Как найти касательную к функции заданной параметрически
Перейти к содержимому

Как найти касательную к функции заданной параметрически

  • автор:

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения: Пример 6 Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует. В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной. Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле . Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке. Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно :

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением: На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим : Вот так-то! Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ : Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения: Пример 7 Найти уравнение нормали к линии в точке Хватит уже вымучивать касательную =) В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная. Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява: Пример 8 Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой . Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания. Решение : абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой: Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции : И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения: Уравнение нормали: Ответ : В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной

линией: Пример 9 Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой . Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета . Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =) Спасибо за внимание и успехов! Решения и ответы : Пример 2: Решение : уравнение касательной составим по формуле: В данном случае:

Таким образом:

Уравнение нормали составим по формуле : Ответ : Пример 4: Решение : уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче:

Таким образом:

В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ : Пример 7: Решение : в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной :

Искомое уравнение нормали:

Ответ : Пример 9: Решение : в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали:

Ответ :

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:
(ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную:

Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде:

Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:
, что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Касательная и нормаль к графику функции в заданной точке

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:

Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится:

То есть, касательная будет параллельна оси .

Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .

2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение: составим уравнение касательной .
В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай № 1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

Горизонтальная касательная и вертикальная нормаль

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю № 1, когда :

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай № 2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Вертикальная касательная и горизонтальная нормаль

Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению):

Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная:

Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:

Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:

Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функцию в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Ответ:

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Таким образом:

Уравнение нормали составим по формуле :

Ответ:

Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данной задаче:

Таким образом:

В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:

Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче: .
Найдём производную:

Или:

Подставим в выражение производной :

Искомое уравнение нормали:

Ответ:

Пример 9: Решение: в данном случае:

Найдём производную и вычислим её значение при :

Уравнение нормали:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Уравнение касательной к параметрически заданной функции

При каких значениях параметра p касательная к графику функции y=x3−px в точке x0=2 проходит через точку M(5;26)?

Лучший ответ

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как привести касательную параметрической функции на плоскости к векторному виду? Как найти вектор нормали в точке на плоском графике?

Задача найти вектор направления для касательной к точке на графике параметрической функции на плоскости.
В классическом виде касательная считается через производную, и в ответе мы получаем тангенс наклона угла касательной относительно оси X. Отсюда сразу вылезает минус что на углах 90° и 270° тангенс не определен. Во вторых не понятно как нормализовать полученное значение. Второй день ломаю голову как выразить эту касательную через единичный вектор, при этом максимально компактно и ресурсоэффективно, так как данный код будет использоваться в вертексном шейдере.
Конечная цель- получить нормаль к заданной точке, сейчас я это делаю из касательной путем поворота (-1/f'(x)). Но надо как-то выразить эту нормаль в векторном виде. Если есть прямой способ вычисления вектора нормали в точке на графике, буду рад его услышать!

  • Вопрос задан более трёх лет назад
  • 478 просмотров

Комментировать
Решения вопроса 2

Если кривая задана в параметрическом виде X=X(t), Y=Y(t), то все проще. Касательная равна (dY/dt)/(dX/dt), ну а вектор нормаль -(dX/dt)/(dY/dt).

Ответ написан более трёх лет назад
Нравится 2 5 комментариев
Steff3d @Steff3d Автор вопроса

Проблема в том что в этом случае результатом является тангенс угла а не вектор. Я пока не нашел простого способа как привести тангенс к векторному виду. Если такой способ существует, то был бы рад его узнать : )

Так вектор нормали будет иметь координаты ( -dy/dt, dx/dt) что еще надо? Можно нормировать его при необходимости.

Steff3d @Steff3d Автор вопроса

Да все верно, это я завис с этим тангенсом : ) Вы абсолютно правы, спасибо!!) Не подскажите заодно как грамотно провести нормализацию?

Steff3d, Поделить компоненты вектора на его евклидову норму(длину). Например, вектор получился (4,3) нормированый вектор будет: (4/(sqrt(4*4+3*3)), 3/(sqrt(4*4+3*3)))=(0.8, 0.6)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *