Как найти минимальное значение выражения
Перейти к содержимому

Как найти минимальное значение выражения

  • автор:

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Максимальное и минимальное значения выражения

Максимальное и минимальное значения выражения
15.08.2012, 16:20

Последний раз редактировалось Keter 15.08.2012, 16:29, всего редактировалось 2 раз(а).

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/2/1f2729635ddf350db4b7b2f6bd92e97882.pngx^2-xy-y^2$, если $x^2+2xy+3y^2=4$.

Я предлагаю оба выражения преобразовать немного: $2x^2-xy-y^2=(x-y)(2x+y)=\alpha;$
$x^2+2xy+3y^2=4x^2+4xy+y^2+y^2-2xy+x^2+y^2-4x^2=(2x+y)^2+(x-y)^2+y^2-4x^2=\beta;$
$\beta-2\alpha=(2x+y)^2-2(x-y)(2x+y)+(x-y)^2+y^2-4x^2=5x^2+y^2=4-2\alpha;$
$\alpha=\dfrac<5x^2+y^2-4>.$» /><br />Затем из второго выражения выразить <img decoding=через $x$и найти его наибольшее и наименьшее значения: $3y^2+2xy+x^2-4=0;$
$D=12-2x^2 \quad \Rightarrow \quad x \in [ -\sqrt; \sqrt];$
$y=\dfrac<1> \Big( -x \pm \sqrt \Big).$» /><br />Максимальное значение функции <img decoding=и равняется $\max \psi (x) = \sqrt2$, а минимальное при $x=-\sqrt6; \quad \min \psi (x) = \dfrac<-\sqrt6>$» />.<br />У функции <img decoding=

Следовательно, наименьшее значение $\alpha$достигается при $x = -\sqrt6; \quad y = \dfrac<-\sqrt6>$» />, а наибольшее при <img decoding=.

$\min \Big( 2x^2-xy-y^2 \Big) = -13 \dfrac<1>;$» /><br /><img decoding=

$f(x, y)=\dfrac<5x^2+y^2-4></p>
<p>Можно конечно рассмотреть функцию двух переменных $» />, но мне кажется это не то.</p>
<p>Есть какие-то недостатки в решении? Может другие идеи?</p>
<p><b>Re: Максимальное и минимальное значения выражения</b><br />
15.08.2012, 16:41</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

Keter в сообщении #606382 писал(а):
Есть какие-то недостатки в решении?

Есть — оно безумно длинное.

Система уравнений https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/2/b42cc2ca627f47e336a5651440353ecc82.pngx^2-xy-y^2=m,\ \ x^2+2xy+3y^2=4$может иметь ноль, два или четыре решения. Искомые максимум и минимум — это в точности те два значения параметра $m$, при которых система будет иметь два решения. А эта система в зависимости от параметра решается очень легко и очень стандартно (причём её вовсе не надо будет решать до конца, там быстро становится очевидным условие на параметр).

математика. как найти наименьшее значение выражения x2(в квадрате)-6x+10.Объясните пожалуйста(

Ну зачем пугать юную девоческую душу дифференциалоами и производными? Это ж обычная ШКОЛЬНАЯ задачка на уровне шестого класса.. .

Надо всего-то выделить из квадратичного трёхчлена полный квадрат, то есть представить его в виде x&#178 + 2ax + a&#178 + довесок («а» тут может быть и отрицательным — как в этом примере) . То есть смотрим на x&#178-6 и понимаем, что это x&#178 — 2*3х. Значит, ВСЁ выражеение можно представить как (х-3)&#178 + довесок. Не штука сообразить, что довесок равен 1.
Ну и понятно, что квадрат разности — штука как минимум неотрицательная. И минимальное значение этого квадрата — 0. Значит, минимальное значение всей функции — это довесок, который остаётся после выделения полного квадрата, т. е. 1.

Остальные ответы
нужно решить это неравенство с помощью дискриминанта подставив в конце меньше нуля

(x²-6x+10)’=2x-6
2x-6=0
x=3 — тут экстремум
(2x-6)’=2 — раз положительно, тут минимум
Подставляем
3²-6*3+10=1
1 — это ответ
Или, элементарной математикой,
x²-6x+10=(x²-6x+9)+1=(x-3)²+1
1 — это ответ 🙂

тут пол книжки математики объяснять
1. дифференциал
2x-6 = 0
x = 3
теперь вместо х ставишь 3 и решаешь
y = 3*3 -6*3+10 = 1

х^2-6x+10
график парабола, т. к. коэфицент перед х^2 = 1 (1*х^2), то ветви параболы направлены вверх.
т. е. наименьшее значение будет на её вершине. Её координаты находишь по соотв. формуле.
построй график и увидишь всё.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^, n∈N$
$/$ $-/$
$/x, n∈N$ $-/>, n∈N$
$√^n, n∈N$ $/, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ $/$
$ctgx$ $-/$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ $/$
$log_x$ $/$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + /$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

2. Производная произведения.

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции
в ограниченной замкнутой области?

Близится к завершению изучение функций нескольких переменных, и сегодня мы рассмотрим ещё одну распространённую задачу, развёрнутую формулировку которой вы видите в заголовке статьи. Как многие догадываются, это пространственный аналог задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:

Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой). На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д., но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.

Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными); реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».

Плоская область обычно штрихуется, а её граница выделяется жирной либо цветной линией

Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:

Эту же область можно задать и линейными неравенствами: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой.
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие.

А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность, и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса, непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках, принадлежащих области D, либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области

В процессе решения нужно отмечать найденные точки на чертеже

Решение: прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:

I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных:

Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже), а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:

– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.

Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума. Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах).

Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.

II) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:

1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:

Как вариант, можно оформить и так:

Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится:

– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже):

Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:

Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.

Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Используя функцию , выполним контрольную проверку:

3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:

Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.

Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:

Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :

Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.

И заключительный шаг: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .

В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка.

Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной :))

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .

Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.

Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:

– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.

– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них, которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!

– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще). Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!

– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что

Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:

Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на самом первом уроке по теме ФНП, и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас 😉

Область ограничена осью абсцисс и параболой

Решение, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….

I) Найдём стационарные точки:

Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)

II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:

Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

Вычислим значения функции на концах отрезка:

2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

Решаем квадратное уравнение, помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:

Вычислим значения функции в найденных точках:

Проверку по функции проведите самостоятельно.

Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ:

Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!

Для самостоятельного решения:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».

Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа, но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!

Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!

Решения и ответы:

Нетиповой треугольник с двумя «наклонными» сторонами

Пример 2: Решение: изобразим область на чертеже:

I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:

II) Исследуем границу области

1) Подставим в функцию:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим значение функции на другом конце отрезка:

2) Подставим в функцию :

Контроль:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим значение функции на конце отрезка:

3) Подставим в функцию :

Контроль:

Вычислим значение функции в точке :

Плоская область ограничена квадратом

Пример 3: Решение: изобразим область на чертеже:

I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:

II) Исследуем границу области

1) Если , то
– точка уже исследована.
Вычислим значение функции на другом конце отрезка:

2) Если , то

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) Если , то
– точка уже исследована.
Другой конец отрезка также исследован.

4) Если , то

Концы отрезка уже исследованы.

Плоская область представляет собой круг

Пример 5: Решение: изобразим область на чертеже:

I) Найдём стационарные точки:

, следовательно, , – любое.
Таким образом, все точки оси – стационарные. Но область ограничена, и поэтому рассматриваем лишь точки из промежутка .

II) Исследуем границу области. Подставим в функцию (таким образом, учитываются сразу обе полуокружности ):

Найдём критические точки:

Если , то
Если , то
Вычислим значения функции в точках :

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *