Как найти длину касательной к окружности если известен радиус
Перейти к содержимому

Как найти длину касательной к окружности если известен радиус

  • автор:

Касание к окружности

В жизни мы ежедневно сталкиваемся с касаниями. Касаемся предметов или друг друга. А может ли окружность, подобно человеку, чего-то касаться? Давайте узнаем в этой статье.

Взаимное расположение прямой и окружности

Перед нами стоит задача начертить прямую и окружность на бумаге. Задумайтесь на секунду: как бы вы сейчас выполнили эту задачу?

Поскольку их взаимное расположение не уточнено, то есть несколько вариантов, как их начертить.

1 случай. Прямая и окружность будут лежать в разных местах на листе и никак не пересекутся друг с другом.

2 случай. Прямая будет только касаться окружности.

3 случай. Прямая пересечет окружность.

Оказывается, в математике существуют термины для второго и третьего случая. Начнем их рассматривать с касательной к окружности.

Касательная

Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

На рисунке АВ – касательная, которая касается окружности в точке А.

Многие вещи, которые нас окружают, имеют плавные формы. Например, если мы посмотрим на цепь велосипеда, она имеет изогнутую форму.

Свойства касательной

1 свойство. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности в точку касания.

Проведем радиус ОА, тогда ОА ⟂ АВ.

2 свойство. Если провести две касательных из одной точки, то их отрезки будут равны.

Проведем из точки В еще одну касательную ВС, тогда АВ = ВС.

Если перевернуть рисунок, то можно заметить, что он отдаленно напоминает воздушный шар. А в воздушных шарах, также как и в свойстве касательных, используются равные по длине веревки.

3 свойство. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, которая заключена между этими касательной и хордой.

Проведем хорду АС, тогда угол САВ равен \(\frac⋃АС\).

Секущая

Теперь обратим внимание на третий случай, когда прямая пересекает окружность. Такая прямая называется секущей.

Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Пусть на рисунке АВ – секущая, тогда точки А и В – точки пересечения окружности и секущей.

Вспомни, как мы нарезаем пиццу или пирог. Каждый разрез будет секущей, то есть будет разделять круг на несколько частей.

Свойства секущей

1 свойство. Если из одной точки провести секущую и касательную к окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Проведем из точки А касательную АВ и секущую АС. Пусть секущая будет пересекать окружность в точках С и Е. Тогда выполняется равенство АВ 2 = АС * АЕ.

2 свойство. Если из одной точки провести две секущих к окружности, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равняется произведению второй секущей на ее внешнюю часть.

Проведем секущие АВ (пересекает окружность в точках Е и В) и АС (пересекает окружность в точках С и D). Тогда выполняется равенство АС * AD = АВ * АЕ.

3 свойство. Угол между двумя секущими равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, которые заключены между секущими.

Допустим, необходимо найти угол САВ. Тогда угол \(CAB = \frac(⋃CB-⋃DE)\).

Не стоит пугаться знака “⋃” – в математике таким образом обозначают дугу окружности.

Касание окружностей

Мы рассмотрели касание прямой и окружности, но могут ли две окружности касаться друг друга? Если у окружностей одна общая точка, то они являются касающимися друг к другу.

И есть даже несколько вариантов такого касания:

  • Внешнее, когда окружности лежат по разные стороны от точки касания.

В данном случае точка С – точка касания.

  • Внутреннее, когда одна окружность как бы “лежит” в другой.

В данном случае точка С также является точкой касания.

Касание окружностей нередко применяется при создании ювелирных украшений. Такое решение создает неповторимые и очень красивые образы.

Как мы уже определили, окружности могут касаться друг друга. Но есть еще один вариант их взаимного расположения: окружности пересекаются друг с другом. В этом случае они будут иметь две общие точки.

Рассмотрим свойство касающихся окружностей:

  • Прямая, построенная через центры таких окружностей, включает точку касания.

Если мы построим прямую через центры окружностей А и В, то на этой же прямой будет лежать точка касания С.

Фактчек

  • Прямая и окружность имеют три варианта взаимного расположения: не пересекаться, касаться или пересекать друг друга.
  • Касательная – это прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней только одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.
  • Секущая – это прямая, которая проходит через окружность и имеет с ней две точки пересечения.
  • Если провести из одной точки касательную и секущую, то квадрат касательной будет равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
  • Две окружности также могут касаться друг друга. Касание может быть как внешним, так и внутренним. При этом если соединить центры окружности прямой, то на этой же прямой будет лежать точка касания.

Проверь себя

Задание 1.
Как называется прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней одну общую точку?

  1. Секущая;
  2. Хорда;
  3. Касательная;
  4. Диаметр.

Задание 2.
Дуга, заключенная между касательной и хордой, равняется 50 \(\circ\) . Чему равен угол между касательной и хордой?

  1. 25 \(\circ\) ;
  2. 50 \(\circ\) ;
  3. 100 \(\circ\) ;
  4. 180\ (\circ\) .

Задание 3.
Длина секущей равна 9, а ее внешняя часть равняется 4. Чему равна касательная к окружности, проведенная из той же точки, что и секущая?

Задание 4.
Между секущими заключены дуги окружности, которые равняются 70 и 30 градусам. Чему равен угол между секущими?

Задание 5.
Каким бывает касание двух окружностей?

  1. Только внешним;
  2. Только внутренним;
  3. Внешним и внутренним;
  4. Две окружности не могут касаться друг друга.

Ответы: 1. – 3 2. – 1 3. – 2 4. – 4 5. – 3

Как найти длину касательной к окружности если известен радиус

Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

Используя это свойство, легко решить следующую задачу.

На основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются прямой $$ BD$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.

Рис. 18 Рис. 18a

Пусть $$ a>b.$$ Точки касания окружностей со сторонами треугольника $$ ABC$$ обозначим P , Q , E P,\;Q,\;E и $$ F$$ (рис. 18). Положим B M = z , M N = x , N D = y . BM=z,\;MN=x,\;ND=y. По свойству касательных:

$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

$$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим

определение

Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.

доказательство

Рис. 19

Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19).

По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому

$$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает

Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$

По условию $$ a+c=b+d,$$ что равносильно $$ c-b=d-a.$$

Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим три равнобедренных треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

Рис. 20

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC` (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD` (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$), следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена от всех четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно.

Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны $$ a$$ и $$ b$$.

Рис. 21

Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем:

Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ — прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM=>(AD-BC)->(a-b)$$. Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$:

Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности, поэтому

радиус вписанной окружности равен $$ \overline<)r=<\displaystyle \frac<1>>\sqrt>$$.

Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции $$ \overline<)\mathrm\alpha =>>$$.

свойство 2 (угол между касательной и хордой)

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).

Доказательство

Рис. 22

Рассматриваем угол $$ NAB$$ между касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ — центр окружности, то $$ OA\perp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов треугольника равна `180^@`, следовательно, $$ \angle AOB=2\alpha $$. Итак, $$ \alpha =\angle NAB=>\angle AOB.$$

Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$.

Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

Пусть к окружности проведены из одной точки касательная $$ MA$$ и секущая $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо равенство

т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ \angle MAC=\angle ABC$$. Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:

Рис. 23

Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рис. 24

Окружность проходит через вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает большее основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24). Известно, что $$ AB=5\sqrt$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$.

Найти радиус окружности.

1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю

По теореме о касательной и секущей:

$$ A^=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$.

2. Заметим теперь, что угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и хордой $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и $$ BC$$ следует равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABD\sim △DCB$$. Из подобия имеем $$ >=><\displaystyle \frac>$$. Из последнего равенства находим, что $$ B^=AD·BC$$, т. е. $$ BD=\sqrt=5\sqrt$$, а из первого равенства находим $$ CD=>=5$$.

3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ — вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K^+B^=K^,$$ то `/_ KBD=90^@` и $$ KD$$ — диаметр окружности.

Значит, её радиус равен `5`.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

Из этой теоремы следует:

a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Рис. 25

В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно, что точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат на одной окружности и что $$ DF=\sqrt.$$ Найти площадь треугольника $$ ODF$$.

Четырёхугольник $$ DOFC$$ вписан в окружность, по теореме 9:

$$ \angle DOF=\pi -\angle C$$, т. е. $$ \pi ->(\angle A+\angle B)=\pi -\angle C$$, откуда, учитывая, что $$ \angle A+\angle B+\angle C=\pi $$, находим $$ \angle С=>$$.

Теперь заметим, что $$ O$$ — точка точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ — биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом,

Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=\sqrt$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь треугольника $$ ODF: S=>h·DF=<\displaystyle \frac<\sqrt>>$$.

Как найти длину касательной к окружности если известен радиус

Найдите длину хорды, если дан радиус r окружности и расстояние a от одного конца хорды до касательной, проведённой через другой её конец.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на данную хорду и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники.

Решение

Пусть O – центр данной окружности, M – основание перпендикуляра, опущенного из конца B хорды AB на касательную к окружности, проведённую через точку A, K – середина AB .
Поскольку треугольники AKO и BMA подобны, то AK : AO = MB : AB , или AB : 2 r = a : AB . Следовательно, AB = .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 539

Окружность. Основные теоремы

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over\) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac(\buildrel\smile\over — \buildrel\smile\over)\) .

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac\buildrel\smile\over — \frac\buildrel\smile\over = \frac(\buildrel\smile\over — \buildrel\smile\over)\) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over — \frac12\buildrel\smile\over\) .

Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over + \frac12\cdot\buildrel\smile\over = \frac12(\buildrel\smile\over + \buildrel\smile\over).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over\) .

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\) .

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over\) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over=\buildrel\smile\over\) .

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over=\buildrel\smile\over\) .

2) Если \(\buildrel\smile\over=\buildrel\smile\over\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .

Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .

2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac = \dfrac\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac = \dfrac\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) :

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *