Как найти координаты точек пересечения графиков функций без построения
Перейти к содержимому

Как найти координаты точек пересечения графиков функций без построения

  • автор:

Координаты точки пересечения графиков функций

Первый способ: приравнять обе функции друг к другу. Затем перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные. Найти корни, полученного уравнения.

Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую

Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:

Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:

Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:

$$ f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$

Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 2
Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций.
Решение
Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!
Ответы
Графики функций параллельны, нет точек пересечения.

Случай двух нелинейных функций

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё не хватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

$$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$

$ M (0;1) $ — точка пересечения графиков функций

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-\frac – 2 = — 2\frac12$.

Точка пересечения будет $(-\frac;- 2\frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — \frac = \frac$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-\frac; \frac)$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Помощь с рефератом от нейросети

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Как не выполняя построения, найти координаты точки пересечения графиков линейных функций?

Элементарно: приравниваете формулы графиков функций и решаете полученное уравнение, находите переменную Х, например:
у=2х+1 и у=-4х-3, 2х+1=-4х-3 — решаете относительно Х, а потом вычисляете по любой из формул функций У, полученная точка то общая у этих двух графиков

Остальные ответы

дополню верхний ответ. Х будет стоять на первом месте, а У — на втором. то есть — ответ будет выглядеть (Х; У). ну а под Х и У подставляете значения уравнений.

Координаты точки пересечения двух прямых — примеры нахождения

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , расположенных в О х у . При обозначении точки пересечения М 0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Из определения очевидно, что М 0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Иными словами это и есть решение полученной системы A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Заданы две прямые x — 9 y + 14 = 0 и 5 x — 2 y — 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x — 9 y + 14 = 0 5 x — 2 y — 16 = 0 . Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x , подставляется выражение во второе:

x — 9 y + 14 = 0 5 x — 2 y — 16 = 0 ⇔ x = 9 y — 14 5 x — 2 y — 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y — 14 5 · 9 y — 14 — 2 y — 16 = 0 ⇔ x = 9 y — 14 43 y — 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y — 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 — 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M 0 ( 4 , 2 ) является точкой пересечения прямых x — 9 y + 14 = 0 и 5 x — 2 y — 16 = 0 .

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Определить координаты точек пересечения прямых x — 5 = y — 4 — 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R преобразуется таким образом:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x — 4 9 λ = y — 2 1 ⇔ x — 4 9 = y — 2 1 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 4 ) = 9 · ( y — 2 ) ⇔ x — 9 y + 14 = 0

После чего беремся за уравнение канонического вида x — 5 = y — 4 — 3 и преобразуем. Получаем, что

x — 5 = y — 4 — 3 ⇔ — 3 · x = — 5 · y — 4 ⇔ 3 x — 5 y + 20 = 0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x — 9 y + 14 = 0 3 x — 5 y + 20 = 0 ⇔ x — 9 y = — 14 3 x — 5 y = — 20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆ = 1 — 9 3 — 5 = 1 · ( — 5 ) — ( — 9 ) · 3 = 22 ∆ x = — 14 — 9 — 20 — 5 = — 14 · ( — 5 ) — ( — 9 ) · ( — 20 ) = — 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = — 110 22 = — 5 ∆ y = 1 — 14 3 — 20 = 1 · ( — 20 ) — ( — 14 ) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Ответ: M 0 ( — 5 , 1 ) .

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогда вместо значения x подставляется x = x 1 + a x · λ и y = y 1 + a y · λ , где получим λ = λ 0 , соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Определить координаты точки пересечения прямой x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x — 5 = y — 4 — 3 .

Необходимо выполнить подстановку в x — 5 = y — 4 — 3 выражением x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ , тогда получим:

4 + 9 · λ — 5 = 2 + λ — 4 — 3

При решении получаем, что λ = — 1 . Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x — 5 = y — 4 — 3 . Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ = — 1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · ( — 1 ) y = 2 + ( — 1 ) ⇔ x = — 5 y = 1 .

Ответ: M 0 ( — 5 , 1 ) .

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Даны прямые x 3 + y — 4 = 1 и y = 4 3 x — 4 . Определить, имеют ли они общую точку.

Упрощая заданные уравнения, получаем 1 3 x — 1 4 y — 1 = 0 и 4 3 x — y — 4 = 0 .

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

1 3 x — 1 4 y — 1 = 0 1 3 x — y — 4 = 0 ⇔ 1 3 x — 1 4 y = 1 4 3 x — y = 4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y — 4 = 1 и y = 4 3 x — 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x — 7 y — 1 = 0 .

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y — 1 = 0 ⇔ 2 x + ( 2 — 3 ) y = — 7 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 — 3 y = — 7 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y + ( 2 x + ( 2 — 3 ) y ) · ( — ( 3 + 2 ) ) = 1 + — 7 · ( — ( 3 + 2 ) ) ⇔ ⇔ 2 x + ( 2 — 3 ) y = — 7 0 = 22 — 7 2

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n 1 → = ( 2 , 2 — 3 ) является нормальным вектором прямой 2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 , тогда вектор n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , — 7 — нормальный вектор для прямой 2 3 + 2 x — 7 y — 1 = 0 .

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n 1 → = ( 2 , 2 — 3 ) и n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , — 7 ) . Получим равенство вида 2 2 ( 3 + 2 ) = 2 — 3 — 7 . Оно верное, потому как 2 2 3 + 2 — 2 — 3 — 7 = 7 + 2 — 3 ( 3 + 2 ) 7 ( 3 + 2 ) = 7 — 7 7 ( 3 + 2 ) = 0 . Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Найти координаты пересечения заданных прямых 2 x — 1 = 0 и y = 5 4 x — 2 .

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2 x — 1 = 0 5 4 x — y — 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x — y = 2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2 0 5 4 — 1 = 2 · ( — 1 ) — 0 · 5 4 = — 2 . Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2 x = 1 5 4 x — y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x — y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 — y = 2 ⇔ x = 1 2 y = — 11 8

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M 0 ( 1 2 , — 11 8 ) .

Ответ: M 0 ( 1 2 , — 11 8 ) .

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости О х у z уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а прямая b — A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0

Составляем систему x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 — 2 и расширенную T = 1 0 0 1 0 1 2 — 3 4 0 — 2 4 . Определяем ранг матрицы по Гауссу.

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = — 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 — 3 3 2 0 — 3 4 0 — 2 4 = 0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3 . Тогда система уравнений x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 27 — 4 = 0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = — 4 ≠ 0 , тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = — 3 3 x + 2 y — 3 . Решение системы x = 1 y + 2 z = — 3 3 x + 2 y = — 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = — 3 3 · 1 + 2 y = — 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = — 3 y = — 3 ⇔ ⇔ x = 1 — 3 + 2 z = — 3 y = — 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = — 3 .

Значит, имеем, что точка пересечения x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0 имеет координаты ( 1 , — 3 , 0 ) .

Ответ: ( 1 , — 3 , 0 ) .

Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Заданы уравнения прямых x + 2 y — 3 z — 4 = 0 2 x — y + 5 = 0 и x — 3 z = 0 3 x — 2 y + 2 z — 1 = 0 . Найти точку пересечения.

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x + 2 y — 3 z — 4 = 0 2 x — y + 5 = 0 x — 3 z = 0 3 x — 2 y + 2 z — 1 = 0 . решаем ее методом Гаусса:

1 2 — 3 4 2 — 1 0 — 5 1 0 — 3 0 3 — 2 2 1 ~ 1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 — 2 0 — 4 0 — 8 11 — 11 ~ ~ 1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 0 — 12 5 6 5 0 0 7 5 — 159 5 ~ 1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 0 — 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Заданы две прямые x = — 3 — λ y = — 3 · λ z = — 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y — 3 0 = z 5 в О х у z . Найти точку пересечения.

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x = — 3 — λ y = — 3 · λ z = — 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 — 1 λ = y — 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 — 1 = y — 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 — 1 = y — 3 x + 3 — 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y — 3 0 = z 5 ⇔ y — 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0

Находим координаты 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0 , для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3 , а базисный минор 3 — 1 0 3 0 1 0 1 0 = — 3 ≠ 0 , значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0 ⇔ 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x = — 2 y = 3 z = — 5 . Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами ( — 2 , 3 , — 5 ) .

Ответ: ( — 2 , 3 , — 5 ) .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *