Как найти минимум функции с
Перейти к содержимому

Как найти минимум функции с

  • автор:

Экстремумы функции

Алгоритм исследования построения графика функции

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f’0(x * ) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с , в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

f’0(x * ) = 0
0(x * ) > 0

то точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции. Если в точке x * выполняется условие:

f’0(x * ) = 0
0(x * ) < 0

то точка x * — локальный (глобальный) максимум. Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /2, f(3)=3 8 /81
Ответ: fmin= 5 /2 при x=2; fmax=9 при x=1 Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /3+2πk, k∈Z – точки максимума функции. Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум. Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

Наибольший объем цилиндра

Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R .
Решение:

Объем цилиндра равен: V = πr 2 H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.

V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR 2 — 6πh 2
dV/dh = 0
2πR 2 — 6πh 2 = 0 или R 2 = 3h 2
Откуда

При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.

Математический анализ Примеры

Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .

Найдем значение .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Этап 1.1.1.2.3

Умножим на .

Первая производная по равна .

Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Пусть первая производная равна .

Поскольку , решения отсутствуют.

Нет решения

Нет решения

В области определения исходной задачи нет значений , при которых производная равна или не определена.

Критические точки не найдены

Критические точки не найдены

Ввиду отсутствия значения , при котором первая производная равна , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Сравним значения , найденные для каждого значения , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении , а минимум — при наименьшем значении .

Нет абсолютного максимума

Нет абсолютного минимума

Как найти минимум функции с

Наибольшее значение функции

Наменьшее значение функции

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

  1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
  2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Найти точку максимума / минимума

  1. Взять производную от предложенной функции.
  2. Приравнять ее к нулю.
  3. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
  4. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Найдите точку максимума функции

  • Берем производную:

  • Приравняем ее к нулю:
  • Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):


Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

  • Преобразуем и возьмем производную:

  • Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.

  • Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

  1. Взять производную от предложенной функции.
  2. Приравнять ее к нулю.
  3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
  4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
  5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
  6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]

  • Преобразуем и возьмем производную:
  • «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?

  • Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]

  • Берем производную:
  • Находим, чему равняется sin(x):
  • Но такое невозможно! Sin(x).
  • Получается, что уравнение не имеет решения, и в таких ситуациях нужно подставлять крайние значения промежутка в первоначальное уравнение:

  • Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
  1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y» , а на точку максимума/минимума написать «х».
  2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
  3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
  4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
  5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Рассмотрим пример экстремум
Находим производную и приравниваем её к нулю:
максимум и минимум функции
Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2 , тогда производная будет равна -0,24 , для второго возьмём 0 , тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2 , тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.
максимум и минимум графика фукции - экстремумы

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

  • Решение ЕГЭ по математике (часть B)
  • Как найти экстремум (точки максимума и минимума) функции
  • Формулы логарифмов
  • Таблица со значениями синусов, косинусов
  • Таблица производных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *