статистика

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *